NCERT पाठ्यपुस्तक पाठ 15 - प्रायिकता, कक्षा 10, गणित Class 10 Notes | EduRev

 Page 1


izkf;drk 323
15
The theory of probabilities and the theory of errors now constitute
a formidable body of great mathematical interest and of great
practical importance
(izkf;drkvksa osQ fl¼kar vkSj =kqfV;ksa osQ fl¼kar vc vfr xf.krh; #fp dk rFkk
vfr O;kogkfjd egRo dk ,d fo'kky lewg LFkkfir djrs gSaA)
– R.S. Woodward
15.1 Hkwfedk
d{kk IX esa] vki ?kVukvksa dh izk;ksfxd (experimental) ¹;k vkuqHkfod (empirical)º
izkf;drkvksa osQ ckjs esa vè;;u dj pqosQ gSa] tks okLrfod iz;ksxksa osQ ifj.kkeksa ij vkèkkfjr
FkhaA geus ,d flDosQ dks 1000 ckj mNkyus osQ iz;ksx dh ppkZ dh Fkh] ftlesa ifj.kkeksa
(outcomes) dh ckjackjrk,¡ bl izdkj Fkha %
fpr (Head) : 455 iV (Tail) : 545
bl iz;ksx ij vk/kfjr] ,d fpr dh vkuqHkfod izkf;drk 
455
1000
, vFkkZr~ 0.455 gS rFkk ,d
iV dh vkuqHkfod izkf;drk 0.545 gSA (d{kk IX  dh xf.kr dh ikB~;iqLrd osQ vè;k; 15
dk mnkgj.k 1 Hkh nsf[k,A) è;ku nhft, fd ;s izkf;drk,¡ ,d flDosQ dks 1000 ckj
mNkyus osQ ,d okLrfod iz;ksx osQ ifj.kkeksa ij vk/kfjr gSaA blh dkj.k] ;s vkuqHkfod
;k izk;ksfxd izkf;drk,¡ dgykrh gSaA oLrqr%] izk;ksfxd izkf;drk,¡ okLrfod iz;ksxksa osQ
ifj.kkeksa rFkk ?kVuk,¡ ?kfVr gksus dh i;kZIr fjdkW²Mx (recording) ij fuHkZj djrh gSaA blosQ
vfrfjDr] ;s izkf;drk,¡ osQoy ^vkdyu* (estimates) gh gSaA ;fn ge blh iz;ksx dks
izkf;drk
2018-19
Page 2


izkf;drk 323
15
The theory of probabilities and the theory of errors now constitute
a formidable body of great mathematical interest and of great
practical importance
(izkf;drkvksa osQ fl¼kar vkSj =kqfV;ksa osQ fl¼kar vc vfr xf.krh; #fp dk rFkk
vfr O;kogkfjd egRo dk ,d fo'kky lewg LFkkfir djrs gSaA)
– R.S. Woodward
15.1 Hkwfedk
d{kk IX esa] vki ?kVukvksa dh izk;ksfxd (experimental) ¹;k vkuqHkfod (empirical)º
izkf;drkvksa osQ ckjs esa vè;;u dj pqosQ gSa] tks okLrfod iz;ksxksa osQ ifj.kkeksa ij vkèkkfjr
FkhaA geus ,d flDosQ dks 1000 ckj mNkyus osQ iz;ksx dh ppkZ dh Fkh] ftlesa ifj.kkeksa
(outcomes) dh ckjackjrk,¡ bl izdkj Fkha %
fpr (Head) : 455 iV (Tail) : 545
bl iz;ksx ij vk/kfjr] ,d fpr dh vkuqHkfod izkf;drk 
455
1000
, vFkkZr~ 0.455 gS rFkk ,d
iV dh vkuqHkfod izkf;drk 0.545 gSA (d{kk IX  dh xf.kr dh ikB~;iqLrd osQ vè;k; 15
dk mnkgj.k 1 Hkh nsf[k,A) è;ku nhft, fd ;s izkf;drk,¡ ,d flDosQ dks 1000 ckj
mNkyus osQ ,d okLrfod iz;ksx osQ ifj.kkeksa ij vk/kfjr gSaA blh dkj.k] ;s vkuqHkfod
;k izk;ksfxd izkf;drk,¡ dgykrh gSaA oLrqr%] izk;ksfxd izkf;drk,¡ okLrfod iz;ksxksa osQ
ifj.kkeksa rFkk ?kVuk,¡ ?kfVr gksus dh i;kZIr fjdkW²Mx (recording) ij fuHkZj djrh gSaA blosQ
vfrfjDr] ;s izkf;drk,¡ osQoy ^vkdyu* (estimates) gh gSaA ;fn ge blh iz;ksx dks
izkf;drk
2018-19
324 xf.kr
vU; 1000 ckj flDosQ dks mNky dj djsa] rks gesa buls fHkUu vk¡dM+s izkIr gks ldrs gSa]
ftlls gesa igys ls fHkUu izkf;drk vkdyu izkIr gksaxsA
d{kk IX esa] vkius ,d flDosQ dks vusd ckj mNkyk Fkk vkSj ;g uksV fd;k Fkk fd
fpr (;k iV) fdruh ckj vk;k (d{kk IX osQ vè;k; 15 osQ fØ;kdykiksa 1 vkSj 2 dks
nsf[k,)A vkius ;g Hkh ns[kk Fkk fd tSls&tSls flDdk mNkyus dh la[;k c<+rh xbZ]
oSls&oSls ,d fpr (;k iV) vkus dh izk;ksfxd izkf;drk la[;k 
1
2
osQ fudVre vkrh
jghA vkius gh ugha] vfirq fo'o osQ fofHkUu Hkkxksa osQ O;fDr;ksa us blh izdkj osQ iz;ksx
fd, gSa vkSj fpr vkus dh la[;k dks fjdkWMZ fd;k gSA
