महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 4 द्विघात समीकरण (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

गणित कक्षा 10

Class 10 : महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 4 द्विघात समीकरण (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

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द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.1 

प्रश्न1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है: 

(i) (x + 1)2 = 2(x - 3)

हल :

(x + 1)2 = 2(x - 3)

⇒ x2 + 2x + 1 = 2x - 6 

⇒ x2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0

⇒ x2 + 7 = 0 

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(ii) x2 - 2x = (-2) (3 - x)

हल :

x2 - 2x = - 6 + 2x 

⇒ x2 - 2x - 2x + 6 = 0

⇒ x2 - 4x + 6 = 0 

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = - 4 और c = 6 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(iii) (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)

हल :  (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)

⇒ x2 + x - 2x -2  = x2 + 3x - x - 3

​⇒ x2 - x2+ x + x - 2x + 3x -2 + 3 = 0

​⇒ 2x - x - 1  = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(iv) (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)  

हल : (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)  

 ⇒ 2x+ x - 6x - 3= x+ 5x

⇒ 2x- 5x - 3= x+ 5x

⇒  2x- x- 5x - 5x - 3  =  0

⇒  x- 10x - 3  =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 1, b = - 10 और c = - 3 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(v) (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)

हल :  (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1) 

⇒ (2x - 1) (2x - 6 ) = (x + 5) (x - 1) 

⇒ 4x- 12x - 2x + 6 = x+ 4x - 5 

⇒ 4x- 14x + 6 = x2 - x + 4x - 5 

⇒ 4x- x- 14x - 4x + 6 + 5 = 0

⇒  3x- 18x + 11  =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 3, b = - 18 और c = 11 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)

हल : x2 + 3x + 1 = (x - 2)2 

⇒  x2 + 3x + 1 = x- 2x +4

⇒x- x+ 4x + 3x + 1 - 4 = 0

⇒ 7x - 3 =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 - 1) 

हल :(x + 2)3 = 2x( x- 1) 

⇒ x+ 8 + 6 + 12x = 2x- 2x

⇒ 2x- x3 - 6-12x + 2x  - 8 = 0

⇒  x3 - 6x-10x - 8 =0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3  

हल : x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3  

⇒x3 - 4x2 - x + 1  = x- 8 + 6x+ 12x

⇒ x- x3 -  4x2 + 6x-12x + 1 = 0

⇒  2x-13x + 1 = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर 

a = 2, b = - 13 और c = 1 प्राप्त होता है 

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |


प्रश्न2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 mहै | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |

हल :   एक  आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2

 माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m

 आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2x + 1 m 

 आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2

लंबाई x चौड़ाई = 528 

(2x + 1)x = 528 

2x2 + x = 528 

2x2 + x - 528 = 0

2x2 + 33x - 32x - 528 = 0

x(2x + 33) - 16(2x + 33 ) = 0

(2x + 33) (x - 16) = 0

2x + 33 = 0 तथा x - 16 = 0

2x = - 33 तथा x = 16

x = - 33/2 तथा x = 16

चूँकि  

आयताकार भूखंड की चौड़ाई = X m

= 16 m 

आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2X+ 1 m

 = 2 x 16 + 1 m

 = 32 + 1 m

 = 33m   

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306 

 माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306 

पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306   

(x + 1)x    = 306

x2 + x = 306 

x2 + x - 306 = 0

2x2 + 18x - 17x - 306 = 0

x(x + ) - 17(x + 18 ) = 0

(x + 18) (x - 17) = 0

x + 18 = 0 तथा x - 17 = 0

x = - 18 तथा x = 17

चूँकि  

पहला धनात्मक पूर्णाक = x

= 17

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1 

 = 17 + 1

= 18

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |

हल : माना रोहन की वर्तमान आयु  = x

रोहन की माँ की आयु  = x + 26

तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु  = x + 3  

तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु   = x + 26 + 3

= x + 29

 दोनो की आयु का गुणनफल = 306 

(x + 29)(x + 3) = 306   

x2 + 29x + 3x + 87 = 306 

x2 + 32x + 87 = 306 

x2 + 32x = 273

x2 + 32x - 273 = 0

x+ 39x - 7x - 273 = 0

x+ 39x - 7x - 273 =0 

x(x + 39) - 7(x + 39) = 0

(x + 39) (x - 7) = 0

x + 39 = 0 तथा x - 7 = 0

x = - 39 तथा x = 7

चूँकि 

रोहन की वर्तमान आयु  = 7 वर्ष

रोहन की माँ की आयु  =  x + 26 

=  7 + 26

= 33 वर्ष 

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|

हल : 

माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |

दुरी = 480 km

प्रश्नावली 4.2 

प्रश्न1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :  

(i) x- 3x - 10 = 0

हल : x- 3x - 10 = 0

x- 5x + 3x - 10 = 0

 x(x - 5) + 2(x - 5) = 0

(x - 5)(x + 2)  = 0 

x - 5 = 0 तथा x + 2 = 0

x = 5 तथा x = - 2

(ii) 2x​+ x - 6 = 0

हल :  2x​+ x - 6 = 0

2x2 + 4x - 3x - 6 = 0

x(x + 2 ) - 3(x + 2) = 0

(x + 2) (x - 3) = 0

x + 2= 0 तथा x - 3 = 0

x = - 2 तथा x = 3

(iii)√2x2 + 7x + 5√2 = 0

हल : √2x2 + 7x + 5√2 = 0

√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0

x(√2x +  5) - √2(√2x + 5) = 0

(√2x +  5) (x - √2) = 0

√2 x +  5 = 0 तथा x - √2 = 0

√2x = - 5 तथा x = √2 

x = - 5 /√2 तथा x = √2 

(iv) 2x- x + 1/8 = 0 

हल :  2x​- x + 1/8 = 0

 2x​- x + 1/8 = 0

(v) 100x- 20x + 1 = 0 

हल :   100x- 20x + 1 =  0 

100x- 10x - 10x + 1 =  0 

x(10x - 1) -1(10x - 1) = 0

(x - 1)(10x - 1) = 0

10x - 1 = 0 तथा 10x - 1 = 0

10x = 1 तथा 10x = 1

x = 1/10तथा x = 1/10

प्रश्न2. उदहारण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|

1. जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनपफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।

हल :  जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45  

माना जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 - x

कुल कंचों पाँच-पाँच कंचे खो जाने के बाद :-

जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x - 5

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 - x - 5

= 40 - x

शेष कंचों की संख्या का गुणनपफल है = 124

(x - 5)(40 - x) = 306 124

40x - x- 200 + 5x = 124 

- x​+ 40x + 5x - 200 - 124 = 0

- x​+ 45x - 324 = 0

x​- 45x + 324 = 0

x​- 36x - 9x + 324 = 0

x(x - 36 ) - 9(x - 36) = 0

(x - 36)(x - 9) = 0

x - 36 = 0 तथा x - 9 = 0

x = 36 तथा x = 9

चूँकि x के दो मान है इसलिए   

प्रश्न 2. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निखमत करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ( रुपयों में ) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रु थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

हल : माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x 

 उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनो&##2306; का लागत =  55 - x रुपय

