महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 6 त्रिभुज (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

गणित कक्षा 10

Class 10 : महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 6 त्रिभुज (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

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त्रिभुज

प्रश्नावली 6.2

प्रश्न1. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC में AD ज्ञात कीजिए :

हल: (i)

Δ ABC में

DE || BC   दिया है | 

अत: आधारभूतिक समानुपातिक प्रमेय से 

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प्रश्न2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु और स्थित हैं |  निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिएबताइए कि क्या EF|| QR है |

(i)   PE = 3.9 cm, EQ= 3cm, PF = 3.6 और FR= 2.4 cm

(ii)     PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm

(iii)     PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, 0.18 cm और PF = 0.36 cm
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इसलिए, EF|| QR नहीं है | 

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प्रश्न7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य -बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्धिभाजित करती है  | (याद कीजिए की आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं|)

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प्रश्न8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए की एक त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है | (याद कीजिए की आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं ) |

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प्रश्नावली 6.3

प्रश्न 1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन - कौन से युग्म समरूप हैं | उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप  त्रिभुजों को सांकेतिक रूप  में व्यक्त कीजिए |

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हल : (i) 

ΔABC तथा ΔPQR में

∠ABC = ∠PQR = 80°

∠BAC = ∠QPR = 60°

∠ACB = ∠PRQ = 40°

∴ AAA समरूपता कसौटी से

ΔABC ~ ΔPQR

 हल : (ii)   

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हल : (iii) 

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त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है | 

हल : (iv) 

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त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है | 

हल : (v) 

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त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है | 

हल : (vi) 

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प्रश्न 2. आकृति 6.35 में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125और ∠CDO = 70 है | ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए |

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 हल : ∠DOC + ∠BOC = 180°  (रैखिक युग्म)

⇒ ∠DOC +125o = 180°

⇒ ∠DOC = 180° -125o

⇒ ∠DOC = 55o

अब ΔDOC  में,

 ∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180°   (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)

⇒ 55o + 70o + ∠DCO = 180°  

⇒ 125o ∠DCO = 180°  

⇒ ∠DCO = 180° - 125o  

⇒ ∠DCO = 55o  

ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)      

∴ ∠OAB = ∠DCO = 55o  

समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं|)

प्रश्न 3. समलंब ABCD, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए,

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प्रश्न 5. DPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि P = RTS है | दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS  है |

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हल:

दिया है : DPQR की भुजाओं PR और QR पर

क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं

कि ∠P = ∠RTS है |

सिद्ध करना है : ΔRPQ ~ ΔRTS

प्रमाण : ΔRPQ तथा ΔRTS में,

 ∠P = ∠RTS   (दिया है )

         ∠R = ∠R      (उभयनिष्ठ)

   A.A समरूपता कसौटी से

ΔRPQ ~ ΔRTS

प्रश्न 6. आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है | 

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प्रश्न 7. आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :  

(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

हल:

दिया है : DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है :

(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

प्रमाण :

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(i)  Δ AEP तथा Δ CDP में,

    ∠AEP = ∠CDP  (प्रत्येक 90°)

    ∠APE = ∠CPD  (शीर्षाभिमुख कोण)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ AEP ~ Δ CDP

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(ii) Δ ABD तथा CBE में

    ∠ADB = ∠CEB  (प्रत्येक 90°)

       ∠B = ∠B     (उभयनिष्ठ)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ ABD ~ Δ CBE

(iii)  Δ AEP तथा Δ ADB में

    ∠AEP = ∠ADB  (प्रत्येक 90°)

       ∠A = ∠A     (उभयनिष्ठ)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ AEP ~ Δ ADB

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(iv) Δ PDC तथा Δ BEC में

    ∠PDC = ∠BEC  (प्रत्येक 90°)

       ∠C = ∠C     (उभयनिष्ठ)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ PDC ~ Δ BEC

प्रश्न 8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि Δ ABE ~ Δ CFB है | 

हल:

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दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है |

सिद्ध करना है : Δ ABE ~ Δ CFB

प्रमाण : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है |

  ∠AEB = ∠CBE  .... (1) एकान्तर कोण

   Δ ABE तथा Δ CFB में,

      ∠AEB = ∠CBE  समी० (1) से

∠A = ∠C  (स#2350;ांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ ABE ~ Δ CFB

प्रश्न 9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं | सिद्ध कीजिए कि :