mnkgj.kkFkZ] vBkjgoha 'krkCnh osQ izQkalhlh thofoKkuh dkseVs fM cqiQkWu
(Comte De Buffon) us ,d flDds dks 4040 ckj mNkyk vkSj 2048 fpr izkIr fd,A
bl fLFkfr esa] ,d fpr vkus dh izkf;drk 
2048
4040
vFkkZr~ 0-507 FkhA fczVsu osQ ts-bZ- oSQfjp
(J.E. Kerrich) us ,d flDosQ dh 10000 mNkyksa esa 5067 fpr izkIr fd,A bl fLFkfr
esa] ,d fpr vkus dh izk;ksfxd izkf;drk  
5067
0.5067
10000
=
FkhA lkaf[;dhfon dkyZ fi;lZu
(Karl Pearson) us blesa vf/d le; O;rhr djosQ ,d flDosQ dks 24000 ckj mNkykA
mlus 12012 fpr izkIr fd, rFkk bl izdkj mls ,d fpr osQ vkus dh izk;ksfxd izkf;drk
0-5005 izkIr gqbZA
vc] eku yhft, fd ge iz'u djrs gSa] ;fn flDdk mNkyus osQ iz;ksx dks eku
yhft, ,d fefy;u ckj fd;k tk,] rks fpr vkus dh izk;ksfxd izkf;drk D;k gksxh\ ;fn
iz;ksx 10 fefy;u ckj fd;k tk,] rks izkf;drk D;k gksxh\ vki lgt Kku ls ;g vuqHko
djsaxs fd tSls&tSls flDosQ mNkyus dh la[;k c<+rh tkrh gS] oSls&oSls fpr (;k iV) vkus
dh izk;ksfxd izkf;drk ,d la[;k 0-5] vFkkZr~ 
1
2
osQ vklikl izrhr gksrh gSA ge bls fpr
(iV) ikus dh lS¼kafrd izkf;drk (theoretical probability) dgrs gSa] bls vki vxys
vuqPNsn esa ns[ksaxsA bl vè;k; esa ge ,d ?kVuk dh lS¼kafrd izkf;drk ¹ftls ikjaifjd
izkf;drk (classical probability) Hkh dgrs gSaº dk ifjp; djk,¡xs rFkk bl voèkkj.kk ij
vk/kfjr ljy leL;kvksa dh ppkZ djsaxsA
2018-19
Page 3


izkf;drk 323
15
The theory of probabilities and the theory of errors now constitute
a formidable body of great mathematical interest and of great
practical importance
(izkf;drkvksa osQ fl¼kar vkSj =kqfV;ksa osQ fl¼kar vc vfr xf.krh; #fp dk rFkk
vfr O;kogkfjd egRo dk ,d fo'kky lewg LFkkfir djrs gSaA)
– R.S. Woodward
15.1 Hkwfedk
d{kk IX esa] vki ?kVukvksa dh izk;ksfxd (experimental) ¹;k vkuqHkfod (empirical)º
izkf;drkvksa osQ ckjs esa vè;;u dj pqosQ gSa] tks okLrfod iz;ksxksa osQ ifj.kkeksa ij vkèkkfjr
FkhaA geus ,d flDosQ dks 1000 ckj mNkyus osQ iz;ksx dh ppkZ dh Fkh] ftlesa ifj.kkeksa
(outcomes) dh ckjackjrk,¡ bl izdkj Fkha %
fpr (Head) : 455 iV (Tail) : 545
bl iz;ksx ij vk/kfjr] ,d fpr dh vkuqHkfod izkf;drk 
455
1000
, vFkkZr~ 0.455 gS rFkk ,d
iV dh vkuqHkfod izkf;drk 0.545 gSA (d{kk IX  dh xf.kr dh ikB~;iqLrd osQ vè;k; 15
dk mnkgj.k 1 Hkh nsf[k,A) è;ku nhft, fd ;s izkf;drk,¡ ,d flDosQ dks 1000 ckj
mNkyus osQ ,d okLrfod iz;ksx osQ ifj.kkeksa ij vk/kfjr gSaA blh dkj.k] ;s vkuqHkfod
;k izk;ksfxd izkf;drk,¡ dgykrh gSaA oLrqr%] izk;ksfxd izkf;drk,¡ okLrfod iz;ksxksa osQ
ifj.kkeksa rFkk ?kVuk,¡ ?kfVr gksus dh i;kZIr fjdkW²Mx (recording) ij fuHkZj djrh gSaA blosQ
vfrfjDr] ;s izkf;drk,¡ osQoy ^vkdyu* (estimates) gh gSaA ;fn ge blh iz;ksx dks
izkf;drk
2018-19
324 xf.kr
vU; 1000 ckj flDosQ dks mNky dj djsa] rks gesa buls fHkUu vk¡dM+s izkIr gks ldrs gSa]
ftlls gesa igys ls fHkUu izkf;drk vkdyu izkIr gksaxsA
d{kk IX esa] vkius ,d flDosQ dks vusd ckj mNkyk Fkk vkSj ;g uksV fd;k Fkk fd
fpr (;k iV) fdruh ckj vk;k (d{kk IX osQ vè;k; 15 osQ fØ;kdykiksa 1 vkSj 2 dks
nsf[k,)A vkius ;g Hkh ns[kk Fkk fd tSls&tSls flDdk mNkyus dh la[;k c<+rh xbZ]
oSls&oSls ,d fpr (;k iV) vkus dh izk;ksfxd izkf;drk la[;k 
1
2
osQ fudVre vkrh
jghA vkius gh ugha] vfirq fo'o osQ fofHkUu Hkkxksa osQ O;fDr;ksa us blh izdkj osQ iz;ksx
fd, gSa vkSj fpr vkus dh la[;k dks fjdkWMZ fd;k gSA
mnkgj.kkFkZ] vBkjgoha 'krkCnh osQ izQkalhlh thofoKkuh dkseVs fM cqiQkWu
