ML Aggarwal Textbook Solutions: Similarity

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E X E R C I S E 1 3 .1
1 . S t a t e w h i c h p a i r s o f t r i a n g l e s i n t h e fi g u r e g i v e n b e l o w a r e s i m i l a r . W r i t e t h e
s i m i l a r i t y r u l e u s e d a n d a l s o w r i t e t h e p a i r s o f s i m i l a r t r i a n g l e s i n s y m b o l i c f o r m ( a l l
l e n g t h s o f s i d e s a r e i n c m ) :
S o l u ? o n : -
( i ) F r o m t h e ? A B C a n d ? P Q R
A B / PQ = 3 . 2 / 4
= 3 2 / 4 0
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 8 w e g e t ,
= 4 / 5
A C / P R = 3 . 6 / 4 . 5
= 3 6 / 4 5
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 9 w e g e t ,
= 4 / 5
B C / Q R = 3 / 5 . 4
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1 . S t a t e w h i c h p a i r s o f t r i a n g l e s i n t h e fi g u r e g i v e n b e l o w a r e s i m i l a r . W r i t e t h e
s i m i l a r i t y r u l e u s e d a n d a l s o w r i t e t h e p a i r s o f s i m i l a r t r i a n g l e s i n s y m b o l i c f o r m ( a l l
l e n g t h s o f s i d e s a r e i n c m ) :
S o l u ? o n : -
( i ) F r o m t h e ? A B C a n d ? P Q R
A B / PQ = 3 . 2 / 4
= 3 2 / 4 0
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 8 w e g e t ,
= 4 / 5
A C / P R = 3 . 6 / 4 . 5
= 3 6 / 4 5
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 9 w e g e t ,
= 4 / 5
B C / Q R = 3 / 5 . 4
= 3 0 / 5 4
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 6 w e g e t ,
= 5 / 9
B y c o m p a r i n g a l l t h e r e s u l t s , t h e s i d e are n o t e q u a l .
T h e r e f o r e , t h e t r i a n g l e s ar e n o t e q u a l .
( i i ) F r o m t h e ? D E F a n d ? L M N
? E = ? N = 4 0
o
T h e n , D E / L N = 4 / 2
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 2 w e g e t ,
= 2
E F / M N = 4 . 8 / 2 . 4
= 4 8 / 2 4
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 2 4 w e g e t ,
= 2
T h e r e f o r e , ? D E F ~ ? L M N
2 . I t i s g i v e n t h a t ? D E F ~ ? R P Q . I s i t t r u e t o s a y t h a t ? D = ? R a n d ? F = ? P ? W h y ?
S o l u ? o n : -
F r o m t h e q u e s ? o n i s g i v e n t h a t , ? D E F ~ ? R PQ
? D = ? R a n d ? F = ? Q n o t ? P
N o , ? F ? ? P
3 . I f i n t w o r i g h t t r i a n g l e s , o n e o f t h e a c u t e a n g l e o f o n e t r i a n g l e i s e q u a l t o a n a c u t e
a n g l e o f t h e o t h e r t r i a n g l e , c a n y o u s a y t h a t t h e t w o t r i a n g l e s a r e s i m i l a r ? W h y ?
S o l u ? o n : -
F r o m t h e f i g u r e , t w o l i n e s e g m e n t s a r e i n t ers e c ? n g e a c h o t h e r a t P.
I n ? B C P a n d ? D P E
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1 . S t a t e w h i c h p a i r s o f t r i a n g l e s i n t h e fi g u r e g i v e n b e l o w a r e s i m i l a r . W r i t e t h e
s i m i l a r i t y r u l e u s e d a n d a l s o w r i t e t h e p a i r s o f s i m i l a r t r i a n g l e s i n s y m b o l i c f o r m ( a l l
l e n g t h s o f s i d e s a r e i n c m ) :
S o l u ? o n : -
( i ) F r o m t h e ? A B C a n d ? P Q R
A B / PQ = 3 . 2 / 4
= 3 2 / 4 0
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 8 w e g e t ,
= 4 / 5
A C / P R = 3 . 6 / 4 . 5
= 3 6 / 4 5
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 9 w e g e t ,
= 4 / 5
B C / Q R = 3 / 5 . 4
= 3 0 / 5 4
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 6 w e g e t ,
= 5 / 9
B y c o m p a r i n g a l l t h e r e s u l t s , t h e s i d e are n o t e q u a l .
