JEE Main 2024 January 30 Shift 1 Paper & Solutions | Mock Tests for JEE Main and Advanced 2025 PDF Download

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SECTION-A 
1. A line passing through the point A(9, 0) makes an angle 
of 30º with the positive direction of x-axis. If this line is 
rotated about A through an angle of 15º in the clockwise 
direction, then its equation in the new position is 
 (1) 9
32
??
?
y
x (2) 9
32
??
?
x
y 
 (3) 9
32
??
?
x
y (4) 9
32
??
?
y
x 
Ans. (1) 
Sol. 
 
Eq
n 
: y – 0 = tan15° (x – 9) ? y = (2 ? 3 ??(x ? 9) 
2. Let S
a
 denote the sum of first n terms an arithmetic 
progression. If S
20
 = 790 and S
10
 = 145, then S
15
 – 
S
5
 is : 
 (1) 395 
 (2) 390 
 (3) 405 
 (4) 410 
Ans. (1) 
Sol.
 
? ?
20
20
S 2a 19d 790
2
? ? ? 
 2a + 19d = 79 …..(1) 
 
? ?
10
10
S 2a 9d 145
2
? ? ? 
 2a + 9d = 29  …..(2) 
 From (1) and (2) a = -8, d = 5 
 
? ? ? ?
15 5
15 5
S S 2a 14d 2a 4d
22
? ? ? ? ? 
 
? ? ? ?
15 5
16 70 16 20
22
? ? ? ? ? ? 
 = 405-10 
 = 395  
3. If z = x + iy, xy ? 0 , satisfies the equation 
2
z i z 0 ?? , then |z
2
| is equal to : 
 (1) 9 
 (2) 1 
 (3) 4 
 (4) 
1
4
 
Ans. (2) 
Sol.
 
2
2
z iz
z iz
??
?
 
 |z
2
| = |z| 
 |z|
2 
– |z| = 0 
 |z|(|z| – 1) = 0 
 |z| = 0 (not acceptable) 
 ? |z| = 1 
 ? |z|
2 
= 1 
4. Let 
i 2 3
ˆ ˆ ˆ
a a i a j a k ? ? ? and 
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
b b i b j b k ? ? ? be 
two vectors such that a 1; ? a.b 2 ? and b 4. ? If 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? , then the angle between b and c
is equal to : 
 (1) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
 (2) 
1
1
cos
3
?
??
?
??
??
 
 (3) 
1
3
cos
2
?
??
?
??
??
??
 
 (4) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
Ans. (3) 
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SECTION-A 
1. A line passing through the point A(9, 0) makes an angle 
of 30º with the positive direction of x-axis. If this line is 
rotated about A through an angle of 15º in the clockwise 
direction, then its equation in the new position is 
 (1) 9
32
??
?
y
x (2) 9
32
??
?
x
y 
 (3) 9
32
??
?
x
y (4) 9
32
??
?
y
x 
Ans. (1) 
Sol. 
 
Eq
n 
: y – 0 = tan15° (x – 9) ? y = (2 ? 3 ??(x ? 9) 
2. Let S
a
 denote the sum of first n terms an arithmetic 
progression. If S
20
 = 790 and S
10
 = 145, then S
15
 – 
S
5
 is : 
 (1) 395 
 (2) 390 
 (3) 405 
 (4) 410 
Ans. (1) 
Sol.
 
? ?
20
20
S 2a 19d 790
2
? ? ? 
 2a + 19d = 79 …..(1) 
 
? ?
10
10
S 2a 9d 145
2
? ? ? 
 2a + 9d = 29  …..(2) 
 From (1) and (2) a = -8, d = 5 
 
? ? ? ?
15 5
15 5
S S 2a 14d 2a 4d
22
? ? ? ? ? 
 
? ? ? ?
15 5
16 70 16 20
22
? ? ? ? ? ? 
 = 405-10 
 = 395  
3. If z = x + iy, xy ? 0 , satisfies the equation 
2
z i z 0 ?? , then |z
2
| is equal to : 
 (1) 9 
 (2) 1 
 (3) 4 
 (4) 
1
4
 
Ans. (2) 
Sol.
 
2
2
z iz
z iz
??
?
 
 |z
2
| = |z| 
 |z|
2 
– |z| = 0 
 |z|(|z| – 1) = 0 
 |z| = 0 (not acceptable) 
 ? |z| = 1 
 ? |z|
2 
= 1 
4. Let 
i 2 3
ˆ ˆ ˆ
a a i a j a k ? ? ? and 
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
b b i b j b k ? ? ? be 
two vectors such that a 1; ? a.b 2 ? and b 4. ? If 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? , then the angle between b and c
is equal to : 
 (1) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
 (2) 
1
1
cos
3
?
??
?
??
??
 
