Complex Number Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced PDF Download

 Page 1


Solved Examples on Complex 
Numbers 
JEE Mains 
Q1. If ?? ?? = -?? , then the value of ?
?? =?? ??????
??? ?? is 
(a) 50 
(b) -50 
(c) ?? 
(d) 100 
Ans: (c) ?
?? =1
200
??? ?? = ?? + ?? 2
+ ?? 3
+ ? . . +?? 200
=
?? ( 1-?? 200
)
1-?? (since G.P.) =
?? ( 1-1)
1-?? = 0. 
Q2.  If (
?? +?? ?? -?? )
?? = ?? then 
(a) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(b) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(c) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
(d) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
Ans: (a) 
1+?? 1-?? =
1+?? 1-?? ·
1+?? 1+?? ? (
1+?? 1-?? )
?? = 1 ? ?? ?? = 1 ? ?? = 4?? , ?? ? ?? +
. 
Q3.  (
?? ?? -?? ?? +
?? ?? +?? )(
?? +?? ?? ?? -?? ?? ) 
(a) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
(b) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(c) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(d) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
Ans: (d) 
(
1
1 - 2?? +
3
1 + ?? )(
3 + 4?? 2 - 4?? )= [
1 + 2?? 1
2
+ 2
2
+
3 - 3?? 1
2
+ 1
2
] [
6 - 16 + 12?? + 8?? 2
2
+ 4
2
] = (
2 + 4?? + 15 - 15?? 10
)(
-1 + 2?? 2
)
 =
( 17 - 11?? ) ( -1 + 2?? )
20
=
5 + 45?? 20
=
1
4
+
9
4
?? .
 
Q4.  The real values of ?? and ?? for which the equation ( ?? ?? + ?? ???? )- ( ?? ?? ?? + ???? )= ( ?? -
?? ?? )+ ( ?? + ?? ???? ) is satisfied, are 
(a) ?? = ?? , ?? = ?? 
(b) ?? = -?? , ?? =
?? ?? 
(c) Both (a) and (b) 
(d) None of these 
Ans: (c) Given equation ( ?? 4
+ 2???? )- ( 3?? 2
+ ???? )= ( 3 - 5?? )+ ( 1 + 2???? )? ( ?? 4
- 3?? 2
)+
?? ( 2?? - 3?? )= 4 - 5?? Equating real and imaginary parts, we get 
?? 4
- 3?? 2
= 4 
(i) and 
Page 2


Solved Examples on Complex 
Numbers 
JEE Mains 
Q1. If ?? ?? = -?? , then the value of ?
?? =?? ??????
??? ?? is 
(a) 50 
(b) -50 
(c) ?? 
(d) 100 
Ans: (c) ?
?? =1
200
??? ?? = ?? + ?? 2
+ ?? 3
+ ? . . +?? 200
=
?? ( 1-?? 200
)
1-?? (since G.P.) =
?? ( 1-1)
1-?? = 0. 
Q2.  If (
?? +?? ?? -?? )
?? = ?? then 
(a) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(b) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(c) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
(d) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
Ans: (a) 
1+?? 1-?? =
1+?? 1-?? ·
1+?? 1+?? ? (
1+?? 1-?? )
?? = 1 ? ?? ?? = 1 ? ?? = 4?? , ?? ? ?? +
. 
Q3.  (
?? ?? -?? ?? +
?? ?? +?? )(
?? +?? ?? ?? -?? ?? ) 
(a) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
(b) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(c) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(d) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
Ans: (d) 
(
1
1 - 2?? +
3
1 + ?? )(
3 + 4?? 2 - 4?? )= [
1 + 2?? 1
2
+ 2
2
+
3 - 3?? 1
2
+ 1
2
] [
6 - 16 + 12?? + 8?? 2
2
+ 4
2
] = (
2 + 4?? + 15 - 15?? 10
)(
-1 + 2?? 2
)
 =
( 17 - 11?? ) ( -1 + 2?? )
20
=
5 + 45?? 20
=
1
4
+
9
4
?? .
 
Q4.  The real values of ?? and ?? for which the equation ( ?? ?? + ?? ???? )- ( ?? ?? ?? + ???? )= ( ?? -
?? ?? )+ ( ?? + ?? ???? ) is satisfied, are 
(a) ?? = ?? , ?? = ?? 
(b) ?? = -?? , ?? =
?? ?? 
(c) Both (a) and (b) 
(d) None of these 
Ans: (c) Given equation ( ?? 4
+ 2???? )- ( 3?? 2
+ ???? )= ( 3 - 5?? )+ ( 1 + 2???? )? ( ?? 4
- 3?? 2
)+
?? ( 2?? - 3?? )= 4 - 5?? Equating real and imaginary parts, we get 
?? 4
- 3?? 2
= 4 
(i) and 
2?? - 3?? = -5 
Form (i) and (ii), we get ?? = ±2 and ?? = 3,
1
3
. 
Trick: Put ?? = 2, ?? = 3 and then ?? = -2, ?? =
1
3
, we see that they both satisfy the given 
equation. 
Q5. The complex numbers ?????? ?? + ?? ?????? ?? ?? and ?????? ?? - ?? ?????? ?? ?? are conjugate to each 
other for 
(a) ?? = ???? 
(b) ?? = ( ?? +
?? ?? )?? 
(c) ?? = ?? 
(d) No value of ?? 
Ans: (d) sin ?? + ?? cos 2?? and cos ?? - ?? sin 2?? are conjugate to each other if sin ?? = cos ?? and 
cos 2?? = sin 2?? 
or tan ?? = 1 ? ?? =
?? 4
,
5?? 4
,
9?? 4
, … …. 
(i) and tan 2?? = 1 ? 2?? =
?? 4
,
5?? 4
,
9?? 4
,   or ?? =
?? 8
,
5?? 8
,
9?? 8
, … … 
(ii) There exists no value of ?? common in (i) and (ii). Therefore there is no value of ?? for 
which the given complex numbers are conjugate. 
Q6.  The real part of ( ?? - ?????? ?? + ?? ?? ?????? ?? )
-?? is 
(a) 
?? ?? +???????? ?? 
(b) 
?? ?? -???????? ?? 
(c) 
?? ?? -???????? ?? 
(d) 
?? ?? +???????? ?? 
A ns : (c) {( 1 - cos ?? )+ ?? . 2sin ?? }
-1
= {2sin
2
 
