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NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 12 - Limits and Derivatives

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 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
Question 8: 
Find the derivative of  
nn
xa
xa
?
?
for some constant a. 
Solution 8: 
Let f(x) = 
nn
xa
xa
?
?
 
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2
1
2
1
2
'( )
By quotient rule,
'
0
nn
n n n n
n n n
n n n n
d x a
fx
dx x a
dd
x a x a x a x a
dx dx
fx
xa
x a nx x a
xa
nx anx x a
xa
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?
?
 
 
 
Question 9: 
Find the derivative of 
(i) 
3
2
4
x ? (ii) (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1) 
(iii) 
â
x
€’’3
 (5 + 3x) (iv) x5 (3 –6
a
x
€’’9
)  
(v) x–4 (3 – 4x–5) (vi)  
2
2
1 3 1
x
xx
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Solution 9: 
(i) Let f(x) = 
3
2
4
x ? 
3
'( ) 2
4
d
f x x
dx
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=
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3
2
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dd
x
dx dx
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=2-0 
=2 
(ii) Let f (x) = (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1)  
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 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
Question 8: 
Find the derivative of  
nn
xa
xa
?
?
for some constant a. 
Solution 8: 
Let f(x) = 
nn
xa
xa
?
?
 
? ?
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2
1
2
1
2
'( )
By quotient rule,
'
0
nn
n n n n
n n n
n n n n
d x a
fx
dx x a
dd
x a x a x a x a
dx dx
fx
xa
x a nx x a
xa
nx anx x a
xa
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Question 9: 
Find the derivative of 
(i) 
3
2
4
x ? (ii) (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1) 
(iii) 
â
x
€’’3
 (5 + 3x) (iv) x5 (3 –6
a
x
€’’9
)  
(v) x–4 (3 – 4x–5) (vi)  
2
2
1 3 1
x
xx
?
??
 
Solution 9: 
(i) Let f(x) = 
3
2
4
x ? 
3
'( ) 2
4
d
f x x
dx
??
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=
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3
2
4
dd
x
dx dx
??
?
??
??
 
=2-0 
=2 
(ii) Let f (x) = (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1)  
 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
By Leibnitz product rule, 
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
33
32
32
3 3 2
32
'( ) 5x + 3x-1 1 1 5x + 3x-1
5x + 3x-1 1 1 5.3x + 3-0
5x + 3x-1 1 15 3
5x + 3x-1+15x 3 15 3
20 15 6 4
dd
f x x x
dx dx
x
xx
xx
x x x
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(iii) Let f (x) =
â
x
€’’3
  (5 + 3x)  
By Leibnitz product rule, 
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-3 -3
f'(x)=x 5 + 3x 5 3 x
dd
x
dx dx
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-3 -3-1
-3 -4
-3 -4 -3
-3 -4
=x 0 + 3 5 3 3x
x 3 5 3 3x
3x 15x 9x
6x 15x
x
x
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-3
-3
4
5
3x 2
3x
25
3
52
x
x
x
x
x
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(iv) Let f (x) = x
5
 (3 – 6
a
x
€’’9
)  
By Leibnitz product rule,   
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5 -9 9 5
5 -9-1 -9 4
5 -10 4 -5
-5 4 -5
-5 4
-5
5
'( ) x 3 -6x 3 6 x
x 0 6 9 x 3 6x 5x
x 54x 15x 30x
54x 15x 30x
24x 15x
24
24x
x
dd
f x x
dx dx
?
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(v) Let f (x) = 
a
x
€’’4
(3 – 4
a
x
€’’5
)  
By Leibnitz product rule,   
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 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
Question 8: 
Find the derivative of  
nn
xa
xa
?
?
for some constant a. 
Solution 8: 
Let f(x) = 
nn
xa
xa
?
?
 
? ?
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2
1
2
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By quotient rule,
'
0
nn
n n n n
n n n
n n n n
d x a
fx
dx x a
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x a x a x a x a
dx dx
fx
xa
x a nx x a
xa
nx anx x a
xa
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Question 9: 
Find the derivative of 
(i) 
3
2
4
x ? (ii) (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1) 
(iii) 
â
x
€’’3
 (5 + 3x) (iv) x5 (3 –6
a
x
€’’9
)  
(v) x–4 (3 – 4x–5) (vi)  
2
2
1 3 1
x
xx
?
??
 
