JEE Exam > JEE Notes > Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced > Definite Integration Solved Examples
Definite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced PDF Download
| Download, print and study this document offline |
Please wait while the PDF view is loading
Page 1
Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
?? ?? ?[?? ( ?? [?? ( ?? ) ]) ]
-?? ?? '
( ?? [?? ( ?? ) ]) ?? '
[?? ( ?? ) ]?? '
( ?? ) ???? is equal to
(a) 0
(b) ?? ( ?? )- ?? ( ?? )
(c) ?? [?? ( ?? ) ] - ?? [?? ( ?? ) ]
(d) None of these
Ans: (a) Put ?? ( ?? [h( ?? ) ]) = ?? ? ?? '
( ?? [h( ?? ) ]) ?? '
[h( ?? ) ]h
'
( ?? ) ???? = ????
? ? ?
/( ?? [h( ?? ) ])
?? ( ?? [h( ?? ) ])
?? -1
???? = [log ( ?? ) ]
/( ?? [h( ?? ) ])
( ?? |h( ?? ) ]
= 0 [? h( ?? ) = h( ?? ) ]
Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
?? = ? ?
2
-2
?|1 - ?? 2
|???? = ? ?
-1
-2
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
1
-1
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
2
1
?|1 - ?? 2
|????
? ?? = - ? ?
-1
-2
?( 1 - ?? 2
) ???? + ? ?
1
-1
?( 1 - ?? 2
) ???? - ? ?
2
1
?( 1 - ?? 2
) ???? ? ?? =
4
3
+
4
3
+
4
3
= 4.
Q3. The integral ?
-?? /?? ?? /?? ?([?? ] + ???? (
?? +?? ?? -?? ))???? equal to
(a)
-?? ??
(b) 0
(c) 1
(d) ?????? (
?? ?? )
Ans: (a) log (
1+?? 1-?? ) is an odd function of ?? as ?? ( -?? ) = -?? ( ?? )
?? = ? ?
1/2
-1/2
[?? ]???? + 0 ? ?? = ? ?
0
-1/2
[?? ]???? + ? ?
1/2
0
[?? ]???? ? ?? = ? ?
0
-1/2
- 1???? + 0 ? -[?? ]
-1/2
0
=
-1
2
.
Q4. If ?? is any integer, then ?
?? ?? ??? ?????? ?? ?? ?????? ?? ( ?? ?? + ?? ) ?????? is equal to
(a) ??
(b) 1
(c) 0
(d) None of these
Ans: (c)
Page 2
Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
?? ?? ?[?? ( ?? [?? ( ?? ) ]) ]
-?? ?? '
( ?? [?? ( ?? ) ]) ?? '
[?? ( ?? ) ]?? '
( ?? ) ???? is equal to
(a) 0
(b) ?? ( ?? )- ?? ( ?? )
(c) ?? [?? ( ?? ) ] - ?? [?? ( ?? ) ]
(d) None of these
Ans: (a) Put ?? ( ?? [h( ?? ) ]) = ?? ? ?? '
( ?? [h( ?? ) ]) ?? '
[h( ?? ) ]h
'
( ?? ) ???? = ????
? ? ?
/( ?? [h( ?? ) ])
?? ( ?? [h( ?? ) ])
?? -1
???? = [log ( ?? ) ]
/( ?? [h( ?? ) ])
( ?? |h( ?? ) ]
= 0 [? h( ?? ) = h( ?? ) ]
Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
?? = ? ?
2
-2
?|1 - ?? 2
|???? = ? ?
-1
-2
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
1
-1
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
2
1
?|1 - ?? 2
|????
? ?? = - ? ?
-1
-2
?( 1 - ?? 2
) ???? + ? ?
1
-1
?( 1 - ?? 2
) ???? - ? ?
2
1
?( 1 - ?? 2
) ???? ? ?? =
4
3
+
4
3
+
4
3
= 4.
Q3. The integral ?
-?? /?? ?? /?? ?([?? ] + ???? (
?? +?? ?? -?? ))???? equal to
(a)
-?? ??
(b) 0
(c) 1
(d) ?????? (
?? ?? )
Ans: (a) log (
1+?? 1-?? ) is an odd function of ?? as ?? ( -?? ) = -?? ( ?? )
?? = ? ?
1/2
-1/2
[?? ]???? + 0 ? ?? = ? ?
0
-1/2
[?? ]???? + ? ?
1/2
0
[?? ]???? ? ?? = ? ?
0
-1/2
- 1???? + 0 ? -[?? ]
-1/2
0
=
-1
2
.
Q4. If ?? is any integer, then ?
?? ?? ??? ?????? ?? ?? ?????? ?? ( ?? ?? + ?? ) ?????? is equal to
(a) ??
(b) 1
(c) 0
(d) None of these
Ans: (c)
?? = ? ?
?? 0
??? cos
2
( ?? -?? )
· cos
3
( 2?? + 1) ( ?? - ?? ) ????
? ?? = - ? ?
?? 0
??? cos
2
?? · cos
3
( 2?? + 1) ?????? ? ?? = -?? ? 2?? = 0 ? ?? = 0.