?? 2
+ ?? . 4sin 
?? 2
cos 
?? 2
}
-1
= ( 2sin 
?? 2
)
-1
{sin 
?? 2
+ ?? . 2cos 
?? 2
}
-1
 = ( 2sin 
?? 2
)
-1
·
1
sin 
?? 2
+ ?? · 2cos 
?? 2
×
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
=
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
2sin 
?? 2
( sin
2
 
?? 2
+ 4cos
2
 
?? 2
)
 Hence, real part =
sin 
?? 2
2sin 
?? 2
( 1 + 3cos
2
 
?? 2
)
=
1
2 ( 1 + 3cos
2
 
?? 2
)
=
1
5 + 3cos ?? .
 
Q7.  For ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? ? ?? , if ?? < ?? ?? < ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? and ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ?? , and 
?? ?? =
?? ?? ( ?? ?? + ?? ?? ) , then ?? ?? , ?? ?? and ?? ?? satisfy 
 
(a) |?? ?? | = |?? ?? | = |?? ?? | 
(b) |?? ?? | ? ?? ?? |< ?? ?? | 
(c) |?? ?? | > |?? ?? | > |?? ?? | 
(d) |?? ?? | < ?? ?? | < |?? ?? | 
Ans: (d) 0 < ?? 1
< ?? 2
, ?? 1
= ?? 2
 (Given) 
Page 3


Solved Examples on Complex 
Numbers 
JEE Mains 
Q1. If ?? ?? = -?? , then the value of ?
?? =?? ??????
??? ?? is 
(a) 50 
(b) -50 
(c) ?? 
(d) 100 
Ans: (c) ?
?? =1
200
??? ?? = ?? + ?? 2
+ ?? 3
+ ? . . +?? 200
=
?? ( 1-?? 200
)
1-?? (since G.P.) =
?? ( 1-1)
1-?? = 0. 
Q2.  If (
?? +?? ?? -?? )
?? = ?? then 
(a) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(b) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(c) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
(d) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
Ans: (a) 
1+?? 1-?? =
1+?? 1-?? ·
1+?? 1+?? ? (
1+?? 1-?? )
?? = 1 ? ?? ?? = 1 ? ?? = 4?? , ?? ? ?? +
. 
Q3.  (
?? ?? -?? ?? +
?? ?? +?? )(
?? +?? ?? ?? -?? ?? ) 
(a) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
(b) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(c) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(d) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
Ans: (d) 
(
1
1 - 2?? +
3
1 + ?? )(
3 + 4?? 2 - 4?? )= [
1 + 2?? 1
2
+ 2
2
+
3 - 3?? 1
2
+ 1
2
] [
6 - 16 + 12?? + 8?? 2
2
+ 4
2
] = (
2 + 4?? + 15 - 15?? 10
)(
-1 + 2?? 2
)
 =
( 17 - 11?? ) ( -1 + 2?? )
20
=
5 + 45?? 20
=
1
4
+
9
4
?? .
 
Q4.  The real values of ?? and ?? for which the equation ( ?? ?? + ?? ???? )- ( ?? ?? ?? + ???? )= ( ?? -
?? ?? )+ ( ?? + ?? ???? ) is satisfied, are 
(a) ?? = ?? , ?? = ?? 
(b) ?? = -?? , ?? =
?? ?? 
(c) Both (a) and (b) 
(d) None of these 
Ans: (c) Given equation ( ?? 4
+ 2???? )- ( 3?? 2
+ ???? )= ( 3 - 5?? )+ ( 1 + 2???? )? ( ?? 4
- 3?? 2
)+
?? ( 2?? - 3?? )= 4 - 5?? Equating real and imaginary parts, we get 
?? 4
- 3?? 2
= 4 
(i) and 
2?? - 3?? = -5 
Form (i) and (ii), we get ?? = ±2 and ?? = 3,
1
3
. 
Trick: Put ?? = 2, ?? = 3 and then ?? = -2, ?? =
1
3
, we see that they both satisfy the given 
equation. 
Q5. The complex numbers ?????? ?? + ?? ?????? ?? ?? and ?????? ?? - ?? ?????? ?? ?? are conjugate to each 
other for 
(a) ?? = ???? 
(b) ?? = ( ?? +
?? ?? )?? 
(c) ?? = ?? 
(d) No value of ?? 
Ans: (d) sin ?? + ?? cos 2?? and cos ?? - ?? sin 2?? are conjugate to each other if sin ?? = cos ?? and 
cos 2?? = sin 2?? 
or tan ?? = 1 ? ?? =
?? 4
,
5?? 4
,
9?? 4
, … …. 
(i) and tan 2?? = 1 ? 2?? =
?? 4
,
5?? 4
,
9?? 4
,   or ?? =
?? 8
,
5?? 8
,
9?? 8
, … … 
(ii) There exists no value of ?? common in (i) and (ii). Therefore there is no value of ?? for 
which the given complex numbers are conjugate. 
Q6.  The real part of ( ?? - ?????? ?? + ?? ?? ?????? ?? )
-?? is 
(a) 
?? ?? +???????? ?? 
(b) 
?? ?? -???????? ?? 
(c) 
?? ?? -???????? ?? 
(d) 
?? ?? +???????? ?? 
A ns : (c) {( 1 - cos ?? )+ ?? . 2sin ?? }
-1
= {2sin
2
 