(Comte De Buffon) us ,d flDds dks 4040 ckj mNkyk vkSj 2048 fpr izkIr fd,A
bl fLFkfr esa] ,d fpr vkus dh izkf;drk 
2048
4040
vFkkZr~ 0-507 FkhA fczVsu osQ ts-bZ- oSQfjp
(J.E. Kerrich) us ,d flDosQ dh 10000 mNkyksa esa 5067 fpr izkIr fd,A bl fLFkfr
esa] ,d fpr vkus dh izk;ksfxd izkf;drk  
5067
0.5067
10000
=
FkhA lkaf[;dhfon dkyZ fi;lZu
(Karl Pearson) us blesa vf/d le; O;rhr djosQ ,d flDosQ dks 24000 ckj mNkykA
mlus 12012 fpr izkIr fd, rFkk bl izdkj mls ,d fpr osQ vkus dh izk;ksfxd izkf;drk
0-5005 izkIr gqbZA
vc] eku yhft, fd ge iz'u djrs gSa] ;fn flDdk mNkyus osQ iz;ksx dks eku
yhft, ,d fefy;u ckj fd;k tk,] rks fpr vkus dh izk;ksfxd izkf;drk D;k gksxh\ ;fn
iz;ksx 10 fefy;u ckj fd;k tk,] rks izkf;drk D;k gksxh\ vki lgt Kku ls ;g vuqHko
djsaxs fd tSls&tSls flDosQ mNkyus dh la[;k c<+rh tkrh gS] oSls&oSls fpr (;k iV) vkus
dh izk;ksfxd izkf;drk ,d la[;k 0-5] vFkkZr~ 
1
2
osQ vklikl izrhr gksrh gSA ge bls fpr
(iV) ikus dh lS¼kafrd izkf;drk (theoretical probability) dgrs gSa] bls vki vxys
vuqPNsn esa ns[ksaxsA bl vè;k; esa ge ,d ?kVuk dh lS¼kafrd izkf;drk ¹ftls ikjaifjd
izkf;drk (classical probability) Hkh dgrs gSaº dk ifjp; djk,¡xs rFkk bl voèkkj.kk ij
vk/kfjr ljy leL;kvksa dh ppkZ djsaxsA
2018-19
izkf;drk 325
15.2 izkf;drk µ µ ,d lS¼kafrd n`f"Vdks.k
vkb, fuEufyf[kr fLFkfr ij fopkj djsa%
eku yhft, ,d flDosQ dks ;kn`PN;k mNkyk tkrk gSA
tc ge ,d flDosQ dh ckr djrs gSa] rc ge ;g dYiuk djrs gSa fd og U;k;laxr
(fair) gSA vFkkZr~ og lefer (symmetrical) gS] rkfd dksbZ dkj.k u gks fd og ,d
gh vksj] nwljh vksj dh vis{kk] vf/d fxjsA ge flDosQ osQ bl xq.k dks mldk
vi{kikriw.kZ (unbiased) gksuk dgrs gSaA ^;kn`PN;k mNky* (random toss) ls gekjk
rkRi;Z gS fd flDosQ dks fcuk fdlh i{kikr (bias) ;k #dkoV osQ Lora=krkiwoZd fxjus
fn;k tkrk gSA
ge igys ls tkurs gSa fd flDdk nks laHko fof/;ksa esa ls osQoy ,d gh fof/ ls
fxj ldrk gS µ ;k rks fpr Åij gksxk ;k fiQj iV Åij gksxk ¹ge flDosQ osQ] mlosQ
fdukjs (edge) osQ vuqfn'k fxjus dh laHkkouk dks vLohdkj djrs gSa] tks mnkgj.kkFkZ] rc
laHko gS tc flDdk jsr ij fxjsºA ge ;g roZQlaxr:i ls eku ldrs gSa fd izR;sd
ifj.kke] fpr ;k iV] dk izdV gksuk mruh gh ckj gks ldrk gS ftruk fd vU; ifj.kke
dkA nwljs 'kCnksa esa ge dgrs gSa fd ifj.kke fpr vkSj iV leizkf;d (equally likely)
gSaA leizkf;d ifj.kkeksa osQ ,d vU; mnkgj.k osQ fy, eku yhft, fd ge ,d ikls dks
isaQdrs gSaA gekjs fy,] ,d ikls dk vFkZ lnSo ,d U;k;laxr ikls ls gksxkA laHko ifj.kke
D;k gS\ ;s 1, 2, 3, 4, 5, 6 gSaA izR;sd la[;k osQ Åij vkus dh leku laHkkouk gSA vr%]
ikls dks isaQdus ls izkIr gksus okys leizkf;d ifj.kke 1, 2, 3, 4, 5 vkSj 6 gSaA
D;k izR;sd iz;ksx osQ ifj.kke leizkf;d gksrs gSa\ vkb, ns[ksaA
eku yhft, ,d FkSys esa 4 yky xsansa vkSj 1 uhyh xasn gS rFkk vki bl FkSys esa ls]
fcuk FkSys osQ vanj oqQN ns[ksa] ,d xsan fudkyrs gSaA blosQ D;k ifj.kke gSa\ D;k ,d yky
xsan vkSj ,d uhyh xsan osQ ifj.kke leizkf;d gSa\ pw¡fd ;gk¡ 4 yky xsansa gSa vkSj uhyh
xsan osQoy ,d gh] vr% vki ;g vo'; Lohdkj djsaxs fd vkiosQ }kjk ,d uhyh xsan
dh vis{kk ,d yky xsan fudkyus dh laHkkouk vf/d gSA vr% ;s ifj.kke (,d yky
xsan vkSj ,d uhyh xsan) leizkf;d ugha gSaA ijarq FkSys esa ls fdlh Hkh jax dh xsan fudkyus
osQ ifj.kke leizkf;d gSaA
vr%] lHkh iz;ksxksa osQ ifj.kkeksa dk leizkf;d gksuk vko';d ugha gSA ijarq] bl
