Differential Equations JEE Notes | EduRev

JEE : Differential Equations JEE Notes | EduRev

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NODE6\E\Data\2014\Kota\JEE-Advanced\SMP\Maths\Unit#08\Eng\02.Differential Equation.p65
J E E - M a t h e m a t i c s
1 . DIFFERENTIAL  EQUATION  :
An  equation  that  involves  independent  and  dependent  variables  and  the  derivatives  of  the  dependent  variables
is  called  a  differential  equation.
A differential equation  is said to  be ordinary, if   the  differential coefficients  have reference  to a  single independent
variable  only  e.g. 
2
2
d y 2dy
cos x 0
dx dx
? ? ?   and  it  is  said  to  be  partial  if  there  are  two  or  more  independent
variables.  e.g. 
u u u
0
x y z
? ? ?
? ? ?
? ? ?
  is  a  partial  differential  equation.  We  are  concerned  with  ordinary  differential
equations  only.
2 . ORDER  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  order  of  a  differential  equation  is  the  order  of  the  highest  differential  coefficient  occurring  in  it.
3 . DEGREE  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  exponent  of  the  highest  order  differential  coefficient,  when  the  differential  equation  is  expressed  as  a
polynomial  in  all  the  differential  coefficient.
Thus  the  differential  equation  :
? ? ? ?
? ?
q
p
m 1
m
m m 1
d y
d y
f x, y x, y
dx dx
?
?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
..........  =  0 is  of order   m   &   degree  p.
Note  :
(i) The  exponents  of  all  the  differential  coefficient  should  be  free  from  radicals  and  fraction.
(ii) The  degree  is  always  positive  natural  number.
(iii) The  degree  of  differential  equation  may  or  may  not  exist.
Illustration  1  : Find  the  order  and  degree  of  the  following  differential  equation  :
(i) 
2
3
2
d y dy
3
dx dx
? ?
(ii) 
2
2
d y
dx
 = sin 
dy
dx
? ?
? ?
? ?
(iii) 
dy
dx
=
3x 5 ?
Solution  : (i) The given differential equation can be re-written as 
3
2
2
d y
dx
? ?
? ?
? ?
 = 
2
dy
3
dx
? ?
?
? ?
? ?
Hence order is 2  and degree  is  3.
(ii) The given differential equation has the order 2. Since the given differential equation cannot
be written as a polynomial in the differential coefficients, the degree of the equation is not
defined.
(iii) Its order is 1 and degree 1. Ans.
Illustration  2  : The  order  and  degree  of  the  differential  equation 
2
3
2
2
d s ds
3 4 0
dt dt
? ?
? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
  are  -
(A) 2 , 2 (B) 2 , 3 (C) 3 , 2 (D)  none  of  these
Solution  : Clearly order  is 2 and degree is 2  (from  the definition  of order  and degree of differential equations).
        Ans.  (A)
DIFFERENTIAL  EQUATION
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1 . DIFFERENTIAL  EQUATION  :
An  equation  that  involves  independent  and  dependent  variables  and  the  derivatives  of  the  dependent  variables
is  called  a  differential  equation.
A differential equation  is said to  be ordinary, if   the  differential coefficients  have reference  to a  single independent
variable  only  e.g. 
2
2
d y 2dy
cos x 0
dx dx
? ? ?   and  it  is  said  to  be  partial  if  there  are  two  or  more  independent
variables.  e.g. 
u u u
0
x y z
? ? ?
? ? ?
? ? ?
  is  a  partial  differential  equation.  We  are  concerned  with  ordinary  differential
equations  only.
2 . ORDER  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  order  of  a  differential  equation  is  the  order  of  the  highest  differential  coefficient  occurring  in  it.
3 . DEGREE  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  exponent  of  the  highest  order  differential  coefficient,  when  the  differential  equation  is  expressed  as  a
polynomial  in  all  the  differential  coefficient.
Thus  the  differential  equation  :
? ? ? ?
? ?
q
p
m 1
m
m m 1
d y
d y
f x, y x, y
dx dx
?
?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
..........  =  0 is  of order   m   &   degree  p.
Note  :
(i) The  exponents  of  all  the  differential  coefficient  should  be  free  from  radicals  and  fraction.
(ii) The  degree  is  always  positive  natural  number.
(iii) The  degree  of  differential  equation  may  or  may  not  exist.
Illustration  1  : Find  the  order  and  degree  of  the  following  differential  equation  :
(i) 
2
3
2
d y dy
3
dx dx
? ?
(ii) 
2
2
d y
dx
 = sin 
dy
dx
? ?
? ?
? ?
(iii) 
dy
dx
=
3x 5 ?
Solution  : (i) The given differential equation can be re-written as 
3
2
2
d y
dx
? ?
? ?
? ?
 = 
2
dy
3
dx
? ?
?
? ?
? ?
Hence order is 2  and degree  is  3.
(ii) The given differential equation has the order 2. Since the given differential equation cannot
be written as a polynomial in the differential coefficients, the degree of the equation is not
defined.