Q5. If ?? ( ?? + ?? - ?? ) = ?? ( ?? ) then ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? is equal to
(a)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? - ?? ) ????
(b)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(c)
?? -?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(d) None of these
Ans: (b) ?? = ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? and ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? + ?? - ?? ) ????
? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? ) ???? ? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? ) ?? ( ?? ) ???? - ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? ? 2?? = [?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? ] ( ?? + ?? ) ? ?? =
?? + ?? 2
?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(8) ?
0
?? ????? ( ?? ) ???? =
1
2
?? ?
0
?? ??? ( ?? ) ???? if ?? ( ?? - ?? ) = ?? ( ?? )
Q6. For ?? > ?? , ?
?? ?? ?? ?
?? ?????? ?? ?? ?? ?????? ?? ?? ?? +?????? ?? ?? ?? ???? is equal to
(a) ?? ??
(b) ?? ?? ??
(c) ?? ?? ??
(d) ?? ?? ??
Ans: (a)
?? = ? ?
2?? 0
?
?? sin
2?? ?????? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? and ?? = ? ?
2?? 0
?
( 2?? - ?? ) sin
2?? ( 2?? - ?? ) ????
sin
2?? ( 2?? - ?? )+ cos
2?? ( 2?? - ?? )
? 2?? = 2?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = ?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ????
using ? ?
????
0
??? ( ?? ) = ?? ? ?
?? 0
??? ( ?? ) ????
? ?? = 4?? ? ?
?? /2
0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = 4?? ( ?? /4) = ?? 2
.
Q7. If ?? ?? =
?? ?? +v ?? +
?? ?? +v ?? ?? + ? … . . +
?? ?? + v ?? ?? then ?????? ?? ?8
??? ?? is equal to
(a) ?????? ??
(b) ???????? ??
(c) ???????? ??
(d) ???????? ??
Ans: (b)
Page 3
Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
?? ?? ?[?? ( ?? [?? ( ?? ) ]) ]
-?? ?? '
( ?? [?? ( ?? ) ]) ?? '
[?? ( ?? ) ]?? '
( ?? ) ???? is equal to
(a) 0
(b) ?? ( ?? )- ?? ( ?? )
(c) ?? [?? ( ?? ) ] - ?? [?? ( ?? ) ]
(d) None of these
Ans: (a) Put ?? ( ?? [h( ?? ) ]) = ?? ? ?? '
( ?? [h( ?? ) ]) ?? '
[h( ?? ) ]h
'
( ?? ) ???? = ????
? ? ?
/( ?? [h( ?? ) ])
?? ( ?? [h( ?? ) ])
?? -1
???? = [log ( ?? ) ]
/( ?? [h( ?? ) ])
( ?? |h( ?? ) ]
= 0 [? h( ?? ) = h( ?? ) ]
Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
?? = ? ?
2
-2
?|1 - ?? 2
|???? = ? ?
-1
-2
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
1
-1
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
2
1
?|1 - ?? 2
|????
? ?? = - ? ?
-1
-2
?( 1 - ?? 2
) ???? + ? ?
1
-1
?( 1 - ?? 2
) ???? - ? ?
2
1
?( 1 - ?? 2
) ???? ? ?? =
4
3
+
4
3
+
4
3
= 4.
Q3. The integral ?
-?? /?? ?? /?? ?([?? ] + ???? (
?? +?? ?? -?? ))???? equal to
(a)
-?? ??
(b) 0
(c) 1
(d) ?????? (
?? ?? )
Ans: (a) log (
1+?? 1-?? ) is an odd function of ?? as ?? ( -?? ) = -?? ( ?? )
?? = ? ?
1/2
-1/2
[?? ]???? + 0 ? ?? = ? ?
0
-1/2
[?? ]???? + ? ?
1/2
0
[?? ]???? ? ?? = ? ?
0
-1/2
- 1???? + 0 ? -[?? ]
-1/2
0
=
-1
2
.
Q4. If ?? is any integer, then ?
?? ?? ??? ?????? ?? ?? ?????? ?? ( ?? ?? + ?? ) ?????? is equal to
(a) ??
(b) 1
(c) 0
(d) None of these
Ans: (c)
?? = ? ?
?? 0
??? cos
2
( ?? -?? )
· cos
3
( 2?? + 1) ( ?? - ?? ) ????
? ?? = - ? ?
?? 0
??? cos
2
?? · cos
3
( 2?? + 1) ?????? ? ?? = -?? ? 2?? = 0 ? ?? = 0.
Q5. If ?? ( ?? + ?? - ?? ) = ?? ( ?? ) then ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? is equal to
(a)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? - ?? ) ????
(b)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(c)
?? -?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(d) None of these
Ans: (b) ?? = ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? and ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? + ?? - ?? ) ????
? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? ) ???? ? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? ) ?? ( ?? ) ???? - ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? ? 2?? = [?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? ] ( ?? + ?? ) ? ?? =
?? + ?? 2
?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(8) ?
0
?? ????? ( ?? ) ???? =
1
2
?? ?
