NCERT पाठ्यपुस्तक पाठ 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म, कक्षा 10, गणित Class 10 Notes | EduRev

गणित कक्षा 10

Class 10 : NCERT पाठ्यपुस्तक पाठ 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म, कक्षा 10, गणित Class 10 Notes | EduRev

 Page 1


42 xf.kr
3
3.1 Hkwfedk
vkius bl izdkj dh fLFkfr dk lkeuk vo'; fd;k gksxk] tSlh uhps nh xbZ gS%
vf[kyk vius xk¡o osQ ,d esys esa xbZA og ,d pj[kh (Giant wheel) dh lokjh
djuk pkgrh Fkh vkSj gwiyk (Hoopla) [,d [ksy ftlesa vki ,d LVky esa j[kh fdlh
oLrq ij ,d oy; (ring) dks isaQdrs gSa vkSj ;fn og oLrq dks iw.kZ:i ls ?ksj ys] rks
vkidks og oLrq fey tkrh gS ] [ksyuk pkgrh FkhA ftruh ckj mlus gwiyk [ksy [ksyk
mlls vk/h ckj mlus pj[kh dh lokjh dhA ;fn izR;sd ckj dh lokjh osQ fy, mls `3
rFkk gwiyk [ksyus osQ fy, `4 [kpZ djus iM+s] rks vki oSQls Kkr djsaxs fd mlus fdruh
ckj pj[kh dh lokjh dh vkSj fdruh ckj gwiyk [ksyk] tcfd mlus blosQ fy, oqQy
`20 [kpZ fd,\
gks ldrk gS fd vki bls Kkr djus osQ fy, vyx&vyx fLFkfr;k¡ ysdj pysaA ;fn
mlus ,d ckj lokjh dh] D;k ;g laHko gS\ D;k ;g Hkh laHko gS fd mlus nks ckj
nks pj okys jSf[kd
lehdj.k ;qXe
2018-19
Page 2


42 xf.kr
3
3.1 Hkwfedk
vkius bl izdkj dh fLFkfr dk lkeuk vo'; fd;k gksxk] tSlh uhps nh xbZ gS%
vf[kyk vius xk¡o osQ ,d esys esa xbZA og ,d pj[kh (Giant wheel) dh lokjh
djuk pkgrh Fkh vkSj gwiyk (Hoopla) [,d [ksy ftlesa vki ,d LVky esa j[kh fdlh
oLrq ij ,d oy; (ring) dks isaQdrs gSa vkSj ;fn og oLrq dks iw.kZ:i ls ?ksj ys] rks
vkidks og oLrq fey tkrh gS ] [ksyuk pkgrh FkhA ftruh ckj mlus gwiyk [ksy [ksyk
mlls vk/h ckj mlus pj[kh dh lokjh dhA ;fn izR;sd ckj dh lokjh osQ fy, mls `3
rFkk gwiyk [ksyus osQ fy, `4 [kpZ djus iM+s] rks vki oSQls Kkr djsaxs fd mlus fdruh
ckj pj[kh dh lokjh dh vkSj fdruh ckj gwiyk [ksyk] tcfd mlus blosQ fy, oqQy
`20 [kpZ fd,\
gks ldrk gS fd vki bls Kkr djus osQ fy, vyx&vyx fLFkfr;k¡ ysdj pysaA ;fn
mlus ,d ckj lokjh dh] D;k ;g laHko gS\ D;k ;g Hkh laHko gS fd mlus nks ckj
nks pj okys jSf[kd
lehdj.k ;qXe
2018-19
nks pj okys jSf[kd lehdj.k ;qXe 43
lokjh dh\ bR;kfnA vFkok vki d{kk IX osQ Kku dk mi;ksx djrs gq,] bu fLFkfr;ksa dks
nks pjkas okys jSf[kd lehdj.kksa }kjk fu:fir dj ldrs gSaA
vkb, bl izfØ;k dks le>saA
vf[kyk }kjk lokjh djus dh la[;k dks x rFkk mlosQ }kjk gwiyk [ksy [ksyus dh
la[;k dks  y  ls fu:fir dhft,A vc nh gqbZ fLFkfr dks nks lehdj.kksa }kjk O;Dr fd;k
tk ldrk gS %
y =
1
2
x (1)
3x + 4y = 20 (2)
D;k ge bl lehdj.k ;qXe dk gy Kkr dj ldrs gSa\ bUgsa Kkr djus oQh dbZ
fof/;k¡ gSa] ftudk ge bl vè;k; esa vè;;u djsaxsA
3.2 nks pjksa esa jSf[kd lehdj.k ;qXe
d{kk IX ls ;kn dhft, fd fuEu lehdj.k nks pjksa osQ jSf[kd lehdj.kksa osQ mnkgj.k gSa%
2x + 3y = 5
x – 2y – 3 =0
vkSj x – 0y = 2 vFkkZr~ x = 2
vki ;g Hkh tkurs gSa fd og lehdj.k] ftldks  ax + by + c = 0 osQ :i esa j[kk
tk ldrk gS] tgk¡  a, b vkSj c okLrfod la[;k,¡ gSa vkSj  a vkSj b nksuksa 'kwU; ugha gSa] nks
pjksa x  vkSj y esa ,d jSf[kd lehdj.k dgykrk gSA (izfrca/ tSls a vkSj b nksuksa 'kwU; ugha
gSa] ge izk;% a
2
 + b
2
 ? 0 ls izn£'kr djrs gSaA) vkius ;g Hkh i<+k gS fd ,slh lehdj.k
dk gy la[;kvksa osQ ekuksa dk ,d ;qXe gksrk gS] ,d  x  osQ fy, rFkk nwljk  y osQ fy,]
tks lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks cjkcj dj nsrk gSA
mnkgj.k osQ fy,] vkb, lehdj.k  2x + 3y = 5 osQ ck,¡ i{k (LHS) esa]  x = 1 vkSj
y = 1 j[ksaA rc
ck;k¡ i{k = 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5,
tks lehdj.k osQ nk,¡ i{k (RHS) osQ cjkcj gSA
vr%] x = 1 vkSj  y = 1 lehdj.k 2x + 3y = 5  dk ,d gy gSA
vc vkb, lehdj.k  2x + 3y = 5 esa] x = 1  vkSj  y = 7  j[ksaA rc]
2018-19
Page 3