(iii) Its order is 1 and degree 1. Ans.
Illustration  2  : The  order  and  degree  of  the  differential  equation 
2
3
2
2
d s ds
3 4 0
dt dt
? ?
? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
  are  -
(A) 2 , 2 (B) 2 , 3 (C) 3 , 2 (D)  none  of  these
Solution  : Clearly order  is 2 and degree is 2  (from  the definition  of order  and degree of differential equations).
        Ans.  (A)
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Do  yourself  -  1  :
Find  the  order  and  degree  of  following  differential  equations
(i) [1  +  (y')
2
]
1/2
  =  x
2
  +  y (ii) (1  +  y')
1/2
  =  y" (iii) y' = sin y
4 . FORMATION  OF  A  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
In  order  to  obtain  a  differential  equation  whose  solution  is
f(x
1
,  y
1
,  c
1
,  c
2
,  c
3
.........,c
n
)  =  0
where  c
1
,  c
2
,.......c
n
  are 'n'  arbitrary  constants,  we  have  to  eliminate  the  'n' constants  for  which  we  require  (n+1)
equations.
A  differential  equation  is  obtained  as  follows  :
(a) Differentiate  the  given  equation  w.r.t    the  independent  variable  (say  x)  as  many  times as  the  number  of
independent  arbitrary  constants  in  it.
(b) Eliminate  the  arbitrary  constants.
(c) The  eliminant  is  the  required  differential  equation.
Note  :
(i) A  differential  equation  represents  a  family  of  curves  all  satisfying  some  common    properties.  This  can
be  considered  as  the  geometrical  interpretation  of  the  differential  equation.
(ii) For  there  being n  differentiation,  the  resulting  equation  must  contain  a derivative  of  n
th
  order  i.e.  equal  to
number  of  independent  arbitrary  constant.
Illustration  3  : Find  the  differential  equation  of  all  parabolas  whose  axes  is  parallel  to  the  x-axis  and  having  latus
rectum  a.
Solution    : Equation  of  parabola  whose  axes  is  parallel  to  x-axis  and  having  latus  rectum  'a'  is
(y –  ?)
2
 = a (x –  ?)
Differentiating  both sides,  we  get  2(y –  ?) 
dy
dx
  =  a
Again  differentiating,  we  get
? 2(y –  ?) 
2
2
d y
dx
 + 2 
2
dy
dx
? ?
? ?
? ?
 = 0 ? ? a
2
2
d y
dx
 +  2 
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
  =  0. Ans.
Illustration  4  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  c  (y  +  c)
2
  =  x
3
Solution  : c (y  +  c)
2
  =  x
3
...(i)
Differentiating,  we  get,  c.
dy
2(y c)
dx
? ? ?
? ?
  =  3x
2
Writing  the  value of  c from  (i),  we  have
3
2
2x
(y c) ?
(y  +  c)
dy
dx
  =  3x
2
?  
3
2x
y c ?
dy
dx
 = 3x
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1 . DIFFERENTIAL  EQUATION  :
An  equation  that  involves  independent  and  dependent  variables  and  the  derivatives  of  the  dependent  variables
is  called  a  differential  equation.
A differential equation  is said to  be ordinary, if   the  differential coefficients  have reference  to a  single independent
variable  only  e.g. 
2
2
d y 2dy
cos x 0
dx dx
? ? ?   and  it  is  said  to  be  partial  if  there  are  two  or  more  independent
variables.  e.g. 
u u u
0
x y z
? ? ?
? ? ?
? ? ?
  is  a  partial  differential  equation.  We  are  concerned  with  ordinary  differential
equations  only.
2 . ORDER  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  order  of  a  differential  equation  is  the  order  of  the  highest  differential  coefficient  occurring  in  it.
3 . DEGREE  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  exponent  of  the  highest  order  differential  coefficient,  when  the  differential  equation  is  expressed  as  a
polynomial  in  all  the  differential  coefficient.
Thus  the  differential  equation  :
? ? ? ?
? ?
q
p
m 1
m
m m 1
d y
d y
f x, y x, y
dx dx
?
?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
..........  =  0 is  of order   m   &   degree  p.
Note  :
(i) The  exponents  of  all  the  differential  coefficient  should  be  free  from  radicals  and  fraction.
(ii) The  degree  is  always  positive  natural  number.
(iii) The  degree  of  differential  equation  may  or  may  not  exist.
Illustration  1  : Find  the  order  and  degree  of  the  following  differential  equation  :
(i) 
2
3
2
d y dy
3
dx dx
? ?
(ii) 
2
2
d y
dx
 = sin 
dy
dx
? ?
? ?
? ?
(iii) 
dy
dx
=
3x 5 ?
Solution  : (i) The given differential equation can be re-written as 
3
2
2
d y
dx
? ?
? ?
? ?
 = 
2
dy
3
dx
? ?
?
? ?
? ?
Hence order is 2  and degree  is  3.