0
?? ??? ( ?? ) ???? if ?? ( ?? - ?? ) = ?? ( ?? )
Q6. For ?? > ?? , ?
?? ?? ?? ?
?? ?????? ?? ?? ?? ?????? ?? ?? ?? +?????? ?? ?? ?? ???? is equal to
(a) ?? ??
(b) ?? ?? ??
(c) ?? ?? ??
(d) ?? ?? ??
Ans: (a)
?? = ? ?
2?? 0
?
?? sin
2?? ?????? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? and ?? = ? ?
2?? 0
?
( 2?? - ?? ) sin
2?? ( 2?? - ?? ) ????
sin
2?? ( 2?? - ?? )+ cos
2?? ( 2?? - ?? )
? 2?? = 2?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = ?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ????
using ? ?
????
0
??? ( ?? ) = ?? ? ?
?? 0
??? ( ?? ) ????
? ?? = 4?? ? ?
?? /2
0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = 4?? ( ?? /4) = ?? 2
.
Q7. If ?? ?? =
?? ?? +v ?? +
?? ?? +v ?? ?? + ? … . . +
?? ?? + v ?? ?? then ?????? ?? ?8
??? ?? is equal to
(a) ?????? ??
(b) ???????? ??
(c) ???????? ??
(d) ???????? ??
Ans: (b)
? ?
?? ?8
?
1
?? + v ????
= ? lim
?? ?8
?
1
?? [
?? ?? + v
?? ?? ]
? lim
?? ?8
??? ?? = ? ?
1
0
?
1
v ?? ( 1 + v ?? )
????
= 2[log ( 1 + v ?? ) ]
0
1
= 2log 2
Q8. If ?? ?? = ?
?? 8
??? -?? ?? ?? -?? ???? , then ?
?? 8
??? -????
?? ?? -?? ???? is equal to
(a) ?? ?? ??
(b)
?? ?? ?? ??
(c)
?? ?? ?? ??
(d) ?? ?? ?? ??
Ans: (c) Put, ???? = ?? , ?????? = ???? , we get,
? ?
8
0
?? -????
?? ?? -1
???? =
1
?? ?? ? ?
8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
1
?? ?? ? ?
8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
?? ?? ?? ??
Q?? . ?
?? ?? /?? ??????? ?? ?????? has value
(a)
????
??????
(b)
????
????
(c)
????
????
(d)
????
????
Ans: (c) Using Walli's formula, ? ?? =
7-1
7
·
7-3
7-2
·
7-5
7-4
=
6.4.2
7.5.3
=
16
35
Q10. Let ?? : ( ?? , 8) ? ?? and ?? ( ?? ) = ?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? . If ?? ( ?? ?? ) = ?? ?? ( ?? + ?? ) , then ?? ( ?? ) equals
(a) ?? /??
(b) 7
(c) 4
(d) 2
Ans: (c) By definition of ?? ( ?? ) we have ?? ( ?? 2
) = ?
0
?? 2
??? ( ?? ) ???? = ?? 2
+ ?? 3
(given)
Differentiate both sides, ?? ( ?? 2
)· 2?? + 0 = 2?? + 3?? 2
Put, ?? = 2 ? 4?? ( 4) = 16 ? ?? ( 4) = 4
Q11. The improper integral ?
?? 8
??? -?? ???? is ...... and the value is....
(a) Convergent, 1
(b) Divergent, 1
(c) Convergent, 0
(d) Divergent, 0
Page 4
Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
?? ?? ?[?? ( ?? [?? ( ?? ) ]) ]
-?? ?? '
( ?? [?? ( ?? ) ]) ?? '
[?? ( ?? ) ]?? '
( ?? ) ???? is equal to
(a) 0
(b) ?? ( ?? )- ?? ( ?? )
(c) ?? [?? ( ?? ) ] - ?? [?? ( ?? ) ]
(d) None of these
Ans: (a) Put ?? ( ?? [h( ?? ) ]) = ?? ? ?? '
( ?? [h( ?? ) ]) ?? '
[h( ?? ) ]h
'
( ?? ) ???? = ????
? ? ?
/( ?? [h( ?? ) ])
?? ( ?? [h( ?? ) ])
?? -1
???? = [log ( ?? ) ]
/( ?? [h( ?? ) ])
( ?? |h( ?? ) ]
= 0 [? h( ?? ) = h( ?? ) ]
Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
?? = ? ?
2
-2
?|1 - ?? 2
|???? = ? ?
-1
-2
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
1
-1
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
2
1
?|1 - ?? 2
|????
? ?? = - ? ?
-1
-2
?( 1 - ?? 2
) ???? + ? ?
1
-1
?( 1 - ?? 2
) ???? - ? ?
2
1
?( 1 - ?? 2
) ???? ? ?? =
4
3
+
4
3
+
4
3
= 4.
Q3. The integral ?
-?? /?? ?? /?? ?([?? ] + ???? (
?? +?? ?? -?? ))???? equal to
(a)
-?? ??
