The Direct Stiffness Method: Beams - 4 GATE Notes | EduRev

Structural Analysis

GATE : The Direct Stiffness Method: Beams - 4 GATE Notes | EduRev

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We know that 0
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= = = = = = u u u u u u . Thus solving for unknowns  and 
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The actual reactions at the supports are calculated as, 
 
 
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Member end actions for element 3 
 
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58 . 4
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          (15) 
 
Example 28.2  
Analyse the continuous beam shown in Fig. 28.2a. Assume that the supports are 
unyielding. Assume EI to be constant for all members. 
 
 
 
The numbering of joints and members are shown in Fig. 28.2b. The global 
degrees of freedom are also shown in the figure. 
 
The given continuous beam is divided into two beam elements. Two degrees of 
freedom (one translation and one rotation) are considered at each end of the 
member. In the above figure, double headed arrows denote rotations and single 
headed arrow represents translations. Also it is observed that displacements 
 from support conditions.  0
6 5 4 3
= = = = u u u u
First construct the member stiffness matrix for each member.  
 
 
Member 1: , node points 1-2. m L 4 =
  
                                                         
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We know that 0
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= = = = = = u u u u u u . Thus solving for unknowns  and 
, yields 
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333 . 2
5
0 . 2 5 . 0
5 . 0 0 . 2
75 . 3
1
2
1
zz
EI
u
u
    (9) 
 
 
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? -
=
909 . 1
977 . 2
1
zz
EI
 
Thus displacements are, 
 
zz zz
EI
u
EI
u
909 . 1
     and       
977 . 2
2 1
=
-
=      (10) 
 
The unknown joint loads are given by, 
 
 
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909 . 1
977 . 2
1
375 . 0 0
5 . 0 0
0 375 . 0
0 5 . 0
0 375 . 0
375 . 0 0
8
7
6
5
4
3
zz
zz
EI
EI
p
p
p
p
p
p
     (11) 
 
 
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-
-
-
=
715 . 0
955 . 0
116 . 1
488 . 1
116 . 1
715 . 0
 
 
                                                         
The actual reactions at the supports are calculated as, 
 
 
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284 . 3
715 . 1
116 . 1
489 . 1
116 . 10
716 . 5
715 . 0
955 . 0
116 . 1
488 . 1
116 . 1
715 . 0
4
67 . 2
0
0
9
5
8
7
6
5
4
3
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7
6
5
4
3
8
7
6
5
4
3
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
R
R
R
R
R
R
F
F
F
F
F
F
   (12) 
 
 
Member end actions for element 1 
 
 
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977 . 2
116 . 1
488 . 1
116 . 1
977 . 2
0
0
1
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
0
0
0
0
4
3
2
1
zz
zz
EI
q
q
q
q
 
 
 
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0 0 EI
            
 
 
 
 
 
           (13) 
         
 
  
 
Member end actions for element 2 
 
 
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909 . 1
0
977 . 2
0
1
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
4
3
2
1
zz
zz
EI
EI
q
q
q
q
      
 
 
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-
=
58 . 4
4 . 5
98 . 2
6 . 4
          (14) 
                                                         
Member end actions for element 3 
 
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0
0
909 . 1
0
1
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
67 . 2
0 . 4
67 . 2
0 . 4
4
3
2
1
zz
zz
EI
EI
q
q
q
q
                
 
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-
=
72 . 1
28 . 3
58 . 4
72 . 4
          (15) 
 
Example 28.2  
Analyse the continuous beam shown in Fig. 28.2a. Assume that the supports are 
unyielding. Assume EI to be constant for all members. 
 
 
 
The numbering of joints and members are shown in Fig. 28.2b. The global 
degrees of freedom are also shown in the figure. 
 
The given continuous beam is divided into two beam elements. Two degrees of 
freedom (one translation and one rotation) are considered at each end of the 
member. In the above figure, double headed arrows denote rotations and single 
headed arrow represents translations. Also it is observed that displacements 
 from support conditions.  0
6 5 4 3
= = = = u u u u
First construct the member stiffness matrix for each member.  
 
 
Member 1: , node points 1-2. m L 4 =
  
                                                         
The member stiffness matrix for all the members are the same, as the length and 
flexural rigidity of all members is the same. 
 
         (1) 
[]
1
3
5
6
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
'
1 3 5 6 . .
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-
- - -
-
-
=
zz
EI k
f o d Global
 
On the member stiffness matrix, the corresponding global degrees of freedom 
are indicated to facilitate assembling.  
   
Member 2: , node points 2-3. m L 4 =
        
[]
2
4
1
3
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
2 4 1 3 . .
2
?
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?
-
- - -
-
-
=
zz
EI k
f o d Global
   (2) 
 
The assembled global stiffness matrix of the continuous beam is of order 6 6 × . 
The assembled global stiffness matrix may be written as, 
 
 
[]
?
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-
-
- - -
- - -
-
-
=
1875 . 0 375 . 0 0 1875 . 0 0 375 . 0
375 . 0 0 . 1 0 375 . 0 0 5 . 0
0 0 1875 . 0 1875 . 0 375 . 0 375 . 0
1875 . 0 375 . 0 1875 . 0 375 . 0 375 . 0 0
0 0 375 . 0 375 . 0 0 . 1 5 . 0
375 . 0 5 . 0 375 . 0 0 5 . 0 2
zz
EI K
  (3) 
 