42 xf.kr
3
3.1 Hkwfedk
vkius bl izdkj dh fLFkfr dk lkeuk vo'; fd;k gksxk] tSlh uhps nh xbZ gS%
vf[kyk vius xk¡o osQ ,d esys esa xbZA og ,d pj[kh (Giant wheel) dh lokjh
djuk pkgrh Fkh vkSj gwiyk (Hoopla) [,d [ksy ftlesa vki ,d LVky esa j[kh fdlh
oLrq ij ,d oy; (ring) dks isaQdrs gSa vkSj ;fn og oLrq dks iw.kZ:i ls ?ksj ys] rks
vkidks og oLrq fey tkrh gS ] [ksyuk pkgrh FkhA ftruh ckj mlus gwiyk [ksy [ksyk
mlls vk/h ckj mlus pj[kh dh lokjh dhA ;fn izR;sd ckj dh lokjh osQ fy, mls `3
rFkk gwiyk [ksyus osQ fy, `4 [kpZ djus iM+s] rks vki oSQls Kkr djsaxs fd mlus fdruh
ckj pj[kh dh lokjh dh vkSj fdruh ckj gwiyk [ksyk] tcfd mlus blosQ fy, oqQy
`20 [kpZ fd,\
gks ldrk gS fd vki bls Kkr djus osQ fy, vyx&vyx fLFkfr;k¡ ysdj pysaA ;fn
mlus ,d ckj lokjh dh] D;k ;g laHko gS\ D;k ;g Hkh laHko gS fd mlus nks ckj
nks pj okys jSf[kd
lehdj.k ;qXe
2018-19
nks pj okys jSf[kd lehdj.k ;qXe 43
lokjh dh\ bR;kfnA vFkok vki d{kk IX osQ Kku dk mi;ksx djrs gq,] bu fLFkfr;ksa dks
nks pjkas okys jSf[kd lehdj.kksa }kjk fu:fir dj ldrs gSaA
vkb, bl izfØ;k dks le>saA
vf[kyk }kjk lokjh djus dh la[;k dks x rFkk mlosQ }kjk gwiyk [ksy [ksyus dh
la[;k dks  y  ls fu:fir dhft,A vc nh gqbZ fLFkfr dks nks lehdj.kksa }kjk O;Dr fd;k
tk ldrk gS %
y =
1
2
x (1)
3x + 4y = 20 (2)
D;k ge bl lehdj.k ;qXe dk gy Kkr dj ldrs gSa\ bUgsa Kkr djus oQh dbZ
fof/;k¡ gSa] ftudk ge bl vè;k; esa vè;;u djsaxsA
3.2 nks pjksa esa jSf[kd lehdj.k ;qXe
d{kk IX ls ;kn dhft, fd fuEu lehdj.k nks pjksa osQ jSf[kd lehdj.kksa osQ mnkgj.k gSa%
2x + 3y = 5
x – 2y – 3 =0
vkSj x – 0y = 2 vFkkZr~ x = 2
vki ;g Hkh tkurs gSa fd og lehdj.k] ftldks  ax + by + c = 0 osQ :i esa j[kk
tk ldrk gS] tgk¡  a, b vkSj c okLrfod la[;k,¡ gSa vkSj  a vkSj b nksuksa 'kwU; ugha gSa] nks
pjksa x  vkSj y esa ,d jSf[kd lehdj.k dgykrk gSA (izfrca/ tSls a vkSj b nksuksa 'kwU; ugha
gSa] ge izk;% a
2
 + b
2
 ? 0 ls izn£'kr djrs gSaA) vkius ;g Hkh i<+k gS fd ,slh lehdj.k
dk gy la[;kvksa osQ ekuksa dk ,d ;qXe gksrk gS] ,d  x  osQ fy, rFkk nwljk  y osQ fy,]
tks lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks cjkcj dj nsrk gSA
