Test: Cubes & Dice (घन और पासा) - Banking Exams

पासे की स्थिति 2 को उभयनिष्ट मानते हुए,

उभयनिष्ट संख्या 2 से दक्षिणावर्त चलने पर,

विपरीत संख्याओं का युग्म:
1 - 2
4 - 3
6 - 5
इसलिए, 6 के विपरीत संख्या 5 है।
अत:, सही उत्तर "5" है।

तर्क:
⇒ पासे के दोनों दृश्यों में संख्या 3 उभयनिष्ठ है, इसलिए, 3 के आसन्न फलक 2, 6, 1, 5 हैं।
पासे का खुला आरेख इस प्रकार है:

इसलिए, 6 का विपरीत फलक 5 है।

दिया गया है: 5 सेंटीमीटर किनारे वाले घन के सभी छः फलकों को लाल रंग से रंग दिया जाता है और पुनः उसे 125 इकाई घनों में काट दिया जाता है।
गणना:

⇒ घन के प्रत्येक कोने पर 3 फलक रंगे हुए हैं। 
इसलिए, कुल 3 फलक रंगे हुए वाले घन = 1 x 8 = 8
घन के प्रत्येक किनारे पर तीन, 2-फलक रंगे हुए घन हैं।
तो, कुल 2 फलक रंगे हुए घन = 3 x 12 = 36
घन के प्रत्येक फलक पर नौ, एक फलक रंगे हुए घन हैं।
तो, कुल एक फलक रंगे हुए घन = 9 x 6 = 54
अब बिना रंगे हुए फलकों वाले घनों की कुल संख्या
= 125 - 8 - 36 - 54
= 27
अतः, बिना रंगे हुए फलकों वाले घनों की संख्या 27 है।

दोनों स्थितियों में उभयनिष्ठ संख्या = 2
उभयनिष्ठ संख्या 2 से प्रारम्भ करके दक्षिणावर्त चलते हैं। 
विपरीत संख्याएँ:
2 ⇒ 6
3 ⇒ 4
1 ⇒ 5
अतः, "1", 5 के विपरीत है। 

घन को 64 छोटे घनों में काटा जाता है। यहाँ, n = 4
घन के दो आसन्न फलक रंगीन हैं।
उपरोक्त जानकारी के अनुसार;

रंगीन घन के फलक = 28
वे घन जो रंगीन नहीं है = 64 - 28 = 36
अतः, सही उत्तर "36" है। 

पहले पासे और दूसरे पासे में:
दिया है:

तर्क: यदि दी गई छवि में दो पासों के फलकों पर मान समान है तो उनकी दक्षिणावर्त या वामावर्त वार संख्या पासे में विपरीत संख्या के रूप में जानी जाती है।
पहले पासे और दूसरे पासे में चिन्ह 'l' उभयनिष्ठ है।
उन्हें I से शुरू करते हुए दक्षिणावर्त लिखा जाने पर बायां अक्षर एक-दूसरे के विपरीत होगा।

अत: H के विपरीत फलक "@" है
अत: सही उत्तर  “@” है।

नीचे दी गई आकृति है:

आकृति 2 और 3 से हम समझते हैं कि 5 और 4, 1 और 2 के विपरीत फलक नहीं हैं।
विपरीत फलक 1 - 2 हैं
अत:, सही उत्तर "2" है।

80 सेमी भुजा वाले एक घन को सभी फलकों पर पीले रंग से रंगा जाता है और फिर 8 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है।

छोटे घनों की संख्या जिनके तीनों फलक रंगे हुए हैं।

सभी कोनों को तीन तरफ से रंगा गया है, घनों में 8 कोने हैं।
तो, 3 तरफ रंगे हुए घन = 8
अत: सही उत्तर "8" है।

Additional Information
यदि एक घन को विपरीत फलकों के जोड़े पर लाल, नीले और काले रंग से रंगा गया है और इसे X भागों में विभाजित किया गया है।
1) घनों की कुल संख्या = X³
2) घन जिनके तीन फलक रंगे हुए हैं = 8 (क्योंकि घन में केवल 8 कोने हैं)
3) ऐसे घन जिनके केवल दो फलक रंगे हैं = (X - 2) × कोरों की संख्या (12)
4) ऐसे घन जिनका केवल एक ही फलक रंगा हुआ है = (X - 2)² × 6
5) घन जिनका कोई फलक रंगा हुआ नहीं है = (X - 2)³ 

दूसरे और तीसरे पासे में 5 और 4 दोनों पासों में उभयनिष्ठ हैं।
दूसरे पासे को 1800 दक्षिणावर्त घुमाया जाता है, 5, 4 के आसन्न फलक पर '3' है।

पहले और तीसरे पासे में 4 और 3 दोनों पासों में उभयनिष्ठ हैं।
पहला पासा 900 वामावर्त घुमाया गया 4, 3 का अन्य आसन्न फलक '5' है।

