Solution - Differential Equations Test-4 Class 12 Notes | EduRev

Class 12 : Solution - Differential Equations Test-4 Class 12 Notes | EduRev

 Page 1


CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (Calculus: Differential Equations) 
[ANSWERS] 
Ans 01. order = 4  
degree = not define 
Ans 02. 
1
2 2 y x = +
1
2 2 0 y x - - =
Proved 
Ans03. ( )
2x
y e a bx = +
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 1
2 2 1 -2x 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 1
2 1
 diff
( 2) .
 agein diff
( 2) 2 . +e .y +y 2 0
4 2 2 0
4 2 2 0
4 4 0
x
x x
x x x
x x x x
x
ye a bx
ye e y b
ye e y e
ye y e y e y e
e y y y y
y y y
- - - - - - - - - - - = +
- + =
? ? - - + - =
? ?
- + - =
- + - =
- + =
Ans 04. ( ) a Cos x + b Sin x (i)
x
y e =
-x -x 1
 cos x + b sin x 
ye (-1) + e .y = - a sin x + b cos x
x
ye a
- =
( ) ( ) ( )
[
( )
1
-x -x -x -x
1 1
 again diff
-1 . cos x - b sin x
ye -e y +e y -y e =- ( )
 
x x x x
x
x x
ye e y e y y e a
y
from i
e
e y y y y y e
y y y y y
- - - - - - '' ' - + + + - = - ? ?
' '' '
? ?
? ?
'' - + - = - ' '' ' - + - + =
?
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CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (Calculus: Differential Equations) 
[ANSWERS] 
Ans 01. order = 4  
degree = not define 
Ans 02. 
1
2 2 y x = +
1
2 2 0 y x - - =
Proved 
Ans03. ( )
2x
y e a bx = +
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 1
2 2 1 -2x 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 1
2 1
 diff
( 2) .
 agein diff
( 2) 2 . +e .y +y 2 0
4 2 2 0
4 2 2 0
4 4 0
x
x x
x x x
x x x x
x
ye a bx
ye e y b
ye e y e
ye y e y e y e
e y y y y
y y y
- - - - - - - - - - - = +
- + =
? ? - - + - =
? ?
- + - =
- + - =
- + =
Ans 04. ( ) a Cos x + b Sin x (i)
x
y e =
-x -x 1
 cos x + b sin x 
ye (-1) + e .y = - a sin x + b cos x
x
ye a
- =
( ) ( ) ( )
[
( )
1
-x -x -x -x
1 1
 again diff
-1 . cos x - b sin x
ye -e y +e y -y e =- ( )
 
x x x x
x
x x
ye e y e y y e a
y
from i
e
e y y y y y e
y y y y y
- - - - - - '' ' - + + + - = - ? ?
' '' '
? ?
? ?
'' - + - = - ' '' ' - + - + =
?
1
2 2 0 y y y '' - + =
Ans 05. 
2
2
1
1
y dy
dx
x
- = - - 2 2
-1 -1
1 1
sin (y ) + sin (x) = c
dy dx
y x
- =
- - '
? ?
Ans 06. Sin x. Cos y dx = - Cos x. Sin y dy 
 x Sin y
 x Cos y
tan x dx = - tan y dy
log (Sec x) = - log (Sec y) + log c 
log( x. Sec y) = log c
Sec x. Sec y = c (1) 
When x = 0, y = 4
2
put the velue of c in eq (i) 
Sec x. Sec y = 2
Sin
dx dy
Cos
Sec
C
p
= - =
?
? ?
Ans 07. ( ) ( ) dy - y dx y Sin y dx + x dy x Cos
y y
x
x x
? ?
=
? ?
? ?
2 2
2
2
xy sin  cos  dy = xy cos  sin  dx
xy cos  sin 
xy sin  - x cos 
y y y y
x y
x x x x
y y
y
dy x x
y y dx
x x
? ? ? ? ? ? ? ?
- +
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
+
? ? ? ?
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
2
 N ans D by x
 cos  +  sin 
 (1)
 sin  - cos
y y y y
x x x x dy
y y y dx
x x x
÷
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
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CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (Calculus: Differential Equations) 
[ANSWERS] 
Ans 01. order = 4  
degree = not define 
Ans 02. 
1
2 2 y x = +
1
2 2 0 y x - - =
Proved 
Ans03. ( )
2x
y e a bx = +
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 1
2 2 1 -2x 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 1
2 1
 diff
( 2) .
 agein diff
( 2) 2 . +e .y +y 2 0
4 2 2 0
4 2 2 0
4 4 0
x
x x
x x x
x x x x
x
ye a bx
ye e y b
ye e y e
ye y e y e y e
e y y y y
y y y
- - - - - - - - - - - = +
- + =
? ? - - + - =
? ?
- + - =
- + - =
- + =
Ans 04. ( ) a Cos x + b Sin x (i)
x
y e =
-x -x 1
 cos x + b sin x 
ye (-1) + e .y = - a sin x + b cos x
x
ye a
- =
( ) ( ) ( )
[
( )
1
-x -x -x -x
1 1
 again diff
-1 . cos x - b sin x
ye -e y +e y -y e =- ( )
 