Solution 9: 
(i) Let f(x) = 
3
2
4
x ? 
3
'( ) 2
4
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f x x
dx
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3
2
4
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x
dx dx
??
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??
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=2-0 
=2 
(ii) Let f (x) = (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1)  
 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
By Leibnitz product rule, 
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
33
32
32
3 3 2
32
'( ) 5x + 3x-1 1 1 5x + 3x-1
5x + 3x-1 1 1 5.3x + 3-0
5x + 3x-1 1 15 3
5x + 3x-1+15x 3 15 3
20 15 6 4
dd
f x x x
dx dx
x
xx
xx
x x x
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(iii) Let f (x) =
â
x
€’’3
  (5 + 3x)  
By Leibnitz product rule, 
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-3 -3
f'(x)=x 5 + 3x 5 3 x
dd
x
dx dx
?? 
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-3 -3-1
-3 -4
-3 -4 -3
-3 -4
=x 0 + 3 5 3 3x
x 3 5 3 3x
3x 15x 9x
6x 15x
x
x
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-3
-3
4
5
3x 2
3x
25
3
52
x
x
x
x
x
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(iv) Let f (x) = x
5
 (3 – 6
a
x
€’’9
)  
By Leibnitz product rule,   
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5 -9 9 5
5 -9-1 -9 4
5 -10 4 -5
-5 4 -5
-5 4
-5
5
'( ) x 3 -6x 3 6 x
x 0 6 9 x 3 6x 5x
x 54x 15x 30x
54x 15x 30x
24x 15x
24
24x
x
dd
f x x
dx dx
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(v) Let f (x) = 
a
x
€’’4
(3 – 4
a
x
€’’5
)  
By Leibnitz product rule,   
 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
-4 -5 5 -4
-4 -5-1 -5 4 1
-4 -6 -5 -5
-10 -5 -10
-10 -5
-5 10
'( ) x 3 -4x 3 4 x
x 0 4 5 x 3 4x 4
x 20x 3 4x 4x
20x 12x 16x
36x 12x
12 36
xx
dd
f x x
dx dx
x
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(vi) Let f (x) = 
2
2
1 3 1
x
xx
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f’(x) = 
d
dx
2
2
1 3 1
dx
x dx x
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By quotient rule, 
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22
22
2
22
22
22
22
22
22
1 2 2 1 3 1 3 1
'
1 3 1
3 1 2 3
1 0 2 1
1 3 1
2 6 2 3
1 3 1
2 3 2
1 3 1
32
2
1 3 1
d d d d
x x x x x x
dx dx dx dx
fx
xx
x x x
x
xx
x x x
xx
xx
xx
xx
xx
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Question 10: 
Find the derivative of cos x from first principle. 
Solution 10: 
Let f (x) = cos x. Accordingly, from the first principle, 
? ?
? ? ? ?
0
' lim
h
f x h f x
fx
h
?
??
? 
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 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
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Question 8: 
Find the derivative of  
nn
xa
xa
?
?
for some constant a. 
Solution 8: 
Let f(x) = 
nn
xa
xa
?
?
 
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
2
1
2
1
2
'( )
By quotient rule,
'
0
nn
n n n n
n n n
n n n n
d x a
fx
dx x a
dd
x a x a x a x a
dx dx
fx
xa
x a nx x a
xa
nx anx x a
xa
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?
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Question 9: 
Find the derivative of 
(i) 
3
2
4
x ? (ii) (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1) 
(iii) 
â
x
€’’3
 (5 + 3x) (iv) x5 (3 –6
a
x
€’’9
)  
(v) x–4 (3 – 4x–5) (vi)  
2
2
1 3 1
x
xx
?
??
 
Solution 9: 
(i) Let f(x) = 
3
2
4
x ? 
3
'( ) 2
4
d
f x x
dx
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=
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3
2
4
dd
x
dx dx
??
?
??
??
 