mnkgj.k osQ fy,] vkb, lehdj.k  2x + 3y = 5 osQ ck,¡ i{k (LHS) esa]  x = 1 vkSj
y = 1 j[ksaA rc
ck;k¡ i{k = 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5,
tks lehdj.k osQ nk,¡ i{k (RHS) osQ cjkcj gSA
vr%] x = 1 vkSj  y = 1 lehdj.k 2x + 3y = 5  dk ,d gy gSA
vc vkb, lehdj.k  2x + 3y = 5 esa] x = 1  vkSj  y = 7  j[ksaA rc]
2018-19
44 xf.kr
ck;k¡ i{k = 2(1) + 3(7) = 2 + 21 = 23
tks nk,¡ i{k osQ cjkcj ugha gSA
vr%]  x = 1 vkSj  y = 7 nh gqbZ  lehdj.k dk ,d gy ugha gSA
T;kferh; n`f"V ls bldk D;k vFkZ gS\ bldk vFkZ gS fd ¯cnq (1, 1) lehdj.k
2x + 3y = 5 }kjk fu:fir js[kk ij fLFkr gS vkSj ¯cnq (1, 7) bl ij fLFkr ugha gSA blfy,]
lehdj.k dk izR;sd gy mldks fu:fir djus okyh js[kk ij fLFkr ,d ¯cnq gksrk
gSA
okLro esa] ;g fdlh Hkh jSf[kd lehdj.k osQ fy, lR; gS] vFkkZr~ nks pjksa okys
jSf[kd lehdj.k ax + by + c = 0  dk izR;sd gy (x, y) bl lehdj.k dks fu:fir
djus okyh js[kk osQ ,d ¯cnq osQ laxr gksrk gS vkSj foykser% Hkh ,slk gksrk gSA
vc Åij fn, x, lehdj.kksa (1) vkSj (2) dks yhft,A bu lehdj.kksa dks lkFk
ysus ij] gesa vf[kyk dh esys osQ ckjs esa lwpuk izkIr gksrh gSA
;s nks jSf[kd lehdj.k mUgha nks pjksa  x  vkSj  y esa gSaA bl izdkj osQ lehdj.kksa dks
nks pjksa esa jSf[kd lehdj.kksa dk ,d ;qXe (;k jSf[kd lehdj.k ;qXe) dgrs gSaA
vkb,] ns[ksa fd chtxf.krh; n`f"V esa ;s oSQls ;qXe gSaA
nks pjksa x vkSj  y  esa jSf[kd lehdj.k ;qXe dk O;kid :i
a
1
x + b
1
y + c
1
 =0
vkSj a
2
x + b
2
y + c
2
 = 0 gS
tgk¡  a
1
, b
1
, c
1
, a
2
, b
2
, c
2
 lHkh okLrfod la[;k,¡ gSa vkSj  a
1
2
 + b
1
2
 ? 0, a
2
2
 + b
2
2
 ? 0  gSA
nks pjksa esa ,d jSf[kd lehdj.k ;qXe osQ oqQN mnkgj.k gSa%
2x + 3y – 7 = 0 vkSj 9x – 2y + 8 = 0
5x = y vkSj –7x + 2y + 3 = 0
x + y = 7 vkSj 17 = y
D;k vki tkurs gSa fd ;s T;kferh; n`f"V ls oSQls ;qXe gSa\
d{kk IX ls ;kn dhft, fd nks pjksa esa ,d jSf[kd lehdj.k dk T;kferh; (vFkkZr~
xzkiQh;) fu:i.k ,d ljy js[kk gksrk gSA D;k vc vki crk ldrs gSa fd nks pjksa esa
jSf[kd lehdj.k ;qXe T;kferh; :i esa oSQlk fn[ksxk\ ;s nks ljy js[kk,¡ gksaxh] ftUgsa
lkFk&lkFk fy;k tk,xkA
2018-19
Page 4