(ii) The given differential equation has the order 2. Since the given differential equation cannot
be written as a polynomial in the differential coefficients, the degree of the equation is not
defined.
(iii) Its order is 1 and degree 1. Ans.
Illustration  2  : The  order  and  degree  of  the  differential  equation 
2
3
2
2
d s ds
3 4 0
dt dt
? ?
? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
  are  -
(A) 2 , 2 (B) 2 , 3 (C) 3 , 2 (D)  none  of  these
Solution  : Clearly order  is 2 and degree is 2  (from  the definition  of order  and degree of differential equations).
        Ans.  (A)
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Do  yourself  -  1  :
Find  the  order  and  degree  of  following  differential  equations
(i) [1  +  (y')
2
]
1/2
  =  x
2
  +  y (ii) (1  +  y')
1/2
  =  y" (iii) y' = sin y
4 . FORMATION  OF  A  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
In  order  to  obtain  a  differential  equation  whose  solution  is
f(x
1
,  y
1
,  c
1
,  c
2
,  c
3
.........,c
n
)  =  0
where  c
1
,  c
2
,.......c
n
  are 'n'  arbitrary  constants,  we  have  to  eliminate  the  'n' constants  for  which  we  require  (n+1)
equations.
A  differential  equation  is  obtained  as  follows  :
(a) Differentiate  the  given  equation  w.r.t    the  independent  variable  (say  x)  as  many  times as  the  number  of
independent  arbitrary  constants  in  it.
(b) Eliminate  the  arbitrary  constants.
(c) The  eliminant  is  the  required  differential  equation.
Note  :
(i) A  differential  equation  represents  a  family  of  curves  all  satisfying  some  common    properties.  This  can
be  considered  as  the  geometrical  interpretation  of  the  differential  equation.
(ii) For  there  being n  differentiation,  the  resulting  equation  must  contain  a derivative  of  n
th
  order  i.e.  equal  to
number  of  independent  arbitrary  constant.
Illustration  3  : Find  the  differential  equation  of  all  parabolas  whose  axes  is  parallel  to  the  x-axis  and  having  latus
rectum  a.
Solution    : Equation  of  parabola  whose  axes  is  parallel  to  x-axis  and  having  latus  rectum  'a'  is
(y –  ?)
2
 = a (x –  ?)
Differentiating  both sides,  we  get  2(y –  ?) 
dy
dx
  =  a
Again  differentiating,  we  get
? 2(y –  ?) 
2
2
d y
dx
 + 2 
2
dy
dx
? ?
? ?
? ?
 = 0 ? ? a
2
2
d y
dx
 +  2 
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
  =  0. Ans.
Illustration  4  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  c  (y  +  c)
2
  =  x
3
Solution  : c (y  +  c)
2
  =  x
3
...(i)
Differentiating,  we  get,  c.
dy
2(y c)
dx
? ? ?
? ?
  =  3x
2
Writing  the  value of  c from  (i),  we  have
3
2
2x
(y c) ?
(y  +  c)
dy
dx
  =  3x
2
?  
3
2x
y c ?
dy
dx
 = 3x
2
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i.e. 
2x
y c ?
dy
dx
  =  3 ?  
2x
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
 = y + c
Hence c  =
2x
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
  –  y
Substituting  value  of  c  in  equation  (i),  we  get
2
2x dy 2x dy
y
3 dx 3 dx
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
  =x
3
,
which  is  the  required  differential  equation. Ans.
Illustration  5  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  y  =  a  cos ?x  +  b  sin ?x,  where
?  =  fixed  constant
Solution  : y = a cos ?x + b sin ?x,  ? = fixed constant ....(i)
Differentiating,  we get
dy
dx
= –  ?a sin ?x +  ?b cos ?x
Again  differentiating,  we get
2
2
d y
dx
= – ?
2
 a cos ?x –  ?
2
 b sin ?x
using equation (i), we get
2
2
d y
dx
= – ?
2 
y Ans.
Do  yourself  -  2
Eliminate  the  arbitrary  constants  and  obtain  the  differential  equation  satisfied  by  it.
(i) y  =  2x  +  ce
x
(ii) 2
a
y bx
x
? ?
? ?
? ?
? ?
(iii) y  =  ae
2x
  +  be
–2x
  +  c
5 . SOLUTION  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  solution  of  the  differential  equation  is  a  relation  between  the  variables  of  the  equation  not  containing  the
derivatives,  but  satisfying  the  given  differential  equation  (i.e.,  from  which  the  given  differential  equation  can  be
derived).
Thus,  the  solution  of 
x
dy
e
dx
?   could  be  obtained  by  simply  integrating  both  sides,  i.e.,  y  =  e
x
  +  c  and  that  of,
dy
dx
=  px  +  q  is  y  = 
2
px
2
+  qx  +  c, where  c  is  arbitrary  constant.
(i) A  general  solution  or  an  integral    of  a  differential  equation  is  a  relation  between  the  variables  (not
involving  the  derivatives)  which  contains  the  same  number  of  the  arbitrary  constants  as  the  order  of  the
differential  equation.
