Solution- Matrices Test- 4 Class 12 Notes | EduRev

Created by: Arshdeep Kaur

Class 12 : Solution- Matrices Test- 4 Class 12 Notes | EduRev

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CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. Let P AB BA = +
' ( )'
( )' ( )'
P AB BA
AB BA
= +
= +
[ ]
' ' '
' , '
B A A B
BA AB A A B B
= +
= + = =
AB BA
P
= +
=
2. 
t
P A A = - 2  3 -2     -4
4  5 -3     -5
? ? ? ?
= +
? ? ? ?
? ? ? ?
0     -1
1  0
? ?
=
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? ?
0  1
'
-1     0
P
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=
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? ?
 
0     -1
'
1  0
'
P
P P
? ?
= - ? ?
? ?
= - Prove 
3. Let ' P AA =
[ ]
' ( )'
( ')' '
'
 Pr
P AA
A A
AA
P ove
=
=
=
=
4. 
2x-3y 1
x+y 3
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
2x – 3y = 1 
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CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. Let P AB BA = +
' ( )'
( )' ( )'
P AB BA
AB BA
= +
= +
[ ]
' ' '
' , '
B A A B
BA AB A A B B
= +
= + = =
AB BA
P
= +
=
2. 
t
P A A = - 2  3 -2     -4
4  5 -3     -5
? ? ? ?
= +
? ? ? ?
? ? ? ?
0     -1
1  0
? ?
=
? ?
? ?
0  1
'
-1     0
P
? ?
=
? ?
? ?
 
0     -1
'
1  0
'
P
P P
? ?
= - ? ?
? ?
= - Prove 
3. Let ' P AA =
[ ]
' ( )'
( ')' '
'
 Pr
P AA
A A
AA
P ove
=
=
=
=
4. 
2x-3y 1
x+y 3
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
2x – 3y = 1 
x + y = 3 
x = 3 – y  
2 (3 – y) – 3y = 1 
-5y = -5 
y = 1 
x = 3 – 1 
x = 2  
5. 
1  0 0  0
,
0  0 0  1
A B
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
0  0 0  0
,
0  0 0  0
AB BA
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
 
6. 
11 12 13
21 22 23
2 3
a a a
a a a
A
×
? ?
=
? ?
? ?
For i = j 
aij = 4i.j  
a11 = 4 ×1 = 4
a 22 = 4× 2 × 2 = 16
For i < j  
aij = 2i + j  
a 12 = 2 ×1 +2 = 4
a13 = 2 ×1 + 3 = 5
a 23 = 2 ×2 + 3 = 7
For i > j  
aij = I + 2j  
a 21 = 2 +2 × 1 = 4
4  4  5
4  16  7
A
? ?
=
? ?
? ?
7. 
2
19  4  8
. 1  12  8 
14  6  15
A A A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
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CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. Let P AB BA = +
' ( )'
( )' ( )'
P AB BA
AB BA
= +
= +
[ ]
' ' '
' , '
B A A B
BA AB A A B B
= +
= + = =
AB BA
P
= +
=
2. 
t
P A A = - 2  3 -2     -4
4  5 -3     -5
? ? ? ?
= +
? ? ? ?
? ? ? ?
0     -1
1  0
? ?
=
? ?
? ?
0  1
'
-1     0
P
? ?
=
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? ?
 
0     -1
'
1  0
'
P
P P
? ?
= - ? ?
? ?
= - Prove 
3. Let ' P AA =
[ ]
' ( )'
( ')' '
'
 Pr
P AA
A A
AA
P ove
=
=
=
=
4. 
2x-3y 1
x+y 3
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
2x – 3y = 1 
x + y = 3 
x = 3 – y  
2 (3 – y) – 3y = 1 
-5y = -5 
y = 1 
x = 3 – 1 
x = 2  
5. 
1  0 0  0
,
0  0 0  1
A B
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
0  0 0  0
,
0  0 0  0
AB BA
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
 
6. 
11 12 13
21 22 23
2 3
a a a
a a a
A
×
? ?
=
? ?
? ?
For i = j 
aij = 4i.j  
a11 = 4 ×1 = 4
a 22 = 4× 2 × 2 = 16
For i < j  
aij = 2i + j  
a 12 = 2 ×1 +2 = 4
a13 = 2 ×1 + 3 = 5
a 23 = 2 ×2 + 3 = 7
For i > j  
aij = I + 2j  
a 21 = 2 +2 × 1 = 4
4  4  5
4  16  7
A
? ?
=
? ?
? ?
7. 
2
19  4  8
. 1  12  8 
14  6  15
A A A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
3 2
1  2  3 19  4  8
. 3    -2    1 1      12    8 
4  2  1 14  6  15
A A A
? ?? ?
? ?? ?
=
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
63  46  69
69      -6     23
92  46  63
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
3
63  46  69 1  2  3 1  0  0
23 40 69      -6     23 23 3    -2    1 40 0    1    0 
92  46  63 4  2  1 0  0  1
A A I
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
- - = - - ? ? ? ? ? ?
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0  0  0
0  0  0 0
0  0  0
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= =
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8. 
2     -1     1
' -2     3    -2
-4    4     -3
B
? ?
? ?
=
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? ?
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Let ( )
3 3
2  
2 2
1 3
' 3  1
2 2
3
 1  -3
2
P B B
- - ? ?
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- ? ?
= + =
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- ? ?
? ?
? ?
3 3
2  
2 2
3
' 3  1
2
3
 1  -3
2
P P
- - ? ?
? ?
? ?
- ? ?
= =
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? ?
- ? ?
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? ?
 