 (3) 
1
3
cos
2
?
??
?
??
??
??
 
 (4) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
Ans. (3) 
 
 
Sol. Given a 1, b 4, a.b 2 ? ? ? 
 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? 
 Dot product with a on both sides 
 c.a 6 ?? …..(1) 
 Dot product with b on both sides 
 b.c 48 ?? …..(2) 
 
22
c.c 4 a b 9 b ? ? ? 
 
? ?
2 2
2 2 2
c 4 a b a.b 9 b
??
? ? ?
??
??
 
 ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2
c 4 1 4 4 9 16
??
? ? ?
??
??
 
 
? ?
2
c 4 12 144 ?? 
 
2
c 48 144 ?? 
 
2
c 192 ? 
 
b.c
cos
bc
? ? ? 
 
48
cos
192.4
?
? ? ? 
 
48
cos
8 3.4
?
? ? ? 
 
3
cos
23
?
? ? ? 
 
1
33
cos cos
22
?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
 
5. The maximum area of a triangle whose one vertex 
is at (0, 0) and the other two vertices lie on the 
curve y = -2x
2
 + 54 at points (x, y) and (-x, y) 
where y > 0 is : 
 (1) 88 
 (2) 122 
 (3) 92 
 (4) 108 
Ans. (4) 
Sol. 
(x, y)
(-x, y)
(0, 0)
 
 Area of ? ?
?
0 0 1
1
x y 1
2
x y 1
?
?
?
? ? ?
1
xy xy xy
2
? ? ? ?
? ? ?
? ?
2
Area xy x 2x 54 ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ?
2
d
d
6x 54 0
dx dx
?
?
? ? ? ? ? ?at x = 3  
 Area = 3 (-2 × 9 + 54) = 108  
6. The value of 
? ? ? ?
3 n
2 2 2
n
k1
n
lim
n k n 3k
?
??
?
??
?
 is : 
 (1) 
? ?
2 3 3
24
??
 
 (2) 
? ?
13
8 4 3 3
?
?
 
 (3) 
? ?
13 2 3 3
8
??
 
 (4) 
? ?
8 2 3 3
?
?
 
Ans. (2) 
Sol.
 
3 n
22
n
k1 4
22
n
lim
k 3k
n 1 1
nn
??
?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
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?
 
 
3 n
22
n
k1
22
1n
lim
n
k 3k
11
nn
??
?
?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
 
 
? ?
1
22
0
dx
1
3 1 x x
3
?
??
??
??
??
?
 
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SECTION-A 
1. A line passing through the point A(9, 0) makes an angle 
of 30º with the positive direction of x-axis. If this line is 
rotated about A through an angle of 15º in the clockwise 
direction, then its equation in the new position is 
 (1) 9
32
??
?
y
x (2) 9
32
??
?
x
y 
 (3) 9
32
??
?
x
y (4) 9
32
??
?
y
x 
Ans. (1) 
Sol. 
 
Eq
n 
: y – 0 = tan15° (x – 9) ? y = (2 ? 3 ??(x ? 9) 
2. Let S
a
 denote the sum of first n terms an arithmetic 
progression. If S
20
 = 790 and S
10
 = 145, then S
15
 – 
S
5
 is : 
 (1) 395 
 (2) 390 
 (3) 405 
 (4) 410 
Ans. (1) 
Sol.
 
? ?
20
20
S 2a 19d 790
2
? ? ? 
 2a + 19d = 79 …..(1) 
 
? ?
10
10
S 2a 9d 145
2
? ? ? 
 2a + 9d = 29  …..(2) 
 From (1) and (2) a = -8, d = 5 
 
? ? ? ?
15 5
15 5
S S 2a 14d 2a 4d
22
? ? ? ? ? 
 
? ? ? ?
15 5
16 70 16 20
22
? ? ? ? ? ? 
 = 405-10 
 = 395  
3. If z = x + iy, xy ? 0 , satisfies the equation 
2
z i z 0 ?? , then |z
2
| is equal to : 
 (1) 9 
 (2) 1 
 (3) 4 
 (4) 
1
4
 
Ans. (2) 
Sol.
 
2
2
z iz
z iz
??
?
 
 |z
2
| = |z| 
 |z|
2 
– |z| = 0 
 |z|(|z| – 1) = 0 
 |z| = 0 (not acceptable) 
 ? |z| = 1 
 ? |z|
2 
= 1 
4. Let 
i 2 3
ˆ ˆ ˆ
a a i a j a k ? ? ? and 
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
b b i b j b k ? ? ? be 
two vectors such that a 1; ? a.b 2 ? and b 4. ? If 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? , then the angle between b and c
is equal to : 
 (1) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
 (2) 
1
1
cos
3
?
??
?
??
??
 
 (3) 
1
3
cos
2
?
??
?
??
??
??
 