दिए गए घनों के विपरीत फलक हैं:

∴ यहाँ '6' का विपरीत फलक '4' है।
अत: सही उत्तर "4" है।

दिया गया है: 5 सेंटीमीटर किनारे वाले घन के सभी छः फलकों को लाल रंग से रंग दिया जाता है और पुनः उसे 125 इकाई घनों में काट दिया जाता है।
गणना:

रंगे हुए घन के प्रत्येक फलक पर नौ, एक फलक रंगे हुए घन हैं।
इसलिए, कुल एक फलक रंगे हुए घन = 9 x 6 = 54
अतः, एक फलक रंगे हुए घन 54 होंगे।

पहली स्थिति में जिन फलकों पर 3 और 5 है वे संख्या 1 वाले के विपरीत हैं। दूसरी स्थिति में जिन फलकों पर 2 और 6 है वे संख्या 1 वाले फ़लक के विपरीत हैं। एकमात्र शेष संख्या 4 है।
अतः, जिस फ़लक पर 1 है उसके विपरीत फलक पर संख्या 4 है

अवधारणा:
पासा के 3 आसन्न चेहरे जो हम देखते हैं, उनके बीच कभी विपरीत नहीं होगा।
आकृति 1 में, B के निकटवर्ती D, F है
आकृति 2 में, B का निकटवर्ती C, D है।
आकृति 4 में, B का निकटवर्ती A, C है।
यह कभी भी B के विपरीत नहीं होगा।
केवल शेष वर्णमाला E है, जो B के विपरीत है।
अतः, E सही उत्तर है।  

दिया गया है:
बड़े घन की भुजा की लंबाई = 125 सेमी
छोटे घन की भुजा की लंबाई = 25 सेमी

सूत्र:
एक घन एक त्रि-आयामी आकृति होती है जिसमें 8 कोने, 6 फलक और 12 किनारे (भुजाएं) होते हैं।
यदि एक घन को उसके सभी फलकों पर एक ही रंग से रंगा जाता है और फिर उसे समान आकार के छोटे घनों में विभाजित किया जाता है, तो इस प्रकार प्राप्त छोटे घनों की संख्या की गणना निम्नानुसार की जाएगी:

• बिना रंगे हुए फलक वाले घनों की संख्या = (n - 2)3
• रंगे हुए एक फलक वाले घनों की संख्या = 6(n - 2)2
• रंगे हुए दो फलकों वाले घनों की संख्या  = 12(n - 2)
• रंगे हुए तीन फलकों वाले घनों की संख्या  = 8 (हमेशा)

जहां n = प्रत्येक भुजा के भागों की संख्या = बड़े घन की भुजा की लंबाई ÷ छोटे घन की भुजा की लंबाई

गणना:
n = 125 ÷ 25 = 5
⇒ n - 2 = 3
छोटे घनों की संख्या जिनमें कम से कम दो फलक रंगे हुए हैं वह इस प्रकार है:
= घनों की कुल संख्या - (बिना रंगे हुए फलक वाले घनों की संख्या + रंगे हुए एक फलक वाले घनों की संख्या)
= 125 - (33 + 6 × 32)
= 125 - (27 + 54)
= 125 - 81
= 44
अत:, सही उत्तर 44 है।

खुले पासे के विपरीत पृष्ठ निम्नलिखित तरीकों से ज्ञात किये जा सकते हैं:-

• एकांतर फलक एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।
• कोई दो विपरीत फलक भुजा या कोने से स्पर्श नहीं होते हैं।

इस प्रकार, उपरोक्त नियमों का उपयोग करके हम खुले पासे के विपरीत फलक ज्ञात कर सकते हैं।
विपरीत पृष्ठ इस प्रकार हैं:-

जैसा कि हम जानते हैं कि, कोई दो विपरीत फलक एक-दूसरे के आसन्न नहीं होते हैं।
इस प्रकार, विकल्प 1 में, @ और & विपरीत फलक हैं लेकिन आसन्न दर्शाये गए हैं। अतः गलत है।
विकल्प 3 में, © और # विपरीत फलक हैं लेकिन आसन्न दर्शाये गए हैं। अतः गलत है।
विकल्प 4 में, $ और % विपरीत फलक हैं लेकिन आसन्न दर्शाये गए हैं। अतः गलत है।
विकल्प 2 में, कोई विपरीत फलक आसन्न नहीं हैं।
अतः विकल्प 2 सही है।

12 सेमी भुजा वाले एक घन के सभी फलकों पर हरे रंग से पेंट किया जाता है और फिर प्रत्येक 2 सेमी भुजाओं के छोटे घनों में काटा जाता है।
घन को 12/2 = 6 बराबर भागों में विभाजित किया गया है, इसलिए n = 6 है।
1 फलक पेंट किए हुए घनों की संख्या = 6(n - 2)²​
= 6 (6 - 2)²
= 6 × 4²
= 6 × 16
= 96
अतः, सही उत्तर '96' है।