For  example,  a  general  solution  of  the  differential  equation 
2
2
d x
dt
=  –4x  is  x  =  A  cos2t  +  B  sin2t  where
A  and  B  are  the  arbitrary  constants.
(ii) Particular  solution  or  particular  integral    is  that  solution  of  the  differential  equation  which  is  obtained
from  the  general  solution  by  assigning  particular  values  to  the  arbitrary  constant  in  the  general  solution.
For  example,  x  =  10  cos2t  +  5  sin2t  is  a  particular  solution  of  differential  equation 
2
2
d x
4x
dt
? ? .
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1 . DIFFERENTIAL  EQUATION  :
An  equation  that  involves  independent  and  dependent  variables  and  the  derivatives  of  the  dependent  variables
is  called  a  differential  equation.
A differential equation  is said to  be ordinary, if   the  differential coefficients  have reference  to a  single independent
variable  only  e.g. 
2
2
d y 2dy
cos x 0
dx dx
? ? ?   and  it  is  said  to  be  partial  if  there  are  two  or  more  independent
variables.  e.g. 
u u u
0
x y z
? ? ?
? ? ?
? ? ?
  is  a  partial  differential  equation.  We  are  concerned  with  ordinary  differential
equations  only.
2 . ORDER  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  order  of  a  differential  equation  is  the  order  of  the  highest  differential  coefficient  occurring  in  it.
3 . DEGREE  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  exponent  of  the  highest  order  differential  coefficient,  when  the  differential  equation  is  expressed  as  a
polynomial  in  all  the  differential  coefficient.
Thus  the  differential  equation  :
? ? ? ?
? ?
q
p
m 1
m
m m 1
d y
d y
f x, y x, y
dx dx
?
?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
..........  =  0 is  of order   m   &   degree  p.
Note  :
(i) The  exponents  of  all  the  differential  coefficient  should  be  free  from  radicals  and  fraction.
(ii) The  degree  is  always  positive  natural  number.
(iii) The  degree  of  differential  equation  may  or  may  not  exist.
Illustration  1  : Find  the  order  and  degree  of  the  following  differential  equation  :
(i) 
2
3
2
d y dy
3
dx dx
? ?
(ii) 
2
2
d y
dx
 = sin 
dy
dx
? ?
? ?
? ?
(iii) 
dy
dx
=
3x 5 ?
Solution  : (i) The given differential equation can be re-written as 
3
2
2
d y
dx
? ?
? ?
? ?
 = 
2
dy
3
dx
? ?
?
? ?
? ?
Hence order is 2  and degree  is  3.
(ii) The given differential equation has the order 2. Since the given differential equation cannot
be written as a polynomial in the differential coefficients, the degree of the equation is not
defined.
(iii) Its order is 1 and degree 1. Ans.
Illustration  2  : The  order  and  degree  of  the  differential  equation 
2
3
2
2
d s ds
3 4 0
dt dt
? ?
? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
  are  -
(A) 2 , 2 (B) 2 , 3 (C) 3 , 2 (D)  none  of  these
Solution  : Clearly order  is 2 and degree is 2  (from  the definition  of order  and degree of differential equations).
        Ans.  (A)
DIFFERENTIAL  EQUATION
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Do  yourself  -  1  :
Find  the  order  and  degree  of  following  differential  equations
(i) [1  +  (y')
2
]
1/2
  =  x
2
  +  y (ii) (1  +  y')
1/2
  =  y" (iii) y' = sin y
4 . FORMATION  OF  A  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
In  order  to  obtain  a  differential  equation  whose  solution  is
f(x
1
,  y
1
,  c
1
,  c
2
,  c
3
.........,c
n
)  =  0
where  c
1
,  c
2
,.......c
n
  are 'n'  arbitrary  constants,  we  have  to  eliminate  the  'n' constants  for  which  we  require  (n+1)
equations.
A  differential  equation  is  obtained  as  follows  :
(a) Differentiate  the  given  equation  w.r.t    the  independent  variable  (say  x)  as  many  times as  the  number  of
independent  arbitrary  constants  in  it.
(b) Eliminate  the  arbitrary  constants.
(c) The  eliminant  is  the  required  differential  equation.
Note  :
(i) A  differential  equation  represents  a  family  of  curves  all  satisfying  some  common    properties.  This  can
be  considered  as  the  geometrical  interpretation  of  the  differential  equation.
(ii) For  there  being n  differentiation,  the  resulting  equation  must  contain  a derivative  of  n
th
  order  i.e.  equal  to
number  of  independent  arbitrary  constant.
Illustration  3  : Find  the  differential  equation  of  all  parabolas  whose  axes  is  parallel  to  the  x-axis  and  having  latus
rectum  a.
Solution    : Equation  of  parabola  whose  axes  is  parallel  to  x-axis  and  having  latus  rectum  'a'  is
(y –  ?)
2
 = a (x –  ?)
Differentiating  both sides,  we  get  2(y –  ?) 
dy
dx
  =  a
Again  differentiating,  we  get
? 2(y –  ?) 