T h e r e f o r e , t h e t r i a n g l e s ar e n o t e q u a l .
( i i ) F r o m t h e ? D E F a n d ? L M N
? E = ? N = 4 0
o
T h e n , D E / L N = 4 / 2
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 2 w e g e t ,
= 2
E F / M N = 4 . 8 / 2 . 4
= 4 8 / 2 4
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 2 4 w e g e t ,
= 2
T h e r e f o r e , ? D E F ~ ? L M N
2 . I t i s g i v e n t h a t ? D E F ~ ? R P Q . I s i t t r u e t o s a y t h a t ? D = ? R a n d ? F = ? P ? W h y ?
S o l u ? o n : -
F r o m t h e q u e s ? o n i s g i v e n t h a t , ? D E F ~ ? R PQ
? D = ? R a n d ? F = ? Q n o t ? P
N o , ? F ? ? P
3 . I f i n t w o r i g h t t r i a n g l e s , o n e o f t h e a c u t e a n g l e o f o n e t r i a n g l e i s e q u a l t o a n a c u t e
a n g l e o f t h e o t h e r t r i a n g l e , c a n y o u s a y t h a t t h e t w o t r i a n g l e s a r e s i m i l a r ? W h y ?
S o l u ? o n : -
F r o m t h e f i g u r e , t w o l i n e s e g m e n t s a r e i n t ers e c ? n g e a c h o t h e r a t P.
I n ? B C P a n d ? D P E
5 / 1 0 = 6 / 1 2
D i v i d i n g L H S a n d R H S b y 2 w e g e t ,
½ = ½
T h e r e f o r e , ? B C D ~ ? D E P
5 . I t i s g i v e n t h a t ? A B C ~ ? E D F s u c h t h a t A B = 5 c m , A C = 7 c m , D F = 1 5 c m a n d D E = 1 2
c m .
F i n d t h e l e n g t h s o f t h e r e m a i n i n g s i d e s o f t h e t r i a n g l e s .
S o l u ? o n : -
A s p er t h e d i m e n s i o n s g i v e i n t h e q u e s ? o n s ,
F r o m t h e q u e s ? o n i t i s g i v e n t h a t ,
? D E F ~ ? L M N
S o , A B / E D = A C / E F = B C / D F
C o n s i d e r A B / E D = A C / E F
5 / 1 2 = 7 / E F
B y c r o s s m u l t i p l i c a ? o n ,
E F = ( 7 × 1 2 ) / 5
E F = 1 6 . 8 c m
N o w , c o n s i d er A B / E D = B C / D F
5 / 1 2 = B C / 1 5
B C = ( 5 × 1 5 ) / 1 2
B C = 7 5 / 1 2
B C = 6 . 2 5
6 .
( a ) I f ? A B C ~ ? D E F , A B = 4 c m , D E = 6 c m , E F = 9 c m a n d F D = 1 2 c m , t h e n fi n d t h e
p e r i m e t e r o f ? A B C .
S o l u ? o n : -
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E X E R C I S E 1 3 .1
1 . S t a t e w h i c h p a i r s o f t r i a n g l e s i n t h e fi g u r e g i v e n b e l o w a r e s i m i l a r . W r i t e t h e
s i m i l a r i t y r u l e u s e d a n d a l s o w r i t e t h e p a i r s o f s i m i l a r t r i a n g l e s i n s y m b o l i c f o r m ( a l l
l e n g t h s o f s i d e s a r e i n c m ) :
S o l u ? o n : -
( i ) F r o m t h e ? A B C a n d ? P Q R
A B / PQ = 3 . 2 / 4
= 3 2 / 4 0
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 8 w e g e t ,
= 4 / 5
A C / P R = 3 . 6 / 4 . 5
= 3 6 / 4 5
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 9 w e g e t ,
= 4 / 5
B C / Q R = 3 / 5 . 4
= 3 0 / 5 4
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 6 w e g e t ,
= 5 / 9
B y c o m p a r i n g a l l t h e r e s u l t s , t h e s i d e are n o t e q u a l .