1
 P = (B+B') 
2
Thus is a symmetric matrix 
Let ( )
1 5
0  
2 2
1 1
' 0  3
3 2
5
 -3  0
2
Q B B
- - ? ?
? ?
? ?
? ?
= - =
? ?
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? ?
? ?
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CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. Let P AB BA = +
' ( )'
( )' ( )'
P AB BA
AB BA
= +
= +
[ ]
' ' '
' , '
B A A B
BA AB A A B B
= +
= + = =
AB BA
P
= +
=
2. 
t
P A A = - 2  3 -2     -4
4  5 -3     -5
? ? ? ?
= +
? ? ? ?
? ? ? ?
0     -1
1  0
? ?
=
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0  1
'
-1     0
P
? ?
=
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? ?
 
0     -1
'
1  0
'
P
P P
? ?
= - ? ?
? ?
= - Prove 
3. Let ' P AA =
[ ]
' ( )'
( ')' '
'
 Pr
P AA
A A
AA
P ove
=
=
=
=
4. 
2x-3y 1
x+y 3
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
2x – 3y = 1 
x + y = 3 
x = 3 – y  
2 (3 – y) – 3y = 1 
-5y = -5 
y = 1 
x = 3 – 1 
x = 2  
5. 
1  0 0  0
,
0  0 0  1
A B
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
0  0 0  0
,
0  0 0  0
AB BA
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
 
6. 
11 12 13
21 22 23
2 3
a a a
a a a
A
×
? ?
=
? ?
? ?
For i = j 
aij = 4i.j  
a11 = 4 ×1 = 4
a 22 = 4× 2 × 2 = 16
For i < j  
aij = 2i + j  
a 12 = 2 ×1 +2 = 4
a13 = 2 ×1 + 3 = 5
a 23 = 2 ×2 + 3 = 7
For i > j  
aij = I + 2j  
a 21 = 2 +2 × 1 = 4
4  4  5
4  16  7
A
? ?
=
? ?
? ?
7. 
2
19  4  8
. 1  12  8 
14  6  15
A A A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
3 2
1  2  3 19  4  8
. 3    -2    1 1      12    8 
4  2  1 14  6  15
A A A
? ?? ?
? ?? ?
=
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
63  46  69
69      -6     23
92  46  63
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
3
63  46  69 1  2  3 1  0  0
23 40 69      -6     23 23 3    -2    1 40 0    1    0 
92  46  63 4  2  1 0  0  1
A A I
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
- - = - - ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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0  0  0
0  0  0 0
0  0  0
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? ?
= =
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? ?
? ?
 
8. 
2     -1     1
' -2     3    -2
-4    4     -3
B
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
Let ( )
3 3
2  
2 2
1 3
' 3  1
2 2
3
 1  -3
2
P B B
- - ? ?
? ?
? ?
- ? ?
= + =
? ?
? ?
- ? ?
? ?
? ?
3 3
2  
2 2
3
' 3  1
2
3
 1  -3
2
P P
- - ? ?
? ?
? ?
- ? ?
= =
? ?
? ?
- ? ?
? ?
? ?
 
1
 P = (B+B') 
2
Thus is a symmetric matrix 
Let ( )
1 5
0  
2 2
1 1
' 0  3
3 2
5
 -3  0
2
Q B B
- - ? ?
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? ?
? ?
= - =
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? ?
? ?
? ?
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1 5
0 
2 2
1
' 0  -3
2
5
 3  0
2
Q
- ? ?
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- ? ?
=
? ?
? ?
- ? ?
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? ?
1 5
0  
2 2
1
' 0  3
2
5
 -3  0
2
Q
- - ? ?
? ?
? ?
? ?
=
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? ?
? ?
? ?
? ?
 
' Q Q = - Thus 
1
( ')
2
Q B B = - is a skew symmetric matrix
3 3 1 5
2   0   
2 2 2 2
3 1
 3  1 0  3
2 2
3 5
 1  -3 -3  0
2 2
P Q
- - - - ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
- ? ? ? ?
+ = +
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? ? ? ?
- ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
9. For n = 1 
1-1 1-1 1-1 0 0 0
1-1 1-1 1-1 0 0 0
1-1 1-1 1-1 0 0 0
3 3 3 3 3 3
1  1  1
' 3 3 3 3 3 3 1  1  1
1  1  1
3 3 3 3 3 3
A
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? ?
? ? ? ?
? ?
= = =
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? ?
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? ?
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Result is true for n = 1 
Let it be true for n = k 
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
3 3 3
3 3 3
3 3 3
k
A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
1
.
k
A A Ak
+
? =
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
3 3 3
1  1  1
1  1  1 3 3 3
1  1  1
3 3 3
? ?
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
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CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. Let P AB BA = +
' ( )'
( )' ( )'
P AB BA
AB BA
= +
= +
[ ]
' ' '
' , '
B A A B
BA AB A A B B
= +
= + = =
AB BA
P
= +
=
2. 
t
P A A = - 2  3 -2     -4
4  5 -3     -5
? ? ? ?
= +
? ? ? ?
? ? ? ?
0     -1
1  0
? ?
=
? ?
? ?
0  1
'
-1     0
P
? ?
=
? ?
? ?
 