=2-0 
=2 
(ii) Let f (x) = (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1)  
 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
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By Leibnitz product rule, 
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
33
32
32
3 3 2
32
'( ) 5x + 3x-1 1 1 5x + 3x-1
5x + 3x-1 1 1 5.3x + 3-0
5x + 3x-1 1 15 3
5x + 3x-1+15x 3 15 3
20 15 6 4
dd
f x x x
dx dx
x
xx
xx
x x x
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
(iii) Let f (x) =
â
x
€’’3
  (5 + 3x)  
By Leibnitz product rule, 
? ? ? ? ? ?
-3 -3
f'(x)=x 5 + 3x 5 3 x
dd
x
dx dx
?? 
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
-3 -3-1
-3 -4
-3 -4 -3
-3 -4
=x 0 + 3 5 3 3x
x 3 5 3 3x
3x 15x 9x
6x 15x
x
x
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
 
? ?
? ?
-3
-3
4
5
3x 2
3x
25
3
52
x
x
x
x
x
??
? ? ?
??
??
?
??
?
??
 
(iv) Let f (x) = x
5
 (3 – 6
a
x
€’’9
)  
By Leibnitz product rule,   
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
5 -9 9 5
5 -9-1 -9 4
5 -10 4 -5
-5 4 -5
-5 4
-5
5
'( ) x 3 -6x 3 6 x
x 0 6 9 x 3 6x 5x
x 54x 15x 30x
54x 15x 30x
24x 15x
24
24x
x
dd
f x x
dx dx
?
? ? ?
? ? ? ? ?
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? ? ?
??
??
 
(v) Let f (x) = 
a
x
€’’4
(3 – 4
a
x
€’’5
)  
By Leibnitz product rule,   
 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
-4 -5 5 -4
-4 -5-1 -5 4 1
-4 -6 -5 -5
-10 -5 -10
-10 -5
-5 10
'( ) x 3 -4x 3 4 x
x 0 4 5 x 3 4x 4
x 20x 3 4x 4x
20x 12x 16x
36x 12x
12 36
xx
dd
f x x
dx dx
x
?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
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? ? ?
 
(vi) Let f (x) = 
2
2
1 3 1
x
xx
?
??
 
f’(x) = 
d
dx
2
2
1 3 1
dx
x dx x
??
??
?
?? ??
??
??
??
 
By quotient rule, 
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
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22
22
2
22
22
22
22
22
22
1 2 2 1 3 1 3 1
'
1 3 1
3 1 2 3
1 0 2 1
1 3 1
2 6 2 3
1 3 1
2 3 2
1 3 1
32
2
1 3 1
d d d d
x x x x x x
dx dx dx dx
fx
xx
x x x
x
xx
x x x
xx
xx
xx
xx
xx
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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Question 10: 
Find the derivative of cos x from first principle. 
Solution 10: 
Let f (x) = cos x. Accordingly, from the first principle, 
? ?
? ? ? ?
0
' lim
h
f x h f x
fx
h
?
??
? 
 Chapter 12 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
0
0
0
0
00
0
cos cos
lim
cos cosh sin sinh cos
lim
cos 1 cosh sin sinh
lim
cos (1 cosh sin sinh
lim
1 cosh sinh
cos lim sin lim
1 cosh
cos 0 sin 1 lim 0
h
h
h
h
hh
h
x h x
h
x x x
h
xx
h
xx
hh
xx
hh
xx
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sinh
lim 1
sin
'( ) sin
h
and
h
x
f x x
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??
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Question 11: 
Find the derivative of the following functions:  
(i) sin x cos x (ii) sec x (iii) 5 sec x + 4 cos x  
(iv) cosec x (v) 3cot x + 5cosec x  
(vi) 5sin x - 6cos x + 7 (vii) 2tan x - 7sec x 
Solution 11: 
(i) Let f (x) = sin x cos x. Accordingly, from the first principle, 
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
0
0
0
' lim
sin cos sin cos
lim
1
lim 2sin( )cos 2sin cos
2
h
h
h
f x h f x
fx
h
x h x h x x
h
x h x h x x
h
?
?
?
??
?
? ? ?
?
? ? ? ? ??
??
 
? ?
0
0
1
lim sin2 sin2
2
1 2 2 2 2 2h 2
lim 2cos .sin
2 2 2
h
h
x h x
h
x h x x x
h
?
?
? ? ? ??
??
? ? ? ? ??
?
??
??
 