T h e r e f o r e , t h e t r i a n g l e s ar e n o t e q u a l .
( i i ) F r o m t h e ? D E F a n d ? L M N
? E = ? N = 4 0
o
T h e n , D E / L N = 4 / 2
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 2 w e g e t ,
= 2
E F / M N = 4 . 8 / 2 . 4
= 4 8 / 2 4
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 2 4 w e g e t ,
= 2
T h e r e f o r e , ? D E F ~ ? L M N
2 . I t i s g i v e n t h a t ? D E F ~ ? R P Q . I s i t t r u e t o s a y t h a t ? D = ? R a n d ? F = ? P ? W h y ?
S o l u ? o n : -
F r o m t h e q u e s ? o n i s g i v e n t h a t , ? D E F ~ ? R PQ
? D = ? R a n d ? F = ? Q n o t ? P
N o , ? F ? ? P
3 . I f i n t w o r i g h t t r i a n g l e s , o n e o f t h e a c u t e a n g l e o f o n e t r i a n g l e i s e q u a l t o a n a c u t e
a n g l e o f t h e o t h e r t r i a n g l e , c a n y o u s a y t h a t t h e t w o t r i a n g l e s a r e s i m i l a r ? W h y ?
S o l u ? o n : -
F r o m t h e f i g u r e , t w o l i n e s e g m e n t s a r e i n t ers e c ? n g e a c h o t h e r a t P.
I n ? B C P a n d ? D P E
5 / 1 0 = 6 / 1 2
D i v i d i n g L H S a n d R H S b y 2 w e g e t ,
½ = ½
T h e r e f o r e , ? B C D ~ ? D E P
5 . I t i s g i v e n t h a t ? A B C ~ ? E D F s u c h t h a t A B = 5 c m , A C = 7 c m , D F = 1 5 c m a n d D E = 1 2
c m .
F i n d t h e l e n g t h s o f t h e r e m a i n i n g s i d e s o f t h e t r i a n g l e s .
S o l u ? o n : -
A s p er t h e d i m e n s i o n s g i v e i n t h e q u e s ? o n s ,
F r o m t h e q u e s ? o n i t i s g i v e n t h a t ,
? D E F ~ ? L M N
S o , A B / E D = A C / E F = B C / D F
C o n s i d e r A B / E D = A C / E F
5 / 1 2 = 7 / E F
B y c r o s s m u l t i p l i c a ? o n ,
E F = ( 7 × 1 2 ) / 5
E F = 1 6 . 8 c m
N o w , c o n s i d er A B / E D = B C / D F
5 / 1 2 = B C / 1 5
B C = ( 5 × 1 5 ) / 1 2
B C = 7 5 / 1 2
B C = 6 . 2 5
6 .
( a ) I f ? A B C ~ ? D E F , A B = 4 c m , D E = 6 c m , E F = 9 c m a n d F D = 1 2 c m , t h e n fi n d t h e
p e r i m e t e r o f ? A B C .
S o l u ? o n : -
A s p er t h e d i m e n s i o n s g i v e i n t h e q u e s ? o n s ,
N o w , w e h a v e t o f i n d o u t t h e p e r i m e t e r o f ? A B C
L e t ? A B C ~ ? D E F
S o , A B / D E = A C / D F = B C / E F
C o n s i d e r , A B / D E = A C / D E
4 / 6 = A C / 1 2
B y c r o s s m u l t i p l i c a ? o n w e g e t ,
A C = ( 4 × 1 2 ) / 6
A C = 4 8 / 6
A C = 8 c m
T h e n , c o n s i d e r A B / D E = B C / E F
4 / 6 = B C / 9
B C = ( 4 × 9 ) / 6
B C = 3 6 / 6
B C = 6 c m
T h e r e f o r e , t h e p e r i m e t e r o f ? A B C = A B + B C + A C
= 4 + 6 + 8
= 1 8 c m
( b ) I f ? A B C ~ ? P Q R , P e r i m e t e r o f ? A B C = 3 2 c m , p e r i m e t e r o f ? P Q R = 4 8 c m a n d P R = 6
c m , t h e n fi n d t h e l e n g t h o f A C .