2
2
d y
dx
 + 2 
2
dy
dx
? ?
? ?
? ?
 = 0 ? ? a
2
2
d y
dx
 +  2 
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
  =  0. Ans.
Illustration  4  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  c  (y  +  c)
2
  =  x
3
Solution  : c (y  +  c)
2
  =  x
3
...(i)
Differentiating,  we  get,  c.
dy
2(y c)
dx
? ? ?
? ?
  =  3x
2
Writing  the  value of  c from  (i),  we  have
3
2
2x
(y c) ?
(y  +  c)
dy
dx
  =  3x
2
?  
3
2x
y c ?
dy
dx
 = 3x
2
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i.e. 
2x
y c ?
dy
dx
  =  3 ?  
2x
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
 = y + c
Hence c  =
2x
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
  –  y
Substituting  value  of  c  in  equation  (i),  we  get
2
2x dy 2x dy
y
3 dx 3 dx
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
  =x
3
,
which  is  the  required  differential  equation. Ans.
Illustration  5  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  y  =  a  cos ?x  +  b  sin ?x,  where
?  =  fixed  constant
Solution  : y = a cos ?x + b sin ?x,  ? = fixed constant ....(i)
Differentiating,  we get
dy
dx
= –  ?a sin ?x +  ?b cos ?x
Again  differentiating,  we get
2
2
d y
dx
= – ?
2
 a cos ?x –  ?
2
 b sin ?x
using equation (i), we get
2
2
d y
dx
= – ?
2 
y Ans.
Do  yourself  -  2
Eliminate  the  arbitrary  constants  and  obtain  the  differential  equation  satisfied  by  it.
(i) y  =  2x  +  ce
x
(ii) 2
a
y bx
x
? ?
? ?
? ?
? ?
(iii) y  =  ae
2x
  +  be
–2x
  +  c
5 . SOLUTION  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  solution  of  the  differential  equation  is  a  relation  between  the  variables  of  the  equation  not  containing  the
derivatives,  but  satisfying  the  given  differential  equation  (i.e.,  from  which  the  given  differential  equation  can  be
derived).
Thus,  the  solution  of 
x
dy
e
dx
?   could  be  obtained  by  simply  integrating  both  sides,  i.e.,  y  =  e
x
  +  c  and  that  of,
dy
dx
=  px  +  q  is  y  = 
2
px
2
+  qx  +  c, where  c  is  arbitrary  constant.
(i) A  general  solution  or  an  integral    of  a  differential  equation  is  a  relation  between  the  variables  (not
involving  the  derivatives)  which  contains  the  same  number  of  the  arbitrary  constants  as  the  order  of  the
differential  equation.
For  example,  a  general  solution  of  the  differential  equation 
2
2
d x
dt
=  –4x  is  x  =  A  cos2t  +  B  sin2t  where
A  and  B  are  the  arbitrary  constants.
(ii) Particular  solution  or  particular  integral    is  that  solution  of  the  differential  equation  which  is  obtained
from  the  general  solution  by  assigning  particular  values  to  the  arbitrary  constant  in  the  general  solution.
For  example,  x  =  10  cos2t  +  5  sin2t  is  a  particular  solution  of  differential  equation 
2
2
d x
4x
dt
? ? .
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Note  :
(i) The  general  solution  of  a  differential  equation  can  be  expressed  in  different  (but  equivalent)  forms.  For
example
log x – log (y + 2) = k ....(i)
where  k  is  an  arbitrary  constant  is  the  general  solution  of  the  differential  equation  xy'  =  y  +  2.  The
solution  given  by  equation  (i)  can  also  be  re-written  as
x
log k
y 2
? ?
?
? ?
?
? ?
 or 
k
1
x
e c
y 2
? ?
?
...(ii)
or x  =  c
1
(y +  2) ...(iii)
where  c
1
  =  e
k
  is  another  arbitrary  constant.  The  solution  (iii)  can  also  be  written  as
y  +  2=  c
2
x
where  c
2
  =  1/c
1
  is  another  arbitrary  constant.
(ii) All  differential  equations  that  we  come  across  have  unique  solutions  or  a  family  of  solutions.  For
example,  the  differential  equation 
dy
| y| 0
dx
? ?   has  only  the  trivial  solution,  i.e.  y  =  0.
The  differential  equation 
dy
| y| c 0, c 0
dx
? ? ? ?   has  no  solution.
6 . ELEMENTARY  TYPES  OF  FIRST  ORDER  &  FIRST  DEGREE  DIFFERENTIAL  EQUATIONS  :
( a ) Separation  of  Variables  :
Some  differential equations  can be  solved by  the method  of separation of variables  (or “variable  separable”).
This  method  is  only  possible,  if  we  can  express  the  differential  equation  in  the  form
A(x)dx  +  B(y)  dy  =  0
where A(x) is a function of 'x' only and B(y) is a function of 'y' only.