42 xf.kr
3
3.1 Hkwfedk
vkius bl izdkj dh fLFkfr dk lkeuk vo'; fd;k gksxk] tSlh uhps nh xbZ gS%
vf[kyk vius xk¡o osQ ,d esys esa xbZA og ,d pj[kh (Giant wheel) dh lokjh
djuk pkgrh Fkh vkSj gwiyk (Hoopla) [,d [ksy ftlesa vki ,d LVky esa j[kh fdlh
oLrq ij ,d oy; (ring) dks isaQdrs gSa vkSj ;fn og oLrq dks iw.kZ:i ls ?ksj ys] rks
vkidks og oLrq fey tkrh gS ] [ksyuk pkgrh FkhA ftruh ckj mlus gwiyk [ksy [ksyk
mlls vk/h ckj mlus pj[kh dh lokjh dhA ;fn izR;sd ckj dh lokjh osQ fy, mls `3
rFkk gwiyk [ksyus osQ fy, `4 [kpZ djus iM+s] rks vki oSQls Kkr djsaxs fd mlus fdruh
ckj pj[kh dh lokjh dh vkSj fdruh ckj gwiyk [ksyk] tcfd mlus blosQ fy, oqQy
`20 [kpZ fd,\
gks ldrk gS fd vki bls Kkr djus osQ fy, vyx&vyx fLFkfr;k¡ ysdj pysaA ;fn
mlus ,d ckj lokjh dh] D;k ;g laHko gS\ D;k ;g Hkh laHko gS fd mlus nks ckj
nks pj okys jSf[kd
lehdj.k ;qXe
2018-19
nks pj okys jSf[kd lehdj.k ;qXe 43
lokjh dh\ bR;kfnA vFkok vki d{kk IX osQ Kku dk mi;ksx djrs gq,] bu fLFkfr;ksa dks
nks pjkas okys jSf[kd lehdj.kksa }kjk fu:fir dj ldrs gSaA
vkb, bl izfØ;k dks le>saA
vf[kyk }kjk lokjh djus dh la[;k dks x rFkk mlosQ }kjk gwiyk [ksy [ksyus dh
la[;k dks  y  ls fu:fir dhft,A vc nh gqbZ fLFkfr dks nks lehdj.kksa }kjk O;Dr fd;k
tk ldrk gS %
y =
1
2
x (1)
3x + 4y = 20 (2)
D;k ge bl lehdj.k ;qXe dk gy Kkr dj ldrs gSa\ bUgsa Kkr djus oQh dbZ
fof/;k¡ gSa] ftudk ge bl vè;k; esa vè;;u djsaxsA
3.2 nks pjksa esa jSf[kd lehdj.k ;qXe
d{kk IX ls ;kn dhft, fd fuEu lehdj.k nks pjksa osQ jSf[kd lehdj.kksa osQ mnkgj.k gSa%
2x + 3y = 5
x – 2y – 3 =0
vkSj x – 0y = 2 vFkkZr~ x = 2
vki ;g Hkh tkurs gSa fd og lehdj.k] ftldks  ax + by + c = 0 osQ :i esa j[kk
tk ldrk gS] tgk¡  a, b vkSj c okLrfod la[;k,¡ gSa vkSj  a vkSj b nksuksa 'kwU; ugha gSa] nks
pjksa x  vkSj y esa ,d jSf[kd lehdj.k dgykrk gSA (izfrca/ tSls a vkSj b nksuksa 'kwU; ugha
gSa] ge izk;% a
2
 + b
2
 ? 0 ls izn£'kr djrs gSaA) vkius ;g Hkh i<+k gS fd ,slh lehdj.k
dk gy la[;kvksa osQ ekuksa dk ,d ;qXe gksrk gS] ,d  x  osQ fy, rFkk nwljk  y osQ fy,]
tks lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks cjkcj dj nsrk gSA
mnkgj.k osQ fy,] vkb, lehdj.k  2x + 3y = 5 osQ ck,¡ i{k (LHS) esa]  x = 1 vkSj
y = 1 j[ksaA rc
ck;k¡ i{k = 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5,
tks lehdj.k osQ nk,¡ i{k (RHS) osQ cjkcj gSA
vr%] x = 1 vkSj  y = 1 lehdj.k 2x + 3y = 5  dk ,d gy gSA
vc vkb, lehdj.k  2x + 3y = 5 esa] x = 1  vkSj  y = 7  j[ksaA rc]
2018-19
44 xf.kr
ck;k¡ i{k = 2(1) + 3(7) = 2 + 21 = 23
tks nk,¡ i{k osQ cjkcj ugha gSA
vr%]  x = 1 vkSj  y = 7 nh gqbZ  lehdj.k dk ,d gy ugha gSA
T;kferh; n`f"V ls bldk D;k vFkZ gS\ bldk vFkZ gS fd ¯cnq (1, 1) lehdj.k
