महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 5 समांतर श्रेढियाँ (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

गणित कक्षा 10

Class 10 : महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 5 समांतर श्रेढियाँ (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

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समान्तर श्रेढ़ी
प्रश्नावली 5.1

प्रश्न1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?

(1) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15 रुo है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 रुo है |

उत्तर:

प्रथम किलोमीटर का किराया = 15 रुपये |

अतिरिक्त किलोमीटर का किराया = 8 रुपये

श्रृंखला : 15, 23, 31, 39 ................................

जाँच:

a = 15

d1 = a2 - a1

= 23 - 15 = 8

d2 = a3 - a2

= 31 - 23 = 8

d3 = a4 - a3

= 39 - 31 = 8

चूँकि सभी अंतरों का अंतर सामान है अर्थात सार्वअंतर = 8 है |

इसलिए दिया गया सूची A. P है |

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है |

उत्तर

माना बेलन में हवा की मात्रा 1 है |

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(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रुo है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 रुo बढ़ती जाती है |

उत्तर

प्रथम &##2350;ीटर का लागत = 150,

दुसरे मीटर खुदाई की लागत = 150 + 50 = 200

तीसरे मीटर खुदाई की लागत = 200 + 50 = 250

श्रृंखला : 150, 200, 250, 300 ...........................

जाँच:

a = 150

d1 = a2 - a1

= 200 - 150 = 50

d2 = a3 - a2

= 250 - 200 = 50

d3 = a4 - a3

= 300 - 250 = 50

सार्व अंतर = 50

यहाँ सार्व अंतर समान है इसलिए यह श्रृंखला A.P है |

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रुo की राशि 8 % वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है |

उत्तर

पहले वर्ष की राशि = 10000

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तीसरे वर्ष की राशि = 11664

श्रृंखला: 10000, 10800, 11664 .....................

स्पष्ट है कि इस श्रृंखला का सार्व अंतर समान नहीं है अत: A.P नहीं है |

प्रश्न2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :

(i) a = 10, d = 10

उत्तर

a = 10

a2 = a + d ⇒ 10 + 10 = 20

a3 = a + 2d ⇒ 10 + 2 × 10 = 30

a4 = a + 3d ⇒ 10 + 3 × 10 = 40

श्रृंखला: 10, 20, 30, 40 ......................

प्रथम चार पद : 10, 20, 30 और 40

(ii) a = –2, d = 0

उत्तर

a = –2

a2 = a + d ⇒ –2 + 0 = –2

a3 = a + 2d ⇒ –2 + 2 × 0 = –2

a4 = a + 3d ⇒ –2 + 3 × 0 = –2

श्रृंखला: –2, –2, –2, –2 ......................

प्रथम चार पद : –2, –2, –2 और –2

(iii) a = 4, d = – 3

उत्तर

a = 4

a2 = a + d ⇒ 4 + – 3 = 1

a3 = a + 2d ⇒ 4 + 2 × – 3 = –2

a4 = a + 3d ⇒ 4 + 3 × – 3 = –5

श्रृंखला: 4, 1, – 3, –5 ......................

प्रथम चार पद : 4, 1, – 3 और –5

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(v) a = – 1.25, d = – 0.25

उत्तर

a = – 1.25

a2 = a + d ⇒ – 1.25 + – 0.25 = - 1.5

a3 = a + 2d ⇒ – 1.25 + 2 × – 0.25 = –1.75

a4 = a + 3d ⇒ – 1.25 + 3 × – 0.25 = –2

श्रृंखला: – 1.25, - 1.5, –1.75, –2 ......................

प्रथम चार पद : – 1.25, - 1.5, –1.75 और –2

प्रश्न4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |

(i) 3, 1, – 1, – 3, . . .

उत्तर

d1 = a2 - a1

= 1 - 3 = - 2

d2 = a3 - a2

= -1 - (1) = - 2

d3 = a4 - a3

= -3 - (-1) = -3 + 1 = - 2

सार्व अंतर = - 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगë#2354;े तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = 3 + 4×(- 2) = 3 - 8 = - 5

a6 = a + 4d = 3 + 5×(- 2) = 3 - 10 = - 7

a7 = a + 4d = 3 + 6×(- 2) = 3 - 12 = - 9

- 5, - 7, - 9
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(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, . . .