A  general solution  of  this  is  given  by,
? A(x) dx +  ? ?B(y)dy = c
where  'c'  is  the  arbitrary  constant.
Illustration  6  : Solve  the  differential  equation  xy 
dy
dx
=
2
2
1 y
1 x
?
?
(1  +  x  +  x
2
).
Solution  : Differential  equation  can  be rewritten as
xy 
dy
dx
= (1 + y
2
) 
2
x
1
1 x
? ?
?
? ?
?
? ?
  ? 
2
y
1 y ?
dy  =
2
1 1
dx
x 1 x
? ?
?
? ?
?
? ?
Integrating,  we  get
1
2
?n(1 +  y
2
) =  ?n  x  +  tan
–1
 x +  ?n c  ? 
2
1 y ?
 =
1
tan x
cxe
?
. Ans.
Illustration  7  : Solve  the  differential  equation  (  x
3
  –  y
2
x
3
  )
3 2 3
dy
y x y 0
dx
? ? ? .
Solution  : The given  equation  (  x
3
 –  y
2
x
3
  )
3 2 3
dy
y x y 0
dx
? ? ?
2 2
3 3
1 y 1 x
dy dx 0
y x
? ?
? ? ?
    
3 3
1 1 1 1
dy dx 0
y x y x
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
2 2
x 1 1 1
log c
y 2 y x
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
Ans.
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E
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1 . DIFFERENTIAL  EQUATION  :
An  equation  that  involves  independent  and  dependent  variables  and  the  derivatives  of  the  dependent  variables
is  called  a  differential  equation.
A differential equation  is said to  be ordinary, if   the  differential coefficients  have reference  to a  single independent
variable  only  e.g. 
2
2
d y 2dy
cos x 0
dx dx
? ? ?   and  it  is  said  to  be  partial  if  there  are  two  or  more  independent
variables.  e.g. 
u u u
0
x y z
? ? ?
? ? ?
? ? ?
  is  a  partial  differential  equation.  We  are  concerned  with  ordinary  differential
equations  only.
2 . ORDER  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  order  of  a  differential  equation  is  the  order  of  the  highest  differential  coefficient  occurring  in  it.
3 . DEGREE  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  exponent  of  the  highest  order  differential  coefficient,  when  the  differential  equation  is  expressed  as  a
polynomial  in  all  the  differential  coefficient.
Thus  the  differential  equation  :
? ? ? ?
? ?
q
p
m 1
m
m m 1
d y
d y
f x, y x, y
dx dx
?
?
? ?
? ?
? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
..........  =  0 is  of order   m   &   degree  p.
Note  :
(i) The  exponents  of  all  the  differential  coefficient  should  be  free  from  radicals  and  fraction.
(ii) The  degree  is  always  positive  natural  number.
(iii) The  degree  of  differential  equation  may  or  may  not  exist.
Illustration  1  : Find  the  order  and  degree  of  the  following  differential  equation  :
(i) 
2
3
2
d y dy
3
dx dx
? ?
(ii) 
2
2
d y
dx
 = sin 
dy
dx
? ?
? ?
? ?
(iii) 
dy
dx
=
3x 5 ?
Solution  : (i) The given differential equation can be re-written as 
3
2
2
d y
dx
? ?
? ?
? ?
 = 
2
dy
3
dx
? ?
?
? ?
? ?
Hence order is 2  and degree  is  3.
(ii) The given differential equation has the order 2. Since the given differential equation cannot
be written as a polynomial in the differential coefficients, the degree of the equation is not
defined.
(iii) Its order is 1 and degree 1. Ans.
Illustration  2  : The  order  and  degree  of  the  differential  equation 
2
3
2
2
d s ds
3 4 0
dt dt
? ?
? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
  are  -
(A) 2 , 2 (B) 2 , 3 (C) 3 , 2 (D)  none  of  these
Solution  : Clearly order  is 2 and degree is 2  (from  the definition  of order  and degree of differential equations).
        Ans.  (A)
DIFFERENTIAL  EQUATION
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Do  yourself  -  1  :
Find  the  order  and  degree  of  following  differential  equations
(i) [1  +  (y')
2
]
1/2
  =  x
2
  +  y (ii) (1  +  y')
1/2
  =  y" (iii) y' = sin y
4 . FORMATION  OF  A  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
In  order  to  obtain  a  differential  equation  whose  solution  is
f(x
1
,  y
1
,  c
1
,  c
2
,  c
3
.........,c
n
)  =  0
where  c
1
,  c
2
,.......c
n
  are 'n'  arbitrary  constants,  we  have  to  eliminate  the  'n' constants  for  which  we  require  (n+1)
equations.
A  differential  equation  is  obtained  as  follows  :
(a) Differentiate  the  given  equation  w.r.t    the  independent  variable  (say  x)  as  many  times as  the  number  of
independent  arbitrary  constants  in  it.
(b) Eliminate  the  arbitrary  constants.
(c) The  eliminant  is  the  required  differential  equation.