2x + 3y = 5 }kjk fu:fir js[kk ij fLFkr gS vkSj ¯cnq (1, 7) bl ij fLFkr ugha gSA blfy,]
lehdj.k dk izR;sd gy mldks fu:fir djus okyh js[kk ij fLFkr ,d ¯cnq gksrk
gSA
okLro esa] ;g fdlh Hkh jSf[kd lehdj.k osQ fy, lR; gS] vFkkZr~ nks pjksa okys
jSf[kd lehdj.k ax + by + c = 0  dk izR;sd gy (x, y) bl lehdj.k dks fu:fir
djus okyh js[kk osQ ,d ¯cnq osQ laxr gksrk gS vkSj foykser% Hkh ,slk gksrk gSA
vc Åij fn, x, lehdj.kksa (1) vkSj (2) dks yhft,A bu lehdj.kksa dks lkFk
ysus ij] gesa vf[kyk dh esys osQ ckjs esa lwpuk izkIr gksrh gSA
;s nks jSf[kd lehdj.k mUgha nks pjksa  x  vkSj  y esa gSaA bl izdkj osQ lehdj.kksa dks
nks pjksa esa jSf[kd lehdj.kksa dk ,d ;qXe (;k jSf[kd lehdj.k ;qXe) dgrs gSaA
vkb,] ns[ksa fd chtxf.krh; n`f"V esa ;s oSQls ;qXe gSaA
nks pjksa x vkSj  y  esa jSf[kd lehdj.k ;qXe dk O;kid :i
a
1
x + b
1
y + c
1
 =0
vkSj a
2
x + b
2
y + c
2
 = 0 gS
tgk¡  a
1
, b
1
, c
1
, a
2
, b
2
, c
2
 lHkh okLrfod la[;k,¡ gSa vkSj  a
1
2
 + b
1
2
 ? 0, a
2
2
 + b
2
2
 ? 0  gSA
nks pjksa esa ,d jSf[kd lehdj.k ;qXe osQ oqQN mnkgj.k gSa%
2x + 3y – 7 = 0 vkSj 9x – 2y + 8 = 0
5x = y vkSj –7x + 2y + 3 = 0
x + y = 7 vkSj 17 = y
D;k vki tkurs gSa fd ;s T;kferh; n`f"V ls oSQls ;qXe gSa\
d{kk IX ls ;kn dhft, fd nks pjksa esa ,d jSf[kd lehdj.k dk T;kferh; (vFkkZr~
xzkiQh;) fu:i.k ,d ljy js[kk gksrk gSA D;k vc vki crk ldrs gSa fd nks pjksa esa
jSf[kd lehdj.k ;qXe T;kferh; :i esa oSQlk fn[ksxk\ ;s nks ljy js[kk,¡ gksaxh] ftUgsa
lkFk&lkFk fy;k tk,xkA
2018-19
nks pj okys jSf[kd lehdj.k ;qXe 45
vkius d{kk IX esa ;g Hkh i<+k gS fd ,d ry esa ;fn nks js[kk,¡ nh gksa] rks fuEu esa
ls osQoy ,d gh laHkkouk gks ldrh gS%
(i) nksuksa js[kk,¡ ,d ¯cnq ij izfrPNsn djrh gSaA
(ii) nksuksa js[kk,¡ izfrPNsn ugha djrh gSa] vFkkZr~ os lekarj gSaA
(iii) nksuksa js[kk,¡ laikrh gSaA
bu lHkh laHkkoukvksa dks ge vko`Qfr 3-1 esa n'kkZrs gSa%
vko`Qfr 3-1 (a) esa] ;s izfrPNsn djrh gSaA
vko`Qfr 3-1 (b) esa] ;s lekarj gSaA
vko`Qfr 3-1 (c) esa] ;s laikrh gSaA
vko`Qfr 3.1
jSf[kd lehdj.k ;qXe dks izn£'kr djus okyh nksuksa fof/;ksa ;Fkk chtxf.krh; rFkk
T;kferh; dks lkFk&lkFk iz;qDr fd;k tk ldrk gSA vkb, oqQN mnkgj.k ysaA
mnkgj.k 1 : ge vuqPNsn 3-1 esa fn;k x;k mnkgj.k ysrs gSaA vf[kyk esys esa `20 ysdj
tkrh gS vkSj og pj[kh dh lokjh djuk rFkk gwiyk [ksy [ksyuk pkgrh gSA bu fLFkfr;ksa
dks chtxf.krh; rFkk xzkiQh; (T;kferh;) :iksa esa O;Dr dhft,A
gy : cuk;k x;k lehdj.k ;qXe gS%
y =
1
2
x
vFkkZr~ x – 2y =0 (1)
vkSj 3x + 4y = 20 (2)
vkb, bu lehdj.kksa dks xzkiQh; :i esa O;Dr djsaA blosQ fy,] gesa izR;sd
lehdj.k osQ de&ls&de nks gy pkfg,A ge bu gyksa dks lkj.kh 3-1 esa nsrs gSaA
2018-19
Page 5