उस दिन कुल निर्माण लागत = 750

x(55 - x) = 750

55x - x2 = 750

- x​+ 55x - 750 = 0

 x​- 55x + 750 = 0

x​- 30x - 25x + 750 = 0

x(x - 30 ) - 25(x - 30) = 0

(x - 30)(x - 25) = 0

x - 30 = 0 तथा x - 25 = 0

x = 30 तथा x = 25

माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x

= 25 

उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 - x 

 =  55 - 25

 = 30 रूपय 

प्रश्न3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |

हल : संख्याओं का योग = 27  

संख्याओं का गुणनफल = 182

माना पहली संख्या = x 

दूसरी संख्या = x + 1 

दोनों संख्या का गुणनफल = 182

x(27 - x) = 182

27x - x2 = 182

- x​+ 27x - 182= 0

 x​- 27x + 182 = 0

x​- 14x - 13x + 182 = 0

x(x - 14 ) - 13(x - 14) = 0

(x - 14)(x - 13) = 0

x - 14 = 0 तथा x - 13 = 0

x = 14 तथा x =13

पहली संख्या = x

= 13

दूसरी संख्या = x + 1 

= 13 + 1

= 14

प्रश्न4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306 

 माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग  =  365

(x)2 + (x + 1)2    = 365

x2 + x+ 2x + 1 = 365

2x2  + 2x + 1 = 365

2x2 + 2x + 1 - 365 = 0

2x2 + 2x + 1 - 365 = 0

2x2 + 2x - 364 = 0

2(x2 + x - 182) = 0

x2 + x - 182 = 0/2

x2 + x - 182 = 0

x2 + 14x - 13x - 182 = 0

x(x + 14) - 13(x + 14) = 0

(x + 14) (x - 13) = 0

x + 14 = 0 तथा x&nbnbsp;- 13 = 0

x = - 14 तथा x = 13

चूँकि  

पहला धनात्मक पूर्णाक = x

= 13

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1 

 = 13 + 1

= 14

प्रश्न5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7cm 

समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm 

पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)2 = (ऊँचाई)2 + (आधार)2

AC2 = AB2 + BC)2

(13)2 = (x - 7)2 + (x)2

169 = x2 - 14x + 49 + x2

169 - 49= 2x2 - 14x  

120 = 2(x2 - 7x)

x2 - 7x = 2/120

x2 - 7x - 60 = 0 

x2 - 12x + 5x - 60 = 0

x(x - 12) + 5(x - 12) = 0

(x - 12) (x + 5) = 0

x - 12 = 0 तथा x + 5 = 0

x = 12 तथा x = - 5 

चूँकि  

समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

= 12 cm

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x - 7 cm

  = 12 - 7

  = 5 cm

प्रश्न6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |

हल : माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x 

 प्रत्येक नाग की नि#2352;्माण लागत =  2x + 3

उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये

x(2x + 3) = 90

2x+ 3x = 9

2x+ 3x - 90 = 0 

2x​+ 15x - 12x - 90 = 0

x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0

(2x + 15)(x - 6) = 0

2x + 15 = 0 तथा x - 6 = 0

x = - 15 तथा x = 6

माना उस दिन निर्मित बर्तनों  की संख्या = x

= 6 

उ स दिन प्रत्येक निर्मित बर्तनों का लागत = 2x + 3

 =  2 x 6 + 3

 = 12 + 3 

 = 15 रूपये

प्रश्नावली 4.3

प्रश्न1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए |

(i)  2x2 - 7x + 3 = 0 

(ii)  2x2 + x - 4 = 0 

 (iii) 4x2 +4 3x + 3 = 0

 (iv) 2x2 + x + 4 = 0 

हल : 2x- 7x + 3 = 0

a = 2, b = -7 और c = 3

D = b- 4ac

D = (7)- 4x2x3

D = 49 - 24

D = 25 

b- 4ac > 0 अर्थात D > 0 अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

2x- 7x + 3 = 0 

दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर 

8(2x- 7x + 3 = 0) 

16x- 56x + 24 = 0 

( (4x)- 2.4x.7 + (7)) - (7)2 + 24 = 0   ( a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 )

(4x - 7)- 49 + 24 = 0 

(4x - 7)- 25 = 0

(4x - 7)= 25

4x - 7 = 25

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हल : (ii)  2x+ x - 4 = 0 

a = 2, b = 1 और c = -4

D = b- 4ac

D = (1)- 4x2x(-3)

D = 1 + 24

D = 25 

b- 4ac > 0 

अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x+ x - 4 = 0 

दो से भाग देने पर 

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अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x+ x - 4 = 0 

दो से भाग देने पर 

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हल : (iv) 2x2 + x + 4 = 0 

a = 2, b = 1, c = 4

D = b- 4ac

D = (1)- 4 × 2 × 4

D = 1 - 32

D = -31 

b- 4ac < 0 अर्थात D < 0

अत: इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है |

प्रश्न2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात  कीजिए |

हल : प्रश्न 1 में वे प्रश्न जिनका मूलों का अस्तित्व है -

(i)  2x2 - 7x + 3 = 0 

(ii)  2x2 + x - 4 = 0 

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हल : (i)  2x2 - 7x + 3 = 0 

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = - 7, c = 3 

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हल : (ii)  2x2 + x - 4 = 0 

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = 1, c = - 4

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प्रश्न3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

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द्विघाती सूत्र से -

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हल : माना रहमान की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

तो प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x - 3 वर्ष 

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=> x2 + 2x - 15 = 3(2x + 2)

