Advanced Solid Mechanics - Complete Book Notes | EduRev

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Advanced Solid Mechanics
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ii
Contents
1 Introduction 1
1.1 Basic Concepts in Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 What is force? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 What is stress? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 What is displacement? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 What is strain? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Basic Equations in Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Equilibrium equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Strain-Displacement relation . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Compatibility equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Constitutive relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Classication of the Response of Materials . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Non-dissipative response . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Dissipative response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Solution to Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Displacement method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Stress method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Semi-inverse method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Mathematical Preliminaries 23
2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Algebra of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Algebra of second order tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Orthogonal tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Symmetric and skew tensors . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Projection tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.4 Spherical and deviatoric tensors . . . . . . . . . . . . . 37
iii
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Contents
1 Introduction 1
1.1 Basic Concepts in Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 What is force? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 What is stress? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 What is displacement? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 What is strain? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Basic Equations in Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Equilibrium equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Strain-Displacement relation . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Compatibility equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Constitutive relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Classication of the Response of Materials . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Non-dissipative response . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Dissipative response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Solution to Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Displacement method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Stress method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Semi-inverse method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Mathematical Preliminaries 23
2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Algebra of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Algebra of second order tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Orthogonal tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Symmetric and skew tensors . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Projection tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.4 Spherical and deviatoric tensors . . . . . . . . . . . . . 37
iii
iv CONTENTS
2.3.5 Polar Decomposition theorem . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Algebra of fourth order tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Alternate representation for tensors . . . . . . . . . . . 40
2.5 Eigenvalues, eigenvectors of tensors . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.1 Square root theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Transformation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1 Vectorial transformation law . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2 Tensorial transformation law . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.3 Isotropic tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Scalar, vector, tensor functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Gradients and related operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Integral theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.1 Divergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.2 Stokes theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.3 Green's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.11 Self-Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Kinematics 69
3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Deformation Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Lagrangian and Eulerian description . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Displacement, velocity and acceleration . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.1 Gradient of displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6 Transformation of curves, surfaces and volume . . . . . . . . . 82
3.6.1 Transformation of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6.2 Transformation of areas . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.3 Transformation of volumes . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7 Properties of the deformation tensors . . . . . . . . . . . . . . 94
3.8 Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.9 Normal and shear strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.9.1 Normal strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.9.2 Principal strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.9.3 Shear strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.9.4 Transformation of linearized strain tensor . . . . . . . . 102
3.10 Homogeneous Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
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Contents
1 Introduction 1
1.1 Basic Concepts in Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 What is force? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 What is stress? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 What is displacement? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 What is strain? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Basic Equations in Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Equilibrium equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Strain-Displacement relation . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Compatibility equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Constitutive relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Classication of the Response of Materials . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Non-dissipative response . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Dissipative response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Solution to Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Displacement method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Stress method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Semi-inverse method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Mathematical Preliminaries 23
2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Algebra of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Algebra of second order tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Orthogonal tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Symmetric and skew tensors . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Projection tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.4 Spherical and deviatoric tensors . . . . . . . . . . . . . 37
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iv CONTENTS
2.3.5 Polar Decomposition theorem . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Algebra of fourth order tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Alternate representation for tensors . . . . . . . . . . . 40
2.5 Eigenvalues, eigenvectors of tensors . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.1 Square root theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Transformation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1 Vectorial transformation law . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2 Tensorial transformation law . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.3 Isotropic tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Scalar, vector, tensor functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Gradients and related operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Integral theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.1 Divergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.2 Stokes theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.9.3 Green's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.11 Self-Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Kinematics 69
3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Deformation Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Lagrangian and Eulerian description . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Displacement, velocity and acceleration . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.1 Gradient of displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6 Transformation of curves, surfaces and volume . . . . . . . . . 82
3.6.1 Transformation of curves . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6.2 Transformation of areas . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.3 Transformation of volumes . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7 Properties of the deformation tensors . . . . . . . . . . . . . . 94
3.8 Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.9 Normal and shear strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.9.1 Normal strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.9.2 Principal strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.9.3 Shear strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.9.4 Transformation of linearized strain tensor . . . . . . . . 102
3.10 Homogeneous Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
CONTENTS v
3.10.1 Rigid body Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.10.2 Uniaxial or equi-biaxial motion . . . . . . . . . . . . . 106
3.10.3 Isochoric motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.11 Compatibility condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.12 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.13 Self-Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4 Traction and Stress 121
4.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Traction vectors and stress tensors . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1 Cauchy stress theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.2 Components of Cauchy stress . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3 Normal and shear stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4 Principal stresses and directions . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4.1 Maximum and minimum normal traction . . . . . . . . 128
4.4.2 Maximum and minimum shear traction . . . . . . . . . 129
4.5 Stresses on a Octahedral plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.6 Examples of state of stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.7 Other stress measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.7.1 Piola-Kirchho stress tensors . . . . . . . . . . . . . . 135
4.7.2 Kirchho, Biot and Mandel stress measures . . . . . . 137
4.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.9 Self-Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5 Balance Laws 143
5.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3 Conservation of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.1 Conservation of linear momentum . . . . . . . . . . . . 152
5.4.2 Conservation of angular momentum . . . . . . . . . . . 154
5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6 Self-Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6 Constitutive Relations 161
6.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2 Denition of elastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3 Restrictions on constitutive relation . . . . . . . . . . . . . . . 166
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