42 xf.kr
3
3.1 Hkwfedk
vkius bl izdkj dh fLFkfr dk lkeuk vo'; fd;k gksxk] tSlh uhps nh xbZ gS%
vf[kyk vius xk¡o osQ ,d esys esa xbZA og ,d pj[kh (Giant wheel) dh lokjh
djuk pkgrh Fkh vkSj gwiyk (Hoopla) [,d [ksy ftlesa vki ,d LVky esa j[kh fdlh
oLrq ij ,d oy; (ring) dks isaQdrs gSa vkSj ;fn og oLrq dks iw.kZ:i ls ?ksj ys] rks
vkidks og oLrq fey tkrh gS ] [ksyuk pkgrh FkhA ftruh ckj mlus gwiyk [ksy [ksyk
mlls vk/h ckj mlus pj[kh dh lokjh dhA ;fn izR;sd ckj dh lokjh osQ fy, mls `3
rFkk gwiyk [ksyus osQ fy, `4 [kpZ djus iM+s] rks vki oSQls Kkr djsaxs fd mlus fdruh
ckj pj[kh dh lokjh dh vkSj fdruh ckj gwiyk [ksyk] tcfd mlus blosQ fy, oqQy
`20 [kpZ fd,\
gks ldrk gS fd vki bls Kkr djus osQ fy, vyx&vyx fLFkfr;k¡ ysdj pysaA ;fn
mlus ,d ckj lokjh dh] D;k ;g laHko gS\ D;k ;g Hkh laHko gS fd mlus nks ckj
nks pj okys jSf[kd
lehdj.k ;qXe
2018-19
nks pj okys jSf[kd lehdj.k ;qXe 43
lokjh dh\ bR;kfnA vFkok vki d{kk IX osQ Kku dk mi;ksx djrs gq,] bu fLFkfr;ksa dks
nks pjkas okys jSf[kd lehdj.kksa }kjk fu:fir dj ldrs gSaA
vkb, bl izfØ;k dks le>saA
vf[kyk }kjk lokjh djus dh la[;k dks x rFkk mlosQ }kjk gwiyk [ksy [ksyus dh
la[;k dks  y  ls fu:fir dhft,A vc nh gqbZ fLFkfr dks nks lehdj.kksa }kjk O;Dr fd;k
tk ldrk gS %
y =
1
2
x (1)
3x + 4y = 20 (2)
D;k ge bl lehdj.k ;qXe dk gy Kkr dj ldrs gSa\ bUgsa Kkr djus oQh dbZ
fof/;k¡ gSa] ftudk ge bl vè;k; esa vè;;u djsaxsA
3.2 nks pjksa esa jSf[kd lehdj.k ;qXe
d{kk IX ls ;kn dhft, fd fuEu lehdj.k nks pjksa osQ jSf[kd lehdj.kksa osQ mnkgj.k gSa%
2x + 3y = 5
x – 2y – 3 =0
vkSj x – 0y = 2 vFkkZr~ x = 2
vki ;g Hkh tkurs gSa fd og lehdj.k] ftldks  ax + by + c = 0 osQ :i esa j[kk
tk ldrk gS] tgk¡  a, b vkSj c okLrfod la[;k,¡ gSa vkSj  a vkSj b nksuksa 'kwU; ugha gSa] nks
pjksa x  vkSj y esa ,d jSf[kd lehdj.k dgykrk gSA (izfrca/ tSls a vkSj b nksuksa 'kwU; ugha
gSa] ge izk;% a
2
 + b
2
 ? 0 ls izn£'kr djrs gSaA) vkius ;g Hkh i<+k gS fd ,slh lehdj.k
dk gy la[;kvksa osQ ekuksa dk ,d ;qXe gksrk gS] ,d  x  osQ fy, rFkk nwljk  y osQ fy,]
tks lehdj.k osQ nksuksa i{kksa dks cjkcj dj nsrk gSA
mnkgj.k osQ fy,] vkb, lehdj.k  2x + 3y = 5 osQ ck,¡ i{k (LHS) esa]  x = 1 vkSj
y = 1 j[ksaA rc
ck;k¡ i{k = 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5,
tks lehdj.k osQ nk,¡ i{k (RHS) osQ cjkcj gSA
vr%] x = 1 vkSj  y = 1 lehdj.k 2x + 3y = 5  dk ,d gy gSA
vc vkb, lehdj.k  2x + 3y = 5 esa] x = 1  vkSj  y = 7  j[ksaA rc]
2018-19
44 xf.kr
ck;k¡ i{k = 2(1) + 3(7) = 2 + 21 = 23
tks nk,¡ i{k osQ cjkcj ugha gSA