उत्तर

a = – 1.2

d1 = a2 - a1

= –3.2 – (–1.2 )

= – 3.2 + 1.2 = – 2

d2 = a3 - a2

= –5.2 – (–3.2 )

= – 5.2 + 3.2 = – 2

d3 = a4 - a3

= –7.2 – (–5.2 )

= – 7.2 + 5.2 = – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = – 1.2 + 4×(- 2) = – 1.2 - 8 = – 9.2

a6 = a + 4d = – 1.2 + 5×(- 2) = – 1.2 - 10 = – 11.2

a7 = a + 4d = – 1.2 + 6×(- 2) = – 1.2 - 12 = – 13.2

⇒ – 9.2, – 11.2, – 13.2

(iv) – 10, – 6, – 2, 2, . . .

उत्तर

a = – 10

d1 = a2 - a1

= –6 – (–10 )

= – 6 + 10 = 4

d2 = a3 - a2

= –2 – (–6 )

= – 2 + 6 = 4

d3 = a4 - a3

= 2 – (–2 )

= 2 + 2 = 4

सार्व अंतर = 4

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = – 10 + 4×(4) = – 10 + 16 = 6

a6 = a + 4d = – 10 + 5×(4) = – 10 + 20 = 10

a7 = a + 4d = – 10 + 6×(4) = – 10 + 24 = 14

⇒ 6, 10, 14

प्रश्नावली 5.2

प्रश्न1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है:

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उत्तर

(i) a = 7, d = 3, n = 8 an = ?

an = a + (n - 1)d

a8 = 7 + (8 - 1)3

= 7 + 7 ×3 = 7 + 21

= 28

(ii) a = - 18, n = 10, an = 0, d = ?,

an = a + (n - 1)d

a10 = - 18 + (10 - 1)d

0 = -18 + 9d

9d = 18

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(iii) d = -3, n = 18, an = -5, a = ?

an = a + (n - 1)d

a18 = a + (18 - 1)d

-5 = a + 17(- 3)

-5 + 51 = a

a = 46

(iv) a = - 18.9, d = 2.5, an = 3.6 n = ?

an = a + (n - 1)d

3.6 = - 18.9 + (n - 1)2.5

3.6 + 18.9 = (n - 1)2.5

(n - 1)2.5 = 22.5

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(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, an = ?

an = a + (n - 1)d

= 3.5 + (105 - 1)0

= 3.5 + 0

= 3.5

प्रश्न2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

(i) A.P: 10, 7, 4, ...................... का 30 वाँ पद है:

(A) 97 (B) 77 (C) –77 (D) – 87

उत्तर

a = 10, d = 7 - 10 = -3

30 वाँ पद = ?

a30 = a + 29d

= 10 + 29(-3)

= 10 - 87

= - 77

Correct Answer: (C) - 77

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Correct Answer: (B) 22

प्रश्न3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |

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(i) a = 2, b = ?, c = 26

उत्तर

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उत्तर (ii) a2 = 13,

∴ a + d = 13 ................ (1)

a4 = 3

∴ a + 3d = 3 .................(2)

समीo (2) में #2360;े (1) घटाने पर

a + 3d - (a + d) = 3 - 13

a + 3d - a - d = -10

2d = - 10

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d = -5

d का मान समीo (1) में रखने पर

a + d = 13

a + (- 5) = 13

a = 13 + 5

a = 18

a3 = a + 2d = 18 + 2 (-5)

= 18 - 10 = 8

अत: 18, 13, 8, 3

प्रश्न4. A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?

उत्तर

a = 3, d = 8 - 3 = 5, an = 78

an = a + (n - 1) d

78 = 3 + (n - 1) 5

78 - 3 = (n - 1) 5

75 = (n - 1) 5

n - 1 = 75/5

n - 1 = 15

n = 15 + 1

n = 16

अत: 16 वाँ पद 78 है |

प्रश्न5. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?

(i) 7, 13, 19, ................. , 205

उत्तर

a = 7, d = 13 - 7 = 6, an = 205

an = a + (n - 1) d

205 = 7 + (n - 1) 6

205 - 7 = (n - 1) 6

198 = (n - 1) 6

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n - 1 = 33

n = 33 + 1

n = 34

इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं |

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इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं |

प्रश्न6. क्या A.P., 11, 8, 5, 2 . . . का एक पद - 150 है ? क्यों ?