2018-19
Page 4


izkf;drk 323
15
The theory of probabilities and the theory of errors now constitute
a formidable body of great mathematical interest and of great
practical importance
(izkf;drkvksa osQ fl¼kar vkSj =kqfV;ksa osQ fl¼kar vc vfr xf.krh; #fp dk rFkk
vfr O;kogkfjd egRo dk ,d fo'kky lewg LFkkfir djrs gSaA)
– R.S. Woodward
15.1 Hkwfedk
d{kk IX esa] vki ?kVukvksa dh izk;ksfxd (experimental) ¹;k vkuqHkfod (empirical)º
izkf;drkvksa osQ ckjs esa vè;;u dj pqosQ gSa] tks okLrfod iz;ksxksa osQ ifj.kkeksa ij vkèkkfjr
FkhaA geus ,d flDosQ dks 1000 ckj mNkyus osQ iz;ksx dh ppkZ dh Fkh] ftlesa ifj.kkeksa
(outcomes) dh ckjackjrk,¡ bl izdkj Fkha %
fpr (Head) : 455 iV (Tail) : 545
bl iz;ksx ij vk/kfjr] ,d fpr dh vkuqHkfod izkf;drk 
455
1000
, vFkkZr~ 0.455 gS rFkk ,d
iV dh vkuqHkfod izkf;drk 0.545 gSA (d{kk IX  dh xf.kr dh ikB~;iqLrd osQ vè;k; 15
dk mnkgj.k 1 Hkh nsf[k,A) è;ku nhft, fd ;s izkf;drk,¡ ,d flDosQ dks 1000 ckj
mNkyus osQ ,d okLrfod iz;ksx osQ ifj.kkeksa ij vk/kfjr gSaA blh dkj.k] ;s vkuqHkfod
;k izk;ksfxd izkf;drk,¡ dgykrh gSaA oLrqr%] izk;ksfxd izkf;drk,¡ okLrfod iz;ksxksa osQ
ifj.kkeksa rFkk ?kVuk,¡ ?kfVr gksus dh i;kZIr fjdkW²Mx (recording) ij fuHkZj djrh gSaA blosQ
vfrfjDr] ;s izkf;drk,¡ osQoy ^vkdyu* (estimates) gh gSaA ;fn ge blh iz;ksx dks
izkf;drk
2018-19
324 xf.kr
vU; 1000 ckj flDosQ dks mNky dj djsa] rks gesa buls fHkUu vk¡dM+s izkIr gks ldrs gSa]
ftlls gesa igys ls fHkUu izkf;drk vkdyu izkIr gksaxsA
d{kk IX esa] vkius ,d flDosQ dks vusd ckj mNkyk Fkk vkSj ;g uksV fd;k Fkk fd
fpr (;k iV) fdruh ckj vk;k (d{kk IX osQ vè;k; 15 osQ fØ;kdykiksa 1 vkSj 2 dks
nsf[k,)A vkius ;g Hkh ns[kk Fkk fd tSls&tSls flDdk mNkyus dh la[;k c<+rh xbZ]
oSls&oSls ,d fpr (;k iV) vkus dh izk;ksfxd izkf;drk la[;k 
1
2
osQ fudVre vkrh
jghA vkius gh ugha] vfirq fo'o osQ fofHkUu Hkkxksa osQ O;fDr;ksa us blh izdkj osQ iz;ksx
fd, gSa vkSj fpr vkus dh la[;k dks fjdkWMZ fd;k gSA
mnkgj.kkFkZ] vBkjgoha 'krkCnh osQ izQkalhlh thofoKkuh dkseVs fM cqiQkWu
(Comte De Buffon) us ,d flDds dks 4040 ckj mNkyk vkSj 2048 fpr izkIr fd,A
bl fLFkfr esa] ,d fpr vkus dh izkf;drk 
2048
4040
vFkkZr~ 0-507 FkhA fczVsu osQ ts-bZ- oSQfjp
(J.E. Kerrich) us ,d flDosQ dh 10000 mNkyksa esa 5067 fpr izkIr fd,A bl fLFkfr
esa] ,d fpr vkus dh izk;ksfxd izkf;drk  
5067
0.5067
10000
=
FkhA lkaf[;dhfon dkyZ fi;lZu
(Karl Pearson) us blesa vf/d le; O;rhr djosQ ,d flDosQ dks 24000 ckj mNkykA
mlus 12012 fpr izkIr fd, rFkk bl izdkj mls ,d fpr osQ vkus dh izk;ksfxd izkf;drk
0-5005 izkIr gqbZA
vc] eku yhft, fd ge iz'u djrs gSa] ;fn flDdk mNkyus osQ iz;ksx dks eku
yhft, ,d fefy;u ckj fd;k tk,] rks fpr vkus dh izk;ksfxd izkf;drk D;k gksxh\ ;fn
iz;ksx 10 fefy;u ckj fd;k tk,] rks izkf;drk D;k gksxh\ vki lgt Kku ls ;g vuqHko
djsaxs fd tSls&tSls flDosQ mNkyus dh la[;k c<+rh tkrh gS] oSls&oSls fpr (;k iV) vkus
dh izk;ksfxd izkf;drk ,d la[;k 0-5] vFkkZr~ 
1
2
osQ vklikl izrhr gksrh gSA ge bls fpr
(iV) ikus dh lS¼kafrd izkf;drk (theoretical probability) dgrs gSa] bls vki vxys
vuqPNsn esa ns[ksaxsA bl vè;k; esa ge ,d ?kVuk dh lS¼kafrd izkf;drk ¹ftls ikjaifjd
izkf;drk (classical probability) Hkh dgrs gSaº dk ifjp; djk,¡xs rFkk bl voèkkj.kk ij
vk/kfjr ljy leL;kvksa dh ppkZ djsaxsA
2018-19
izkf;drk 325
15.2 izkf;drk µ µ ,d lS¼kafrd n`f"Vdks.k
