Solution- Matrices Test- 5 Class 12 Notes | EduRev

Created by: Arshdeep Kaur

Class 12 : Solution- Matrices Test- 5 Class 12 Notes | EduRev

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CBSE TEST PAPER-05 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. 
x      y 3
3y    x 5
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
0    -1    1
' 1     0    -1
-1    1    0
A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
 
0    -1    1
' -1    0    1
1    -1    0
' Prove
A
A A
? ?
? ?
= - ? ?
? ?
? ?
= - 2. 
2  4 2  5
'
5  6 4  6
P A A
? ? ? ?
= + = +
? ? ? ?
? ? ? ?
4  9
9  12
P
? ?
=
? ?
? ?
4  9
'
9  12
' prove
P
P P
? ?
=
? ?
? ?
=
 
3. 
-3    15
3
9  6
A
? ?
=
? ?
? ?
 
-3    9
(3 )'
15  6
A
? ?
=
? ?
? ?
-1    3
3 ' 3
5  2
A
? ?
=
? ?
? ?
-3    9
15  6
? ?
=
? ?
? ?
Prove 
4. 
x      y 3
3y    x 5
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
x + 2y = 3 
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CBSE TEST PAPER-05 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. 
x      y 3
3y    x 5
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
0    -1    1
' 1     0    -1
-1    1    0
A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
 
0    -1    1
' -1    0    1
1    -1    0
' Prove
A
A A
? ?
? ?
= - ? ?
? ?
? ?
= - 2. 
2  4 2  5
'
5  6 4  6
P A A
? ? ? ?
= + = +
? ? ? ?
? ? ? ?
4  9
9  12
P
? ?
=
? ?
? ?
4  9
'
9  12
' prove
P
P P
? ?
=
? ?
? ?
=
 
3. 
-3    15
3
9  6
A
? ?
=
? ?
? ?
 
-3    9
(3 )'
15  6
A
? ?
=
? ?
? ?
-1    3
3 ' 3
5  2
A
? ?
=
? ?
? ?
-3    9
15  6
? ?
=
? ?
? ?
Prove 
4. 
x      y 3
3y    x 5
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
x + 2y = 3 
3y + 2x = 5 
? 2x + 4y = 6
 2x + 3y = 5 
-  -  - 
y =1 
x + 2 (1) = 3 
x = 1 
5. a ß - 0     -1 3  5
, 3
0  2 0  0
A B
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
 
0  0
0  0
AB
? ?
=
? ?
? ?
 
6. For  n = 1
cos1.   sin1. cos   sin
'
-sin1.   cos1. -sin   cos
A
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
Result is true for n = 1 
Let result is true for n = k 
cos   sink
-sink   cosk
k
k
A
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
k+1 k
  n = k + 1
A = A.A
for
cos   sin cos   sink
.
-sin   cos -sink   cosk
k ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
cos .cosk -sin .sink   cos .sink +sin .cosk
sin .cosk -cos .sink   -sin .sink +cos .cosk
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
=
? ?
? ?
cos( +k )  sin( +k )
-sin( +k )  cos( +k )
cos( 1)   sin( 1)
-sin( 1)   cos( 1)
k k
k k
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
+ + ? ?
=
? ?
+ +
? ?
Thus result is true for n = k + 1 
Whenever result is true for n = k 
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CBSE TEST PAPER-05 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. 
x      y 3
3y    x 5
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
0    -1    1
' 1     0    -1
-1    1    0
A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
 
0    -1    1
' -1    0    1
1    -1    0
' Prove
A
A A
? ?
? ?
= - ? ?
? ?
? ?
= - 2. 
2  4 2  5
'
5  6 4  6
P A A
? ? ? ?
= + = +
? ? ? ?
? ? ? ?
4  9
9  12
P
? ?
=
? ?
? ?
4  9
'
9  12
' prove
P
P P
? ?
=
? ?
? ?
=
 
3. 
-3    15
3
9  6
A
? ?
=
? ?
? ?
 
-3    9
(3 )'
15  6
A
? ?
=
? ?
? ?
-1    3
3 ' 3
5  2
A
? ?
=
? ?
? ?
-3    9
15  6
? ?
=
? ?
? ?
Prove 
4. 
x      y 3
3y    x 5
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
x + 2y = 3 
3y + 2x = 5 
? 2x + 4y = 6
 2x + 3y = 5 
-  -  - 
y =1 
x + 2 (1) = 3 
x = 1 
5. a ß - 0     -1 3  5
, 3
0  2 0  0
A B
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
 
0  0
0  0
AB
? ?
=
? ?
? ?
 