(b) 0
(c) 1
(d) ?????? (
?? ?? )
Ans: (a) log (
1+?? 1-?? ) is an odd function of ?? as ?? ( -?? ) = -?? ( ?? )
?? = ? ?
1/2
-1/2
[?? ]???? + 0 ? ?? = ? ?
0
-1/2
[?? ]???? + ? ?
1/2
0
[?? ]???? ? ?? = ? ?
0
-1/2
- 1???? + 0 ? -[?? ]
-1/2
0
=
-1
2
.
Q4. If ?? is any integer, then ?
?? ?? ??? ?????? ?? ?? ?????? ?? ( ?? ?? + ?? ) ?????? is equal to
(a) ??
(b) 1
(c) 0
(d) None of these
Ans: (c)
?? = ? ?
?? 0
??? cos
2
( ?? -?? )
· cos
3
( 2?? + 1) ( ?? - ?? ) ????
? ?? = - ? ?
?? 0
??? cos
2
?? · cos
3
( 2?? + 1) ?????? ? ?? = -?? ? 2?? = 0 ? ?? = 0.
Q5. If ?? ( ?? + ?? - ?? ) = ?? ( ?? ) then ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? is equal to
(a)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? - ?? ) ????
(b)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(c)
?? -?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(d) None of these
Ans: (b) ?? = ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? and ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? + ?? - ?? ) ????
? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? ) ???? ? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? ) ?? ( ?? ) ???? - ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? ? 2?? = [?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? ] ( ?? + ?? ) ? ?? =
?? + ?? 2
?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(8) ?
0
?? ????? ( ?? ) ???? =
1
2
?? ?
0
?? ??? ( ?? ) ???? if ?? ( ?? - ?? ) = ?? ( ?? )
Q6. For ?? > ?? , ?
?? ?? ?? ?
?? ?????? ?? ?? ?? ?????? ?? ?? ?? +?????? ?? ?? ?? ???? is equal to
(a) ?? ??
(b) ?? ?? ??
(c) ?? ?? ??
(d) ?? ?? ??
Ans: (a)
?? = ? ?
2?? 0
?
?? sin
2?? ?????? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? and ?? = ? ?
2?? 0
?
( 2?? - ?? ) sin
2?? ( 2?? - ?? ) ????
sin
2?? ( 2?? - ?? )+ cos
2?? ( 2?? - ?? )
? 2?? = 2?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = ?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ????
using ? ?
????
0
??? ( ?? ) = ?? ? ?
?? 0
??? ( ?? ) ????
? ?? = 4?? ? ?
?? /2
0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = 4?? ( ?? /4) = ?? 2
.
Q7. If ?? ?? =
?? ?? +v ?? +
?? ?? +v ?? ?? + ? … . . +
?? ?? + v ?? ?? then ?????? ?? ?8
??? ?? is equal to
(a) ?????? ??
(b) ???????? ??
(c) ???????? ??
(d) ???????? ??
Ans: (b)
? ?
?? ?8
?
1
?? + v ????
= ? lim
?? ?8
?
1
?? [
?? ?? + v
?? ?? ]
? lim
?? ?8
??? ?? = ? ?
1
0
?
1
v ?? ( 1 + v ?? )
????
= 2[log ( 1 + v ?? ) ]
0
1
= 2log 2
Q8. If ?? ?? = ?
?? 8
??? -?? ?? ?? -?? ???? , then ?
?? 8
??? -????
?? ?? -?? ???? is equal to
(a) ?? ?? ??
(b)
?? ?? ?? ??
(c)
?? ?? ?? ??
(d) ?? ?? ?? ??
Ans: (c) Put, ???? = ?? , ?????? = ???? , we get,
? ?
8
0
?? -????
?? ?? -1
???? =
1
?? ?? ? ?
8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
1
?? ?? ? ?
8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
?? ?? ?? ??
Q?? . ?
?? ?? /?? ??????? ?? ?????? has value
(a)
????
??????
(b)
????
????
(c)
????
????
(d)
????
????
Ans: (c) Using Walli's formula, ? ?? =
7-1
7
·
7-3
7-2
·
7-5
7-4
=
6.4.2
7.5.3
=
16
35
Q10. Let ?? : ( ?? , 8) ? ?? and ?? ( ?? ) = ?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? . If ?? ( ?? ?? ) = ?? ?? ( ?? + ?? ) , then ?? ( ?? ) equals
(a) ?? /??
(b) 7
(c) 4
(d) 2
Ans: (c) By definition of ?? ( ?? ) we have ?? ( ?? 2
) = ?
0
?? 2
??? ( ?? ) ???? = ?? 2
+ ?? 3
(given)
Differentiate both sides, ?? ( ?? 2
)· 2?? + 0 = 2?? + 3?? 2
Put, ?? = 2 ? 4?? ( 4) = 16 ? ?? ( 4) = 4
Q11. The improper integral ?
?? 8
??? -?? ???? is ...... and the value is....
(a) Convergent, 1
(b) Divergent, 1
(c) Convergent, 0
(d) Divergent, 0
Ans: (a) ?? = ?