उत्तर

a = 11, d = 8 - 11 = - 3 और an = - 150

an = a + (n - 1) d

- 150 = 11 + (n - 1) - 3

- 150 - 11 = (n - 1) -3

- 161 = (n - 1) - 3

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n - 1 = 53. 66

n = 53.66 + 1

n = 54.66

यहाँ n एक भिन्नात्मक संख्या है जो n के लिए संभव नहीं है

इसलिए - 150 दिए गए A.P का पद नहीं है |

प्रश्न7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

उत्तर

31वाँ पद = ?

a11 = 38

⇒a + 10d = 38 ..................... (1)

a16 = 73

⇒ a + 15d = 73 ..................... (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 15d - (a + 10d ) = 73 - 38

a + 15d - a - 10d = 35

5d = 35

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d = 7

समीo (1) में d का मान 7 रखने पर

a + 10d = 38

a = 10 (7) = 38

a = 38 - 70

a = - 32

अब, a31 = a + 30d

⇒ a31 = - 32 + 30(7)

⇒ a31 = - 32 + 210

⇒ a31 = 178

अत: 31 वाँ पद 178 है |

प्रश्न8. एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर

A.P में 50 पद हैं |

अत: n = 50

a3 = 12

⇒ a + 2d = 12 ..................... (1)

और अंतिम पद 106 है।

an = 106

या a50 = 106

⇒ a + 49d = 106 ..................... (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 49d - (a + 2d ) = 106 - 12

a + 49d - a - 2d = 94

47d = 94

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d = 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 12

a = 2(2) = 12

a = 12 - 4

a = 8

अब, a29 = a + 28d

⇒ a29 = 8 + 28(2)

⇒ a29 = 8 + 56

⇒ a29 = 64

अत: 29 वाँ पद 64 है |

प्रश्न9. यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य

होगा?

उत्तर

a3 = 4

⇒ a + 2d = 4 ..................... (1)

और नौवा पद - 8 है।

a9 = - 8

⇒ a + 8d = - 8 ..................... (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 8d - (a + 2d ) = - 8 - 4

a + 8d - a - 2d = - 12

6d = - 12

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d = - 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 4

a = 2(-2) = 4

a = 4 + 4

a = 8

अत: a = 8, और d = - 2

माना n वाँ पद शून्य है |

an = 0

an = a + (n - 1) d

⇒ 0 = 8 + (n - 1) -2

⇒ - 8 = (n - 1) -2

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⇒ n - 1 = 4

⇒ n = 4 + 1 = 5

अत: 5 वाँ पद शून्य है |

प्रश्न10. किसी A.P का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर

चूँकि 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।

∴ a17 - a10 = 7

⇒ a + 16d - (a + 9d) = 7

⇒a + 16d - a - 9d = 7

⇒ 7d = 7

⇒ d = 1

सार्व अंतर = 1

प्रश्न11. A.P. : 3, 15, 27, 39, ......... का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

उत्तर

a = 3, d = 15 - 3 = 12

a54 = a + 53d

= 3 + 53(12)

= 3 + 636

= 639

वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक होगा

an = a54 + 132

= 639 + 132

= 771

an = a + (n - 1) d

⇒ 771 = 3 + (n - 1) 12

⇒ 771 - 3 = (n - 1) 12

⇒ 768 = (n - 1) 12

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⇒ n - 1 = 64

⇒n = 64 + 1 = 65

अत: 65 वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है |

प्रश्न12. दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

उत्तर

माना प्रथम A.P का प्रथम पद = a

और दुसरे A.P का प्रथम पद = a' है |

और सार्व अंतर d है [चूँकि सार्व अंतर समान है ] दिया है

प्रश्नानुसार,

a100 - a'100 = 100

a + 99d - (a' + 99d) = 100

a + 99d - a' - 99d = 100

a - a' = 100 ................ (1)

a1000 - a'1000 = a + 999d - (a' + 999d)

= a + 999d - a' - 999d

= a + a'

चूँकि a + a' = 100 है समीo (1) से

इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |

प्रश्न13. तीन अंकों वì#2366;ली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

उत्तर

तीन अंको की संख्या 100 .................. 999 के बीच होती है |

अत: 7 से विभाज्य संख्यायें है:

105, 112, 119, ........................ 994

इससे हमें एक A.P प्राप्त होता है |

∴ a = 105, d = 7 और an = 994

an = a + (n - 1) d

⇒ 994 = 105 + (n - 1) 7

⇒ 994 - 105 = (n - 1) 7

⇒ 889 = (n - 1) 7

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⇒ n - 1 = 127

⇒ n = 127 + 1 = 128

अत: तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या 128 हैं |

प्रश्न14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

उत्तर

10 और 250 के बीच 4 के गुणज के लिए A.P है |

12, 16, 20, ........................ 248

∴ a = 12, d = 4 और an = 248

an = a + (n - 1) d

⇒ 248 = 12 + (n - 1) 4

⇒ 248 - 12 = (n - 1) 4

⇒ 236 = (n - 1) 4

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⇒ n - 1 = 59

⇒ n = 59 + 1 = 60

10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 हैं |

प्रश्न15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, .......... और 3, 10, 17, .................. के n वें पद बराबर होंगे?