 
Now it is required to replace the given members loads by equivalent joint loads. 
The equivalent loads for the present case is shown in Fig. 28.2c. The 
displacement degrees of freedom are also shown in figure.  
                                                         
Page 5


We know that 0
8 7 6 5 4 3
= = = = = = u u u u u u . Thus solving for unknowns  and 
, yields 
1
u
2
u
 
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=
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2
1
0 . 2 5 . 0
5 . 0 0 . 2
33 . 2
5
u
u
EI
zz
     (8) 
 
 
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-
-
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333 . 2
5
0 . 2 5 . 0
5 . 0 0 . 2
75 . 3
1
2
1
zz
EI
u
u
    (9) 
 
 
?
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? -
=
909 . 1
977 . 2
1
zz
EI
 
Thus displacements are, 
 
zz zz
EI
u
EI
u
909 . 1
     and       
977 . 2
2 1
=
-
=      (10) 
 
The unknown joint loads are given by, 
 
 
?
?
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909 . 1
977 . 2
1
375 . 0 0
5 . 0 0
0 375 . 0
0 5 . 0
0 375 . 0
375 . 0 0
8
7
6
5
4
3
zz
zz
EI
EI
p
p
p
p
p
p
     (11) 
 
 
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715 . 0
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116 . 1
488 . 1
116 . 1
715 . 0
 
 
                                                         
The actual reactions at the supports are calculated as, 
 
 
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284 . 3
715 . 1
116 . 1
489 . 1
116 . 10
716 . 5
715 . 0
955 . 0
116 . 1
488 . 1
116 . 1
715 . 0
4
67 . 2
0
0
9
5
8
7
6
5
4
3
8
7
6
5
4
3
8
7
6
5
4
3
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
R
R
R
R
R
R
F
F
F
F
F
F
   (12) 
 
 
Member end actions for element 1 
 
 
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116 . 1
488 . 1
116 . 1
977 . 2
0
0
1
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
0
0
0
0
4
3
2
1
zz
zz
EI
q
q
q
q
 
 
 
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0 0 EI
            
 
 
 
 
 
           (13) 
         
 
  
 
Member end actions for element 2 
 
 
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0
1
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
4
3
2
1
zz
zz
EI
EI
q
q
q
q
      
 
 
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-
=
58 . 4
4 . 5
98 . 2
6 . 4
          (14) 
                                                         
Member end actions for element 3 
 
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0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
67 . 2
0 . 4
67 . 2
0 . 4
4
3
2
1
zz
zz
EI
EI
q
q
q
q
                
 
?
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?
-
=
72 . 1
28 . 3
58 . 4
72 . 4
          (15) 
 
Example 28.2  
Analyse the continuous beam shown in Fig. 28.2a. Assume that the supports are 
unyielding. Assume EI to be constant for all members. 
 
 
 
The numbering of joints and members are shown in Fig. 28.2b. The global 
degrees of freedom are also shown in the figure. 
 
The given continuous beam is divided into two beam elements. Two degrees of 
freedom (one translation and one rotation) are considered at each end of the 
member. In the above figure, double headed arrows denote rotations and single 
headed arrow represents translations. Also it is observed that displacements 
 from support conditions.  0
6 5 4 3
= = = = u u u u
First construct the member stiffness matrix for each member.  
 
 
Member 1: , node points 1-2. m L 4 =
  
                                                         
The member stiffness matrix for all the members are the same, as the length and 
flexural rigidity of all members is the same. 
 
         (1) 
[]
1
3
5
6
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
'
1 3 5 6 . .
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
- - -
-
-
=
zz
EI k
f o d Global
 
On the member stiffness matrix, the corresponding global degrees of freedom 
are indicated to facilitate assembling.  
   
Member 2: , node points 2-3. m L 4 =
        
[]
2
4
1
3
0 . 1 375 . 0 5 . 0 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
5 . 0 375 . 0 0 . 1 375 . 0
375 . 0 1875 . 0 375 . 0 1875 . 0
2 4 1 3 . .
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
- - -
-
-
=
zz
EI k
f o d Global
   (2) 
 
The assembled global stiffness matrix of the continuous beam is of order 6 6 × . 
The assembled global stiffness matrix may be written as, 
 
 
[]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
- - -
- - -
-
-
=
1875 . 0 375 . 0 0 1875 . 0 0 375 . 0
375 . 0 0 . 1 0 375 . 0 0 5 . 0
0 0 1875 . 0 1875 . 0 375 . 0 375 . 0
1875 . 0 375 . 0 1875 . 0 375 . 0 375 . 0 0
0 0 375 . 0 375 . 0 0 . 1 5 . 0
375 . 0 5 . 0 375 . 0 0 5 . 0 2
zz
EI K
  (3) 
 
 
Now it is required to replace the given members loads by equivalent joint loads. 
The equivalent loads for the present case is shown in Fig. 28.2c. The 
displacement degrees of freedom are also shown in figure.  
                                                         
 
 
 
 
Thus the global load vector corresponding to unconstrained degree of freedom 
is,  
 
{}
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
67 . 6
0
2
1
p
p
p
k
     (4) 
      
Writing the load displacement relation for the entire continuous beam, 
 
                                                         
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