(i) Δ ABC ~ Δ AMP 

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हल:

दिया है : ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं |

सिद्ध करना है :

(i) Δ ABC ~ Δ AMP 

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प्रमाण :

(i)     Δ ABC तथा Δ AMP में

    ∠ABC = ∠AMP  (प्रत्येक 90°)

       ∠A = ∠A     (उभयनिष्ठ)

    A.A समरूपता कसौटी से

    Δ ABC ~ Δ AMP

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(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |) 

प्रश्न 10. CD और GH क्रमश: ∠ ACB  और  EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं | यदि Δ ABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि : 

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(ii) Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA ~ Δ HGF

हल:

दिया है : CD और GH क्रमश: ∠ ACB  और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं और ΔABC ~ ΔFEG है | 

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(समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं |)

(i)     Δ ABC तथा Δ AMP में

 

(ii)  Δ DCB तथा Δ HGE में,

      ∠B = ∠E  समी० (2) से

 ∠BCD = ∠EGH  [चूँकि  ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]

    A.A समरूपता कसौटी से

     Δ DCB ~ Δ HGE

(iii) Δ DCA तथा Δ HGF में
      ∠A = ∠F  समी० (1) से

 ∠ACD = ∠FGH  [चूँकि  ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]

    A.A समरूपता कसौटी से 

      Δ DCA ~ Δ HGF   Proved

प्रश्न 11. आकृति 6.40 में, AB = AC वालेएक समद्विबाì#2361;ु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित एक बिन्दु है यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है |

हल:

दिया है : AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है जिसमें AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है

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सिद्ध करना है :

ΔABD ~ ΔECF

प्रमाण :

ΔABC में,

  AB = AC दिया है;

∴ ∠B = ∠C    ......... (1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ....)

अब, ΔABD तथा ΔECF में

     ∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)

        ∠B = ∠C    समी० (1) से

A.A समरूपता कसौटी से

    ΔABD ~ ΔECF    Proved 

प्रश्न 12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ औरप्रश्नतथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)|दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है 

हल:

दिया है : त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं |

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सिद्ध करना है :

ΔABC ~ ΔPQR 

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(चूँकि माध्यिकाएँ AD तथा PM BC तथा QR को समद्विभाजित करती हैं |)
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प्रश्न 13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = BAC है | दर्शाइए कि CA= CB.CD है |

हल :

दिया है : त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है |

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सिद्ध करना है : CA= CB.CD

प्रमाण :

अब, ΔADC तथा ΔBAC में

     ∠ADC = ∠BAC ( दिया है )

        ∠C = ∠C    (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

   ΔADC ~ ΔBAC

महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 6 त्रिभुज (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev  (चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)

या   CA= CB.CD  (बाई-क्रॉस गुणा करने पर)

Proved 

प्रश्न 14. एक त्रिभुज ABC की  भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ΔPQR है |

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यहाँ माध्यिकाएँ समान अनुपात में हैं इसलिए समान अनुपात की माध्यिकायें जिस भुजा को समद्विभाजित करती है वह भी समानुपाती होता है |

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प्रश्न 15. लंबाई 6m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m हैजबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

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प्रश्नावली 6.4 
प्रश्न 1. मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64cm2  और 121 cm हैं यदि EF = 15.4 cmहोतो BC ज्ञात कीजिए |

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प्रश्न 2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC हैंके विकर्ण परस्पर बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि AB = 2 CD हो तो ΔAOB और ΔCOD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए |

हल :

दिया है :  ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC हैं,

के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | और AB = 2 CD है |

     AB = 2 CD  ( दिया है )

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प्रश्नावली 6.5 

प्रश्न 1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल :

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm

कर्ण2 = लंब2 + आधार2

252 = 72 + 242

625 = 49 + 576

625 = 625

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |

अत: कर्ण = 25 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )

(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण2 = लंब2 + आधार2

82 = 32 + 62

64 = 9 + 36

64 = 45

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण2 = लंब2 + आधार2

1002 = 502 + 802

10000 = 2500 + 6400

10000 = 8900

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |

(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण2 = लंब2 + आधार2

132 = 52 + 122

169 = 25 + 144

169 = 169

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |

अत: कर्ण = 13 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )

प्रश्न 2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि  PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM2 = QM . MR है |

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हल:

दिया है : PQR एक समकोण त्रिभुज है

जिसका कोण P समकोण है तथा QR

पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि  PM ⊥ QR है |

सिद्ध करना है : PM2 = QM . MR

प्रमाण : PM ⊥ QR दिया है |

इसलिए प्रमेय 6.7 से

ΔPMQ ~ ΔPRQ   ...... (1)

इसीप्रकार,

ΔPMR ~ ΔPRQ   ...... (1)

समीकरण (1) तथा (2) से

     ΔPMQ ~ ΔPMR 

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प्रश्न 3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है | दर्शाइए कि 

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(i) AB2 = BC . BD

(ii) AC2 = BC . DC

(iii) AD2 = BD . CD

हल :

दिया है : ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है |

सिद्ध करना है :

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(i) AB2 = BC . BD

(ii) AC2 = BC . DC

(iii) AD2 = BD . CD

प्रमाण : (i) ABD एक समकोण त्रिभुज है और

AC ⊥ BD दिया है |

ΔABC ~ ΔABD ...... प्रमेय 6.7 

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प्रश्न 4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है |

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हल :

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसका कोण C समकोण है |

सिद्ध करना है : AB2 = 2AC2

प्रमाण : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

  AC = BC  .......... (i)

और ABC एक समकोण त्रिभुज है |

  पाइथागोरस प्रमेय से

      AB2 = BC+ AC2

अथवा AB2 = AC+ AC2  (समी० 1 से)

अथवा AB2 = 2AC2 Proved

प्रश्न 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है | यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है |

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हल :

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसमें AC = BC है और  AB2 = 2AC2 है

सिद्ध करना है : ABC एक समकोण त्रिभुज है |

प्रमाण : AC = BC ....(1) दिया है

और   AB2 = 2AC2     ......... (दिया है)

अथवा AB2 = AC+ AC2 

अथवा AB2 = BC+ AC2  ( समी० 1 से )

अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.9) से

ABC एक समकोण त्रिभुज है | Proved

प्रश्न 6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है |

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AB = BC = AC = 2a

रचना : AD ⊥ BC डाला |

अत: समकोण त्रिभुज ACD में

पाइथागोरस प्रमेय से,

AC2 = AD+ DC2 

(2a)2 = AD2 + (a)2

4a2 = AD2 + a2

AD2 = 4a2 - a2

AD2 = 3a2

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प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

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हल:

दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसकी

भुजाएँ AB, BC, CD तथा AD है | और विकर्ण

AC तथा BD एक दुसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है : AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2

प्रमाण : समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | इसलिए,

समकोण ΔAOB में पाइथागोरस प्रमेय से,

AB2 = AO2 + BO2  …………… (1)

इसीप्रकार ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में,

BC2 = CO2 + BO2  …………… (2)

CD2 = CO2 + DO2  …………… (3)

AD2 = AO2 + DO2  …………… (4)

समी० (1) (2) (3) और (4) जोड़ने पर

AB2+BC2+CD2+AD2=AO2+BO2+CO2+BO2+CO2+DO2+AO2+DO2 

RHS = 2AO2 + 2BO2 + 2CO2 + 2DO2

= 2(AO2 + BO2 + CO2 + DO2

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प्रश्न 8. आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है | 

दर्शाइए कि 

(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2

(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2

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हल: ​

​दिया है : ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है | 

सिद्ध करना है : 

(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2

(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2

प्रमाण: 

समकोण Δ AOF में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OA2 = AF2 + OF2  ......................... (I) 

समकोण Δ BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OB2 = BD2 + OD2  ......................... (II) 

समकोण Δ COE में, पाइथागोरस प्रमेय से 

OC2 = CE2 + OE2  ......................... (III) 

समीकरण (I), (II) तथा (III) को जोड़ने पर 

OA2 + OB2 + OC2 = AF2 + OF2 + BD2 + OD+ CE2 + OE2

OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2  Proved I

अब, पुन: 

      OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2  

या  AF2 + BD2 + CE= OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 

या  AF2 + BD2 + CE= (OA2 – OE2 ) + (OB2  – OF2 ) + (OC2 – OD2)

या AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2  पाइथागोरस प्रमेय से

प्रश्न 13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है | सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है |  

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प्रश्न 10.किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है |

सिद्ध कीजिए कि : 2AB2 = 2AC2 + BC2 है | 

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प्रश्न 16.  किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक  शीर्षलंब  के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है |

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