x x x x
x
x x
ye e y e y y e a
y
from i
e
e y y y y y e
y y y y y
- - - - - - '' ' - + + + - = - ? ?
' '' '
? ?
? ?
'' - + - = - ' '' ' - + - + =
?
1
2 2 0 y y y '' - + =
Ans 05. 
2
2
1
1
y dy
dx
x
- = - - 2 2
-1 -1
1 1
sin (y ) + sin (x) = c
dy dx
y x
- =
- - '
? ?
Ans 06. Sin x. Cos y dx = - Cos x. Sin y dy 
 x Sin y
 x Cos y
tan x dx = - tan y dy
log (Sec x) = - log (Sec y) + log c 
log( x. Sec y) = log c
Sec x. Sec y = c (1) 
When x = 0, y = 4
2
put the velue of c in eq (i) 
Sec x. Sec y = 2
Sin
dx dy
Cos
Sec
C
p
= - =
?
? ?
Ans 07. ( ) ( ) dy - y dx y Sin y dx + x dy x Cos
y y
x
x x
? ?
=
? ?
? ?
2 2
2
2
xy sin  cos  dy = xy cos  sin  dx
xy cos  sin 
xy sin  - x cos 
y y y y
x y
x x x x
y y
y
dy x x
y y dx
x x
? ? ? ? ? ? ? ?
- +
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
+
? ? ? ?
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
2
 N ans D by x
 cos  +  sin 
 (1)
 sin  - cos
y y y y
x x x x dy
y y y dx
x x x
÷
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
let y = vx
put  in eq (1)
v cos v + v sin v
v+x 
v sin v - cos v 
2v cos v
v sin v - cos v
v sin v - cos v 2
 dv = dx 
v cos v
1 1
tanv dv - 2
log sec v - log v = 2 log 
dy dv
v x
dx dx
dy
dx
dv
dx
dv
x
dx
x
dv dx
v x
= +
=
=
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ? ?
2
2
2
x + log c
 v
log log c
sec
replace v by 
sec 
. x
sec  
sec
vx
v
c
vx
y
x
y
x
c
y
x
y
c xy
x
=
=
? ?
? ?
? ?
=
? ?
=
? ?
? ?
Ans 08. 
( )
2
 dx=
x y x y
ye xe y dy +
2
 e
 e
x y
x y
dx x y
dy y
+
=
-
y e (1)
let x = vy
  in eq (1)
x y
dx x
dy y
dx dv
v y
dy dy
dx
put
dy
= +
= +
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CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (Calculus: Differential Equations) 
[ANSWERS] 
Ans 01. order = 4  
degree = not define 
Ans 02. 
1
2 2 y x = +
1
2 2 0 y x - - =
Proved 
Ans03. ( )
2x
y e a bx = +
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 1
2 2 1 -2x 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 1
2 1
 diff
( 2) .
 agein diff
( 2) 2 . +e .y +y 2 0
4 2 2 0
4 2 2 0
4 4 0
x
x x
x x x
x x x x
x
ye a bx
ye e y b
ye e y e
ye y e y e y e
e y y y y
y y y
- - - - - - - - - - - = +
- + =
? ? - - + - =
? ?
- + - =
- + - =
- + =
Ans 04. ( ) a Cos x + b Sin x (i)
x
y e =
-x -x 1
 cos x + b sin x 
ye (-1) + e .y = - a sin x + b cos x
x
ye a
- =
( ) ( ) ( )
[
( )
1
-x -x -x -x
1 1
 again diff
-1 . cos x - b sin x
ye -e y +e y -y e =- ( )
 