 (4) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
Ans. (3) 
 
 
Sol. Given a 1, b 4, a.b 2 ? ? ? 
 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? 
 Dot product with a on both sides 
 c.a 6 ?? …..(1) 
 Dot product with b on both sides 
 b.c 48 ?? …..(2) 
 
22
c.c 4 a b 9 b ? ? ? 
 
? ?
2 2
2 2 2
c 4 a b a.b 9 b
??
? ? ?
??
??
 
 ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2
c 4 1 4 4 9 16
??
? ? ?
??
??
 
 
? ?
2
c 4 12 144 ?? 
 
2
c 48 144 ?? 
 
2
c 192 ? 
 
b.c
cos
bc
? ? ? 
 
48
cos
192.4
?
? ? ? 
 
48
cos
8 3.4
?
? ? ? 
 
3
cos
23
?
? ? ? 
 
1
33
cos cos
22
?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
 
5. The maximum area of a triangle whose one vertex 
is at (0, 0) and the other two vertices lie on the 
curve y = -2x
2
 + 54 at points (x, y) and (-x, y) 
where y > 0 is : 
 (1) 88 
 (2) 122 
 (3) 92 
 (4) 108 
Ans. (4) 
Sol. 
(x, y)
(-x, y)
(0, 0)
 
 Area of ? ?
?
0 0 1
1
x y 1
2
x y 1
?
?
?
? ? ?
1
xy xy xy
2
? ? ? ?
? ? ?
? ?
2
Area xy x 2x 54 ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ?
2
d
d
6x 54 0
dx dx
?
?
? ? ? ? ? ?at x = 3  
 Area = 3 (-2 × 9 + 54) = 108  
6. The value of 
? ? ? ?
3 n
2 2 2
n
k1
n
lim
n k n 3k
?
??
?
??
?
 is : 
 (1) 
? ?
2 3 3
24
??
 
 (2) 
? ?
13
8 4 3 3
?
?
 
 (3) 
? ?
13 2 3 3
8
??
 
 (4) 
? ?
8 2 3 3
?
?
 
Ans. (2) 
Sol.
 
3 n
22
n
k1 4
22
n
lim
k 3k
n 1 1
nn
??
?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
 
 
3 n
22
n
k1
22
1n
lim
n
k 3k
11
nn
??
?
?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
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?
 
 
? ?
1
22
0
dx
1
3 1 x x
3
?
??
??
??
??
?
 
 
 
? ?
? ?
22
1
22
0
1
x 1 x
13 3
dx
1 32
1 x x
3
??
? ? ?
??
??
??
??
??
??
??
?
 
 
1
22
2 0
1 1 1
dx
2
1x
1
x
3
??
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??
??
??
?
??
??
?
??
??
?? ??
?
 
 
? ? ? ?
1 1
11
0 0
11
3 tan 3x tan x
22
??
??
??
??
 
 
31
2 3 2 4 8 23
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 ? ?
13
8. 4 3 3
?
?
?
 
7. Let g : RR ? be a non constant twice 
differentiable such that 
13
g' g'
22
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
. If a real 
valued function f is defined as 
? ? ? ? ? ?
1
f x g x g 2 x
2
? ? ? ? ?
??
, then 
 (1) f”(x) = 0 for atleast two x in (0, 2) 
 (2) f”(x) = 0 for exactly one x in (0, 1) 
 (3) f”(x) = 0 for no x in (0, 1) 
 (4) 
31
f ' f ' 1
22
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
 
Ans. (1) 
Sol. ? ?
? ? ? ?
31
g' g'
g' x g' 2 x 3 22
f ' x ,f ' 0
2 2 2
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ?
??
??
 
 Also 
13
g' g'
11 22
f ' 0, f ' 0
2 2 2
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 
31
f ' f ' 0
22
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 
13
rootsin ,1 and 1,
22
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 ? ? f " x ? is zero at least twice in 
13
,
22
??
??
??
 
8. The area (in square units) of the region bounded by 
the parabola y
2
 = 4(x – 2) and the line y = 2x - 8 
 (1) 8 
 (2) 9 
 (3) 6 
 (4) 7 
Ans. (2) 
Sol. Let X = x – 2 
 y
2
 = 4x, y = 2 (x + 2) – 8 
 y
2
 = 4x, y = 2x – 4 
 
4
2
2
y y 4
A
42
?
?
??
?
 