vkb, fuEufyf[kr fLFkfr ij fopkj djsa%
eku yhft, ,d flDosQ dks ;kn`PN;k mNkyk tkrk gSA
tc ge ,d flDosQ dh ckr djrs gSa] rc ge ;g dYiuk djrs gSa fd og U;k;laxr
(fair) gSA vFkkZr~ og lefer (symmetrical) gS] rkfd dksbZ dkj.k u gks fd og ,d
gh vksj] nwljh vksj dh vis{kk] vf/d fxjsA ge flDosQ osQ bl xq.k dks mldk
vi{kikriw.kZ (unbiased) gksuk dgrs gSaA ^;kn`PN;k mNky* (random toss) ls gekjk
rkRi;Z gS fd flDosQ dks fcuk fdlh i{kikr (bias) ;k #dkoV osQ Lora=krkiwoZd fxjus
fn;k tkrk gSA
ge igys ls tkurs gSa fd flDdk nks laHko fof/;ksa esa ls osQoy ,d gh fof/ ls
fxj ldrk gS µ ;k rks fpr Åij gksxk ;k fiQj iV Åij gksxk ¹ge flDosQ osQ] mlosQ
fdukjs (edge) osQ vuqfn'k fxjus dh laHkkouk dks vLohdkj djrs gSa] tks mnkgj.kkFkZ] rc
laHko gS tc flDdk jsr ij fxjsºA ge ;g roZQlaxr:i ls eku ldrs gSa fd izR;sd
ifj.kke] fpr ;k iV] dk izdV gksuk mruh gh ckj gks ldrk gS ftruk fd vU; ifj.kke
dkA nwljs 'kCnksa esa ge dgrs gSa fd ifj.kke fpr vkSj iV leizkf;d (equally likely)
gSaA leizkf;d ifj.kkeksa osQ ,d vU; mnkgj.k osQ fy, eku yhft, fd ge ,d ikls dks
isaQdrs gSaA gekjs fy,] ,d ikls dk vFkZ lnSo ,d U;k;laxr ikls ls gksxkA laHko ifj.kke
D;k gS\ ;s 1, 2, 3, 4, 5, 6 gSaA izR;sd la[;k osQ Åij vkus dh leku laHkkouk gSA vr%]
ikls dks isaQdus ls izkIr gksus okys leizkf;d ifj.kke 1, 2, 3, 4, 5 vkSj 6 gSaA
D;k izR;sd iz;ksx osQ ifj.kke leizkf;d gksrs gSa\ vkb, ns[ksaA
eku yhft, ,d FkSys esa 4 yky xsansa vkSj 1 uhyh xasn gS rFkk vki bl FkSys esa ls]
fcuk FkSys osQ vanj oqQN ns[ksa] ,d xsan fudkyrs gSaA blosQ D;k ifj.kke gSa\ D;k ,d yky
xsan vkSj ,d uhyh xsan osQ ifj.kke leizkf;d gSa\ pw¡fd ;gk¡ 4 yky xsansa gSa vkSj uhyh
xsan osQoy ,d gh] vr% vki ;g vo'; Lohdkj djsaxs fd vkiosQ }kjk ,d uhyh xsan
dh vis{kk ,d yky xsan fudkyus dh laHkkouk vf/d gSA vr% ;s ifj.kke (,d yky
xsan vkSj ,d uhyh xsan) leizkf;d ugha gSaA ijarq FkSys esa ls fdlh Hkh jax dh xsan fudkyus
osQ ifj.kke leizkf;d gSaA
vr%] lHkh iz;ksxksa osQ ifj.kkeksa dk leizkf;d gksuk vko';d ugha gSA ijarq] bl
2018-19
326 xf.kr
vè;k; esa] ge vkxs ;g ekudj pysaxs fd lHkh iz;ksxksa osQ ifj.kke leizkf;d gSaA
d{kk IX esa] geus ,d ?kVuk E dh iz;ksxkRed ;k vkuqHkfod izkf;drk P(E) dks
fuEufyf[kr :i esa ifjHkkf"kr fd;k Fkk %
P(E) = 
vfHki; z ksxkas dh la[;k ftueas ?kVuk ?kfVr gqbZ gS
vfHki; z ksxkas dh oqQy l[ a ;k
izkf;drk dh vkuqHkfod O;k[;k dk cM+h la[;k esa nksgjk, tk ldus okys fdlh Hkh
iz;ksx ls tqM+s izR;sd ?kVuk osQ fy, vuqiz;ksx fd;k tk ldrk gSA fdlh iz;ksx dks nksgjkus
dh vko';drk ,d xaHkhj ifjlhek gS] D;ksafd vusd fLFkfr;ksa esa ;g vf/d O;; okyk gks
ldrk gS ;k ;g Hkh gks ldrk gS fd ,slk djuk laHko gh u gksA fuLlansg] flDdk mNkyus
;k iklk isaQdus osQ iz;ksxksa esa] blesa dksbZ dfBukbZ ugha gqbZA ijarq ,d mixzg (satellite) NksM+us
osQ iz;ksx dks ;g ifjdfyr djus osQ fy, ckj&ckj nksgjkus dh NksM+rs le; mldh
vliQyrk dh vkuqHkfor izkf;drk D;k gS] osQ ckjs esa vki D;k lksprs gSa vFkok ;g fd ,d
HkwoaQi osQ dkj.k dksbZ cgqeaftyh bekjr u"V gksxh ;k ugha] dh vkuqHkfod izkf;drk
ifjdfyr djus osQ fy, HkwoaQi dh ifj?kVuk osQ nksckjk ?kfVr gksus osQ ckjs esa vki D;k dg
ldrs gSa\
,sls iz;ksxksa esa] tgk¡ ge oqQN dYiukvksa dks lgh ekuus dks rS;kj gks tk,¡] ge ,d iz;ksx
osQ nksgjkus ls cp ldrs gSa] D;ksafd os dYiuk,¡ lh/s lgh (lS¼kafrd) izkf;drk ifjdfyr
