गोला (Sphere) - Free MCQ Practice Test with solutions, SSC CGL

दिया गया:

क्यूब की भुजा = 5.6 सेमी

उपयोग किया गया सूत्र:

गेंद का आयतन = (4/3) × π × r³

गणना:

गेंद का व्यास = क्यूब की भुजा
⇒ 2 × गेंद का त्रिज्या = 5.6 सेमी
⇒ गेंद का त्रिज्या = 5.6/2 = 2.8 सेमी
गेंद का आयतन = (4/3) × (22/7) × (2.8)³
⇒ 88/21 × 21.952
⇒ 91.98
∴ उस क्यूब से निकाली जा सकने वाली सबसे बड़ी गेंद का आयतन 91.98 सेमी³ है।

दिया गया:

त्रिज्या r₁ = 6 सेमी, r₂ = 8 सेमी, r₃ = 10 सेमी के गोलों को एक में पिघलाया गया।

उपयोग किया गया सूत्र:

गोल का आयतन = 4/3π r³

गणना:

चलो बड़े मोती की त्रिज्या को 'R' मान लेते हैं।
प्रश्न के अनुसार,
छोटे मोतियों का आयतन = बड़े मोती का आयतन
⇒ 4/3π [(6)³ + (8)³ + (10)³] = 4/3π R³
⇒ R³ = [(216) + (512) + (1000)]
⇒ R³ = 1728 = 12 सेमी।
∴ बड़े मोती की त्रिज्या (सेमी में) 12 सेमी होगी।

दिया गया:

गोलाकार घेरा का व्यास = 8 सेमी
सिलेंडर का व्यास = 4 सेमी
सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्रफल गोलाकार क्षेत्रफल का आधा है।

उपयोग किया गया सूत्र:

सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्रफल = 2πr(h + r)
गोलाकार क्षेत्रफल = 4πr²

गणना:

प्रश्न के अनुसार
सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्रफल गोलाकार क्षेत्रफल का आधा है।

∴ सिलेंडर की ऊँचाई 12 सेमी है।

दी गई जानकारी:

घनाभ के किनारे 44 सेमी, 32 सेमी, और 36 सेमी हैं।
गोलक का व्यास 12 सेमी है।

उपयोग किया गया सिद्धांत:

घनाभ का आयतन, जिसकी लंबाई l, चौड़ाई b और ऊँचाई h है = l x b x h
गोलक का आयतन, जिसकी त्रिज्या r है = (4/3)πr³

गणना:

धात्विक घनाभ का आयतन (44 x 32 x 36) सेमी³ है।
गोलक का आयतन (4/3) x π x 12³ है।
धारण करें, ऐसे गोलकों की कुल संख्या n है।
इस प्रकार,

इसलिए, दिए गए धात्विक घनाभ द्वारा ऐसे 7 गोलक बनाए जा सकते हैं।

दिया गया:

एक गोले का सतह क्षेत्र = 64π सेमी²

उपयोग की गई सूत्र:

एक गोले का सतह क्षेत्र = 4πr²
एक गोले का आयतन = 4πr³/3

गणना:

एक गोले का सतह क्षेत्र = 64π
⇒ 4πr² = 64π
⇒ r² = 16 
⇒ r = 4सेमी

दी गई जानकारी:

एक तांबे का गोला जिसका व्यास 18 सेमी है, उसे 6 मिमी व्यास के तार में ढाला गया है।

उपयोग की गई अवधारणा:

गोले का आयतन = 4/3πr³
सिलेंडर का आयतन = πr²h

गणना:
गोले का त्रिज्या = 9 सेमी
तार का त्रिज्या = 0.3 सेमी [क्योंकि 1 सेमी = 10 मिमी]
प्रश्न के अनुसार,
गोले का आयतन = सिलेंडर का आयतन

∴ तार की लंबाई 108 मीटर है।

दिया गया:

एक गोले का सतही क्षेत्रफल = 1386 सेमी²

उपयोग किया गया सूत्र:

एक गोले का सतही क्षेत्रफल = 4πr² जहाँ r गोले का त्रिज्या है।

गणना:

एक गोले का सतही क्षेत्रफल = 4πr² = 1386

इसलिए, गोले की त्रिज्या 10.5 सेमी है।

उपयोग किया गया सूत्र:

गेंद का क्षेत्रफल = 4πr²
यहाँ,
r = त्रिज्या

गणना:

यह दिया गया है कि, एक गेंद का व्यास दो गुना हो गया है, इसलिए इसकी त्रिज्या भी दो गुना हो जाएगी।
मान लीजिए कि गेंद की प्रारंभिक और अंतिम त्रिज्या क्रमशः r और R हैं।

अब सतह क्षेत्र में परिवर्तन = 4A - A = 3A

∴ इसका सतह क्षेत्र तीन गुना बढ़ जाएगा।

दी गई जानकारी:

एक 4 सेंटीमीटर त्रिज्या के लेड के अर्धगोलाकार टुकड़े को 72 सेंटीमीटर ऊँचाई के एक समकोणीय शंकु में ढाला जाता है।

