Divergence, Curl and Gradient | Basic Physics for IIT JAM PDF Download

Vector and Scalar Fields

Definition

Let C : R³ →F                     C        :                              R                                3                          →        F              {\displaystyle C:\mathbb {R} ^{3}\to F}  , where F                    F              {\displaystyle F}    is a field. We say that C                    C              {\displaystyle C}    is a scalar field

In the physical world, examples of scalar fields are

(i) The electrostatic potential                     ϕ              {\displaystyle \phi }    in space

(ii) The distribution of temperature in a solid body, T(r)            T        (                  r                )              {\displaystyle T(\mathbf {r} )}   

Definition

Let V                    V              {\displaystyle V}    be a vector space. Let F : R³ → V                              F                :                              R                                3                          →        V              {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to V}   , we say that F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    is a vector field; it associates a vector from V                    V              {\displaystyle V}    with every point of R³                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}   .

In the physical world, examples of vector fields are

(i) The electric and magnetic fields in space                                                       E              →                                      (                  r                )        ,                                            B              →                                      (                  r                )              {\displaystyle {\vec {E}}(\mathbf {r} ),{\vec {B}}(\mathbf {r} )}   

(ii) The velocity field in a fluid

The Gradient

Let C                    C              {\displaystyle C}    be a scalar field. We define the gradient as an "operator"                     ∇              {\displaystyle \nabla }   ∇ mapping the field C                   C              {\displaystyle C}    to a vector in R³                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}    such that

or as is commonly denoted                     ∇        C        =                                            ∂              C                                      ∂              x                                                                          x              ^                                      +                                            ∂              C                                      ∂              y                                                                          y              ^                                      +                                            ∂              C                                      ∂              z                                                                          z              ^                                            {\displaystyle \nabla C={\frac {\partial C}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial C}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}{\hat {z}}}    

We shall encounter the physicist's notion of "operator" before defining it formally in the chapter Hilbert Spaces. It can be loosely thought of as "a function of functions" 

Gradient and the total derivative

Recall from multivariable calculus that the total derivative of a function f : R³ →R                     f        :                              R                                3                          →                  R                      {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }   at a ∈ R³                               a                ∈                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}}   is defined as the linear transformation A                    A              {\displaystyle A}    that satisfies 

In the usual basis, we can express as the row matrix                               f          ′                (                  a                )        =        A        =                                            (                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            x                                                                                                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            y                                                                                                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            z                                                                                                                                                          )                                            {\displaystyle f'(\mathbf {a} )=A=\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {\partial f}{\partial x}}&{\tfrac {\partial f}{\partial y}}&{\tfrac {\partial f}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}}    

It is customary to denote vectors as column matrices. Thus we may write

The transpose of a matrix given by constituents a_ij                              a                      i            j                                {\displaystyle a_{ij}}    is the matrix with constituents

Thus, the gradient is the transpose of the total derivative. 

Divergence

Let F : R³ → R³                              F                :                              R                                3                          →                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}    be a vector field and let F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    be differentiable.

We define the divergence as the operator (∇.)                    (        ∇        ⋅        )              {\displaystyle (\nabla \cdot )}    mapping F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    to a scalar such that 

Curl

Let F : R³ → R³                              F                :                              R                                3                          →                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}    be a vector field and let F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    be differentiable.

We define the curl as the operator ( ∇ x)                    (        ∇        ×        )              {\displaystyle (\nabla \times )}    mapping F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    to a linear transformation from R³                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}    onto itself such that the linear transformation can be expressed as the matrix

written in short as  Here, x₁,x₂,x₃                               x                      1                          ,                  x                      2                          ,                  x                      3                                {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}   denote                     x        ,        y        ,        z              {\displaystyle x,y,z}   x,y,z and so on. 

the curl can be explicitly given by the matrix:                     ∇        ×                  F                =                              (                                                            0                                                                      ∂                                          1                                                                            F                                          2                                                        −                                      ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                                                                            ∂                                          1                                                                            F                                          3                                                        −                                      ∂                                          3                                                                            F                                          1                                                                                                                                        ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                        −                                      ∂                                          1                                                                            F                                          2                                                                                        0                                                                      ∂                                          2                                                                            F                                          3                                                        −                                      ∂                                          3                                                                            F                                          2                                                                                                                                        ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                        −                                      ∂                                          1                                                                            F                                          3                                                                                                            ∂                                          3                                                                            F                                          2                                                        −                                      ∂                                          2                                                                            F                                          3                                                                                        0                                                      )                                {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}0&\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}&\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{2}&0&\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{3}&\partial _{3}F_{2}-\partial _{2}F_{3}&0\\\end{pmatrix}}}    

                                                        v              →                                      (                  r                )              {\displaystyle {\vec {v}}(\mathbf {r} )}   

this notation is also sometimes used to denote the vector exterior or cross product,                     ∇        ×                  F                =        (                  ∂                      2                                    F                      3                          −                  ∂                      3                                    F                      2                          )                                            x              ^                                      +        (                  ∂                      1                                    F                      3                          −                  ∂                      3                                    F                      1                          )                                            y              ^                                      +        (                  ∂                      1                                    F                      2                          −                  ∂                      2                                    F                      1                          )                                            z              ^                                            {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =(\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}){\hat {x}}+(\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}){\hat {y}}+(\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}){\hat {z}}}