0
8
??? -?? ???? = lim
?? ?8
??
0
?? ??? -?? ???? ? ?? = lim
?? ?8
?[-?? -?? ]
0
?? = lim
?? ?8
?[-?? -?? + ?? 0
] ?
?? = lim
?? ?8
?( 1 - ?? -?? ) = 1 - 0 = 1 [? lim
?? ?8
??? -?? = ?? -8
= 0]
Thus, lim
?? ?8
??
0
?? ??? -?? ???? exists and is finite. Hence the given integral is convergent.
Q12. The integral ?
-8
8
?
?? ?? -?? +?? ?? ???? is
(a) Convergent and equal to ?? /??
(b) Convergent and equal to ?? /??
(c) Convergent and equal to ?? /??
(d) Convergent and equal to ?? /??
Ans : (d)
?? = ? ?
8
-8
1
?? -?? + ?? ?? ???? = ? ?
8
-8
?? ?? 1 + ?? 2?? ????
Put ?? ?? = ?? ? ?? ?? ???? = ????
? ?? = ?
0
8
?
1
1+?? 2
???? ? ?? = [tan
-1
?? ]
0
8
= [tan
-1
8 - tan
-1
0] ? ?? = ?? /2, which is finite so
convergent.
Q13. ?
-????
????
?[?????? -?? ?? ]???? , where [.] denotes greatest integer function
(a) ???? + ?????? ?? + ?????? ??
(b) ???? + ?????? ?? + ?????? ?? + ?????? ??
(c) ?????? + ?????? ?? + ?????? ??
(d) None of these
Ans: (b) Let ?? = ?
-10
20
?[cot
-1
?? ]???? ,
we know cot
-1
?? ? ( 0, ?? ) ??? ? ??
thus, [cot
-1
?? ] = {
3, ?? ? ( -8, cot 3)
2, ?? ? ( cot 3, cot 2)
1 ?? ? ( cot 2, cot 1)
0 ?? ? ( cot 1, 8)
Hence, ?? = ?
-10
cot 3
?3???? + ?
cot 3
cot 2
?2???? + ?
cot 2
cot 1
?1???? + ?
cot 1
20
?0???? = 30 + cot 1 + cot 2 + cot 3
Q14. ?
?? ?? ?[?? ?? - ?? + ?? ]???? , where [.] denotes greatest integer function
(a)
?? -v ?? ??
(b)
?? +v ?? ??
(c)
v ?? -?? ??
(d) None of these
Ans: (a)
Let ?? = ?
0
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? = ?
0
1+v 5
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? + ?
1+v 5
2
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? = ?
0
1+v 5
2
?1???? +
?
1+v 5
2
2
?2???? =
7-v 5
2
Page 5
Solved Examples on Definite Integrals
JEE Mains
Q1. If ?? ( ?? ) = ?? ( ?? ) , then ?
?? ?? ?[?? ( ?? [?? ( ?? ) ]) ]
-?? ?? '
( ?? [?? ( ?? ) ]) ?? '
[?? ( ?? ) ]?? '
( ?? ) ???? is equal to
(a) 0
(b) ?? ( ?? )- ?? ( ?? )
(c) ?? [?? ( ?? ) ] - ?? [?? ( ?? ) ]
(d) None of these
Ans: (a) Put ?? ( ?? [h( ?? ) ]) = ?? ? ?? '
( ?? [h( ?? ) ]) ?? '
[h( ?? ) ]h
'
( ?? ) ???? = ????
? ? ?
/( ?? [h( ?? ) ])
?? ( ?? [h( ?? ) ])
?? -1
???? = [log ( ?? ) ]
/( ?? [h( ?? ) ])
( ?? |h( ?? ) ]
= 0 [? h( ?? ) = h( ?? ) ]
Q2. ?? ?
-?? ?? ?|?? - ?? ?? |???? is equal to
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Ans: (b)
?? = ? ?
2
-2
?|1 - ?? 2
|???? = ? ?
-1
-2
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
1
-1
?|1 - ?? 2
|???? + ? ?
2
1
?|1 - ?? 2
|????
? ?? = - ? ?
-1
-2
?( 1 - ?? 2
) ???? + ? ?
1
-1
?( 1 - ?? 2
) ???? - ? ?
2
1
?( 1 - ?? 2
) ???? ? ?? =
4
3
+
4
3
+
4
3
= 4.
Q3. The integral ?
-?? /?? ?? /?? ?([?? ] + ???? (
?? +?? ?? -?? ))???? equal to
(a)
-?? ??
(b) 0
(c) 1
(d) ?????? (
?? ?? )
Ans: (a) log (
1+?? 1-?? ) is an odd function of ?? as ?? ( -?? ) = -?? ( ?? )
?? = ? ?
1/2
-1/2
[?? ]???? + 0 ? ?? = ? ?
0
-1/2
[?? ]???? + ? ?
1/2
0
[?? ]???? ? ?? = ? ?
0
-1/2
- 1???? + 0 ? -[?? ]
-1/2
0
=
-1
2
.
Q4. If ?? is any integer, then ?