Note  :
(i) A  differential  equation  represents  a  family  of  curves  all  satisfying  some  common    properties.  This  can
be  considered  as  the  geometrical  interpretation  of  the  differential  equation.
(ii) For  there  being n  differentiation,  the  resulting  equation  must  contain  a derivative  of  n
th
  order  i.e.  equal  to
number  of  independent  arbitrary  constant.
Illustration  3  : Find  the  differential  equation  of  all  parabolas  whose  axes  is  parallel  to  the  x-axis  and  having  latus
rectum  a.
Solution    : Equation  of  parabola  whose  axes  is  parallel  to  x-axis  and  having  latus  rectum  'a'  is
(y –  ?)
2
 = a (x –  ?)
Differentiating  both sides,  we  get  2(y –  ?) 
dy
dx
  =  a
Again  differentiating,  we  get
? 2(y –  ?) 
2
2
d y
dx
 + 2 
2
dy
dx
? ?
? ?
? ?
 = 0 ? ? a
2
2
d y
dx
 +  2 
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
  =  0. Ans.
Illustration  4  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  c  (y  +  c)
2
  =  x
3
Solution  : c (y  +  c)
2
  =  x
3
...(i)
Differentiating,  we  get,  c.
dy
2(y c)
dx
? ? ?
? ?
  =  3x
2
Writing  the  value of  c from  (i),  we  have
3
2
2x
(y c) ?
(y  +  c)
dy
dx
  =  3x
2
?  
3
2x
y c ?
dy
dx
 = 3x
2
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i.e. 
2x
y c ?
dy
dx
  =  3 ?  
2x
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
 = y + c
Hence c  =
2x
3
dy
dx
? ?
? ?
? ?
  –  y
Substituting  value  of  c  in  equation  (i),  we  get
2
2x dy 2x dy
y
3 dx 3 dx
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
  =x
3
,
which  is  the  required  differential  equation. Ans.
Illustration  5  : Find  the  differential  equation  whose  solution  represents  the  family  :  y  =  a  cos ?x  +  b  sin ?x,  where
?  =  fixed  constant
Solution  : y = a cos ?x + b sin ?x,  ? = fixed constant ....(i)
Differentiating,  we get
dy
dx
= –  ?a sin ?x +  ?b cos ?x
Again  differentiating,  we get
2
2
d y
dx
= – ?
2
 a cos ?x –  ?
2
 b sin ?x
using equation (i), we get
2
2
d y
dx
= – ?
2 
y Ans.
Do  yourself  -  2
Eliminate  the  arbitrary  constants  and  obtain  the  differential  equation  satisfied  by  it.
(i) y  =  2x  +  ce
x
(ii) 2
a
y bx
x
? ?
? ?
? ?
? ?
(iii) y  =  ae
2x
  +  be
–2x
  +  c
5 . SOLUTION  OF  DIFFERENTIAL  EQUATION  :
The  solution  of  the  differential  equation  is  a  relation  between  the  variables  of  the  equation  not  containing  the
derivatives,  but  satisfying  the  given  differential  equation  (i.e.,  from  which  the  given  differential  equation  can  be
derived).
Thus,  the  solution  of 
x
dy
e
dx
?   could  be  obtained  by  simply  integrating  both  sides,  i.e.,  y  =  e
x
  +  c  and  that  of,
dy
dx
=  px  +  q  is  y  = 
2
px
2
+  qx  +  c, where  c  is  arbitrary  constant.
(i) A  general  solution  or  an  integral    of  a  differential  equation  is  a  relation  between  the  variables  (not
involving  the  derivatives)  which  contains  the  same  number  of  the  arbitrary  constants  as  the  order  of  the
differential  equation.
For  example,  a  general  solution  of  the  differential  equation 
2
2
d x
dt
=  –4x  is  x  =  A  cos2t  +  B  sin2t  where
A  and  B  are  the  arbitrary  constants.
(ii) Particular  solution  or  particular  integral    is  that  solution  of  the  differential  equation  which  is  obtained
from  the  general  solution  by  assigning  particular  values  to  the  arbitrary  constant  in  the  general  solution.
For  example,  x  =  10  cos2t  +  5  sin2t  is  a  particular  solution  of  differential  equation 
2
2
d x
4x
dt
? ? .
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Note  :
(i) The  general  solution  of  a  differential  equation  can  be  expressed  in  different  (but  equivalent)  forms.  For
example
log x – log (y + 2) = k ....(i)
where  k  is  an  arbitrary  constant  is  the  general  solution  of  the  differential  equation  xy'  =  y  +  2.  The
solution  given  by  equation  (i)  can  also  be  re-written  as
x
log k
y 2
? ?
?
? ?
?
? ?
 or 
k
1
x
e c
y 2
? ?
?
...(ii)
or x  =  c
1
(y +  2) ...(iii)
where  c
1
  =  e
k
  is  another  arbitrary  constant.  The  solution  (iii)  can  also  be  written  as
y  +  2=  c
2
x
where  c
2
  =  1/c
1
  is  another  arbitrary  constant.