vr%]  x = 1 vkSj  y = 7 nh gqbZ  lehdj.k dk ,d gy ugha gSA
T;kferh; n`f"V ls bldk D;k vFkZ gS\ bldk vFkZ gS fd ¯cnq (1, 1) lehdj.k
2x + 3y = 5 }kjk fu:fir js[kk ij fLFkr gS vkSj ¯cnq (1, 7) bl ij fLFkr ugha gSA blfy,]
lehdj.k dk izR;sd gy mldks fu:fir djus okyh js[kk ij fLFkr ,d ¯cnq gksrk
gSA
okLro esa] ;g fdlh Hkh jSf[kd lehdj.k osQ fy, lR; gS] vFkkZr~ nks pjksa okys
jSf[kd lehdj.k ax + by + c = 0  dk izR;sd gy (x, y) bl lehdj.k dks fu:fir
djus okyh js[kk osQ ,d ¯cnq osQ laxr gksrk gS vkSj foykser% Hkh ,slk gksrk gSA
vc Åij fn, x, lehdj.kksa (1) vkSj (2) dks yhft,A bu lehdj.kksa dks lkFk
ysus ij] gesa vf[kyk dh esys osQ ckjs esa lwpuk izkIr gksrh gSA
;s nks jSf[kd lehdj.k mUgha nks pjksa  x  vkSj  y esa gSaA bl izdkj osQ lehdj.kksa dks
nks pjksa esa jSf[kd lehdj.kksa dk ,d ;qXe (;k jSf[kd lehdj.k ;qXe) dgrs gSaA
vkb,] ns[ksa fd chtxf.krh; n`f"V esa ;s oSQls ;qXe gSaA
nks pjksa x vkSj  y  esa jSf[kd lehdj.k ;qXe dk O;kid :i
a
1
x + b
1
y + c
1
 =0
vkSj a
2
x + b
2
y + c
2
 = 0 gS
tgk¡  a
1
, b
1
, c
1
, a
2
, b
2
, c
2
 lHkh okLrfod la[;k,¡ gSa vkSj  a
1
2
 + b
1
2
 ? 0, a
2
2
 + b
2
2
 ? 0  gSA
nks pjksa esa ,d jSf[kd lehdj.k ;qXe osQ oqQN mnkgj.k gSa%
2x + 3y – 7 = 0 vkSj 9x – 2y + 8 = 0
5x = y vkSj –7x + 2y + 3 = 0
x + y = 7 vkSj 17 = y
D;k vki tkurs gSa fd ;s T;kferh; n`f"V ls oSQls ;qXe gSa\
d{kk IX ls ;kn dhft, fd nks pjksa esa ,d jSf[kd lehdj.k dk T;kferh; (vFkkZr~
xzkiQh;) fu:i.k ,d ljy js[kk gksrk gSA D;k vc vki crk ldrs gSa fd nks pjksa esa
jSf[kd lehdj.k ;qXe T;kferh; :i esa oSQlk fn[ksxk\ ;s nks ljy js[kk,¡ gksaxh] ftUgsa
lkFk&lkFk fy;k tk,xkA
2018-19
nks pj okys jSf[kd lehdj.k ;qXe 45
vkius d{kk IX esa ;g Hkh i<+k gS fd ,d ry esa ;fn nks js[kk,¡ nh gksa] rks fuEu esa
ls osQoy ,d gh laHkkouk gks ldrh gS%
(i) nksuksa js[kk,¡ ,d ¯cnq ij izfrPNsn djrh gSaA
(ii) nksuksa js[kk,¡ izfrPNsn ugha djrh gSa] vFkkZr~ os lekarj gSaA
(iii) nksuksa js[kk,¡ laikrh gSaA
bu lHkh laHkkoukvksa dks ge vko`Qfr 3-1 esa n'kkZrs gSa%
vko`Qfr 3-1 (a) esa] ;s izfrPNsn djrh gSaA
vko`Qfr 3-1 (b) esa] ;s lekarj gSaA
vko`Qfr 3-1 (c) esa] ;s laikrh gSaA
vko`Qfr 3.1
jSf[kd lehdj.k ;qXe dks izn£'kr djus okyh nksuksa fof/;ksa ;Fkk chtxf.krh; rFkk
T;kferh; dks lkFk&lkFk iz;qDr fd;k tk ldrk gSA vkb, oqQN mnkgj.k ysaA
mnkgj.k 1 : ge vuqPNsn 3-1 esa fn;k x;k mnkgj.k ysrs gSaA vf[kyk esys esa `20 ysdj
tkrh gS vkSj og pj[kh dh lokjh djuk rFkk gwiyk [ksy [ksyuk pkgrh gSA bu fLFkfr;ksa
dks chtxf.krh; rFkk xzkiQh; (T;kferh;) :iksa esa O;Dr dhft,A