0     -1
'
1  0
'
P
P P
? ?
= - ? ?
? ?
= - Prove 
3. Let ' P AA =
[ ]
' ( )'
( ')' '
'
 Pr
P AA
A A
AA
P ove
=
=
=
=
4. 
2x-3y 1
x+y 3
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
2x – 3y = 1 
x + y = 3 
x = 3 – y  
2 (3 – y) – 3y = 1 
-5y = -5 
y = 1 
x = 3 – 1 
x = 2  
5. 
1  0 0  0
,
0  0 0  1
A B
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
0  0 0  0
,
0  0 0  0
AB BA
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
 
6. 
11 12 13
21 22 23
2 3
a a a
a a a
A
×
? ?
=
? ?
? ?
For i = j 
aij = 4i.j  
a11 = 4 ×1 = 4
a 22 = 4× 2 × 2 = 16
For i < j  
aij = 2i + j  
a 12 = 2 ×1 +2 = 4
a13 = 2 ×1 + 3 = 5
a 23 = 2 ×2 + 3 = 7
For i > j  
aij = I + 2j  
a 21 = 2 +2 × 1 = 4
4  4  5
4  16  7
A
? ?
=
? ?
? ?
7. 
2
19  4  8
. 1  12  8 
14  6  15
A A A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
3 2
1  2  3 19  4  8
. 3    -2    1 1      12    8 
4  2  1 14  6  15
A A A
? ?? ?
? ?? ?
=
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
63  46  69
69      -6     23
92  46  63
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
3
63  46  69 1  2  3 1  0  0
23 40 69      -6     23 23 3    -2    1 40 0    1    0 
92  46  63 4  2  1 0  0  1
A A I
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
- - = - - ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0  0  0
0  0  0 0
0  0  0
? ?
? ?
= =
? ?
? ?
? ?
 
8. 
2     -1     1
' -2     3    -2
-4    4     -3
B
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
Let ( )
3 3
2  
2 2
1 3
' 3  1
2 2
3
 1  -3
2
P B B
- - ? ?
? ?
? ?
- ? ?
= + =
? ?
? ?
- ? ?
? ?
? ?
3 3
2  
2 2
3
' 3  1
2
3
 1  -3
2
P P
- - ? ?
? ?
? ?
- ? ?
= =
? ?
? ?
- ? ?
? ?
? ?
 
1
 P = (B+B') 
2
Thus is a symmetric matrix 
Let ( )
1 5
0  
2 2
1 1
' 0  3
3 2
5
 -3  0
2
Q B B
- - ? ?
? ?
? ?
? ?
= - =
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
1 5
0 
2 2
1
' 0  -3
2
5
 3  0
2
Q
- ? ?
? ?
? ?
- ? ?
=
? ?
? ?
- ? ?
? ?
? ?
1 5
0  
2 2
1
' 0  3
2
5
 -3  0
2
Q
- - ? ?
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
 
' Q Q = - Thus 
1
( ')
2
Q B B = - is a skew symmetric matrix
3 3 1 5
2   0   
2 2 2 2
3 1
 3  1 0  3
2 2
3 5
 1  -3 -3  0
2 2
P Q
- - - - ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
- ? ? ? ?
+ = +
? ? ? ?
? ? ? ?
- ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
 
9. For n = 1 
1-1 1-1 1-1 0 0 0
1-1 1-1 1-1 0 0 0
1-1 1-1 1-1 0 0 0
3 3 3 3 3 3
1  1  1
' 3 3 3 3 3 3 1  1  1
1  1  1
3 3 3 3 3 3
A
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
= = =
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
Result is true for n = 1 
Let it be true for n = k 
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
3 3 3
3 3 3
3 3 3
k
A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
1
.
k
A A Ak
+
? =
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
3 3 3
1  1  1
1  1  1 3 3 3
1  1  1
3 3 3
? ?
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
k-1 k-1 k-1
3.3 3.3 3.3
3.3 3.3 3.3
3.3 3.3 3.3
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
k k k
k k k
k k k
3 3 3
3 3 3
3 3 3
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
Thus result is true for n = k+1 
Whenever it is true for n = k 
10. 3X = 5B – 2A
2    -2 8  0
5 4     2 2 4     -2
-5    1 3  6
? ? ? ?
? ? ? ?
= - ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
10    -10 16  0
20  10 -8  4
-25    5 -6     -12
- ? ? ? ?
? ? ? ?
= +
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
6    -10
12  14
-31    -7
- ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
6    -10
1
12  14
3
-31    -7
X
- ? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
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