=> x2 + 2x - 15 = 6x + 6

=> x2 + 2x - 6x - 15 - 6 = 0

=> x2 - 4x - 21 = 0

=> x2 - 7x + 3x - 21 = 0

=> x(x - 7) + 3(x - 7) = 0

=> (x - 7) (x + 3) = 0

=> x - 7 = 0, x + 3 = 0

=> x = 7 और x = - 3

अत: वर्त्तमान आयु धनात्मक संख्या 7 लेंगे | अत: रहमान की वर्त्तमान आयु 7 वर्ष है | 

प्रश्न5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है | यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता | उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए |

हल : माना गणित में प्राप्त अंक x है |

इसलिए, अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - x

प्रश्नानुसार, (x + 2) (30 - x - 3) = 210

या   (x + 2) (27 - x) = 210

या   27x - x2 + 54 - 2x = 210

या   25x - x2 + 54 = 210

या   x2 - 25x + 210 - 54 = 0

या   x2 - 25x + 156 = 0

या   x2 - 12x - 13x + 156 = 0

या   x(x - 12) - 13(x - 12) = 0

या   (x - 12) (x - 13) = 0

या   x - 12 = 0, x - 13 = 0

या   x = 12 अथवा x = 13

अब यदि x = 12 तो गणित में प्राप्त अंक = 12 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 12 = 18

और यदि x = 13 तो गणित में प्राप्त अंक = 13 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 - 13 = 17 

प्रश्न6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है | यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

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हल : माना सबसे छोटी भुजा = x m

तो बड़ी भुज#2366; = x + 30 m और

विकर्ण = x + 60 m

प्रश्नानुसार,

चूँकि ABCD एक आयत है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है इसलिए ABC में,

पैथागोरस प्रमेय के प्रयोग से -

    AC2 = AB2 + BC2

=> (x + 60)2 = (x)2 + (x + 30)2

=> x2 + 120x + 3600 = x2 + x2 + 60x + 900

=> x2 + 120x + 3600 = 2x2 + 60x + 900

=> 2x2 - x2 + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0

=> x2 - 60x - 2700 = 0

=> x2 - 90x + 30x - 2700 = 0

=> x(x - 90) + 30(x - 90) = 0

=> (x - 90) (x + 30) = 0

=> x - 90 = 0, x + 30 = 0

=> x = 90 और x = - 30

चूँकि आयता की लंबाई धनात्मक होती है इसलिए x = 90 ऋणात्मक नहीं होती

अत: छोटी भुजा = 90 m

तो बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 m

और विकर्ण = 90 + 60 = 150 m  

प्रश्न7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है | छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है | दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना बड़ी संख्या = x

तो छोटी संख्या का वर्ग = 8x

प्रश्नानुसार,

बड़ी संख्या का वर्ग - छोटी संख्या का वर्ग = 180

   x2 - 8x = 180

या  x2 - 8x - 180 = 0

=>  x2 - 18x + 10x - 180 = 0

=> x(x - 18) + 10(x - 18) = 0

=> (x - 18) (x + 10) = 0

=> x - 18 = 0, x + 10 = 0

=> x = 18 और x = -10

अत: बड़ी संख्या 18 है, x = - 10 नहीं लिया जा सकता |

अब (छोटी संख्या)2 = 8 × 18 = 144

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प्रश्न8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है | यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती | रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना रेलगाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तय दुरी = 360 km 

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चाल बढ़ने से समय घट जाता है चाल घटा देने से लिया गया समय बढ़ जाता है | 

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चूँकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए चाल = 40 km/h

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हल : माना छोटा नल, टंकी को अकेले x घंटे में भरता है |

तो बड़ा ब्यास वाला नल टंकी भरेगा = x - 10 घंटे में 

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(x = 30/8 संभव नहीं है क्योंकि यह 10 घंटा से भी कम है )

अत: छोटा ब्यास वाला नल अकेला भरेगा - 25 घंटे में

तो बड़ा व्यास वाला नल भरेगा 25 - 10 = 15 घंटे में    

प्रश्न10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए )| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना सवारी गाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तो एक्सप्रेस गाड़ी की समान्य चाल = x + 11 km/h

मैसूर और बैंगलोर की बीच की दुरी = 132 km 

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- 44 एक रेलगाड़ी की चाल नहीं हो सकता इसलिए x = 33 लेंगे

अत: सवारी गाड़ी की चाल = 33 km/h और

एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = 33 + 11 = 44 km/h

प्रश्न11  दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2  है | यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