  
-2
4
 
 = 9 
 
9. Let y = y (x) be the solution of the differential 
equation sec x dy + {2(1 – x) tan x + x(2 – x)}  
dx = 0 such that y(0) = 2.Then y(2) is equal to : 
 (1) 2 
 (2) 2{1 – sin (2)} 
 (3) 2{sin (2) + 1} 
 (4) 1 
Ans. (1) 
Sol. ? ?
? ?
2
dy
2 x 1 sin x x 2x cos x
dx
? ? ? ? 
 Now both side integrate  
 
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
2
y x 2 x 1 sin xdx x 2x sin x 2x 2 sin x dx
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
 
 ? ?
? ?
2
y x x 2x sin x ? ? ? ? 
 ? ? y 0 0 2 ? ? ? ? ? ? 
 ? ?
? ?
2
y x x 2x sin x 2 ? ? ? 
 ? ? y 2 2 ? 
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SECTION-A 
1. A line passing through the point A(9, 0) makes an angle 
of 30º with the positive direction of x-axis. If this line is 
rotated about A through an angle of 15º in the clockwise 
direction, then its equation in the new position is 
 (1) 9
32
??
?
y
x (2) 9
32
??
?
x
y 
 (3) 9
32
??
?
x
y (4) 9
32
??
?
y
x 
Ans. (1) 
Sol. 
 
Eq
n 
: y – 0 = tan15° (x – 9) ? y = (2 ? 3 ??(x ? 9) 
2. Let S
a
 denote the sum of first n terms an arithmetic 
progression. If S
20
 = 790 and S
10
 = 145, then S
15
 – 
S
5
 is : 
 (1) 395 
 (2) 390 
 (3) 405 
 (4) 410 
Ans. (1) 
Sol.
 
? ?
20
20
S 2a 19d 790
2
? ? ? 
 2a + 19d = 79 …..(1) 
 
? ?
10
10
S 2a 9d 145
2
? ? ? 
 2a + 9d = 29  …..(2) 
 From (1) and (2) a = -8, d = 5 
 
? ? ? ?
15 5
15 5
S S 2a 14d 2a 4d
22
? ? ? ? ? 
 
? ? ? ?
15 5
16 70 16 20
22
? ? ? ? ? ? 
 = 405-10 
 = 395  
3. If z = x + iy, xy ? 0 , satisfies the equation 
2
z i z 0 ?? , then |z
2
| is equal to : 
 (1) 9 
 (2) 1 
 (3) 4 
 (4) 
1
4
 
Ans. (2) 
Sol.
 
2
2
z iz
z iz
??
?
 
 |z
2
| = |z| 
 |z|
2 
– |z| = 0 
 |z|(|z| – 1) = 0 
 |z| = 0 (not acceptable) 
 ? |z| = 1 
 ? |z|
2 
= 1 
4. Let 
i 2 3
ˆ ˆ ˆ
a a i a j a k ? ? ? and 
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
b b i b j b k ? ? ? be 
two vectors such that a 1; ? a.b 2 ? and b 4. ? If 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? , then the angle between b and c
is equal to : 
 (1) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
 (2) 
1
1
cos
3
?
??
?
??
??
 
 (3) 
1
3
cos
2
?
??
?
??
??
??
 
 (4) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
Ans. (3) 
 
 
Sol. Given a 1, b 4, a.b 2 ? ? ? 
 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? 
 Dot product with a on both sides 
 c.a 6 ?? …..(1) 
 Dot product with b on both sides 
 b.c 48 ?? …..(2) 
 
22
c.c 4 a b 9 b ? ? ? 
 
? ?
2 2
2 2 2
c 4 a b a.b 9 b
??
? ? ?
??
??
 
 ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2
c 4 1 4 4 9 16
??
? ? ?
??
??
 
 
? ?
2
c 4 12 144 ?? 
 
2
c 48 144 ?? 
 
2
c 192 ? 
 
b.c
cos
bc
? ? ? 
 
48
cos
192.4
?
? ? ? 
 
48
cos
8 3.4
?
? ? ? 
 
3
cos
23
?
? ? ? 
 
1
33
cos cos
22
?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
 
5. The maximum area of a triangle whose one vertex 
is at (0, 0) and the other two vertices lie on the 
curve y = -2x
2
 + 54 at points (x, y) and (-x, y) 
where y > 0 is : 
 (1) 88 
 (2) 122 
 (3) 92 
 (4) 108 
Ans. (4) 
Sol. 
(x, y)
(-x, y)
(0, 0)
 
 Area of ? ?
?
0 0 1
1
x y 1
2
x y 1
?
?
?
? ? ?
1
xy xy xy
2
? ? ? ?
? ? ?
? ?
2
Area xy x 2x 54 ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ?
2
d
d
6x 54 0
dx dx
?
?
? ? ? ? ? ?at x = 3  
 Area = 3 (-2 × 9 + 54) = 108  
6. The value of 
? ? ? ?
3 n
2 2 2
n
k1
n
lim
n k n 3k
?
??
?
??
?
 is : 
 (1) 
? ?
2 3 3
24
??
 
 (2) 
? ?
13
8 4 3 3
?
?
 
 (3) 
? ?
13 2 3 3
8
??
 