djus esa gekjh lgk;rk djrh gSaA ifj.kkeksa osQ leizkf;d gksus dh dYiuk (tks vussd iz;ksxksa
esa ekU; gksrh gS] tSls fd Åij flDdk mNkyus vkSj iklk isaQdus osQ nksuksa mnkgj.kksa esaa gS)
bu dYiukvksa esa ls ,d gS tks gesa fdlh ?kVuk dh izkf;drk dh fuEufyf[kr ifjHkk"kk dh
vksj vxzlj djrh gSA
fdlh ?kVuk E dh lS¼kafrd izkf;drk (theoretical probability) ¹ftls ijaijkxr
izkf;drk (classical probability) Hkh dgk tkrk gSAº P(E) fuEufyf[kr :i esa ifjHkkf"kr
dh tkrh gS
P(E) = 
E osQ vuqoQ wy ifj.kkeksa dh l[ a ;k
i; z ksx oQ s lHkh lH a ko ifj.kkekas dh l[ a ;k
;gk¡ ge ;g dYiuk djrs gSa fd iz;ksx osQ ifj.kke leizkf;d gSaA
ge laf{kIr :i esa] lS¼kafrd izkf;drk dks osQoy izkf;drk gh dgsaxsA
izkf;drk dh mijksDr ifjHkk"kk 1795 esa fi;js&lkbeu ykIykl (Pierre- Simon Laplace)
us nh FkhA
2018-19
Page 5


izkf;drk 323
15
The theory of probabilities and the theory of errors now constitute
a formidable body of great mathematical interest and of great
practical importance
(izkf;drkvksa osQ fl¼kar vkSj =kqfV;ksa osQ fl¼kar vc vfr xf.krh; #fp dk rFkk
vfr O;kogkfjd egRo dk ,d fo'kky lewg LFkkfir djrs gSaA)
– R.S. Woodward
15.1 Hkwfedk
d{kk IX esa] vki ?kVukvksa dh izk;ksfxd (experimental) ¹;k vkuqHkfod (empirical)º
izkf;drkvksa osQ ckjs esa vè;;u dj pqosQ gSa] tks okLrfod iz;ksxksa osQ ifj.kkeksa ij vkèkkfjr
FkhaA geus ,d flDosQ dks 1000 ckj mNkyus osQ iz;ksx dh ppkZ dh Fkh] ftlesa ifj.kkeksa
(outcomes) dh ckjackjrk,¡ bl izdkj Fkha %
fpr (Head) : 455 iV (Tail) : 545
bl iz;ksx ij vk/kfjr] ,d fpr dh vkuqHkfod izkf;drk 
455
1000
, vFkkZr~ 0.455 gS rFkk ,d
iV dh vkuqHkfod izkf;drk 0.545 gSA (d{kk IX  dh xf.kr dh ikB~;iqLrd osQ vè;k; 15
dk mnkgj.k 1 Hkh nsf[k,A) è;ku nhft, fd ;s izkf;drk,¡ ,d flDosQ dks 1000 ckj
mNkyus osQ ,d okLrfod iz;ksx osQ ifj.kkeksa ij vk/kfjr gSaA blh dkj.k] ;s vkuqHkfod
;k izk;ksfxd izkf;drk,¡ dgykrh gSaA oLrqr%] izk;ksfxd izkf;drk,¡ okLrfod iz;ksxksa osQ
ifj.kkeksa rFkk ?kVuk,¡ ?kfVr gksus dh i;kZIr fjdkW²Mx (recording) ij fuHkZj djrh gSaA blosQ
vfrfjDr] ;s izkf;drk,¡ osQoy ^vkdyu* (estimates) gh gSaA ;fn ge blh iz;ksx dks
izkf;drk
2018-19
324 xf.kr
vU; 1000 ckj flDosQ dks mNky dj djsa] rks gesa buls fHkUu vk¡dM+s izkIr gks ldrs gSa]
ftlls gesa igys ls fHkUu izkf;drk vkdyu izkIr gksaxsA
d{kk IX esa] vkius ,d flDosQ dks vusd ckj mNkyk Fkk vkSj ;g uksV fd;k Fkk fd
fpr (;k iV) fdruh ckj vk;k (d{kk IX osQ vè;k; 15 osQ fØ;kdykiksa 1 vkSj 2 dks
nsf[k,)A vkius ;g Hkh ns[kk Fkk fd tSls&tSls flDdk mNkyus dh la[;k c<+rh xbZ]
oSls&oSls ,d fpr (;k iV) vkus dh izk;ksfxd izkf;drk la[;k 
1
2
osQ fudVre vkrh
jghA vkius gh ugha] vfirq fo'o osQ fofHkUu Hkkxksa osQ O;fDr;ksa us blh izdkj osQ iz;ksx
fd, gSa vkSj fpr vkus dh la[;k dks fjdkWMZ fd;k gSA
mnkgj.kkFkZ] vBkjgoha 'krkCnh osQ izQkalhlh thofoKkuh dkseVs fM cqiQkWu
(Comte De Buffon) us ,d flDds dks 4040 ckj mNkyk vkSj 2048 fpr izkIr fd,A
bl fLFkfr esa] ,d fpr vkus dh izkf;drk 
2048
4040
vFkkZr~ 0-507 FkhA fczVsu osQ ts-bZ- oSQfjp
(J.E. Kerrich) us ,d flDosQ dh 10000 mNkyksa esa 5067 fpr izkIr fd,A bl fLFkfr
esa] ,d fpr vkus dh izk;ksfxd izkf;drk  
5067
0.5067
10000
=
FkhA lkaf[;dhfon dkyZ fi;lZu
(Karl Pearson) us blesa vf/d le; O;rhr djosQ ,d flDosQ dks 24000 ckj mNkykA
mlus 12012 fpr izkIr fd, rFkk bl izdkj mls ,d fpr osQ vkus dh izk;ksfxd izkf;drk
0-5005 izkIr gqbZA