हल : माना एक वर्ग की एक भुजा = x m और दुसरे वर्ग की भुजा = y m

पहला का परिमाप = 4x m और दुसरे का परिमाप = 4y m

प्रश्नानुसार, स्थित I

4x - 4y = 24 
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 x = 18, x = - 12 (वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए x = -12 नहीं ले सकते हैं )

पहले वर्ग की भुजा = 18 m तो दुसरे की भुजा = 18 - 6 = 12 m 

प्रश्नावली 4.4

प्रश्न1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए | यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :

(i)  2x- 3x + 5 = 0 

(ii) 3x​ - 4√3x + 4 = 0 

(iii) 2x2 + 6x + 3 = 0  

{नोट - मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विवितकर (Discriminant) अर्थात D = b2 - 4ac ज्ञात करेंगे | 

यदि D का मान 0 है (D = 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और समान मूल होंगे, और D का मान 0 से अधिक अर्थात धनात्मक है (D > 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और असमान मूल होगा और यदि D का मान 0 से कम है अर्थात ऋणात्मक है (D < 0) तो मूल का कोई अस्तित्व नहीं होगा अर्थातकोई मूल नहीं होगा |}

हल : (i)  2x- 3x + 5 = 0 

a = 2, b = -3 और c = 5

D = b- 4ac

  = (-3)2 - 4 × 2 × 5

  = 9 - 40 

  = -31 

चूँकि D का ऋणात्मक मान यह बताता है कि D < 0 से अत: द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है | 

हल : (ii) 3x​ - 4√3x + 4 = 0 

​a = 3, b = - 4√3 और c = 4 

D = b2 - 4ac

  = (-4√3)2 - 4 × 3 × 4

  = 48 - 48

  = 0 

चूँकि D = 0 है अत: इसके दो वास्तविक एवं समान मूल होंगे |

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हल : (iii) 2x2 + 6x + 3 = 0  

a = 2, b = 6 और c = 3

D = b2 - 4ac

  = (6)2 - 4 × 2 × 3

  = 36 - 24

  = 12

चूँकि D > 0 से अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

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प्रश्न2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों |

(i) 2x+ kx + 3 = 0 

(ii) kx (x - 2 ) + 6 = 0

हल : (i) 2x+ kx + 3 = 0 

a = 2, b = k और c = 3

चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात 

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हल : (ii) kx (x - 2 ) + 6 = 0

=> kx2 - 2kx + 6 = 0

a = k, b = - 2k, c = 6

चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात 

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प्रश्न3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 mहो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : माना आम की बगिया की चौड़ाई = x m

                        तो लंबाई = 2x m

अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

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अत: चौड़ाई = 20 m और

लंबाई = 2x = 2 × 20 = 40 m

हाँ, ऐसी आम की बगिया संभव है | 

प्रश्न4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए | दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था |

हल : माना एक मित्र की वर्त्तमान आयु = x वर्ष

तो दुसरे मित्र की वर्त्तमान आयु = 20 - x वर्ष

4 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल =

=>    (x - 4) (20 - x - 4) = 48

=>    (x - 4) (16 - x) = 48

=>    16x - x2 - 64 + 4x = 48

=>    20x - x2 - 64 - 48 = 0

=>    20x - x2 - 112 = 0

=>    x2 - 20x + 112 = 0

इस समीकरण के मूल का अस्तित्व है या नहीं यह जाँच करेंगे |

a = 1, b = - 20 और c = 112 

D = b2 - 4ac

  = (-20)2 - 4(1)(112) 

  = 400 - 448

  = - 48

चूँकि D < 0 है इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है अत: यह संभव नहीं है |  

प्रश्न5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400mके एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो  उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : माना पार्क का लंबाई = x m

और चौड़ाई = y m

तो, 2(लंबाई + चौड़ाई) = परिमाप

    2(x + y) = 80 m

x + y = 40 m

    y = 40 - x m

अत: चौड़ाई = 40 - x m

अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

    x(40 - x) = 400

=> 40x - x2 = 400

=>  x2 - 40x + 400 = 0

=>  x2 - 20x - 20x + 400 = 0

=>  x(x - 20) - 20(x - 20) = 0

=>  (x - 20) (x -20) = 0

=>  x - 20 = 0, x - 20 = 0

=>  x = 20 और x = 20

अत: पार्क की लंबाई = 20 मीटर तो चौड़ाई = 40 - 20 = 20 मीटर         

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