 (4) 
? ?
8 2 3 3
?
?
 
Ans. (2) 
Sol.
 
3 n
22
n
k1 4
22
n
lim
k 3k
n 1 1
nn
??
?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
 
 
3 n
22
n
k1
22
1n
lim
n
k 3k
11
nn
??
?
?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
 
 
? ?
1
22
0
dx
1
3 1 x x
3
?
??
??
??
??
?
 
 
 
? ?
? ?
22
1
22
0
1
x 1 x
13 3
dx
1 32
1 x x
3
??
? ? ?
??
??
??
??
??
??
??
?
 
 
1
22
2 0
1 1 1
dx
2
1x
1
x
3
??
??
??
??
??
?
??
??
?
??
??
?? ??
?
 
 
? ? ? ?
1 1
11
0 0
11
3 tan 3x tan x
22
??
??
??
??
 
 
31
2 3 2 4 8 23
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 ? ?
13
8. 4 3 3
?
?
?
 
7. Let g : RR ? be a non constant twice 
differentiable such that 
13
g' g'
22
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
. If a real 
valued function f is defined as 
? ? ? ? ? ?
1
f x g x g 2 x
2
? ? ? ? ?
??
, then 
 (1) f”(x) = 0 for atleast two x in (0, 2) 
 (2) f”(x) = 0 for exactly one x in (0, 1) 
 (3) f”(x) = 0 for no x in (0, 1) 
 (4) 
31
f ' f ' 1
22
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
 
Ans. (1) 
Sol. ? ?
? ? ? ?
31
g' g'
g' x g' 2 x 3 22
f ' x ,f ' 0
2 2 2
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ?
??
??
 
 Also 
13
g' g'
11 22
f ' 0, f ' 0
2 2 2
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 
31
f ' f ' 0
22
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 
13
rootsin ,1 and 1,
22
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 ? ? f " x ? is zero at least twice in 
13
,
22
??
??
??
 
8. The area (in square units) of the region bounded by 
the parabola y
2
 = 4(x – 2) and the line y = 2x - 8 
 (1) 8 
 (2) 9 
 (3) 6 
 (4) 7 
Ans. (2) 
Sol. Let X = x – 2 
 y
2
 = 4x, y = 2 (x + 2) – 8 
 y
2
 = 4x, y = 2x – 4 
 
4
2
2
y y 4
A
42
?
?
??
?
 
  
-2
4
 
 = 9 
 
9. Let y = y (x) be the solution of the differential 
equation sec x dy + {2(1 – x) tan x + x(2 – x)}  
dx = 0 such that y(0) = 2.Then y(2) is equal to : 
 (1) 2 
 (2) 2{1 – sin (2)} 
 (3) 2{sin (2) + 1} 
 (4) 1 
Ans. (1) 
Sol. ? ?
? ?
2
dy
2 x 1 sin x x 2x cos x
dx
? ? ? ? 
 Now both side integrate  
 
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
2
y x 2 x 1 sin xdx x 2x sin x 2x 2 sin x dx
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
 
 ? ?
? ?
2
y x x 2x sin x ? ? ? ? 
 ? ? y 0 0 2 ? ? ? ? ? ? 
 ? ?
? ?
2
y x x 2x sin x 2 ? ? ? 
 ? ? y 2 2 ? 
? ? be the foot of perpendicular from the 
point (1, 2, 3) on the line 
x 3 y 1 z 4
5 2 3
? ? ?
?? . 
then ? ? 19 ? ? ? ? ? is equal to : 
 (1) 102 
 (2) 101 
 (3) 99 
 (4) 100 
Ans. (2) 
Sol. 
(1, 2, 3)
P( ) ? ??? ???
 
Let foot P (5k – 3, 2k + 1, 3k – 4) ?
DR's AP: 5k 4, 2k 1 , 3k 7 ? ? ? ? ?
DR's Line: 5, 2, 3 ? ?
Condition of perpendicular lines (25k-20) + (4k-2) + (9k – 21)=0 
Then 
43
k
38
? ?
Then ? ? 19 ? ? ? ? ? =101 
11. Two integers x and y are chosen with replacement 
from the set {0, 1, 2, 3, ….., 10}. Then the 
probability that | x y| 5 ?? is :   
 (1) 
30
121
 
 (2) 
62
121
 
 (3) 
60
121
 
 (4) 
31
121
 
Ans. (1) 
Sol. If x = 0, y = 6, 7, 8, 9, 10 
 If x = 1, y = 7, 8, 9, 10 
 If x = 2, y = 8, 9, 10 
 If x = 3, y = 9, 10 
 If x = 4, y = 10 
 If x = 5, y = no possible value 
        Total possible ways = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) × 2 
 = 30 
 Required probability ?
30 30
11 11 121
?
?
?
12. If the domain of the function 
? ? ? ? ? ?
1
1
e
2x
f x cos log 3 x
4
?
?
?? ?
? ? ?
??
??
 is 
? ? [ , ) y ?? ? ? , then ? ? ? ? ? is equal to : 
 (1) 12 
 (2) 9 
 (3) 11 
 (4) 8 
Ans. (3) 
Sol.
 