उत्तर

प्रथम A.P: 63, 65, 67, ..........

जिसमें, a = 63, d = 65 - 63 = 2

an = a + (n - 1) d

= 63 + (n - 1) 2

= 63 + 2n - 2

= 61 + 2n .................... (1)

द्वितीय A.P: 3, 10, 17, ..................

जिसमें , a = 3, d = 10 - 3 = 7

an = a + (n - 1) d

= 3 + (n - 1) 7

= 3 + 7n - 7

= - 4 + 7n .................... (1)

चूँकि n वाँ पद बराबर हैं, इसलिए (1) तथा (2) से

61 + 2n = - 4 + 7n

61 + 4 = 7n - 2n

5n = 65

n = 65/5

n = 13

अत: दोनों A.P का 13 वाँ पद बराबर हैं |

प्रश्न16. वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

उत्तर

माना प्रथम पद = a, और सार्व अंतर = d तो,

a3 = 16

a + 2d = 16 ..................... (1)

a7 - a5 = 12

⇒ a + 6d - (a + 4d) = 12

⇒ a + 6d - a - 4d = 12

⇒ 2d = 12

⇒ d = 6

अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर '

a + 2d = 16

a + 2(6) = 16

a + 12 = 16

a = 16 - 12

a = 4

a, a + d, a + 2d, a + 3d ..................

⇒ 4, 4 + 6, 4 + 2(6), 4 + 3(6), ...............

अत: अभीष्ट A.P: ⇒ 4, 10, 16, 22 ..............................

प्रश्न17. A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर

दिया गया A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 है |

प्रथम पद की ओर से a = 3, d = 8 - 3 = 5

परन्तु अंतिम पद से a = 253, n = 20,

और सार्व अंतर d = - 5, [चूँकि अंतिम पद से d का मान ऋणात्मक हो जायेगा ]

a20 = a + 19d

= 253 + 19(-5)

= 253 - 95

= 158

अत: अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है |

प्रश्न18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर

a4 + a8 = 24

या a + 3d + a + 7d = 24

या 2a + 10d = 24

या 2(a + 5d) = 24

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या a + 5d = 12 ……………………. (1)

इसीप्रकार,

A6 + a10 = 44

या a + 5d + a + 9d = 44

या 2a + 14d = 44

या 2(a + 7d) = 44

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या a + 7d = 22 ……………………. (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर

(a + 7d) – (a + 5d) = 22 - 12

या a + 7d – a - 5d = 10

या 2d = 10

या d = 5

समीकरण (1) में d = 5 रखने पर

a + 5(5) = 12

या a + 25 = 12

या a = 12 – 25

या a = - 13

अत: A.P के प्रथम 3 पद है :

-13, -13 + 5, -13 + 2(5)

-13, - 8, - 3

प्रश्न19. सुब्बा राव ने 1995 में D 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन D 7000 हो गया?

उत्तर

दिए गए सुचना से हमें एक A.P प्राप्त होता है :

A.P: 5000, 5200, 5400, ………………….. 7000

a = 5000, d = 200, an = 7000

an = a + (n – 1)d

7000 = 5000 + (n – 1)200

7000 – 5000 = (n – 1)200

2000 = (n – 1)200

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n - 1 = 20

n = 20 + 1

n = 21 वर्ष

अत: 21 वर्ष बाद उसका वेतन 7000 हो जायेगा |

1995 + 21 = 2016 में हो जायेगा |

प्रश्न20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में D 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत D 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत D 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

उत्तर

इस सुचना से एक A.P प्राप्त होती है :

A.P: 5, 6.75, 8.50, ..........................., 20.75

A = 5, d = 1.75, an = 20.75

an = a + (n – 1)d

20.75 = 5 + (n – 1)1.75

20.75 – 5 = (n – 1)1.75

15.75 = (n – 1)1.75

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n - 1 = 9

n = 9 + 1

n = 10

प्रश्नावली 5.3

प्रश्न1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :

(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

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उत्तर

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

a = –37, d = –33 – (–37) = –33 + 37 = 4, n = 12

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उत्तर

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100,

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प्रश्न2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात कीजिये:

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(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

उत्तर

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(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

उत्तर

a = 34, d = 32 – 34 = -2, an = 10

an = a + (n -1)d

10 = 34 + (n – 1)-2

10 – 34 = (n – 1)-2

-24 = (n – 1)-2

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(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

उत्तर

a = –5, d = (–8) – (–5) = –8 + 5 = –3, an = –230

an = a + (n -1)d

–230 = –5 + (n – 1)–3

–230 + 5 = (n – 1) –3

–225= (n – 1)–3

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