?? ?? ??? ?????? ?? ?? ?????? ?? ( ?? ?? + ?? ) ?????? is equal to
(a) ??
(b) 1
(c) 0
(d) None of these
Ans: (c)
?? = ? ?
?? 0
??? cos
2
( ?? -?? )
· cos
3
( 2?? + 1) ( ?? - ?? ) ????
? ?? = - ? ?
?? 0
??? cos
2
?? · cos
3
( 2?? + 1) ?????? ? ?? = -?? ? 2?? = 0 ? ?? = 0.
Q5. If ?? ( ?? + ?? - ?? ) = ?? ( ?? ) then ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? is equal to
(a)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? - ?? ) ????
(b)
?? +?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(c)
?? -?? ?? ?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(d) None of these
Ans: (b) ?? = ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? and ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? + ?? - ?? ) ????
? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? - ?? ) ?? ( ?? ) ???? ? ?? = ?
?? ?? ?( ?? + ?? ) ?? ( ?? ) ???? - ?
?? ?? ????? ( ?? ) ???? ? 2?? = [?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? ] ( ?? + ?? ) ? ?? =
?? + ?? 2
?
?? ?? ??? ( ?? ) ????
(8) ?
0
?? ????? ( ?? ) ???? =
1
2
?? ?
0
?? ??? ( ?? ) ???? if ?? ( ?? - ?? ) = ?? ( ?? )
Q6. For ?? > ?? , ?
?? ?? ?? ?
?? ?????? ?? ?? ?? ?????? ?? ?? ?? +?????? ?? ?? ?? ???? is equal to
(a) ?? ??
(b) ?? ?? ??
(c) ?? ?? ??
(d) ?? ?? ??
Ans: (a)
?? = ? ?
2?? 0
?
?? sin
2?? ?????? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? and ?? = ? ?
2?? 0
?
( 2?? - ?? ) sin
2?? ( 2?? - ?? ) ????
sin
2?? ( 2?? - ?? )+ cos
2?? ( 2?? - ?? )
? 2?? = 2?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = ?? ? ?
2?? 0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ????
using ? ?
????
0
??? ( ?? ) = ?? ? ?
?? 0
??? ( ?? ) ????
? ?? = 4?? ? ?
?? /2
0
?
sin
2?? ?? sin
2?? ?? + cos
2?? ?? ???? ? ?? = 4?? ( ?? /4) = ?? 2
.
Q7. If ?? ?? =
?? ?? +v ?? +
?? ?? +v ?? ?? + ? … . . +
?? ?? + v ?? ?? then ?????? ?? ?8
??? ?? is equal to
(a) ?????? ??
(b) ???????? ??
(c) ???????? ??
(d) ???????? ??
Ans: (b)
? ?
?? ?8
?
1
?? + v ????
= ? lim
?? ?8
?
1
?? [
?? ?? + v
?? ?? ]
? lim
?? ?8
??? ?? = ? ?
1
0
?
1
v ?? ( 1 + v ?? )
????
= 2[log ( 1 + v ?? ) ]
0
1
= 2log 2
Q8. If ?? ?? = ?
?? 8
??? -?? ?? ?? -?? ???? , then ?
?? 8
??? -????
?? ?? -?? ???? is equal to
(a) ?? ?? ??
(b)
?? ?? ?? ??
(c)
?? ?? ?? ??
(d) ?? ?? ?? ??
Ans: (c) Put, ???? = ?? , ?????? = ???? , we get,
? ?
8
0
?? -????
?? ?? -1
???? =
1
?? ?? ? ?
8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
1
?? ?? ? ?
8
0
?? -?? ?? ?? -1
???? =
?? ?? ?? ??
Q?? . ?
?? ?? /?? ??????? ?? ?????? has value
(a)
????
??????
(b)
????
????
(c)
????
????
(d)
????
????
Ans: (c) Using Walli's formula, ? ?? =
7-1
7
·
7-3
7-2
·
7-5
7-4
=
6.4.2
7.5.3
=
16
35
Q10. Let ?? : ( ?? , 8) ? ?? and ?? ( ?? ) = ?
?? ?? ??? ( ?? ) ???? . If ?? ( ?? ?? ) = ?? ?? ( ?? + ?? ) , then ?? ( ?? ) equals
(a) ?? /??
(b) 7
(c) 4
(d) 2
Ans: (c) By definition of ?? ( ?? ) we have ?? ( ?? 2
) = ?
0
?? 2
??? ( ?? ) ???? = ?? 2
+ ?? 3
(given)
Differentiate both sides, ?? ( ?? 2
)· 2?? + 0 = 2?? + 3?? 2
Put, ?? = 2 ? 4?? ( 4) = 16 ? ?? ( 4) = 4
Q11. The improper integral ?
?? 8
??? -?? ???? is ...... and the value is....
(a) Convergent, 1
(b) Divergent, 1
(c) Convergent, 0
(d) Divergent, 0
Ans: (a) ?? = ?
0
8
??? -?? ???? = lim
?? ?8
??
