महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 2 बहुपद (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

गणित कक्षा 10

Class 10 : महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 2 बहुपद (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

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बहुपद

प्रश्नावली 2.1

प्रश्न1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |

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उत्तर(i):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0; (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है )

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उत्तर(ii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1; (क्योंकि ग्राफ x अक्ष को 1 बार काटती है )

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उत्तर (iii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

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उत्तर (iv):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2;

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उत्तर (v):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4;

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उत्तर (vi):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

प्रश्नावली 2.2

प्रश्न1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |

(i) x2 – 2x – 8

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a = 1, b = – 2, और c = – 8

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प्रश्नावली 2.3

प्रश्न1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2

(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x

(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2

हल : (i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2

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भागफल प्रश्न(x) = x - 3 और शेषफल = 7x - 9 है |

हल : (ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x

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भागफल प्रश्न(x) = x2 + x - 3 और शेषफल = 8 है |

हल : (iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2

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भागफल प्रश्न(x) = - x2 - 2 और शेषफल = - 5x + 10 है |

प्रश्न2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :

(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12

(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

हल : (i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12

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चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

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चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का एक गुणनखंड है |

हल : (iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

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चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |

अत: x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है |

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हल :

दिया है : p(x) = 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5

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अब 3x2 - 5 से 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5 में भाग देने पर

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अत: p(x) = (3x2 - 5) (x2 + 2x + 1)

अब, x2 + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर -

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प्रश्न4. यदि x3 - 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x - 2 और - 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।

हल :

दिया है : भाज्य p(x) = x3 - 3x2 + x + 2

भागफल प्रश्न(x) = x - 2,

शेषफल r(x) = - 2x + 4

भाजक g(x) = ?

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

p(x) = g(x) × प्रश्न(x) + r(x)

x3 - 3x2 + x + 2 = g(x) (x - 2) + (- 2x + 4)

x3 - 3x2 + x + 2 + 2x - 4 = g(x) (x - 2)

g(x) (x - 2) = x3 - 3x2 + 3x - 2

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अत: भाजक g(x) = x2 - x + 1 है |

प्रश्न5. बहुपदों p(x), g(x), प्रश्न(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा

(i) घात p(x) = घात प्रश्न(x) हो

(ii) घात प्रश्न(x) = घात r(x) हो

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल :

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से

p(x) = g(x) × प्रश्न(x) + r(x) जहाँ प्रश्न(x) ¹ 0 हो

(i) घात p(x) = घात प्रश्न(x) हो

भाज्य p(x) और भागफल प्रश्न(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो |

उदाहरण : माना p(x) = 2x2 - 6x + 3

और माना g(x) = 2

भाग देने पर

p(x) = 2x2 - 6x + 2 + 1

= 2(x2 - 3x + 1) + 1

अब 2(x2 - 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × प्रश्न(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :

अत: प्रश्न(x) = x2 - 3x + 1 और r(x) = 1

इससे घात p(x) = घात प्रश्न(x) प्राप्त होता है |

(ii) घात प्रश्न(x) = घात r(x) हो

हल : यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे -

माना p(x) = 2x2 + 6x + 7 और g(x) = x2 + 3x + 2

भाग देने पर : प्रश्न(x) = 2 और r(x) = 3

अत: घात प्रश्न(x) = घात r(x) है |

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल : r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :

माना p(x) = x2 - 1 और g(x) = x + 1

विभाजित करने पर

प्रश्न(x) = x - 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है |

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प्रश्न2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं :

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प्रश्नावली 2.4

प्रश्न1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:

(i) 2x3 + x2 - 5x + 2; α = ½, β = 1 और γ = – 2;

हल :

दिया है : शुन्यक α = ½, β = 1 और γ = – 2 है |

और गुणांक a = 2, b = 1, c = - 5 और d = 2

शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच :

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