(ii) All  differential  equations  that  we  come  across  have  unique  solutions  or  a  family  of  solutions.  For
example,  the  differential  equation 
dy
| y| 0
dx
? ?   has  only  the  trivial  solution,  i.e.  y  =  0.
The  differential  equation 
dy
| y| c 0, c 0
dx
? ? ? ?   has  no  solution.
6 . ELEMENTARY  TYPES  OF  FIRST  ORDER  &  FIRST  DEGREE  DIFFERENTIAL  EQUATIONS  :
( a ) Separation  of  Variables  :
Some  differential equations  can be  solved by  the method  of separation of variables  (or “variable  separable”).
This  method  is  only  possible,  if  we  can  express  the  differential  equation  in  the  form
A(x)dx  +  B(y)  dy  =  0
where A(x) is a function of 'x' only and B(y) is a function of 'y' only.
A  general solution  of  this  is  given  by,
? A(x) dx +  ? ?B(y)dy = c
where  'c'  is  the  arbitrary  constant.
Illustration  6  : Solve  the  differential  equation  xy 
dy
dx
=
2
2
1 y
1 x
?
?
(1  +  x  +  x
2
).
Solution  : Differential  equation  can  be rewritten as
xy 
dy
dx
= (1 + y
2
) 
2
x
1
1 x
? ?
?
? ?
?
? ?
  ? 
2
y
1 y ?
dy  =
2
1 1
dx
x 1 x
? ?
?
? ?
?
? ?
Integrating,  we  get
1
2
?n(1 +  y
2
) =  ?n  x  +  tan
–1
 x +  ?n c  ? 
2
1 y ?
 =
1
tan x
cxe
?
. Ans.
Illustration  7  : Solve  the  differential  equation  (  x
3
  –  y
2
x
3
  )
3 2 3
dy
y x y 0
dx
? ? ? .
Solution  : The given  equation  (  x
3
 –  y
2
x
3
  )
3 2 3
dy
y x y 0
dx
? ? ?
2 2
3 3
1 y 1 x
dy dx 0
y x
? ?
? ? ?
    
3 3
1 1 1 1
dy dx 0
y x y x
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
2 2
x 1 1 1
log c
y 2 y x
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
Ans.
JEEMAIN.GURU
E
2 7
NODE6\E\Data\2014\Kota\JEE-Advanced\SMP\Maths\Unit#08\Eng\02.Differential Equation.p65
J E E - M a t h e m a t i c s
Overlooked  solution  :
Illustration  8  :   Solve :  
dy
dx
= (x – 3) (y + 1)
2/3
Solution  :
2 / 3
dy
(x 3)(y 1)
dx
? ? ?
2 / 3
dy
(x 3)dx
(y 1)
? ?
?
? ?
Integrate and  solve  for  y :   3(y  +  1)
1/3
  = 
1
2
(x  –  3)
2
  +  C
(y + 1)
1/3
 = 
1
6
(x – 3)
2
 + C
0
  ? ??
3
2
0
1
y 1 (x 3) C
6
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
  ??
3
2
0
1
y (x 3) C 1
6
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
All  of  this  looks  routine.  However,  note  that  y  =  –1  is  a  solution  to  the  original  equation
dy
dx
= 0  and  (x  – 3)  (y  +  1)
2/3
  =  0
However, we can not  obtain y  = –1  from 
3
2
0
1
y (x 3) C 1
6
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
 by  setting constant C
0
 equal  to o
any  number.  (We  need  to find  a  constant  which  makes 
1
6
(x  –  3)
2
  +  C
0
  =  0  for  all  x.)
Two  points  emerge  from  this.
(i) We  may  sometime  miss  solutions  while  performing  certain  algebraic operations  (in  this  case,
division).
(ii) We  don’t  always  get  every  solution  to  a  differential  equation  by  assigning  values  to  the
arbitrary  constants.
Do  yourself  -  3  :
Solve  the  following  differential  equations  :
(i)
2dy y(x 1)
dx x
?
? (ii)
2 3
1 4x dy y xdx ? ?
(iii) (tany)
dy
dx
=  sin(x +  y)  +  sin(x  –  y)
(i) Equation  of  the  form  :
? y'  =  ƒ  (ax  +  by  +  c),  b ? ? ? 0
To  solve  this,  substitute  t  =  ax  +  by  +  c.  Then  the  equation  reduces  to  separable  type  in  the
variable  t  and  x  which  can  be  solved.
Illustration  9  : Solve 
dy
dx
 = cos (x + y) – sin (x + y).
Solution  :
dy
dx
= cos (x + y) – sin (x + y)
Substituting, x +  y  =  t,  we  get 
dy
dx
=
dt
dx
–  1
Therefore 
dt
dx
– 1 = cos t – sin t
? 
dt
1 cos t sin t ? ?
?
2
t
sec dt
2
dx dx
t
2 1 tan
2
? ? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ? ?
  ? – ?n
x y
1 tan
2
?
? = x + c. Ans.
JEEMAIN.GURU
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