2x
11
4
?
? ? ? 
 
2x
1
4
?
?? 
 –4 ? 2 – |x| ? 4 
 –6 ? – |x| ? 2 
 –2 ? |x| ? 6 
 |x| ? 6 
 ?  x ? [–6, 6] …(1) 
 Now, 3 – x ? 1 
 And x ? 2  …(2) 
 and 3 – x > 0 
 x < 3  …(3) 
 From (1), (2) and (3) 
 ?  x ? [–6, 3) – {2} 
 ? = 6 
 ? = 3 
 ? = 2 
 ? + ? + ? = 11 
13. Consider the system of linear equation x + y + z = 
4 ?, x + 2y + 2z ? = 10 ? , x + 3y + 4 ?
2
z = ?
2
 +15, 
where ? , R ?? . Which one of the following 
statements is NOT correct ? 
 (1) The system has unique solution if 
1
2
?? and  
1 ?? , 15 
Page 5


 
  
       
  
 
 
 
 
SECTION-A 
1. A line passing through the point A(9, 0) makes an angle 
of 30º with the positive direction of x-axis. If this line is 
rotated about A through an angle of 15º in the clockwise 
direction, then its equation in the new position is 
 (1) 9
32
??
?
y
x (2) 9
32
??
?
x
y 
 (3) 9
32
??
?
x
y (4) 9
32
??
?
y
x 
Ans. (1) 
Sol. 
 
Eq
n 
: y – 0 = tan15° (x – 9) ? y = (2 ? 3 ??(x ? 9) 
2. Let S
a
 denote the sum of first n terms an arithmetic 
progression. If S
20
 = 790 and S
10
 = 145, then S
15
 – 
S
5
 is : 
 (1) 395 
 (2) 390 
 (3) 405 
 (4) 410 
Ans. (1) 
Sol.
 
? ?
20
20
S 2a 19d 790
2
? ? ? 
 2a + 19d = 79 …..(1) 
 
? ?
10
10
S 2a 9d 145
2
? ? ? 
 2a + 9d = 29  …..(2) 
 From (1) and (2) a = -8, d = 5 
 
? ? ? ?
15 5
15 5
S S 2a 14d 2a 4d
22
? ? ? ? ? 
 
? ? ? ?
15 5
16 70 16 20
22
? ? ? ? ? ? 
 = 405-10 
 = 395  
3. If z = x + iy, xy ? 0 , satisfies the equation 
2
z i z 0 ?? , then |z
2
| is equal to : 
 (1) 9 
 (2) 1 
 (3) 4 
 (4) 
1
4
 
Ans. (2) 
Sol.
 
2
2
z iz
z iz
??
?
 
 |z
2
| = |z| 
 |z|
2 
– |z| = 0 
 |z|(|z| – 1) = 0 
 |z| = 0 (not acceptable) 
 ? |z| = 1 
 ? |z|
2 
= 1 
4. Let 
i 2 3
ˆ ˆ ˆ
a a i a j a k ? ? ? and 
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
b b i b j b k ? ? ? be 
two vectors such that a 1; ? a.b 2 ? and b 4. ? If 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? , then the angle between b and c
is equal to : 
 (1) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
 (2) 
1
1
cos
3
?
??
?
??
??
 
 (3) 
1
3
cos
2
?
??
?
??
??
??
 
 (4) 
1
2
cos
3
?
??
??
??
 
Ans. (3) 
 
 
Sol. Given a 1, b 4, a.b 2 ? ? ? 
 
? ?
c 2 a b 3b ? ? ? 
 Dot product with a on both sides 
 c.a 6 ?? …..(1) 
 Dot product with b on both sides 
 b.c 48 ?? …..(2) 
 
22
c.c 4 a b 9 b ? ? ? 
 
? ?
2 2
2 2 2
c 4 a b a.b 9 b
??
? ? ?
??
??
 
 ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2
c 4 1 4 4 9 16
??
? ? ?
??
??
 
 
? ?
2
c 4 12 144 ?? 
 
2
c 48 144 ?? 
 
2
c 192 ? 
 
b.c
cos
bc
? ? ? 
 
48
cos
192.4
?
? ? ? 
 
48
cos
8 3.4
?
? ? ? 
 
3
cos
23
?
? ? ? 
 