0
1 4 2 2h
lim cos .sin
2 2 2
h
xh
h
?
???
?
??
??
 
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 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
Question 8: 
Find the derivative of  
nn
xa
xa
?
?
for some constant a. 
Solution 8: 
Let f(x) = 
nn
xa
xa
?
?
 
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
2
1
2
1
2
'( )
By quotient rule,
'
0
nn
n n n n
n n n
n n n n
d x a
fx
dx x a
dd
x a x a x a x a
dx dx
fx
xa
x a nx x a
xa
nx anx x a
xa
?
?
?? ?
??
??
?
??
? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
 
 
 
Question 9: 
Find the derivative of 
(i) 
3
2
4
x ? (ii) (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1) 
(iii) 
â
x
€’’3
 (5 + 3x) (iv) x5 (3 –6
a
x
€’’9
)  
(v) x–4 (3 – 4x–5) (vi)  
2
2
1 3 1
x
xx
?
??
 
Solution 9: 
(i) Let f(x) = 
3
2
4
x ? 
3
'( ) 2
4
d
f x x
dx
??
??
??
??
 
=
? ?
3
2
4
dd
x
dx dx
??
?
??
??
 
=2-0 
=2 
(ii) Let f (x) = (5x
3
 + 3x – 1) (x – 1)  
 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
By Leibnitz product rule, 
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
33
32
32
3 3 2
32
'( ) 5x + 3x-1 1 1 5x + 3x-1
5x + 3x-1 1 1 5.3x + 3-0
5x + 3x-1 1 15 3
5x + 3x-1+15x 3 15 3
20 15 6 4
dd
f x x x
dx dx
x
xx
xx
x x x
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
(iii) Let f (x) =
â
x
€’’3
  (5 + 3x)  
By Leibnitz product rule, 
? ? ? ? ? ?
-3 -3
f'(x)=x 5 + 3x 5 3 x
dd
x
dx dx
?? 
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
-3 -3-1
-3 -4
-3 -4 -3
-3 -4
=x 0 + 3 5 3 3x
x 3 5 3 3x
3x 15x 9x
6x 15x
x
x
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
 
? ?
? ?
-3
-3
4
5
3x 2
3x
25
3
52
x
x
x
x
x
??
? ? ?
??
??
?
??
?
??
 
(iv) Let f (x) = x
5
 (3 – 6
a
x
€’’9
)  
By Leibnitz product rule,   
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
5 -9 9 5
5 -9-1 -9 4
5 -10 4 -5
-5 4 -5
-5 4
-5
5
'( ) x 3 -6x 3 6 x
x 0 6 9 x 3 6x 5x
x 54x 15x 30x
54x 15x 30x
24x 15x
24
24x
x
dd
f x x
dx dx
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
 
(v) Let f (x) = 
a
x
€’’4
(3 – 4
a
x
€’’5
)  
By Leibnitz product rule,   
 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
-4 -5 5 -4
-4 -5-1 -5 4 1
-4 -6 -5 -5
-10 -5 -10
-10 -5
-5 10
'( ) x 3 -4x 3 4 x
x 0 4 5 x 3 4x 4
x 20x 3 4x 4x
20x 12x 16x
36x 12x
12 36
xx
dd
f x x
dx dx
x
?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
 
(vi) Let f (x) = 
2
2
1 3 1
x
xx
?
??
 
f’(x) = 
d
dx
2
2
1 3 1
dx
x dx x
??
??
?
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??
??
??
 
By quotient rule, 
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22
22
2
22
22
22
22
22
22
1 2 2 1 3 1 3 1
'
1 3 1
3 1 2 3
1 0 2 1
1 3 1
2 6 2 3
1 3 1
2 3 2
1 3 1
32
2
1 3 1
d d d d
x x x x x x
dx dx dx dx
fx
xx
x x x
x
xx
x x x
xx
xx
xx
xx
xx
? ? ? ?
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??
?
?
??
??
 
