महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 8 त्रिकोणमिति का परिचय (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

गणित कक्षा 10

Class 10 : महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर, पाठ - 8 त्रिकोणमिति का परिचय (कक्षा दसंवी),गणित Class 10 Notes | EduRev

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प्रश्नावली 8.1 (गणित)

प्रश्न 1. DABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है | निम्न लिखित का मान ज्ञात कीजिए :

(i) sin A, cos A

(ii) sin C, cos C

Solution:

समकोण त्रिभुज DABC में,

AB = 24 cm, BC = 7 cm

पाइथागोरस प्रमेय से,

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AC2 = AB2 + BC2

= 242 + 72

= 576 + 49

= 625

AC = √625 = 25 cm

अब तत्रिकोणमितिय अनुपात लेने पर

(i) sin A, cos A

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प्रश्न2. आकृति 8.13 में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए |

Solution:

Pप्रश्न = 12 cm, PR = 13 cm

प्रश्नR = ?

समकोण त्रिभुज DPप्रश्नR में,

Pप्रश्न = 12 cm, PR = 13 cm

पाइथागोरस प्रमेय से,

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PR2 = Pप्रश्न2 + प्रश्नR2

132 = 122 + प्रश्नR2

169 = 144 + प्रश्नR2

169 - 144 = प्रश्नR2

प्रश्नR2 = 25

प्रश्नR = √25 = 5 cm

अब तत्रिकोणमितिय अनुपात लेने पर

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प्रश्नावली 8.2

प्रश्न 1. निम्नलिखित के मान निकालिए:

(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

हल: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

सभी त्रिकोंणमितीय अनुपातों का मान रखने पर

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(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°

हल: 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°

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प्रश्न2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :

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(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°

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(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :

(A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°

हल: sin 2A = 2 sin A

⇒ 2 sin A cos A = 2 sin A [ sin 2x = 2 sin x cos x]

⇒ cos A = 2 sin A - 2 sin A

⇒ cos A = 0

∴ A = 0o

विकल्प (A) सत्य है |

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A का मान समीकरण (iii) में रखने पर

A + B = 60°

⇒ 45° + B = 60°

⇒B = 60° - 45°

⇒ B = 15°

A = 45°, B = 15°

प्रश्न4. बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं | कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए |

(i) sin (A + B) = sin A + sin B.

(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है |

(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है |

(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ

(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है |

उत्तर:

(i) दिया गया कथन असत्य है |

(ii) दिया गया कथन सत्य है |

(iii) दिया गया कथन असत्य है |

(iv) दिया गया कथन असत्य है |

(v) दिया गया कथन सत्य है |

प्रश्नावली 8.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित का मान निकालिए:

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(iii) cos 48° - sin 42°

हल: cos 48° - sin 42°

⇒ sin(90° - 48°) - sin 42°

⇒ sin 42° - sin 42° = 0

(iv) cosec 31° - sec 59°

हल: cosec 31° - sec 59°

⇒ sec (90° - 31°) - sec 59° [ cosec प्रश्न = sec (90° - प्रश्न) ]

⇒ sec 59° - sec 59° = 0

प्रश्न2. दिखाइए कि

(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

हल: (i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

LHS = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°

= cot (90° - 48°) tan (90° - 23°) tan 42° tan 67°

= cot 42° cot 67° tan 42° tan 67°

= (cot 42° × tan 42°) (cot 67° × tan 67°)

= 1 × 1 [ cot A × tan A = 1 ]

= 1

LHS = RHS

(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0

हल: (ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0

LHS = cos 38° cos 52° sin 38° sin 52°

= sin (90° - 38°) cos 52° – cos (90° - 38°) sin 52°

= sin 52° cos 52° - cos 52° sin 52°

= sin 52° (cos 52° - cos 52°)

= sin 52° × 0

= 0

LHS = RHS

प्रश्न3. यदि tan 2A = cot(A - 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए |

हल: tan 2A = cot(A - 18°),

⇒ cot (90° - 2A) = cot(A - 18°)

दोनों पक्षों में तुलना करने पर

⇒ 90° - 2A = A - 18°

⇒ 90° + 18° = A + 2A

⇒ 3A = 108°

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प्रश्न4. यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°

हल: tan A = cot B दिया है |

⇒ tan A = tan (90° - B) तुलना करने पर

⇒ A = 90° - B

⇒ A + B = 90° Proved

प्रश्न5. यदि sec 4A = cosec(A - 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए |

हल: sec 4A = cosec(A - 20°)

⇒ cosec (90° - 4A) = cosec(A - 20°) [ sec Q = (90°- प्रश्न) ]

तुलना करने पर

⇒ 90° - 4A = A - 20°

⇒ 90° + 20° = A + 4A

⇒ 5A = 110°

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प्रश्न7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितिय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए |

हल : sin 67° + cos 75°

⇒ cos (90° - 67°) + sin (90° - 75°)

⇒ cos 23° + sin 15°

अभ्यास 8.4

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प्रश्न4. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:

(i) 9 sec2 A – 9 tan2 A बराबर है:

(A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0

Correct Answer: (B) 9

Solution:

9 sec2 A – 9 tan2 A = 9(sec2 A – tan2 A)

= 9 × 1 = 9

(ii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर हैं :

(A) sec A (B) sin A (C) cosec A (D) cosA

Correct Answer: (D) cosA

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प्रश्न5. निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है :
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अत: LHS = RHS proved

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