?? 2
+ ?? . 4sin 
?? 2
cos 
?? 2
}
-1
= ( 2sin 
?? 2
)
-1
{sin 
?? 2
+ ?? . 2cos 
?? 2
}
-1
 = ( 2sin 
?? 2
)
-1
·
1
sin 
?? 2
+ ?? · 2cos 
?? 2
×
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
=
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
2sin 
?? 2
( sin
2
 
?? 2
+ 4cos
2
 
?? 2
)
 Hence, real part =
sin 
?? 2
2sin 
?? 2
( 1 + 3cos
2
 
?? 2
)
=
1
2 ( 1 + 3cos
2
 
?? 2
)
=
1
5 + 3cos ?? .
 
Q7.  For ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? ? ?? , if ?? < ?? ?? < ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? and ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ?? , and 
?? ?? =
?? ?? ( ?? ?? + ?? ?? ) , then ?? ?? , ?? ?? and ?? ?? satisfy 
 
(a) |?? ?? | = |?? ?? | = |?? ?? | 
(b) |?? ?? | ? ?? ?? |< ?? ?? | 
(c) |?? ?? | > |?? ?? | > |?? ?? | 
(d) |?? ?? | < ?? ?? | < |?? ?? | 
Ans: (d) 0 < ?? 1
< ?? 2
, ?? 1
= ?? 2
 (Given) 
|?? 1
| = v?? 1
2
+ ?? 1
2
, |?? 2
| = v?? 2
2
+ ?? 2
2
? |?? 2
| > |?? 1
| ? |?? 3
| =
|?? 1
+ ?? 2
|
2
=
v
(
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
+ (
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
v
(
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
+ ?? 1
2
< |?? 2
| > |?? 1
|. Hence, |?? 1
| < |?? 3
| < ?? 2
|
 
Q8.  The amplitude of ?????? 
?? ?? + ?? ( ?? - ?????? 
?? ?? ) 
(a) ?? /?? 
(b) ?? ?? /?? 
(c) ?? /???? 
(d) ?? /???? 
Ans: (c) sin 
?? 5
+ ?? ( 1 - cos 
?? 5
)= 2sin 
?? 10
· cos 
?? 10
+ ?? 2sin
2
 
?? 10
= 2sin 
?? 10
( cos 
?? 10
+ ?? sin 
?? 10
) 
For amplitude, tan ?? =
sin 
?? 10
cos 
?? 10
= tan 
?? 10
? ?? =
?? 10
. 
Q9.  If ?? and ?? are to non-zero complex numbers such that |???? | = ?? and ?????? ( ?? )-
?????? ( ?? )=
?? ?? , then ????? is equal to 
(a) 1 
(b) -1 
(c) ?? 
(d) -?? 
Ans: (d)  |?? ? ?? | = 1 
.(i) and arg (
?? ?? )=
?? 2
?
?? ?? = ?? ? |
?? ?? | = 1 
From equation (i) and (ii), 
|?? | = |?? | = 1 and 
?? ?? +
?? ?
?? ?
= 0; ?? ?? ? + ?? ??? = 0 ? ?? ??? = -?? ?? ? =
-?? ?? ?? ? ?? ? ?? ??? = -?? |?? |
2
= -?? . 
Q10.  If -?? + v -?? = ?? ?? ????
, then ?? is equal to 
(a) 
?? ?? 
(b) -
?? ?? 
(c) 
?? ?? ?? 
(d) -
?? ?? ?? 
Ans: (c) Here -1 + v -3 = ?? ?? ????
? -1 + ?? v 3 = ?? ?? ????
= ?? cos ?? + ???? sin ?? 
Equating real and imaginary part, we get ?? cos ?? = -1 and ?? sin ?? = v 3 
Hence tan ?? = -v 3 ? tan ?? = tan 
2?? 3
? ?? =
2?? 3
. 
Q11. Real part of ?? ?? ????
 is 
(a) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(b) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(c) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(d) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
Ans: (a) ?? ?? ????
= ?? ( cos ?? +?? sin ?? )
= ?? cos ?? · ?? ?? sin ?? = ?? cos ?? [cos ( ?? sin ?? )+ ?? sin ( sin ?? ) ] 
? Real part of ?? ?? ????
 is ?? cos ?? [cos ( sin ?? ) ]. 
Page 4