1
33
cos cos
22
?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
 
5. The maximum area of a triangle whose one vertex 
is at (0, 0) and the other two vertices lie on the 
curve y = -2x
2
 + 54 at points (x, y) and (-x, y) 
where y > 0 is : 
 (1) 88 
 (2) 122 
 (3) 92 
 (4) 108 
Ans. (4) 
Sol. 
(x, y)
(-x, y)
(0, 0)
 
 Area of ? ?
?
0 0 1
1
x y 1
2
x y 1
?
?
?
? ? ?
1
xy xy xy
2
? ? ? ?
? ? ?
? ?
2
Area xy x 2x 54 ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ?
2
d
d
6x 54 0
dx dx
?
?
? ? ? ? ? ?at x = 3  
 Area = 3 (-2 × 9 + 54) = 108  
6. The value of 
? ? ? ?
3 n
2 2 2
n
k1
n
lim
n k n 3k
?
??
?
??
?
 is : 
 (1) 
? ?
2 3 3
24
??
 
 (2) 
? ?
13
8 4 3 3
?
?
 
 (3) 
? ?
13 2 3 3
8
??
 
 (4) 
? ?
8 2 3 3
?
?
 
Ans. (2) 
Sol.
 
3 n
22
n
k1 4
22
n
lim
k 3k
n 1 1
nn
??
?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
 
 
3 n
22
n
k1
22
1n
lim
n
k 3k
11
nn
??
?
?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
 
 
? ?
1
22
0
dx
1
3 1 x x
3
?
??
??
??
??
?
 
 
 
? ?
? ?
22
1
22
0
1
x 1 x
13 3
dx
1 32
1 x x
3
??
? ? ?
??
??
??
??
??
??
??
?
 
 
1
22
2 0
1 1 1
dx
2
1x
1
x
3
??
??
??
??
??
?
??
??
?
??
??
?? ??
?
 
 
? ? ? ?
1 1
11
0 0
11
3 tan 3x tan x
22
??
??
??
??
 
 
31
2 3 2 4 8 23
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 ? ?
13
8. 4 3 3
?
?
?
 
7. Let g : RR ? be a non constant twice 
differentiable such that 
13
g' g'
22
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
. If a real 
valued function f is defined as 
? ? ? ? ? ?
1
f x g x g 2 x
2
? ? ? ? ?
??
, then 
 (1) f”(x) = 0 for atleast two x in (0, 2) 
 (2) f”(x) = 0 for exactly one x in (0, 1) 
 (3) f”(x) = 0 for no x in (0, 1) 
 (4) 
31
f ' f ' 1
22
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
 
Ans. (1) 
Sol. ? ?
? ? ? ?
31
g' g'
g' x g' 2 x 3 22
f ' x ,f ' 0
2 2 2
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ?
??
??
 
 Also 
13
g' g'
11 22
f ' 0, f ' 0
2 2 2
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 
31
f ' f ' 0
22
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 
13
rootsin ,1 and 1,
22
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
 ? ? f " x ? is zero at least twice in 
13
,
22
??
??
??
 
8. The area (in square units) of the region bounded by 
the parabola y
2
 = 4(x – 2) and the line y = 2x - 8 
 (1) 8 
 (2) 9 
 (3) 6 
 (4) 7 
Ans. (2) 
Sol. Let X = x – 2 
 y
2
 = 4x, y = 2 (x + 2) – 8 
 y
2
 = 4x, y = 2x – 4 
 
4
2
2
y y 4
A
42
?
?
??
?
 
  
-2
4
 
 = 9 
 
9. Let y = y (x) be the solution of the differential 
equation sec x dy + {2(1 – x) tan x + x(2 – x)}  
dx = 0 such that y(0) = 2.Then y(2) is equal to : 
 (1) 2 
 (2) 2{1 – sin (2)} 
 (3) 2{sin (2) + 1} 
 (4) 1 
Ans. (1) 
Sol. ? ?
? ?
2
dy
2 x 1 sin x x 2x cos x
dx
? ? ? ? 
 Now both side integrate  
 
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
2
y x 2 x 1 sin xdx x 2x sin x 2x 2 sin x dx
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
 
 ? ?
? ?
2
y x x 2x sin x ? ? ? ? 
 ? ? y 0 0 2 ? ? ? ? ? ? 
 ? ?
? ?
2
y x x 2x sin x 2 ? ? ? 
 ? ? y 2 2 ? 
? ? be the foot of perpendicular from the 
point (1, 2, 3) on the line 
x 3 y 1 z 4
5 2 3
? ? ?
?? . 
then ? ? 19 ? ? ? ? ? is equal to : 
 (1) 102 
 (2) 101 
 (3) 99 
 (4) 100 
Ans. (2) 
Sol. 
(1, 2, 3)
P( ) ? ??? ???
 
