Courses

# Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

## Physics : Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

The document Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev is a part of the Physics Course Basic Physics for IIT JAM.
All you need of Physics at this link: Physics

Vector and Scalar Fields

Definition

Let C : R→F                     C        :                              R                                3                          →        F              {\displaystyle C:\mathbb {R} ^{3}\to F}  , where F                    F              {\displaystyle F}    is a field. We say that C                    C              {\displaystyle C}    is a scalar field

In the physical world, examples of scalar fields are

(i) The electrostatic potential ϕ              {\displaystyle \phi }    in space

(ii) The distribution of temperature in a solid body, T(r)            T        (                  r                )              {\displaystyle T(\mathbf {r} )}

Definition

Let V                    V              {\displaystyle V}    be a vector space. Let F : R3 → V                              F                :                              R                                3                          →        V              {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to V}   , we say that F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    is a vector field; it associates a vector from V                    V              {\displaystyle V}    with every point of R3                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}   .

In the physical world, examples of vector fields are

(i) The electric and magnetic fields in space E              →                                      (                  r                )        ,                                            B              →                                      (                  r                )              {\displaystyle {\vec {E}}(\mathbf {r} ),{\vec {B}}(\mathbf {r} )}

(ii) The velocity field in a fluid Let C                    C              {\displaystyle C}    be a scalar field. We define the gradient as an "operator"                     ∇              {\displaystyle \nabla }   ∇ mapping the field C                   C              {\displaystyle C}    to a vector in R3                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}    such that or as is commonly denoted                     ∇        C        =                                            ∂              C                                      ∂              x                                                                          x              ^                                      +                                            ∂              C                                      ∂              y                                                                          y              ^                                      +                                            ∂              C                                      ∂              z                                                                          z              ^                                            {\displaystyle \nabla C={\frac {\partial C}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial C}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}{\hat {z}}} We shall encounter the physicist's notion of "operator" before defining it formally in the chapter Hilbert Spaces. It can be loosely thought of as "a function of functions"

Recall from multivariable calculus that the total derivative of a function f : R3 →R                     f        :                              R                                3                          →                  R                      {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }   at a ∈ R                              a                ∈                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}}   is defined as the linear transformation A                    A              {\displaystyle A}    that satisfies In the usual basis, we can express as the row matrix                               f          ′                (                  a                )        =        A        =                                            (                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            x                                                                                                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            y                                                                                                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            z                                                                                                                                                          )                                            {\displaystyle f'(\mathbf {a} )=A=\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {\partial f}{\partial x}}&{\tfrac {\partial f}{\partial y}}&{\tfrac {\partial f}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}} It is customary to denote vectors as column matrices. Thus we may write The transpose of a matrix given by constituents aij                              a                      i            j                                {\displaystyle a_{ij}}    is the matrix with constituents Thus, the gradient is the transpose of the total derivative.

Divergence

Let F : R3 → R3                              F                :                              R                                3                          →                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}    be a vector field and let F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    be differentiable.

We define the divergence as the operator (∇.)                    (        ∇        ⋅        )              {\displaystyle (\nabla \cdot )}    mapping F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    to a scalar such that Curl

Let F : R3 → R3                              F                :                              R                                3                          →                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}    be a vector field and let F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    be differentiable.

We define the curl as the operator ( ∇ x)                    (        ∇        ×        )              {\displaystyle (\nabla \times )}    mapping F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    to a linear transformation from R3                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}    onto itself such that the linear transformation can be expressed as the matrix written in short as Here, x1,x2,x                              x                      1                          ,                  x                      2                          ,                  x                      3                                {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}   denote                     x        ,        y        ,        z              {\displaystyle x,y,z}   x,y,z and so on.

the curl can be explicitly given by the matrix:                     ∇        ×                  F                =                              (                                                            0                                                                      ∂                                          1                                                                            F                                          2                                                        −                                      ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                                                                            ∂                                          1                                                                            F                                          3                                                        −                                      ∂                                          3                                                                            F                                          1                                                                                                                                        ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                        −                                      ∂                                          1                                                                            F                                          2                                                                                        0                                                                      ∂                                          2                                                                            F                                          3                                                        −                                      ∂                                          3                                                                            F                                          2                                                                                                                                        ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                        −                                      ∂                                          1                                                                            F                                          3                                                                                                            ∂                                          3                                                                            F                                          2                                                        −                                      ∂                                          2                                                                            F                                          3                                                                                        0                                                      )                                {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}0&\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}&\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{2}&0&\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{3}&\partial _{3}F_{2}-\partial _{2}F_{3}&0\\\end{pmatrix}}} v              →                                      (                  r                )              {\displaystyle {\vec {v}}(\mathbf {r} )}

this notation is also sometimes used to denote the vector exterior or cross product,                     ∇        ×                  F                =        (                  ∂                      2                                    F                      3                          −                  ∂                      3                                    F                      2                          )                                            x              ^                                      +        (                  ∂                      1                                    F                      3                          −                  ∂                      3                                    F                      1                          )                                            y              ^                                      +        (                  ∂                      1                                    F                      2                          −                  ∂                      2                                    F                      1                          )                                            z              ^                                            {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =(\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}){\hat {x}}+(\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}){\hat {y}}+(\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}){\hat {z}}} Offer running on EduRev: Apply code STAYHOME200 to get INR 200 off on our premium plan EduRev Infinity!

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

;