Solved Examples on Complex 
Numbers 
JEE Mains 
Q1. If ?? ?? = -?? , then the value of ?
?? =?? ??????
??? ?? is 
(a) 50 
(b) -50 
(c) ?? 
(d) 100 
Ans: (c) ?
?? =1
200
??? ?? = ?? + ?? 2
+ ?? 3
+ ? . . +?? 200
=
?? ( 1-?? 200
)
1-?? (since G.P.) =
?? ( 1-1)
1-?? = 0. 
Q2.  If (
?? +?? ?? -?? )
?? = ?? then 
(a) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(b) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(c) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
(d) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
Ans: (a) 
1+?? 1-?? =
1+?? 1-?? ·
1+?? 1+?? ? (
1+?? 1-?? )
?? = 1 ? ?? ?? = 1 ? ?? = 4?? , ?? ? ?? +
. 
Q3.  (
?? ?? -?? ?? +
?? ?? +?? )(
?? +?? ?? ?? -?? ?? ) 
(a) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
(b) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(c) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(d) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
Ans: (d) 
(
1
1 - 2?? +
3
1 + ?? )(
3 + 4?? 2 - 4?? )= [
1 + 2?? 1
2
+ 2
2
+
3 - 3?? 1
2
+ 1
2
] [
6 - 16 + 12?? + 8?? 2
2
+ 4
2
] = (
2 + 4?? + 15 - 15?? 10
)(
-1 + 2?? 2
)
 =
( 17 - 11?? ) ( -1 + 2?? )
20
=
5 + 45?? 20
=
1
4
+
9
4
?? .
 
Q4.  The real values of ?? and ?? for which the equation ( ?? ?? + ?? ???? )- ( ?? ?? ?? + ???? )= ( ?? -
?? ?? )+ ( ?? + ?? ???? ) is satisfied, are 
(a) ?? = ?? , ?? = ?? 
(b) ?? = -?? , ?? =
?? ?? 
(c) Both (a) and (b) 
(d) None of these 
Ans: (c) Given equation ( ?? 4
+ 2???? )- ( 3?? 2
+ ???? )= ( 3 - 5?? )+ ( 1 + 2???? )? ( ?? 4
- 3?? 2
)+
?? ( 2?? - 3?? )= 4 - 5?? Equating real and imaginary parts, we get 
?? 4
- 3?? 2
= 4 
(i) and 
2?? - 3?? = -5 
Form (i) and (ii), we get ?? = ±2 and ?? = 3,
1
3
. 
Trick: Put ?? = 2, ?? = 3 and then ?? = -2, ?? =
1
3
, we see that they both satisfy the given 
equation. 
Q5. The complex numbers ?????? ?? + ?? ?????? ?? ?? and ?????? ?? - ?? ?????? ?? ?? are conjugate to each 
other for 
(a) ?? = ???? 
(b) ?? = ( ?? +
?? ?? )?? 
(c) ?? = ?? 
(d) No value of ?? 
Ans: (d) sin ?? + ?? cos 2?? and cos ?? - ?? sin 2?? are conjugate to each other if sin ?? = cos ?? and 
cos 2?? = sin 2?? 
or tan ?? = 1 ? ?? =
?? 4
,
5?? 4
,
9?? 4
, … …. 
(i) and tan 2?? = 1 ? 2?? =
?? 4
,
5?? 4
,
9?? 4
,   or ?? =
?? 8
,
5?? 8
,
9?? 8
, … … 
(ii) There exists no value of ?? common in (i) and (ii). Therefore there is no value of ?? for 
which the given complex numbers are conjugate. 
Q6.  The real part of ( ?? - ?????? ?? + ?? ?? ?????? ?? )
-?? is 
(a) 
?? ?? +???????? ?? 
(b) 
?? ?? -???????? ?? 
(c) 
?? ?? -???????? ?? 
(d) 
?? ?? +???????? ?? 
A ns : (c) {( 1 - cos ?? )+ ?? . 2sin ?? }
-1
= {2sin
2
 
?? 2
+ ?? . 4sin 
?? 2
cos 
?? 2
}
-1
= ( 2sin 
?? 2
)
-1
{sin 
?? 2
+ ?? . 2cos 
?? 2
}
-1
 = ( 2sin 
?? 2
)
-1
·
1
sin 
?? 2
+ ?? · 2cos 
?? 2
×
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
=
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
2sin 
?? 2
( sin
2
 
?? 2
+ 4cos
2
 
?? 2
)
 Hence, real part =
sin 
?? 2
2sin 
?? 2
( 1 + 3cos
2
 
?? 2
)
=
1
2 ( 1 + 3cos
2
 
?? 2
)
=
1
5 + 3cos ?? .
 
Q7.  For ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? ? ?? , if ?? < ?? ?? < ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? and ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ?? , and 
?? ?? =
?? ?? ( ?? ?? + ?? ?? ) , then ?? ?? , ?? ?? and ?? ?? satisfy 
 
(a) |?? ?? | = |?? ?? | = |?? ?? | 
(b) |?? ?? | ? ?? ?? |< ?? ?? | 
(c) |?? ?? | > |?? ?? | > |?? ?? | 
(d) |?? ?? | < ?? ?? | < |?? ?? | 
Ans: (d) 0 < ?? 1
< ?? 2
, ?? 1
= ?? 2
 (Given) 
|?? 1
| = v?? 1
2
+ ?? 1
2
, |?? 2
| = v?? 2
2
+ ?? 2
2
? |?? 2
| > |?? 1
| ? |?? 3
| =
|?? 1
+ ?? 2
|
2
=
v
(
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
+ (
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
v
(
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
+ ?? 1
2
< |?? 2
| > |?? 1
|. Hence, |?? 1
| < |?? 3
| < ?? 2
|
 