 
 
Question 10: 
Find the derivative of cos x from first principle. 
Solution 10: 
Let f (x) = cos x. Accordingly, from the first principle, 
? ?
? ? ? ?
0
' lim
h
f x h f x
fx
h
?
??
? 
 Chapter 12 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
0
0
0
0
00
0
cos cos
lim
cos cosh sin sinh cos
lim
cos 1 cosh sin sinh
lim
cos (1 cosh sin sinh
lim
1 cosh sinh
cos lim sin lim
1 cosh
cos 0 sin 1 lim 0
h
h
h
h
hh
h
x h x
h
x x x
h
xx
h
xx
hh
xx
hh
xx
h
?
?
?
?
??
?
??
?
?? ??
?
??
??
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?
??
??
????
??
??
??
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
0
sinh
lim 1
sin
'( ) sin
h
and
h
x
f x x
?
??
?
??
??
??
? ? ?
 
 
 
Question 11: 
Find the derivative of the following functions:  
(i) sin x cos x (ii) sec x (iii) 5 sec x + 4 cos x  
(iv) cosec x (v) 3cot x + 5cosec x  
(vi) 5sin x - 6cos x + 7 (vii) 2tan x - 7sec x 
Solution 11: 
(i) Let f (x) = sin x cos x. Accordingly, from the first principle, 
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
0
0
0
' lim
sin cos sin cos
lim
1
lim 2sin( )cos 2sin cos
2
h
h
h
f x h f x
fx
h
x h x h x x
h
x h x h x x
h
?
?
?
??
?
? ? ?
?
? ? ? ? ??
??
 
? ?
0
0
1
lim sin2 sin2
2
1 2 2 2 2 2h 2
lim 2cos .sin
2 2 2
h
h
x h x
h
x h x x x
h
?
?
? ? ? ??
??
? ? ? ? ??
?
??
??
 
0
1 4 2 2h
lim cos .sin
2 2 2
h
xh
h
?
???
?
??
??
 
 Chapter 2 1 – Limits and Derivatives   Maths 
______________________________________________________________________________ 
 
? ?
? ?
? ?
0
00
1
lim cos 2 sinh
2
sinh
limcos 2 .lim
cos 2 0 .1
cos2
h
hh
xh
h
xh
h
x
x
?
??
?? ??
??
??
??
?
 
(ii) Let f (x) = sec x. Accordingly, from the first principle, 
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
0
0
0
0
0
0
' lim
sec sec
lim
1 1 1
lim
cos( ) cos
cos cos
1
lim
cos cos
2sin sin
11 22
.lim
cos cos( )
2
2sin
11 2
.lim
cos
h
h
h
h
h
h
f x h f x
fx
h
x h x
h
h x h x
x x h
h x x h
x x h x x h
x h x h
xh
xh
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
??
??
?
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?? ??
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
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??
? ? ? ?
?? ?
?
??
??
??
? ??
?
?
??
?
0
00
sin
2
cos( )
sin
2 2
sin
2
2 11
.lim
cos 2 cos( )
2
sin sin
1 22
.lim .lim
cos cos( )
2
1 sin
.1.
cos cos
sec tan
h
hh
h
xh
h
xh
h
x h x h
h x h
h x x h
x
xx
xx
?
??
?? ??
?
? ? ?
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? ? ? ? ?
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? ? ? ?
?
? ??
??
??
?
?
 
(iii) Let f (x) = 5 sec x + 4 cos x. Accordingly, from the first principle, 
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FAQs on NCERT Solutions Class 11 Maths Chapter 12 - Limits and Derivatives

1. What is the basic definition of a limit in calculus?
Ans. The basic definition of a limit in calculus is the value that a function approaches as the input value approaches a certain point or infinity.
2. How can limits be used to find the derivative of a function?
Ans. Limits are used in calculus to find the derivative of a function by taking the limit of the difference quotient as the interval approaches zero.
3. What is the significance of derivatives in calculus?
Ans. Derivatives in calculus represent the rate of change of a function at a given point, providing information about the slope of the function and its behavior.
4. How can one determine if a function is continuous at a certain point using limits and derivatives?
Ans. A function is continuous at a certain point if the limit of the function as it approaches that point is equal to the function value at that point, and the derivative exists at that point.
5. Can limits and derivatives be used to solve real-world problems?
Ans. Yes, limits and derivatives are frequently used in solving real-world problems involving rates of change, optimization, and motion. These concepts are essential in various fields such as physics, engineering, and economics.
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