0
?? ??? -?? ???? ? ?? = lim
?? ?8
?[-?? -?? ]
0
?? = lim
?? ?8
?[-?? -?? + ?? 0
] ?
?? = lim
?? ?8
?( 1 - ?? -?? ) = 1 - 0 = 1 [? lim
?? ?8
??? -?? = ?? -8
= 0]
Thus, lim
?? ?8
??
0
?? ??? -?? ???? exists and is finite. Hence the given integral is convergent.
Q12. The integral ?
-8
8
?
?? ?? -?? +?? ?? ???? is
(a) Convergent and equal to ?? /??
(b) Convergent and equal to ?? /??
(c) Convergent and equal to ?? /??
(d) Convergent and equal to ?? /??
Ans : (d)
?? = ? ?
8
-8
1
?? -?? + ?? ?? ???? = ? ?
8
-8
?? ?? 1 + ?? 2?? ????
Put ?? ?? = ?? ? ?? ?? ???? = ????
? ?? = ?
0
8
?
1
1+?? 2
???? ? ?? = [tan
-1
?? ]
0
8
= [tan
-1
8 - tan
-1
0] ? ?? = ?? /2, which is finite so
convergent.
Q13. ?
-????
????
?[?????? -?? ?? ]???? , where [.] denotes greatest integer function
(a) ???? + ?????? ?? + ?????? ??
(b) ???? + ?????? ?? + ?????? ?? + ?????? ??
(c) ?????? + ?????? ?? + ?????? ??
(d) None of these
Ans: (b) Let ?? = ?
-10
20
?[cot
-1
?? ]???? ,
we know cot
-1
?? ? ( 0, ?? ) ??? ? ??
thus, [cot
-1
?? ] = {
3, ?? ? ( -8, cot 3)
2, ?? ? ( cot 3, cot 2)
1 ?? ? ( cot 2, cot 1)
0 ?? ? ( cot 1, 8)
Hence, ?? = ?
-10
cot 3
?3???? + ?
cot 3
cot 2
?2???? + ?
cot 2
cot 1
?1???? + ?
cot 1
20
?0???? = 30 + cot 1 + cot 2 + cot 3
Q14. ?
?? ?? ?[?? ?? - ?? + ?? ]???? , where [.] denotes greatest integer function
(a)
?? -v ?? ??
(b)
?? +v ?? ??
(c)
v ?? -?? ??
(d) None of these
Ans: (a)
Let ?? = ?
0
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? = ?
0
1+v 5
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? + ?
1+v 5
2
2
?[?? 2
- ?? + 1]???? = ?
0
1+v 5
2
?1???? +
?
1+v 5
2
2
?2???? =
7-v 5
2
Q15. If ?
?????? ?? ?? ?????? ?? ?? ???? = ?? ?????? ?? ?? + ?? ?????? ?? ?? + ?? , then ?? + ?? equals
(A)
?? ????
(B) -
?? ????
(C)
????
??
(D) -
????
??
Ans: (B)
?
cos
2
?? sin
6
?? = ? cot
2
?? cosec ?????? = ? cot
2
?? ( 1 + cot
2
?? ) cosec ?????? Put ?? = cot ?? ? ?? = ? t
2
( 1 + ?? 2
) ( -1) ???? = - [
?? 5
5
+
?? 3
3
] + ?? ? ?? = -
1
5
, ?? = -
1
3
? ?? + ?? = -
8
15
Q16. If ?
?????? ?? ?? -????????
?????? ????????
?? ???? =
?? ( ?? )
?????? ????????
?? + ?? , then value of ?? (
?? ?? ) is
(A) 0
(B)
?? v ??
(C) v ??
(D) None of these
Ans: (C)
?
sec
2
?? - 2010
sin
2010
?? ????
= ? sec
2
?? ( sin ?? )
-2010
- 2010?
1
( sin ?? )
2010
???? = ?? 1
- ?? 2
Applying by parts on I
1
, we get
?? 1
=
tan ?? ( sin ?? )
2010
+ 2010?
tan ?? cos ?? ( sin ?? )
2011
???? =
tan ?? ( sin ?? )
2010
+ 2010?
????
( sin ?? )
2010
? I = I
1
- I
2
=
tan x
( sin x )
2010
=
P( x )
( sin x)
2010
P (
?? 3
) = tan
?? 3
= v 3
Read More
|
209 videos|443 docs|143 tests
|
FAQs on Definite Integration Solved Examples - Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
| 1. What is definite integration? |  |
Ans. Definite integration is a way to find the exact area under a curve between two specific points on the x-axis.
| 2. How is definite integration different from indefinite integration? | |
Ans. Definite integration involves finding the numerical value of the area under a curve between two limits, while indefinite integration involves finding a general antiderivative of a function.
| 3. Can you explain the concept of limits of integration in definite integration? | |
Ans. The limits of integration in definite integration specify the range over which the area under the curve is to be calculated. These limits are denoted by the symbols a and b in the integral notation.
| 4. How can definite integration be used to find the total distance traveled by an object? | |
Ans. By integrating the velocity function of the object over a specific time interval, one can find the total distance traveled by the object during that time.
| 5. What are some common applications of definite integration in real-life scenarios? | |
Ans. Definite integration is used in various fields such as physics, engineering, economics, and biology to calculate quantities like work, volume, area, and probability.