Q8.  The amplitude of ?????? 
?? ?? + ?? ( ?? - ?????? 
?? ?? ) 
(a) ?? /?? 
(b) ?? ?? /?? 
(c) ?? /???? 
(d) ?? /???? 
Ans: (c) sin 
?? 5
+ ?? ( 1 - cos 
?? 5
)= 2sin 
?? 10
· cos 
?? 10
+ ?? 2sin
2
 
?? 10
= 2sin 
?? 10
( cos 
?? 10
+ ?? sin 
?? 10
) 
For amplitude, tan ?? =
sin 
?? 10
cos 
?? 10
= tan 
?? 10
? ?? =
?? 10
. 
Q9.  If ?? and ?? are to non-zero complex numbers such that |???? | = ?? and ?????? ( ?? )-
?????? ( ?? )=
?? ?? , then ????? is equal to 
(a) 1 
(b) -1 
(c) ?? 
(d) -?? 
Ans: (d)  |?? ? ?? | = 1 
.(i) and arg (
?? ?? )=
?? 2
?
?? ?? = ?? ? |
?? ?? | = 1 
From equation (i) and (ii), 
|?? | = |?? | = 1 and 
?? ?? +
?? ?
?? ?
= 0; ?? ?? ? + ?? ??? = 0 ? ?? ??? = -?? ?? ? =
-?? ?? ?? ? ?? ? ?? ??? = -?? |?? |
2
= -?? . 
Q10.  If -?? + v -?? = ?? ?? ????
, then ?? is equal to 
(a) 
?? ?? 
(b) -
?? ?? 
(c) 
?? ?? ?? 
(d) -
?? ?? ?? 
Ans: (c) Here -1 + v -3 = ?? ?? ????
? -1 + ?? v 3 = ?? ?? ????
= ?? cos ?? + ???? sin ?? 
Equating real and imaginary part, we get ?? cos ?? = -1 and ?? sin ?? = v 3 
Hence tan ?? = -v 3 ? tan ?? = tan 
2?? 3
? ?? =
2?? 3
. 
Q11. Real part of ?? ?? ????
 is 
(a) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(b) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(c) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(d) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
Ans: (a) ?? ?? ????
= ?? ( cos ?? +?? sin ?? )
= ?? cos ?? · ?? ?? sin ?? = ?? cos ?? [cos ( ?? sin ?? )+ ?? sin ( sin ?? ) ] 
? Real part of ?? ?? ????
 is ?? cos ?? [cos ( sin ?? ) ]. 
Q12. The complex numbers ?? ?? , ?? ?? and ?? ?? satisfying 
?? ?? -?? ?? ?? ?? -?? ?? =
?? -?? v ?? ?? are the vertices of a 
triangle which is 
(a) Of area zero 
(b) Right-angled isosceles 
(c)Equilateral 
(d) Parabola 
Ans: (b) Taking mod of both sides of given relation |
?? 1
-?? 3
?? 2
-?? 3
| = |
1
2
- ?? v 3
2
| = v
1
4
+
3
4
= 1. 
So, |?? 1
- ?? 3
| = |?? 2
- ?? 3
|. Also, amp (
?? 1
-?? 3
?? 2
-?? 3
)= tan
-1
 ( -v 3)= -
?? 3
 or amp (
?? 2
-?? 3
?? 1
-?? 3
)=
?? 3
 or 
??? 2
?? 3
?? 1
= 60
°
 
? The triangle has two sides equal and the angle between the equal sides = 60
°
. So it is 
equilateral. 
Q13. Let ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? be three vertices of an equilateral triangle circumscribing the circle 
|?? | =
?? ?? . If ?? ?? =
?? ?? +
v ?? ?? ?? and ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? are in anticlockwise sense then ?? ?? is 
(a) ?? + v ?? ?? 
(b) ?? - v ?? ?? 
(c) 1 
(d) -1 
Ans: (d) ?? 2
= ?? 1
?? ?? 2?? /3
= (
1
2
+
v 3
2
?? )( cos 
2?? 3
+ ?? sin 
2?? 3
)= (
1
2
+
v 3
2
?? )(
-1
2
+
v 3
2
?? )=
-3
4
-
1
4
= -1. 
Q14.  If ?? = ?? + ???? , then area of the triangle whose vertices are points ?? , ???? and ?? + ???? is 
(a) ?? |?? |
?? 
(b) 
?? ?? |?? |
?? 
(c) |?? |
?? 
(d) 
?? ?? |?? |
?? 
Ans (b) Let ?? = ?? + ???? , ?? + ???? = ( ?? - ?? )+ ?? ( ?? + ?? ) and ???? = -?? + ???? 
If A denotes the area of the triangle formed by ?? , ?? + ???? and ???? , then 
?? =
1
2
|
?? ?? 1
?? - ?? ?? + ?? 1
-?? ?? 1
|  (Applying transforn We get ?? =
1
2
|
?? ?? 1
0 0 -1
-?? ?? 0
| =
1
2
( ?? 2
+ ?? 2
)=
1
2
|?? |
2
. 
Q15.  |?? ?? + ?? ?? | = |?? ?? | + |?? ?? | is possible if 
(a) ?? ?? = ???
?? 
(b) ?? ?? =
?? ?? ?? 
(c) ?????? ( ?? ?? )= ?????? ( ?? ?? ) 
(d) |?? ?? | = |?? ?? | 
Ans: (c) Squaring both sides, we get 
|?? 1
|
2
+ |?? 2
|
2
+ 2|?? 1
?
??? 2
|cos ( ?? 1
- ?? 2
)? ?? 1
|
2
+ |?? 2
|
2
+ 2|?? 1
? ?? 2
|
 ? 2|?? 1
? ??? 2
|cos ( ?? 1
- ?? 2
)= 2|?? 1
? ??? 2
| ? cos ( ?? 1
- ?? 2
)= 1 ? ?? 1
- ?? 2
= 0
°
? ?? 1
= ?? 2
 