6. For  n = 1
cos1.   sin1. cos   sin
'
-sin1.   cos1. -sin   cos
A
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
Result is true for n = 1 
Let result is true for n = k 
cos   sink
-sink   cosk
k
k
A
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
k+1 k
  n = k + 1
A = A.A
for
cos   sin cos   sink
.
-sin   cos -sink   cosk
k ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
cos .cosk -sin .sink   cos .sink +sin .cosk
sin .cosk -cos .sink   -sin .sink +cos .cosk
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
=
? ?
? ?
cos( +k )  sin( +k )
-sin( +k )  cos( +k )
cos( 1)   sin( 1)
-sin( 1)   cos( 1)
k k
k k
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
+ + ? ?
=
? ?
+ +
? ?
Thus result is true for n = k + 1 
Whenever result is true for n = k 
7. On adding
2  3 2     -2
5 5
4  0 -1     5
x y
? ? ? ?
+ = +
? ? ? ?
? ? ? ?
4  1
5( ) 3
4  5
x y
? ?
+ =
? ?
? ?
4 1
1
5 5
( )
3 5
 1
5
x y
? ?
? ?
+ = ? ?
? ?
? ?
? ?
 
2    -2 2  3
-1    5 4  0
 0  3
-5    5
x y
x y
? ? ? ?
- = - ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
- =
? ?
? ?
4 24
5 5
2
22
 6
5
x
- ? ?
? ?
= ? ?
- ? ?
? ?
? ?
2 12
5 5
11
 3
5
x
- ? ?
? ?
= ? ?
- ? ?
? ?
? ?
4 1
5 5
3
 1
5
x y
? ?
? ?
+ = ? ?
? ?
? ?
? ?
 
2 12 4 1
5 5 5 5
11 3 1
 3
5 5 1
y
- ? ? ? ?
? ? ? ?
+ = ? ? ? ?
- ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
4 1 2 12
5 5 5 5
3 11
 1 -3
5 5
y
- ? ? ? ?
? ? ? ?
= + ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
4 2 1 12
5 5 5 5
3 11
 1 3
5 5
? ?
- +
? ?
= ? ?
? ?
+ - ? ?
? ?
 
2 13
5 5
14
 -2
5
? ?
? ?
= ? ?
? ?
? ?
? ?
8. 
2 2 2 2
2 2 2
cos cos +cos .sin .cos .sin   cos cos .sin +cos .sin .sin
cos sin .cos +sin cos .sin   cos .sin cos .sin +sin sin
AB
a ß a a ß ß a ß ß a a ß
a a ß a ß ß a a ß ß a ß
? ?
=
? ?
? ?
( ) ( )
( ) ( )
cos cos .cos cos .sin.cos
sin .cos .cos sin .sin .cos
a ß a ß a a ß
a ß a ß a ß a ß
- - ? ?
=
? ?
- - ? ?
? ?
0  0
0  0
? ?
=
? ?
? ?
a ß - is odd multiple of 
2
p
cos( ) 0 a ß ? - =
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CBSE TEST PAPER-05 
CLASS - XII MATHEMATICS (algebra) 
[ANSWERS] 
Topic:- Matrices 
1. 
x      y 3
3y    x 5
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
0    -1    1
' 1     0    -1
-1    1    0
A
? ?
? ?
=
? ?
? ?
? ?
 
0    -1    1
' -1    0    1
1    -1    0
' Prove
A
A A
? ?
? ?
= - ? ?
? ?
? ?
= - 2. 
2  4 2  5
'
5  6 4  6
P A A
? ? ? ?
= + = +
? ? ? ?
? ? ? ?
4  9
9  12
P
? ?
=
? ?
? ?
4  9
'
9  12
' prove
P
P P
? ?
=
? ?
? ?
=
 
3. 
-3    15
3
9  6
A
? ?
=
? ?
? ?
 