vc] eku yhft, fd ge iz'u djrs gSa] ;fn flDdk mNkyus osQ iz;ksx dks eku
yhft, ,d fefy;u ckj fd;k tk,] rks fpr vkus dh izk;ksfxd izkf;drk D;k gksxh\ ;fn
iz;ksx 10 fefy;u ckj fd;k tk,] rks izkf;drk D;k gksxh\ vki lgt Kku ls ;g vuqHko
djsaxs fd tSls&tSls flDosQ mNkyus dh la[;k c<+rh tkrh gS] oSls&oSls fpr (;k iV) vkus
dh izk;ksfxd izkf;drk ,d la[;k 0-5] vFkkZr~ 
1
2
osQ vklikl izrhr gksrh gSA ge bls fpr
(iV) ikus dh lS¼kafrd izkf;drk (theoretical probability) dgrs gSa] bls vki vxys
vuqPNsn esa ns[ksaxsA bl vè;k; esa ge ,d ?kVuk dh lS¼kafrd izkf;drk ¹ftls ikjaifjd
izkf;drk (classical probability) Hkh dgrs gSaº dk ifjp; djk,¡xs rFkk bl voèkkj.kk ij
vk/kfjr ljy leL;kvksa dh ppkZ djsaxsA
2018-19
izkf;drk 325
15.2 izkf;drk µ µ ,d lS¼kafrd n`f"Vdks.k
vkb, fuEufyf[kr fLFkfr ij fopkj djsa%
eku yhft, ,d flDosQ dks ;kn`PN;k mNkyk tkrk gSA
tc ge ,d flDosQ dh ckr djrs gSa] rc ge ;g dYiuk djrs gSa fd og U;k;laxr
(fair) gSA vFkkZr~ og lefer (symmetrical) gS] rkfd dksbZ dkj.k u gks fd og ,d
gh vksj] nwljh vksj dh vis{kk] vf/d fxjsA ge flDosQ osQ bl xq.k dks mldk
vi{kikriw.kZ (unbiased) gksuk dgrs gSaA ^;kn`PN;k mNky* (random toss) ls gekjk
rkRi;Z gS fd flDosQ dks fcuk fdlh i{kikr (bias) ;k #dkoV osQ Lora=krkiwoZd fxjus
fn;k tkrk gSA
ge igys ls tkurs gSa fd flDdk nks laHko fof/;ksa esa ls osQoy ,d gh fof/ ls
fxj ldrk gS µ ;k rks fpr Åij gksxk ;k fiQj iV Åij gksxk ¹ge flDosQ osQ] mlosQ
fdukjs (edge) osQ vuqfn'k fxjus dh laHkkouk dks vLohdkj djrs gSa] tks mnkgj.kkFkZ] rc
laHko gS tc flDdk jsr ij fxjsºA ge ;g roZQlaxr:i ls eku ldrs gSa fd izR;sd
ifj.kke] fpr ;k iV] dk izdV gksuk mruh gh ckj gks ldrk gS ftruk fd vU; ifj.kke
dkA nwljs 'kCnksa esa ge dgrs gSa fd ifj.kke fpr vkSj iV leizkf;d (equally likely)
gSaA leizkf;d ifj.kkeksa osQ ,d vU; mnkgj.k osQ fy, eku yhft, fd ge ,d ikls dks
isaQdrs gSaA gekjs fy,] ,d ikls dk vFkZ lnSo ,d U;k;laxr ikls ls gksxkA laHko ifj.kke
D;k gS\ ;s 1, 2, 3, 4, 5, 6 gSaA izR;sd la[;k osQ Åij vkus dh leku laHkkouk gSA vr%]
ikls dks isaQdus ls izkIr gksus okys leizkf;d ifj.kke 1, 2, 3, 4, 5 vkSj 6 gSaA
D;k izR;sd iz;ksx osQ ifj.kke leizkf;d gksrs gSa\ vkb, ns[ksaA
eku yhft, ,d FkSys esa 4 yky xsansa vkSj 1 uhyh xasn gS rFkk vki bl FkSys esa ls]
fcuk FkSys osQ vanj oqQN ns[ksa] ,d xsan fudkyrs gSaA blosQ D;k ifj.kke gSa\ D;k ,d yky
xsan vkSj ,d uhyh xsan osQ ifj.kke leizkf;d gSa\ pw¡fd ;gk¡ 4 yky xsansa gSa vkSj uhyh
xsan osQoy ,d gh] vr% vki ;g vo'; Lohdkj djsaxs fd vkiosQ }kjk ,d uhyh xsan
dh vis{kk ,d yky xsan fudkyus dh laHkkouk vf/d gSA vr% ;s ifj.kke (,d yky
xsan vkSj ,d uhyh xsan) leizkf;d ugha gSaA ijarq FkSys esa ls fdlh Hkh jax dh xsan fudkyus
osQ ifj.kke leizkf;d gSaA
vr%] lHkh iz;ksxksa osQ ifj.kkeksa dk leizkf;d gksuk vko';d ugha gSA ijarq] bl
2018-19
326 xf.kr
vè;k; esa] ge vkxs ;g ekudj pysaxs fd lHkh iz;ksxksa osQ ifj.kke leizkf;d gSaA
d{kk IX esa] geus ,d ?kVuk E dh iz;ksxkRed ;k vkuqHkfod izkf;drk P(E) dks
fuEufyf[kr :i esa ifjHkkf"kr fd;k Fkk %
P(E) = 
vfHki; z ksxkas dh la[;k ftueas ?kVuk ?kfVr gqbZ gS
vfHki; z ksxkas dh oqQy l[ a ;k
izkf;drk dh vkuqHkfod O;k[;k dk cM+h la[;k esa nksgjk, tk ldus okys fdlh Hkh
iz;ksx ls tqM+s izR;sd ?kVuk osQ fy, vuqiz;ksx fd;k tk ldrk gSA fdlh iz;ksx dks nksgjkus
dh vko';drk ,d xaHkhj ifjlhek gS] D;ksafd vusd fLFkfr;ksa esa ;g vf/d O;; okyk gks