Page 5


Solved Examples on Complex 
Numbers 
JEE Mains 
Q1. If ?? ?? = -?? , then the value of ?
?? =?? ??????
??? ?? is 
(a) 50 
(b) -50 
(c) ?? 
(d) 100 
Ans: (c) ?
?? =1
200
??? ?? = ?? + ?? 2
+ ?? 3
+ ? . . +?? 200
=
?? ( 1-?? 200
)
1-?? (since G.P.) =
?? ( 1-1)
1-?? = 0. 
Q2.  If (
?? +?? ?? -?? )
?? = ?? then 
(a) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(b) ?? = ?? ?? , where ?? is any positive integer 
(c) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
(d) ?? = ?? ?? + ?? , where ?? is any positive integer 
Ans: (a) 
1+?? 1-?? =
1+?? 1-?? ·
1+?? 1+?? ? (
1+?? 1-?? )
?? = 1 ? ?? ?? = 1 ? ?? = 4?? , ?? ? ?? +
. 
Q3.  (
?? ?? -?? ?? +
?? ?? +?? )(
?? +?? ?? ?? -?? ?? ) 
(a) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
(b) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(c) 
?? ?? -
?? ?? ?? 
(d) 
?? ?? +
?? ?? ?? 
Ans: (d) 
(
1
1 - 2?? +
3
1 + ?? )(
3 + 4?? 2 - 4?? )= [
1 + 2?? 1
2
+ 2
2
+
3 - 3?? 1
2
+ 1
2
] [
6 - 16 + 12?? + 8?? 2
2
+ 4
2
] = (
2 + 4?? + 15 - 15?? 10
)(
-1 + 2?? 2
)
 =
( 17 - 11?? ) ( -1 + 2?? )
20
=
5 + 45?? 20
=
1
4
+
9
4
?? .
 
Q4.  The real values of ?? and ?? for which the equation ( ?? ?? + ?? ???? )- ( ?? ?? ?? + ???? )= ( ?? -
?? ?? )+ ( ?? + ?? ???? ) is satisfied, are 
(a) ?? = ?? , ?? = ?? 
(b) ?? = -?? , ?? =
?? ?? 
(c) Both (a) and (b) 
(d) None of these 
Ans: (c) Given equation ( ?? 4
+ 2???? )- ( 3?? 2
+ ???? )= ( 3 - 5?? )+ ( 1 + 2???? )? ( ?? 4
- 3?? 2
)+
?? ( 2?? - 3?? )= 4 - 5?? Equating real and imaginary parts, we get 
?? 4
- 3?? 2
= 4 
(i) and 
2?? - 3?? = -5 
Form (i) and (ii), we get ?? = ±2 and ?? = 3,
1
3
. 
Trick: Put ?? = 2, ?? = 3 and then ?? = -2, ?? =
1
3
, we see that they both satisfy the given 
equation. 
Q5. The complex numbers ?????? ?? + ?? ?????? ?? ?? and ?????? ?? - ?? ?????? ?? ?? are conjugate to each 
other for 
(a) ?? = ???? 
(b) ?? = ( ?? +
?? ?? )?? 
(c) ?? = ?? 
(d) No value of ?? 
Ans: (d) sin ?? + ?? cos 2?? and cos ?? - ?? sin 2?? are conjugate to each other if sin ?? = cos ?? and 
cos 2?? = sin 2?? 
or tan ?? = 1 ? ?? =
?? 4
,
5?? 4
,
9?? 4
, … …. 
(i) and tan 2?? = 1 ? 2?? =
?? 4
,
5?? 4
,
9?? 4
,   or ?? =
?? 8
,
5?? 8
,
9?? 8
, … … 
(ii) There exists no value of ?? common in (i) and (ii). Therefore there is no value of ?? for 
which the given complex numbers are conjugate. 
Q6.  The real part of ( ?? - ?????? ?? + ?? ?? ?????? ?? )
-?? is 
(a) 
?? ?? +???????? ?? 
(b) 
?? ?? -???????? ?? 
(c) 
?? ?? -???????? ?? 
(d) 
?? ?? +???????? ?? 
A ns : (c) {( 1 - cos ?? )+ ?? . 2sin ?? }
-1
= {2sin
2
 
?? 2
+ ?? . 4sin 
?? 2
cos 
?? 2
}
-1
= ( 2sin 
?? 2
)
-1
{sin 
?? 2
+ ?? . 2cos 
?? 2
}
-1
 = ( 2sin 
?? 2
)
-1
·
1
sin 
?? 2
+ ?? · 2cos 
?? 2
×
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
=
sin 
?? 2
- ?? · 2cos 
?? 2
2sin 
?? 2
( sin
2
 
?? 2
+ 4cos
2
 
?? 2
)
 Hence, real part =
sin 
?? 2
2sin 
?? 2
( 1 + 3cos
2
 
?? 2
)
=
1
2 ( 1 + 3cos
2
 
?? 2
)
=
1
5 + 3cos ?? .
 