-3    9
(3 )'
15  6
A
? ?
=
? ?
? ?
-1    3
3 ' 3
5  2
A
? ?
=
? ?
? ?
-3    9
15  6
? ?
=
? ?
? ?
Prove 
4. 
x      y 3
3y    x 5
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
x + 2y = 3 
3y + 2x = 5 
? 2x + 4y = 6
 2x + 3y = 5 
-  -  - 
y =1 
x + 2 (1) = 3 
x = 1 
5. a ß - 0     -1 3  5
, 3
0  2 0  0
A B
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
 
0  0
0  0
AB
? ?
=
? ?
? ?
 
6. For  n = 1
cos1.   sin1. cos   sin
'
-sin1.   cos1. -sin   cos
A
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
= =
? ? ? ?
? ? ? ?
Result is true for n = 1 
Let result is true for n = k 
cos   sink
-sink   cosk
k
k
A
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
k+1 k
  n = k + 1
A = A.A
for
cos   sin cos   sink
.
-sin   cos -sink   cosk
k ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
cos .cosk -sin .sink   cos .sink +sin .cosk
sin .cosk -cos .sink   -sin .sink +cos .cosk
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
=
? ?
? ?
cos( +k )  sin( +k )
-sin( +k )  cos( +k )
cos( 1)   sin( 1)
-sin( 1)   cos( 1)
k k
k k
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
+ + ? ?
=
? ?
+ +
? ?
Thus result is true for n = k + 1 
Whenever result is true for n = k 
7. On adding
2  3 2     -2
5 5
4  0 -1     5
x y
? ? ? ?
+ = +
? ? ? ?
? ? ? ?
4  1
5( ) 3
4  5
x y
? ?
+ =
? ?
? ?
4 1
1
5 5
( )
3 5
 1
5
x y
? ?
? ?
+ = ? ?
? ?
? ?
? ?
 
2    -2 2  3
-1    5 4  0
 0  3
-5    5
x y
x y
? ? ? ?
- = - ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
- =
? ?
? ?
4 24
5 5
2
22
 6
5
x
- ? ?
? ?
= ? ?
- ? ?
? ?
? ?
2 12
5 5
11
 3
5
x
- ? ?
? ?
= ? ?
- ? ?
? ?
? ?
4 1
5 5
3
 1
5
x y
? ?
? ?
+ = ? ?
? ?
? ?
? ?
 
2 12 4 1
5 5 5 5
11 3 1
 3
5 5 1
y
- ? ? ? ?
? ? ? ?
+ = ? ? ? ?
- ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
4 1 2 12
5 5 5 5
3 11
 1 -3
5 5
y
- ? ? ? ?
? ? ? ?
= + ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
4 2 1 12
5 5 5 5
3 11
 1 3
5 5
? ?
- +
? ?
= ? ?
? ?
+ - ? ?
? ?
 
2 13
5 5
14
 -2
5
? ?
? ?
= ? ?
? ?
? ?
? ?
8. 
2 2 2 2
2 2 2
cos cos +cos .sin .cos .sin   cos cos .sin +cos .sin .sin
cos sin .cos +sin cos .sin   cos .sin cos .sin +sin sin
AB
a ß a a ß ß a ß ß a a ß
a a ß a ß ß a a ß ß a ß
? ?
=
? ?
? ?
( ) ( )
( ) ( )
cos cos .cos cos .sin.cos
sin .cos .cos sin .sin .cos
a ß a ß a a ß
a ß a ß a ß a ß
- - ? ?
=
? ?
- - ? ?
? ?
0  0
0  0
? ?
=
? ?
? ?
a ß - is odd multiple of 
2
p
cos( ) 0 a ß ? - =
9. f(A) = A
2
 – 5A + 7I
2
8  5
-5    3
A
? ?
=
? ?
? ?
f(A) = A
2
 – 5A + 7I 
8  5 3  1 1  0
5 7
-5    3 -1    2 0  1
? ? ? ? ? ?
= - +
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
8-15+7  5-5+0
( )
-5+5+0   3-10+7
f A
? ?
=
? ?
? ?
 
0  0
0  0
0  0
( )
0  0
f A
? ?
=
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ?
10. 
2
4  3 4  3
.
2  5 2  5
A
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
22  27
18  31
? ?
=
? ?
? ?
22  27 4  3 1  0 0  0
18  31 2  5 0  1 0  0
x y
? ? ? ? ? ? ? ?
- + =
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
22-4x+y  27-3x 0  0
18-2x  31-5x+y 0  0
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
 
x = 9 
y = 14 
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