Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

Basic Physics for IIT JAM

Created by: Pie Academy

Physics : Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

The document Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev is a part of the Physics Course Basic Physics for IIT JAM.
All you need of Physics at this link: Physics

Vector and Scalar Fields

Definition

Let C : R→F                     C        :                              R                                3                          →        F              {\displaystyle C:\mathbb {R} ^{3}\to F}  , where F                    F              {\displaystyle F}    is a field. We say that C                    C              {\displaystyle C}    is a scalar field

In the physical world, examples of scalar fields are

(i) The electrostatic potential Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev                    ϕ              {\displaystyle \phi }    in space

(ii) The distribution of temperature in a solid body, T(r)            T        (                  r                )              {\displaystyle T(\mathbf {r} )}   

Definition

Let V                    V              {\displaystyle V}    be a vector space. Let F : R3 → V                              F                :                              R                                3                          →        V              {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to V}   , we say that F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    is a vector field; it associates a vector from V                    V              {\displaystyle V}    with every point of R3                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}   .

In the physical world, examples of vector fields are

(i) The electric and magnetic fields in spaceDivergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev                                                       E              →                                      (                  r                )        ,                                            B              →                                      (                  r                )              {\displaystyle {\vec {E}}(\mathbf {r} ),{\vec {B}}(\mathbf {r} )}   

(ii) The velocity field in a fluid Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

The Gradient

Let C                    C              {\displaystyle C}    be a scalar field. We define the gradient as an "operator"                     ∇              {\displaystyle \nabla }   ∇ mapping the field C                   C              {\displaystyle C}    to a vector in R3                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}    such that

Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRevor as is commonly denoted                     ∇        C        =                                            ∂              C                                      ∂              x                                                                          x              ^                                      +                                            ∂              C                                      ∂              y                                                                          y              ^                                      +                                            ∂              C                                      ∂              z                                                                          z              ^                                            {\displaystyle \nabla C={\frac {\partial C}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial C}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}{\hat {z}}}    Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

We shall encounter the physicist's notion of "operator" before defining it formally in the chapter Hilbert Spaces. It can be loosely thought of as "a function of functions" 

Gradient and the total derivative

Recall from multivariable calculus that the total derivative of a function f : R3 →R                     f        :                              R                                3                          →                  R                      {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }   at a ∈ R                              a                ∈                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}}   is defined as the linear transformation A                    A              {\displaystyle A}    that satisfies 

Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

In the usual basis, we can express as the row matrix                               f          ′                (                  a                )        =        A        =                                            (                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            x                                                                                                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            y                                                                                                                                                                                                                                                        ∂                            f                                                                                ∂                            z                                                                                                                                                          )                                            {\displaystyle f'(\mathbf {a} )=A=\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {\partial f}{\partial x}}&{\tfrac {\partial f}{\partial y}}&{\tfrac {\partial f}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}}    Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

It is customary to denote vectors as column matrices. Thus we may write Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

The transpose of a matrix given by constituents aij                              a                      i            j                                {\displaystyle a_{ij}}    is the matrix with constituents Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

Thus, the gradient is the transpose of the total derivative. 

Divergence

Let F : R3 → R3                              F                :                              R                                3                          →                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}    be a vector field and let F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    be differentiable.

We define the divergence as the operator (∇.)                    (        ∇        ⋅        )              {\displaystyle (\nabla \cdot )}    mapping F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    to a scalar such that 

Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

Curl

Let F : R3 → R3                              F                :                              R                                3                          →                              R                                3                                {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}    be a vector field and let F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    be differentiable.

We define the curl as the operator ( ∇ x)                    (        ∇        ×        )              {\displaystyle (\nabla \times )}    mapping F                              F                      {\displaystyle \mathbf {F} }    to a linear transformation from R3                                          R                                3                                {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}    onto itself such that the linear transformation can be expressed as the matrix

Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRevwritten in short as Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev Here, x1,x2,x                              x                      1                          ,                  x                      2                          ,                  x                      3                                {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}   denote                     x        ,        y        ,        z              {\displaystyle x,y,z}   x,y,z and so on. 

the curl can be explicitly given by the matrix:                     ∇        ×                  F                =                              (                                                            0                                                                      ∂                                          1                                                                            F                                          2                                                        −                                      ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                                                                            ∂                                          1                                                                            F                                          3                                                        −                                      ∂                                          3                                                                            F                                          1                                                                                                                                        ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                        −                                      ∂                                          1                                                                            F                                          2                                                                                        0                                                                      ∂                                          2                                                                            F                                          3                                                        −                                      ∂                                          3                                                                            F                                          2                                                                                                                                        ∂                                          2                                                                            F                                          1                                                        −                                      ∂                                          1                                                                            F                                          3                                                                                                            ∂                                          3                                                                            F                                          2                                                        −                                      ∂                                          2                                                                            F                                          3                                                                                        0                                                      )                                {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}0&\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}&\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{2}&0&\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{3}&\partial _{3}F_{2}-\partial _{2}F_{3}&0\\\end{pmatrix}}}    Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

                                                        v              →                                      (                  r                )              {\displaystyle {\vec {v}}(\mathbf {r} )}   

this notation is also sometimes used to denote the vector exterior or cross product,                     ∇        ×                  F                =        (                  ∂                      2                                    F                      3                          −                  ∂                      3                                    F                      2                          )                                            x              ^                                      +        (                  ∂                      1                                    F                      3                          −                  ∂                      3                                    F                      1                          )                                            y              ^                                      +        (                  ∂                      1                                    F                      2                          −                  ∂                      2                                    F                      1                          )                                            z              ^                                            {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =(\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}){\hat {x}}+(\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}){\hat {y}}+(\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}){\hat {z}}}    Divergence, Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

Offer running on EduRev: Apply code STAYHOME200 to get INR 200 off on our premium plan EduRev Infinity!

Dynamic Test

Content Category

Related Searches

Previous Year Questions with Solutions

,

Exam

,

pdf

,

Summary

,

study material

,

Sample Paper

,

ppt

,

Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

,

Important questions

,

Divergence

,

Divergence

,

Extra Questions

,

Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

,

practice quizzes

,

Divergence

,

video lectures

,

mock tests for examination

,

Free

,

shortcuts and tricks

,

Curl and Gradient Physics Notes | EduRev

,

MCQs

,

Viva Questions

,

Semester Notes

,

past year papers

,

Objective type Questions

;