Q7.  For ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? ? ?? , if ?? < ?? ?? < ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? and ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? ?? , and 
?? ?? =
?? ?? ( ?? ?? + ?? ?? ) , then ?? ?? , ?? ?? and ?? ?? satisfy 
 
(a) |?? ?? | = |?? ?? | = |?? ?? | 
(b) |?? ?? | ? ?? ?? |< ?? ?? | 
(c) |?? ?? | > |?? ?? | > |?? ?? | 
(d) |?? ?? | < ?? ?? | < |?? ?? | 
Ans: (d) 0 < ?? 1
< ?? 2
, ?? 1
= ?? 2
 (Given) 
|?? 1
| = v?? 1
2
+ ?? 1
2
, |?? 2
| = v?? 2
2
+ ?? 2
2
? |?? 2
| > |?? 1
| ? |?? 3
| =
|?? 1
+ ?? 2
|
2
=
v
(
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
+ (
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
v
(
?? 1
+ ?? 2
2
)
2
+ ?? 1
2
< |?? 2
| > |?? 1
|. Hence, |?? 1
| < |?? 3
| < ?? 2
|
 
Q8.  The amplitude of ?????? 
?? ?? + ?? ( ?? - ?????? 
?? ?? ) 
(a) ?? /?? 
(b) ?? ?? /?? 
(c) ?? /???? 
(d) ?? /???? 
Ans: (c) sin 
?? 5
+ ?? ( 1 - cos 
?? 5
)= 2sin 
?? 10
· cos 
?? 10
+ ?? 2sin
2
 
?? 10
= 2sin 
?? 10
( cos 
?? 10
+ ?? sin 
?? 10
) 
For amplitude, tan ?? =
sin 
?? 10
cos 
?? 10
= tan 
?? 10
? ?? =
?? 10
. 
Q9.  If ?? and ?? are to non-zero complex numbers such that |???? | = ?? and ?????? ( ?? )-
?????? ( ?? )=
?? ?? , then ????? is equal to 
(a) 1 
(b) -1 
(c) ?? 
(d) -?? 
Ans: (d)  |?? ? ?? | = 1 
.(i) and arg (
?? ?? )=
?? 2
?
?? ?? = ?? ? |
?? ?? | = 1 
From equation (i) and (ii), 
|?? | = |?? | = 1 and 
?? ?? +
?? ?
?? ?
= 0; ?? ?? ? + ?? ??? = 0 ? ?? ??? = -?? ?? ? =
-?? ?? ?? ? ?? ? ?? ??? = -?? |?? |
2
= -?? . 
Q10.  If -?? + v -?? = ?? ?? ????
, then ?? is equal to 
(a) 
?? ?? 
(b) -
?? ?? 
(c) 
?? ?? ?? 
(d) -
?? ?? ?? 
Ans: (c) Here -1 + v -3 = ?? ?? ????
? -1 + ?? v 3 = ?? ?? ????
= ?? cos ?? + ???? sin ?? 
Equating real and imaginary part, we get ?? cos ?? = -1 and ?? sin ?? = v 3 
Hence tan ?? = -v 3 ? tan ?? = tan 
2?? 3
? ?? =
2?? 3
. 
Q11. Real part of ?? ?? ????
 is 
(a) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(b) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(c) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
(d) ?? ?????? ?? [?????? ( ?????? ?? ) ] 
Ans: (a) ?? ?? ????
= ?? ( cos ?? +?? sin ?? )
= ?? cos ?? · ?? ?? sin ?? = ?? cos ?? [cos ( ?? sin ?? )+ ?? sin ( sin ?? ) ] 
? Real part of ?? ?? ????
 is ?? cos ?? [cos ( sin ?? ) ]. 
Q12. The complex numbers ?? ?? , ?? ?? and ?? ?? satisfying 
?? ?? -?? ?? ?? ?? -?? ?? =
?? -?? v ?? ?? are the vertices of a 
triangle which is 
(a) Of area zero 
(b) Right-angled isosceles 
(c)Equilateral 
(d) Parabola 
Ans: (b) Taking mod of both sides of given relation |
?? 1
-?? 3
?? 2
-?? 3
| = |
1
2
- ?? v 3
2
| = v
1
4
+
3
4
= 1. 
So, |?? 1
- ?? 3
| = |?? 2
- ?? 3
|. Also, amp (
?? 1
-?? 3
?? 2
-?? 3
)= tan
-1
 ( -v 3)= -
?? 3
 or amp (
?? 2
-?? 3
?? 1
-?? 3
)=
?? 3
 or 
??? 2
?? 3
?? 1
= 60
°
 