S o l u ? o n : -
F r o m t h e q u e s ? o n i t i s g i v e n t h a t ,
? A B C ~ ? P Q R
P er i m e t e r o f ? A B C = 3 2 c m
P er i m e t e r o f ? P Q R = 4 8 c m
S o , A B / P Q = A C / P R = B C / QR
T h e n , p e r i m e t e r o f ? A B C / p e r i m e t e r o f ? P Q R = A C / PR
3 2 / 4 8 = A C / 6
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E X E R C I S E 1 3 .1
1 . S t a t e w h i c h p a i r s o f t r i a n g l e s i n t h e fi g u r e g i v e n b e l o w a r e s i m i l a r . W r i t e t h e
s i m i l a r i t y r u l e u s e d a n d a l s o w r i t e t h e p a i r s o f s i m i l a r t r i a n g l e s i n s y m b o l i c f o r m ( a l l
l e n g t h s o f s i d e s a r e i n c m ) :
S o l u ? o n : -
( i ) F r o m t h e ? A B C a n d ? P Q R
A B / PQ = 3 . 2 / 4
= 3 2 / 4 0
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 8 w e g e t ,
= 4 / 5
A C / P R = 3 . 6 / 4 . 5
= 3 6 / 4 5
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 9 w e g e t ,
= 4 / 5
B C / Q R = 3 / 5 . 4
= 3 0 / 5 4
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 6 w e g e t ,
= 5 / 9
B y c o m p a r i n g a l l t h e r e s u l t s , t h e s i d e are n o t e q u a l .
T h e r e f o r e , t h e t r i a n g l e s ar e n o t e q u a l .
( i i ) F r o m t h e ? D E F a n d ? L M N
? E = ? N = 4 0
o
T h e n , D E / L N = 4 / 2
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 2 w e g e t ,
= 2
E F / M N = 4 . 8 / 2 . 4
= 4 8 / 2 4
D i v i d e b o t h n u m era t o r a n d d e n o m i n a t o r b y 2 4 w e g e t ,
= 2
T h e r e f o r e , ? D E F ~ ? L M N
2 . I t i s g i v e n t h a t ? D E F ~ ? R P Q . I s i t t r u e t o s a y t h a t ? D = ? R a n d ? F = ? P ? W h y ?
S o l u ? o n : -
F r o m t h e q u e s ? o n i s g i v e n t h a t , ? D E F ~ ? R PQ
? D = ? R a n d ? F = ? Q n o t ? P
N o , ? F ? ? P
3 . I f i n t w o r i g h t t r i a n g l e s , o n e o f t h e a c u t e a n g l e o f o n e t r i a n g l e i s e q u a l t o a n a c u t e
a n g l e o f t h e o t h e r t r i a n g l e , c a n y o u s a y t h a t t h e t w o t r i a n g l e s a r e s i m i l a r ? W h y ?
S o l u ? o n : -
F r o m t h e f i g u r e , t w o l i n e s e g m e n t s a r e i n t ers e c ? n g e a c h o t h e r a t P.
I n ? B C P a n d ? D P E
5 / 1 0 = 6 / 1 2
D i v i d i n g L H S a n d R H S b y 2 w e g e t ,
½ = ½
T h e r e f o r e , ? B C D ~ ? D E P
5 . I t i s g i v e n t h a t ? A B C ~ ? E D F s u c h t h a t A B = 5 c m , A C = 7 c m , D F = 1 5 c m a n d D E = 1 2
c m .
F i n d t h e l e n g t h s o f t h e r e m a i n i n g s i d e s o f t h e t r i a n g l e s .