ldrk gS ;k ;g Hkh gks ldrk gS fd ,slk djuk laHko gh u gksA fuLlansg] flDdk mNkyus
;k iklk isaQdus osQ iz;ksxksa esa] blesa dksbZ dfBukbZ ugha gqbZA ijarq ,d mixzg (satellite) NksM+us
osQ iz;ksx dks ;g ifjdfyr djus osQ fy, ckj&ckj nksgjkus dh NksM+rs le; mldh
vliQyrk dh vkuqHkfor izkf;drk D;k gS] osQ ckjs esa vki D;k lksprs gSa vFkok ;g fd ,d
HkwoaQi osQ dkj.k dksbZ cgqeaftyh bekjr u"V gksxh ;k ugha] dh vkuqHkfod izkf;drk
ifjdfyr djus osQ fy, HkwoaQi dh ifj?kVuk osQ nksckjk ?kfVr gksus osQ ckjs esa vki D;k dg
ldrs gSa\
,sls iz;ksxksa esa] tgk¡ ge oqQN dYiukvksa dks lgh ekuus dks rS;kj gks tk,¡] ge ,d iz;ksx
osQ nksgjkus ls cp ldrs gSa] D;ksafd os dYiuk,¡ lh/s lgh (lS¼kafrd) izkf;drk ifjdfyr
djus esa gekjh lgk;rk djrh gSaA ifj.kkeksa osQ leizkf;d gksus dh dYiuk (tks vussd iz;ksxksa
esa ekU; gksrh gS] tSls fd Åij flDdk mNkyus vkSj iklk isaQdus osQ nksuksa mnkgj.kksa esaa gS)
bu dYiukvksa esa ls ,d gS tks gesa fdlh ?kVuk dh izkf;drk dh fuEufyf[kr ifjHkk"kk dh
vksj vxzlj djrh gSA
fdlh ?kVuk E dh lS¼kafrd izkf;drk (theoretical probability) ¹ftls ijaijkxr
izkf;drk (classical probability) Hkh dgk tkrk gSAº P(E) fuEufyf[kr :i esa ifjHkkf"kr
dh tkrh gS
P(E) = 
E osQ vuqoQ wy ifj.kkeksa dh l[ a ;k
i; z ksx oQ s lHkh lH a ko ifj.kkekas dh l[ a ;k
;gk¡ ge ;g dYiuk djrs gSa fd iz;ksx osQ ifj.kke leizkf;d gSaA
ge laf{kIr :i esa] lS¼kafrd izkf;drk dks osQoy izkf;drk gh dgsaxsA
izkf;drk dh mijksDr ifjHkk"kk 1795 esa fi;js&lkbeu ykIykl (Pierre- Simon Laplace)
us nh FkhA
2018-19
izkf;drk 327
izkf;drk fl¼kar dk lw=kikr 16oha 'krkCnh esa gqvk] tc ,d
brkyoh HkkSfrd'kkL=kh ,oa xf.krK ts- dkMZu us bl fo"k; ij
igyh iqLrd fy[kh] ftldk uke Fkk % The Book on Games
of Chance vius izknqHkkZo ls gh] izkf;drk osQ vè;;u dks
egku xf.krKksa dk è;ku viuh vksj vkd£"kr fd;kA bu
xf.krKksa esa tsEl cuwZyh (1654&1705)] ,-M+h eksbojs
(1667&1754) vkSj fi;js&lkbeu ykIykl ,sls yksx gSa ftUgksaus
bl {ks=k esa ,d lkFkZd ;ksxnku fn;kA ykIykl }kjk 1812 esa
fy[kh xbZ o`Qfr (Theorie Analytiquedes Probabilities) dks
,d vosQys O;fDr }kjk izkf;drk osQ fl¼kar osQ fy, fd;k x;k
lcls cM+k ;ksxnku ekuk tkrk gSA gky gh osQ oqQN o"kks± esa] izkf;drk dk vusd {ks=kksa]
tSls fd tSfodh] vFkZ'kkL=k] oa'k lacaèkh 'kkL=k (genetics), HkkSfrdh] lekt'kkL=k bR;kfn
{ks=kksa esa izpqj ek=kk esa mi;ksx fd;k tk jgk gSSA
vkb, ,sls iz;ksxksa ls lacaf/r oqQN ?kVukvksa dh izkf;drk Kkr djsa] ftuesa leizkf;d
gksus dh dYiuk ekU; gSA
mnkgj.k 1 : ,d fpr izkIr djus dh izkf;drk Kkr dhft,] tc ,d flDosQ dks ,d ckj
mNkyk tkrk gSA lkFk gh] ,d iV izkIr djus dh Hkh izkf;drk Kkr dhft,A
gy : ,d flDosQ dks ,d ckj mNkyus osQ iz;ksx esa] laHko ifj.kkeksa dh la[;k 2 gS –
fpr (H) vkSj iV (T) A eku yhft, ?kVuk E ^fpr izkIr djuk* gSA rc] E  osQ vuqowQy
(vFkkZr~ fpr izkIr djus osQ vuqowQy) ifj.kke 1 gSA vr%]
P(E) = P (fpr) =
E oQ s vuo q Q w y ifj.kkeksa dh l[ a ;k
lHkh laHko ifj.kkekas dh l[ a ;k
 = 
1
2
blh izdkj] ;fn ?kVuk F iV izkIr djuk gS] rks
P(F) = P (iV) =
1
2
(D;ksa\)
mnkgj.k 2 : ,d FkSys esa ,d yky xsan] ,d uhyh xsan vkSj ,d ihyh xsan gS rFkk lHkh
xsans ,d gh lkbt dh gSaA o`Qfrdk fcuk FkSys osQ vanj >k¡osQ] blesa ls ,d xsan fudkyrh
gSA bldh D;k izkf;drk gS fd og xsan
(i) ihyh gksxh\ (ii) yky gksxh\ (iii) uhyh gksxh\
fi;js&lkbeu ykIykl
(1749 – 1827)
2018-19