? The triangle has two sides equal and the angle between the equal sides = 60
°
. So it is 
equilateral. 
Q13. Let ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? be three vertices of an equilateral triangle circumscribing the circle 
|?? | =
?? ?? . If ?? ?? =
?? ?? +
v ?? ?? ?? and ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? are in anticlockwise sense then ?? ?? is 
(a) ?? + v ?? ?? 
(b) ?? - v ?? ?? 
(c) 1 
(d) -1 
Ans: (d) ?? 2
= ?? 1
?? ?? 2?? /3
= (
1
2
+
v 3
2
?? )( cos 
2?? 3
+ ?? sin 
2?? 3
)= (
1
2
+
v 3
2
?? )(
-1
2
+
v 3
2
?? )=
-3
4
-
1
4
= -1. 
Q14.  If ?? = ?? + ???? , then area of the triangle whose vertices are points ?? , ???? and ?? + ???? is 
(a) ?? |?? |
?? 
(b) 
?? ?? |?? |
?? 
(c) |?? |
?? 
(d) 
?? ?? |?? |
?? 
Ans (b) Let ?? = ?? + ???? , ?? + ???? = ( ?? - ?? )+ ?? ( ?? + ?? ) and ???? = -?? + ???? 
If A denotes the area of the triangle formed by ?? , ?? + ???? and ???? , then 
?? =
1
2
|
?? ?? 1
?? - ?? ?? + ?? 1
-?? ?? 1
|  (Applying transforn We get ?? =
1
2
|
?? ?? 1
0 0 -1
-?? ?? 0
| =
1
2
( ?? 2
+ ?? 2
)=
1
2
|?? |
2
. 
Q15.  |?? ?? + ?? ?? | = |?? ?? | + |?? ?? | is possible if 
(a) ?? ?? = ???
?? 
(b) ?? ?? =
?? ?? ?? 
(c) ?????? ( ?? ?? )= ?????? ( ?? ?? ) 
(d) |?? ?? | = |?? ?? | 
Ans: (c) Squaring both sides, we get 
|?? 1
|
2
+ |?? 2
|
2
+ 2|?? 1
?
??? 2
|cos ( ?? 1
- ?? 2
)? ?? 1
|
2
+ |?? 2
|
2
+ 2|?? 1
? ?? 2
|
 ? 2|?? 1
? ??? 2
|cos ( ?? 1
- ?? 2
)= 2|?? 1
? ??? 2
| ? cos ( ?? 1
- ?? 2
)= 1 ? ?? 1
- ?? 2
= 0
°
? ?? 1
= ?? 2
 
Hence arg ( ?? 1
)= arg ( ?? 2
) 
Trick: Let ?? 1
 and ?? 2
 are the two sides of a triangle. By applying triangle inequality ( ?? 1
+ ?? 2
) is 
the third side. Equality holds only when ?? 1
= ?? 2
 i.e., ?? 1
 and ?? 2
 are parallel. 
Q16.  If |?? ?? - ?? | = |?? |
?? + ?? , then ?? lies on 
(a) An ellipse 
(b) The imaginary axis 
(c) A circle 
(d) The real axis 
Ans: (b) 
|?? 2
- 1| = |?? |
2
+ 1
 ? |?? - 1|
2
|?? + 1|
2
= ( ?? ?? ? + 1)
2
? ( ?? - 1) ( ?? ? - 1) ( ?? + 1) ( ?? ? + 1)= ( ?? ?? ? + 1)
2
? ?? + ?? ? = 0
 
? ?? lies on imaginary axis. 
Q17. The locus of the point ?? satisfying ?????? (
?? -?? ?? +?? )= ?? . (where ?? is non-zero) is 
(a) Circle with centre on ?? -axis 
(b) 
Circle with centre on ?? -axis 
(b) A straight line parallel to ?? -axis 
(d) A straight line making an angle ????
°
 with ?? -axis 
Ans: (a) 
arg (
?? - 1
?? + 1
) = ?? ? arg [
( ?? - 1)+ ????
( ?? + 1)+ ????
] = ?? ? arg [( ?? - 1)+ ???? ] - arg [( ?? + 1)+ ???? ] = ?? ? tan
-1
 (
?? ?? - 1
)- tan
-1
 (
?? ?? + 1
) = ?? ? tan
-1
 [
?? ?? - 1
-
?? ?? + 1
1 +
?? 2
?? 2
- 1
] = ?? ? tan ?? =
?? ( ?? + 1)- ?? ( ?? - 1)
?? 2
+ ?? 2
- 1
=
2?? ?? 2
+ ?? 2
- 1
 ?
2?? tan ?? = ?? 2
+ ?? 2
- 1 ? ?? 2
+ ?? 2
-
2?? tan ?? - 1 = 0
 
It is an equation of circle whose centre is ( -?? , -?? )= ( 0, cot ?? ) on ?? -axis. 
Q18.  If ?? ?? = ?????? 
????
?? ?? + ?? ?????? 
????
?? ?? , where ?? = ?? , ?? , ?? , … … , ?? , then ?????? ?? ?8
??? ?? ?? ?? ?? ?? … . . ?? ?? is equal 
to 
(a) ?????? ?? + ?? ?????? ?? 
(b) ?????? ( ?? /?? )- ?? ?????? ( ?? /?? ) 
(c) ?? ???? /?? 
(d) v ?? ????
?? 
Ans: (c) ?? ?? = cos 
????
?? 2
+ ?? sin 
????
?? 2
? ?? 1
= cos 
?? ?? 2
+ ?? sin 
?? ?? 2
; 
?? 2
= cos 
2?? ?? 2
+ ?? sin 
2?? ?? 2
; … … … … … … . . . . .
? ?? ?? = cos 
????
?? 2
+ ?? sin 
????
?? 2
? lim
?? ?8
?( ?? 1
, ?? 2
, ?? 3
, … … ?? ?? )= lim
?? ?8
? [cos {
?? ?? 2
( 1 + 2 + 3 + ? . . +?? ) } + ?? sin {
?? ?? 2
( 1 + 2 + 3 + ? . . +?? ) }]
 = lim
?? ?8
? [cos 
???? ( ?? + 1)
2?? 2
+ ?? sin 
???? ( ?? + 1)
2?? 2
] = cos 
?? 2
+ ?? sin 
?? 2
= ?? ???? /2
.