x x x x
x
x x
ye e y e y y e a
y
from i
e
e y y y y y e
y y y y y
- - - - - - '' ' - + + + - = - ? ?
' '' '
? ?
? ?
'' - + - = - ' '' ' - + - + =
?
1
2 2 0 y y y '' - + =
Ans 05. 
2
2
1
1
y dy
dx
x
- = - - 2 2
-1 -1
1 1
sin (y ) + sin (x) = c
dy dx
y x
- =
- - '
? ?
Ans 06. Sin x. Cos y dx = - Cos x. Sin y dy 
 x Sin y
 x Cos y
tan x dx = - tan y dy
log (Sec x) = - log (Sec y) + log c 
log( x. Sec y) = log c
Sec x. Sec y = c (1) 
When x = 0, y = 4
2
put the velue of c in eq (i) 
Sec x. Sec y = 2
Sin
dx dy
Cos
Sec
C
p
= - =
?
? ?
Ans 07. ( ) ( ) dy - y dx y Sin y dx + x dy x Cos
y y
x
x x
? ?
=
? ?
? ?
2 2
2
2
xy sin  cos  dy = xy cos  sin  dx
xy cos  sin 
xy sin  - x cos 
y y y y
x y
x x x x
y y
y
dy x x
y y dx
x x
? ? ? ? ? ? ? ?
- +
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
+
? ? ? ?
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
2
 N ans D by x
 cos  +  sin 
 (1)
 sin  - cos
y y y y
x x x x dy
y y y dx
x x x
÷
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
let y = vx
put  in eq (1)
v cos v + v sin v
v+x 
v sin v - cos v 
2v cos v
v sin v - cos v
v sin v - cos v 2
 dv = dx 
v cos v
1 1
tanv dv - 2
log sec v - log v = 2 log 
dy dv
v x
dx dx
dy
dx
dv
dx
dv
x
dx
x
dv dx
v x
= +
=
=
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ? ?
2
2
2
x + log c
 v
log log c
sec
replace v by 
sec 
. x
sec  
sec
vx
v
c
vx
y
x
y
x
c
y
x
y
c xy
x
=
=
? ?
? ?
? ?
=
? ?
=
? ?
? ?
Ans 08. 
( )
2
 dx=
x y x y
ye xe y dy +
2
 e
 e
x y
x y
dx x y
dy y
+
=
-
y e (1)
let x = vy
  in eq (1)
x y
dx x
dy y
dx dv
v y
dy dy
dx
put
dy
= +
= +
-v
v + y  +y e
 dv
v
v
x y
dv
v
dy
e dy
e y c
e y c
=
=
= +
= +
? ?
Ans 09.  cot x = 4x. cosec x
dy
y
dx
+
given diff eq is the form of 
  dx
log Sin x
 , Q = 4x. cosec x
I. F = e
sin x
y x sin x = 4x. cos ec x. sin x dx + c
1
4 . . sin x dx + c
 x
Pdx
Cot x
dy
Py Q
dx
P cot x
e
e
x
Sin
+ =
=
?
?
=
= =
=
/
?
2
2 
 2
2
y. Sin x = 4
2
y. Sin x = 2 x + c (1)
 x = 2, then y = 0
c = - 
2
x
c
When p
p
+
2
2
. Sin = 2x - 
2
y
p
2 2
2
Sin x 2 Sin x
x
y
p
= - Ans 10. 
2
Cos x tan x
dy
y
dx
+ =
2 2
 sec x y= Sec x. tan x (1)
given diff eq. is of the form 
dy
dx
+
Page 5


CBSE TEST PAPER-04 
CLASS - XII MATHEMATICS (Calculus: Differential Equations) 
[ANSWERS] 
Ans 01. order = 4  
degree = not define 
Ans 02. 
1
2 2 y x = +
1
2 2 0 y x - - =
Proved 
Ans03. ( )
2x
y e a bx = +
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 1
2 2 1 -2x 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2
2 1 2 1
2 1
 diff
( 2) .
 agein diff
( 2) 2 . +e .y +y 2 0
4 2 2 0
4 2 2 0
4 4 0
x
x x
x x x
x x x x
x
ye a bx
ye e y b
ye e y e
ye y e y e y e
e y y y y
y y y
- - - - - - - - - - - = +
- + =
? ? - - + - =
? ?
- + - =
- + - =
- + =
Ans 04. ( ) a Cos x + b Sin x (i)
x
y e =
-x -x 1
 cos x + b sin x 
ye (-1) + e .y = - a sin x + b cos x
x
ye a
- =
( ) ( ) ( )
[
( )
1
-x -x -x -x
1 1
 again diff
-1 . cos x - b sin x
ye -e y +e y -y e =- ( )
 