gy : cuk;k x;k lehdj.k ;qXe gS%
y =
1
2
x
vFkkZr~ x – 2y =0 (1)
vkSj 3x + 4y = 20 (2)
vkb, bu lehdj.kksa dks xzkiQh; :i esa O;Dr djsaA blosQ fy,] gesa izR;sd
lehdj.k osQ de&ls&de nks gy pkfg,A ge bu gyksa dks lkj.kh 3-1 esa nsrs gSaA
2018-19
46 xf.kr
lkj.kh 3.1
x 0 2 x 0
20
3
4
y = 
2
x
0 1 y = 
20 3
4
x -
5 0 2
(i) (ii)
d{kk IX ls ;kn dhft, fd izR;sd jSf[kd lehdj.k osQ vifjfer :i ls vusd
gy gksrs gSaA blfy, vki dksbZ Hkh nks gy pqu ldrs gSa] tks gekjs }kjk pqus x, gyksa ls
Hkh gks ldrs gSaA D;k vki vuqeku yxk ldrs gSa fd geus igys rFkk nwljs lehdj.kksa osQ
gy osQ fy,] x = 0 D;ksa pquk gS\ tc ,d pj 'kwU; gks tkrk gS] rks lehdj.k ,d pj
osQ jSf[kd lehdj.k esa cny tkrk gS] ftls vklkuh ls gy fd;k tk ldrk gSA mnkgj.k
osQ fy,] lehdj.k (2) esa x = 0 j[kus ij] ge ikrs gSa fd  4y = 20 gS, vFkkZr~  y = 5 gSA blh
izdkj] lehdj.k (2) esa  y = 0 j[kus ij gesa izkIr gksrk gS%
3x = 20, vFkkZr~, x = 
20
3
gSA pw¡fd 
20
3
,d iw.kk±d ugha gS] blfy, bls xzkiQ
isij ij Bhd&Bhd vkysf[kr djuk
vklku ugha gSA vr% ge  y = 2
pqurs gSa] ftlls x = 4 feyrk gS] tks
,d iw.kk±d gSA
lkj.kh 3-1 osQ gyksa osQ laxr
¯cnqvksa A(0, 0), B(2, 1) vkSj P(0, 5),
Q(4, 2) dks vkysf[kr dhft,A vc
lehdj.kksa x – 2y = 0 vkSj 3x + 4y = 20
dks fu:fir djus okyh js[kkvksa
AB rFkk PQ dks [khafp,] tSlk fd
vko`Qfr 3-2 esa n'kkZ;k x;k gSA
vko`Qfr 3-2 esa è;ku nhft, fd nksuksa lehdj.kksa dks fu:fir djus okyh nksuksa js[kk,¡
¯cnq (4] 2) ij izfrPNsn djrh gSaA bldk D;k vFkZ gS] bl ij ge vxys vuqPNsn esa
ppkZ djsaxsA
vko`Qfr 3.2
2018-19
Read More
Offer running on EduRev: Apply code STAYHOME200 to get INR 200 off on our premium plan EduRev Infinity!

Complete Syllabus of Class 10

Dynamic Test

Content Category

Related Searches

Sample Paper

,

Previous Year Questions with Solutions

,

कक्षा 10

,

Free

,

Important questions

,

NCERT पाठ्यपुस्तक पाठ 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

,

video lectures

,

कक्षा 10

,

ppt

,

कक्षा 10

,

study material

,

NCERT पाठ्यपुस्तक पाठ 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

,

Semester Notes

,

Objective type Questions

,

Exam

,

practice quizzes

,

गणित Class 10 Notes | EduRev

,

गणित Class 10 Notes | EduRev

,

Extra Questions

,

Viva Questions

,

shortcuts and tricks

,

past year papers

,

Summary

,

MCQs

,

pdf

,

mock tests for examination

,

गणित Class 10 Notes | EduRev

,

NCERT पाठ्यपुस्तक पाठ 3 - दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

;