S o l u ? o n : -
A s p er t h e d i m e n s i o n s g i v e i n t h e q u e s ? o n s ,
F r o m t h e q u e s ? o n i t i s g i v e n t h a t ,
? D E F ~ ? L M N
S o , A B / E D = A C / E F = B C / D F
C o n s i d e r A B / E D = A C / E F
5 / 1 2 = 7 / E F
B y c r o s s m u l t i p l i c a ? o n ,
E F = ( 7 × 1 2 ) / 5
E F = 1 6 . 8 c m
N o w , c o n s i d er A B / E D = B C / D F
5 / 1 2 = B C / 1 5
B C = ( 5 × 1 5 ) / 1 2
B C = 7 5 / 1 2
B C = 6 . 2 5
6 .
( a ) I f ? A B C ~ ? D E F , A B = 4 c m , D E = 6 c m , E F = 9 c m a n d F D = 1 2 c m , t h e n fi n d t h e
p e r i m e t e r o f ? A B C .
S o l u ? o n : -
A s p er t h e d i m e n s i o n s g i v e i n t h e q u e s ? o n s ,
N o w , w e h a v e t o f i n d o u t t h e p e r i m e t e r o f ? A B C
L e t ? A B C ~ ? D E F
S o , A B / D E = A C / D F = B C / E F
C o n s i d e r , A B / D E = A C / D E
4 / 6 = A C / 1 2
B y c r o s s m u l t i p l i c a ? o n w e g e t ,
A C = ( 4 × 1 2 ) / 6
A C = 4 8 / 6
A C = 8 c m
T h e n , c o n s i d e r A B / D E = B C / E F
4 / 6 = B C / 9
B C = ( 4 × 9 ) / 6
B C = 3 6 / 6
B C = 6 c m
T h e r e f o r e , t h e p e r i m e t e r o f ? A B C = A B + B C + A C
= 4 + 6 + 8
= 1 8 c m
( b ) I f ? A B C ~ ? P Q R , P e r i m e t e r o f ? A B C = 3 2 c m , p e r i m e t e r o f ? P Q R = 4 8 c m a n d P R = 6
c m , t h e n fi n d t h e l e n g t h o f A C .
S o l u ? o n : -
F r o m t h e q u e s ? o n i t i s g i v e n t h a t ,
? A B C ~ ? P Q R
P er i m e t e r o f ? A B C = 3 2 c m
P er i m e t e r o f ? P Q R = 4 8 c m
S o , A B / P Q = A C / P R = B C / QR
T h e n , p e r i m e t e r o f ? A B C / p e r i m e t e r o f ? P Q R = A C / PR
3 2 / 4 8 = A C / 6
A C = ( 3 2 × 6 ) / 4 8
A C = 4
T h e r e f o r e , t h e l e n g t h o f A C = 4 c m .
7 . C a l c u l a t e t h e o t h e r s i d e s o f a t r i a n g l e w h o s e s h o r t e s t s i d e i s 6 c m a n d w h i c h i s
s i m i l a r t o a t r i a n g l e w h o s e s i d e s a r e 4 c m , 7 c m a n d 8 c m .
S o l u ? o n : -
L e t u s a s s u m e t h a t , ? A B C ~ ? D E F
? A B C i s B C = 6 c m
? A B C ~ ? D E F
S o , A B / D E = B C / E F = A C / D F
C o n s i d e r A B / D E = B C / E F
A B / 8 = 6 / 4
A B = ( 6 × 8 ) / 4
A B = 4 8 / 4
A B = 1 2
N o w , c o n s i d er B C / E F = A C / D F
6 / 4 = A C / 7
A C = ( 6 × 7 ) / 4
A C = 4 2 / 4
A C = 2 1 / 2
A C = 1 0 . 5 c m
8 .
( a ) I n t h e fi g u r e g i v e n b e l o w , A B | | D E , A C = 3 c m , C E = 7 . 5 c m a n d B D = 1 4 c m .
C a l c u l a t e C B a n d D C .