x x x x
x
x x
ye e y e y y e a
y
from i
e
e y y y y y e
y y y y y
- - - - - - '' ' - + + + - = - ? ?
' '' '
? ?
? ?
'' - + - = - ' '' ' - + - + =
?
1
2 2 0 y y y '' - + =
Ans 05. 
2
2
1
1
y dy
dx
x
- = - - 2 2
-1 -1
1 1
sin (y ) + sin (x) = c
dy dx
y x
- =
- - '
? ?
Ans 06. Sin x. Cos y dx = - Cos x. Sin y dy 
 x Sin y
 x Cos y
tan x dx = - tan y dy
log (Sec x) = - log (Sec y) + log c 
log( x. Sec y) = log c
Sec x. Sec y = c (1) 
When x = 0, y = 4
2
put the velue of c in eq (i) 
Sec x. Sec y = 2
Sin
dx dy
Cos
Sec
C
p
= - =
?
? ?
Ans 07. ( ) ( ) dy - y dx y Sin y dx + x dy x Cos
y y
x
x x
? ?
=
? ?
? ?
2 2
2
2
xy sin  cos  dy = xy cos  sin  dx
xy cos  sin 
xy sin  - x cos 
y y y y
x y
x x x x
y y
y
dy x x
y y dx
x x
? ? ? ? ? ? ? ?
- +
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
+
? ? ? ?
? ? ? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
2
 N ans D by x
 cos  +  sin 
 (1)
 sin  - cos
y y y y
x x x x dy
y y y dx
x x x
÷
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
=
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
let y = vx
put  in eq (1)
v cos v + v sin v
v+x 
v sin v - cos v 
2v cos v
v sin v - cos v
v sin v - cos v 2
 dv = dx 
v cos v
1 1
tanv dv - 2
log sec v - log v = 2 log 
dy dv
v x
dx dx
dy
dx
dv
dx
dv
x
dx
x
dv dx
v x
= +
=
=
? ?
? ?
? ?
=
? ?
? ? ?
2
2
2
x + log c
 v
log log c
sec
replace v by 
sec 
. x
sec  
sec
vx
v
c
vx
y
x
y
x
c
y
x
y
c xy
x
=
=
? ?
? ?
? ?
=
? ?
=
? ?
? ?
Ans 08. 
( )
2
 dx=
x y x y
ye xe y dy +
2
 e
 e
x y
x y
dx x y
dy y
+
=
-
y e (1)
let x = vy
  in eq (1)
x y
dx x
dy y
dx dv
v y
dy dy
dx
put
dy
= +
= +
-v
v + y  +y e
 dv
v
v
x y
dv
v
dy
e dy
e y c
e y c
=
=
= +
= +
? ?
Ans 09.  cot x = 4x. cosec x
dy
y
dx
+
given diff eq is the form of 
  dx
log Sin x
 , Q = 4x. cosec x
I. F = e
sin x
y x sin x = 4x. cos ec x. sin x dx + c
1
4 . . sin x dx + c
 x
Pdx
Cot x
dy
Py Q
dx
P cot x
e
e
x
Sin
+ =
=
?
?
=
= =
=
/
?
2
2 
 2
2
y. Sin x = 4
2
y. Sin x = 2 x + c (1)
 x = 2, then y = 0
c = - 
2
x
c
When p
p
+
2
2
. Sin = 2x - 
2
y
p
2 2
2
Sin x 2 Sin x
x
y
p
= - Ans 10. 
2
Cos x tan x
dy
y
dx
+ =
2 2
 sec x y= Sec x. tan x (1)
given diff eq. is of the form 
dy
dx
+
2
2 2
Sec x dx
tan x
tanx 2 tanx
tanx 2
tanx t
 Sec x, Q = Sec x tan x
I.F= e
  e = Sec x. tan x. e dx + c (ii)
  e =  t dt + c when tan x = t , Sec x dx = dt 
y e = t e - .1 dt + c
 t 
Pdx
t
t
dy
Py Q
dx
P
e
e
y
y e
e
+ =
=
?
?
=
=
×
×
=
?
?
?
t t
t
tanx
tanx
tan tan
-tanx
e - e + c
= e (t - 1) + c
= e (tan x - 1) + c
e (tan x - 1) 
y =  + 
 (tan x - 1) + c e
x x
c
e e
y =
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