Related Exams
About this Document
|
4.65/5 Rating |
|
Nov 21, 2024 Last updated |
Document Description: Definite Integration Solved Examples for JEE 2024 is part of Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced preparation.
The notes and questions for Definite Integration Solved Examples have been prepared according to the JEE exam syllabus. Information about Definite Integration Solved Examples covers topics
like and Definite Integration Solved Examples Example, for JEE 2024 Exam. Find important definitions, questions, notes, meanings, examples, exercises and tests below for Definite Integration Solved Examples.
Introduction of Definite Integration Solved Examples in English is available as part of our Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
for JEE & Definite Integration Solved Examples in Hindi for Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced course.
Download more important topics related with notes, lectures and mock test series for JEE
Exam by signing up for free. JEE: Definite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
Description
Full syllabus notes, lecture & questions for Definite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced - JEE | Plus excerises question with solution to help you revise complete syllabus for Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced | Best notes, free PDF download
Information about Definite Integration Solved Examples
In this doc you can find the meaning of Definite Integration Solved Examples defined & explained in the simplest way possible. Besides explaining types of
Definite Integration Solved Examples theory, EduRev gives you an ample number of questions to practice Definite Integration Solved Examples tests, examples and also practice JEE
tests
|
209 videos|443 docs|143 tests
|
Download as PDF
|
Explore Courses for JEE exam
|
|
Signup for Free!
Signup to see your scores go up within 7 days! Learn & Practice with 1000+ FREE Notes, Videos & Tests.
Related Searches
mock tests for examination
,MCQs
,past year papers
,Sample Paper
,video lectures
,Definite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
,Important questions
,Definite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
,Free
,study material
,Objective type Questions
,Previous Year Questions with Solutions
,Exam
,Semester Notes
,practice quizzes
,Viva Questions
,Summary
,shortcuts and tricks
,Definite Integration Solved Examples | Mathematics (Maths) for JEE Main & Advanced
,ppt
,Extra Questions
;
Additional Information about Definite Integration Solved Examples for JEE Preparation
Definite Integration Solved Examples Free PDF Download
The Definite Integration Solved Examples is an invaluable resource that delves deep into the core of the JEE exam.
These study notes are curated by experts and cover all the essential topics and concepts, making your preparation more efficient and effective.
With the help of these notes, you can grasp complex subjects quickly, revise important points easily,
and reinforce your understanding of key concepts. The study notes are presented in a concise and easy-to-understand manner,
allowing you to optimize your learning process. Whether you're looking for best-recommended books, sample papers, study material,
or toppers' notes, this PDF has got you covered. Download the Definite Integration Solved Examples now and kickstart your journey towards success in the JEE exam.
Importance of Definite Integration Solved Examples
The importance of Definite Integration Solved Examples cannot be overstated, especially for JEE aspirants.
This document holds the key to success in the JEE exam.
It offers a detailed understanding of the concept, providing invaluable insights into the topic.
By knowing the concepts well in advance, students can plan their preparation effectively.
Utilize this indispensable guide for a well-rounded preparation and achieve your desired results.
Definite Integration Solved Examples Notes
Definite Integration Solved Examples Notes offer in-depth insights into the specific topic to help you master it with ease.
This comprehensive document covers all aspects related to Definite Integration Solved Examples.
It includes detailed information about the exam syllabus, recommended books, and study materials for a well-rounded preparation.
Practice papers and question papers enable you to assess your progress effectively.
Additionally, the paper analysis provides valuable tips for tackling the exam strategically.
Access to Toppers' notes gives you an edge in understanding complex concepts.
Whether you're a beginner or aiming for advanced proficiency, Definite Integration Solved Examples Notes on EduRev are your ultimate resource for success.
Definite Integration Solved Examples JEE Questions
The "Definite Integration Solved Examples JEE Questions" guide is a valuable resource for all aspiring students preparing for the
JEE exam. It focuses on providing a wide range of practice questions to help students gauge
their understanding of the exam topics. These questions cover the entire syllabus, ensuring comprehensive preparation.
The guide includes previous years' question papers for students to familiarize themselves with the exam's format and difficulty level.
Additionally, it offers subject-specific question banks, allowing students to focus on weak areas and improve their performance.
Study Definite Integration Solved Examples on the App
Students of JEE can study Definite Integration Solved Examples alongwith tests & analysis from the EduRev app,
which will help them while preparing for their exam. Apart from the Definite Integration Solved Examples,
students can also utilize the EduRev App for other study materials such as previous year question papers, syllabus, important questions, etc.
The EduRev App will make your learning easier as you can access it from anywhere you want.
The content of Definite Integration Solved Examples is prepared as per the latest JEE syllabus.
|
© EduRev
|
Education Revolution
|
Follow Us
|
Signup on EduRev and stay on top of your study goals
10M+ students crushing their study goals daily