Let foot P (5k – 3, 2k + 1, 3k – 4) ?
DR's AP: 5k 4, 2k 1 , 3k 7 ? ? ? ? ?
DR's Line: 5, 2, 3 ? ?
Condition of perpendicular lines (25k-20) + (4k-2) + (9k – 21)=0 
Then 
43
k
38
? ?
Then ? ? 19 ? ? ? ? ? =101 
11. Two integers x and y are chosen with replacement 
from the set {0, 1, 2, 3, ….., 10}. Then the 
probability that | x y| 5 ?? is :   
 (1) 
30
121
 
 (2) 
62
121
 
 (3) 
60
121
 
 (4) 
31
121
 
Ans. (1) 
Sol. If x = 0, y = 6, 7, 8, 9, 10 
 If x = 1, y = 7, 8, 9, 10 
 If x = 2, y = 8, 9, 10 
 If x = 3, y = 9, 10 
 If x = 4, y = 10 
 If x = 5, y = no possible value 
        Total possible ways = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) × 2 
 = 30 
 Required probability ?
30 30
11 11 121
?
?
?
12. If the domain of the function 
? ? ? ? ? ?
1
1
e
2x
f x cos log 3 x
4
?
?
?? ?
? ? ?
??
??
 is 
? ? [ , ) y ?? ? ? , then ? ? ? ? ? is equal to : 
 (1) 12 
 (2) 9 
 (3) 11 
 (4) 8 
Ans. (3) 
Sol.
 
2x
11
4
?
? ? ? 
 
2x
1
4
?
?? 
 –4 ? 2 – |x| ? 4 
 –6 ? – |x| ? 2 
 –2 ? |x| ? 6 
 |x| ? 6 
 ?  x ? [–6, 6] …(1) 
 Now, 3 – x ? 1 
 And x ? 2  …(2) 
 and 3 – x > 0 
 x < 3  …(3) 
 From (1), (2) and (3) 
 ?  x ? [–6, 3) – {2} 
 ? = 6 
 ? = 3 
 ? = 2 
 ? + ? + ? = 11 
13. Consider the system of linear equation x + y + z = 
4 ?, x + 2y + 2z ? = 10 ? , x + 3y + 4 ?
2
z = ?
2
 +15, 
where ? , R ?? . Which one of the following 
statements is NOT correct ? 
 (1) The system has unique solution if 
1
2
?? and  
1 ?? , 15 
 
 
 
 (2) The system is inconsistent if 
1
2
?? and 1 ?? 
 (3) The system has infinite number of solutions if 
1
2
?? and 15 ?? 
 (4) The system is consistent if 
1
2
?? 
Ans. (2) 
Sol. x + y + z = 4 ?, x + 2y + 2z ? = 10 ? , x + 3y + 4 ?
2
z = ?
2
 +15, 
 
2
1 1 1
1 2 2
1 3 4
? ? ?
?
 = ? ?
2
21 ?? ?
? For unique solution 
1
0, 2 1 0,
2
??
? ? ? ? ? ? ?
??
??
 
 Let 
1
0,
2
? ? ? ? 
 
y x z
2
4 1 1
0, 10 2 1
15 3 1
?
? ? ? ? ? ? ?
??
 
 ? ? ? ? 15 1 ? ? ? ? ? 
 For infinite solution 
1
, 1 or 15
2
? ? ? ? 
  
14. If the circles ? ? ? ?
22 2
x 1 y 2 r ? ? ? ? and 
22
x y 4x 4y 4 0 ? ? ? ? ? intersect at exactly two 
distinct points, then 
 (1) 5 < r < 9 
 (2) 0 < r < 7 
 (3) 3 < r < 7 
 (4) 
1
r7
2
?? 
Ans. (3) 
Sol. If two circles intersect at two distinct points 
 
1 2 1 2 1 2
r r C C r r ? ? ? ? ? 
 r 2 9 16 r 2 ? ? ? ? ? 
 |r – 2 | < 5 and r + 2 > 5 
 -5 < r – 2 < 5 r > 3 ……….(2) 
 -3 < r < 7  ………(1) 
 From (1) and (2) 
 3 < r < 7  
15. If the length of the minor axis of ellipse is equal to 
half of the distance between the foci, then the 
eccentricity of the ellipse is : 
 (1) 
5
3
 
 (2) 
3
2
 
 (3) 
1
3
 
 (4) 
2
5
 
Ans. (4) 
Sol. 2b = ae 
 
be
a2
? 
 
2
e
e1
4
?? 
 
2
e
5
? 
16. Let M denote the median of the following 
frequency distribution. 
Class 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 
Frequency 3 9 10 8 6 
 Then 20 M is equal to : 
 (1) 416 
 (2) 104 
 (3) 52 
 (4) 208 
Ans. (4) 
Sol. 
Class Frequency Cumulative 
frequency 
0-4 3 3 
4-8 9 12 
8-12 10 22 
12-16 8 30 
16-20 6 36