उपयोग की गई अवधारणा:

3. अर्धगोलाकार टुकड़े का आयतन शंकु के आयतन के बराबर होना चाहिए।

गणना:

अर्धगोलाकार टुकड़े का आयतन 

मान लें कि समकोणीय शंकु के आधार की त्रिज्या R सेंटीमीटर है।

​इस अवधारणा के अनुसार,

∴ शंकु के आधार की त्रिज्या 1.33 सेंटीमीटर है।

दिया गया:
एक ठोस गोलाकार गेंद का आयतन (V₁) = 972π सेमी³

उपयोग किया गया सूत्र:
गेंद का आयतन = 4/3πr³
गेंद का कुल सतही क्षेत्रफल = 4πr²
जहाँ, r = त्रिज्या

गणनाएँ:
प्रश्न के अनुसार,
इसे 27 छोटे गोलों में पिघलाया गया जिनकी त्रिज्या r और आयतन (V₂) है।
V₁ = V₂

अब, 27 गोलों का कुल सतही क्षेत्रफल:

∴ 27 छोटे गोलों का कुल सतही क्षेत्रफल 972π सेमी² होगा।

दिया गया:

एक धात्विक गोलाकार गेंद S जिसकी त्रिज्या 9 सेमी है।
धात्विक गोलाकार गेंद S को पिघलाकर N संख्या की गोलाकार गेंदों में ढाला गया है जिनकी त्रिज्या 3 सेमी है।

उपयोग किए गए सिद्धांत:

गेंद का सूत्र:

जहाँ,

R, गेंद की त्रिज्या है

गणना:

बड़ी धात्विक गेंद S की त्रिज्या, R = 9 सेमी
छोटी धात्विक गेंद की त्रिज्या, r = 3 सेमी
मान लें कि छोटी गेंदों की संख्या N है।
मान लें VB और VS बड़ी और छोटी गेंदों के आयतन हैं।
प्रश्न के अनुसार,

∴ आवश्यक छोटी गेंदों की संख्या 27 है।

दी गई जानकारी:

खोखले गोले के लिए,
बाहरी त्रिज्या (ro) = 4 सेमी।
आंतरिक त्रिज्या (ri) = 1 सेमी।

उपयोग किया गया सिद्धांत:
खोखले गोले का आयतन

गणना:

खोखले गोले का आयतन = (4/3)p x (4³ - 1³)
⇒ (4/3)p x (64 - 1)

⇒ (4/3)p x 63

⇒ 84p

∴ खोखले गोले का आयतन 84p सेमी³ है।

उपयोग की गई अवधारणा:

• छोटी बूँदों के आयतन का योग = बड़े बूँद के आयतन के बराबर
• गेंद का आयतन = 4/3 x π x r³

गणना:

छोटी बूँदों की कुल संख्या 0.1% of 1.728 x 106 = 1728 है।

मान लीजिए कि बड़े बुलबुले का त्रिज्या R मिमी है
⇒ 1728 x 4/3 x π x (2/2)³ = 4/3 × π × R³
⇒ R³ = 1728
⇒ R = 12 मिमी या 1.2 सेमी
इसलिए व्यास 2 × 1.2 = 2.4 सेमी है।
∴ सही उत्तर 2.4 सेमी है।

दिया गया:

व्यास के 5 सेमी बढ़ने से सतह क्षेत्र 4840/7 सेमी² बढ़ गया।

उपयोग किया गया सूत्र:

A = 4 x π x R² जहाँ, V = गोले का आयतन, A = गोले का सतह क्षेत्र और R = गोले का व्यास 

गणना:

मान लें कि गोले का व्यास R है।

प्रश्न के अनुसार

गोले का आयतन 

= 113.14 ≈ 113 सेमी³

प्रस्तुत:

एक ठोस शंकु जिसका त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी थी, को दो ठोस गोले के साथ पिघलाया गया, जिनकी त्रिज्या भी 7 सेमी है, ताकि एक ठोस बेलन का निर्माण हो सके जिसकी त्रिज्या 7 सेमी है।

उपयोग में लाया गया सूत्र:

शंकु का आयतन = 1/3πr²h
बेलन का आयतन = πr²h
गोले का आयतन = 4/3πr³
बेलन का वक्र सतही क्षेत्र = 2πrh
यहाँ,
r = त्रिज्या
h = ऊँचाई

गणना:

शंकु का आयतन = 1/3π × 7² × 7
⇒ 1/3π x 49

प्रत्येक गोले का आयतन = 4/3π × 7³
मान लेते हैं कि बने हुए बेलन की ऊँचाई H है
प्रश्न के अनुसार,

इसलिए, बने हुए बेलन की ऊँचाई 21 सेमी है
अब,
बेलन का वक्र सतही क्षेत्र = 2 x 22/7 x 7 x 21
⇒ 924
∴ बेलन का वक्र सतही क्षेत्र (सेमी²) 924 है।