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Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
Question 20:
Evaluate the Given limit:
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
a, b, a + b ? 0
Solution 20:
At x = 0, the value of the given function takes the form
0
0
.
Now,
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
=
0
sin
lim
sin
x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
?
??
?
??
??
??
?
??
??
=
? ? ? ?
? ?
0 0 0
0 0 0
sin
lim lim lim
Asx 0 ax 0 and bx 0
sin
lim lim lim
x x x
x x x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
? ? ? ?
??
?
??
??
=
? ?
00
00
00
lim lim
sin
lim lim 1
lim lim
xx
xx
xx
ax bx
x
ax bx x
??
??
??
?
??
?
??
?
??
=
? ?
? ?
0
0
lim
lim
x
x
ax bx
ax bx
?
?
?
?
=
0
lim
x ?
(1)
= 1
Question 21:
Evaluate the Given limit: ? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
Solution 21:
At x = 0, the value of the given function takes the form ? ? ?
Now,
? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
=
0
1 cos
lim
sin sin
x
x
xx
?
??
?
??
??
=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
?
???
??
??
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Question 20:
Evaluate the Given limit:
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
a, b, a + b ? 0
Solution 20:
At x = 0, the value of the given function takes the form
0
0
.
Now,
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
=
0
sin
lim
sin
x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
?
??
?
??
??
??
?
??
??
=
? ? ? ?
? ?
0 0 0
0 0 0
sin
lim lim lim
Asx 0 ax 0 and bx 0
sin
lim lim lim
x x x
x x x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
? ? ? ?
??
?
??
??
=
? ?
00
00
00
lim lim
sin
lim lim 1
lim lim
xx
xx
xx
ax bx
x
ax bx x
??
??
??
?
??
?
??
?
??
=
? ?
? ?
0
0
lim
lim
x
x
ax bx
ax bx
?
?
?
?
=
0
lim
x ?
(1)
= 1
Question 21:
Evaluate the Given limit: ? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
Solution 21:
At x = 0, the value of the given function takes the form ? ? ?
Now,
? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
=
0
1 cos
lim
sin sin
x
x
xx
?
??
?
??
??
=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
?
???
??
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
x
x
?
???
??
??
??
??
??
=
0
0
1 cos
lim
sin
lim
x
x
x
x
x
x
?
?
?
=
0
1
00
1 cos sin
lim 0and lim 1
xx
xx
xx
??
???
??
??
??
= 0
Question 22:
2
tan 2
lim
2
x
x
x
?
?
?
?
Solution 22:
2
tan 2
lim
2
x
x
x
?
?
?
?
At x =
2
?
, the value of the given function takes the form
0
0
Now, put So that x , 0
22
x y y
??
? ? ? ?
0
2
tan2
tan2 2
lim lim
2
y
x
y
x
y
x
?
?
? ?
?
??
?
??
??
??
?
=
? ?
0
tan 2
lim
y
y
y
?
?
?
=
? ?
0
tan2
lim tan 2 tan2
y
y
yy
y
?
?
?? ??
??
=
0
sin2
lim
cos2
y
y
yy
?
=
0
sin2 2
lim
2 cos2
y
y
yy
?
??
?
??
??
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Question 20:
Evaluate the Given limit:
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
a, b, a + b ? 0
Solution 20:
At x = 0, the value of the given function takes the form
0
0
.
Now,
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
=
0
sin
lim
sin
x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
?
??
?
??
??
??
?
??
??
=
? ? ? ?
? ?
0 0 0
0 0 0
sin
lim lim lim
Asx 0 ax 0 and bx 0
sin
lim lim lim
x x x
x x x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
? ? ? ?
??
?
??
??
=
? ?
00
00
00
lim lim
sin
lim lim 1
lim lim
xx
xx
xx
ax bx
x
ax bx x
??
??
??
?
??
?
??
?
??
=
? ?
? ?
0
0
lim
lim
x
x
ax bx
ax bx
?
?
?
?
=
0
lim
x ?
(1)
= 1
Question 21:
Evaluate the Given limit: ? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
Solution 21:
At x = 0, the value of the given function takes the form ? ? ?
Now,
? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
=
0
1 cos
lim
sin sin
x
x
xx
?
??
?
??
??
=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
?
???
??
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
x
x
?
???
??
??
??
??
??
=
0
0
1 cos
lim
sin
lim
x
x
x
x
x
x
?
?
?
=
0
1
00
1 cos sin
lim 0and lim 1
xx
xx
xx
??
???
??
??
??
= 0
Question 22:
2
tan 2
lim
2
x
x
x
?
?
?
?
Solution 22:
2
tan 2
lim
2
x
x
x
?
?
?
?
At x =
2
?
, the value of the given function takes the form
0
0
Now, put So that x , 0
22
x y y
??
? ? ? ?
0
2
tan2
tan2 2
lim lim
2
y
x
y
x
y
x
?
?
? ?
?
??
?
??
??
??
?
=
? ?
0
tan 2
lim
y
y
y
?
?
?
=
? ?
0
tan2
lim tan 2 tan2
y
y
yy
y
?
?
?? ??
??
=
0
sin2
lim
cos2
y
y
yy
?
=
0
sin2 2
lim
2 cos2
y
y
yy
?
??
?
??
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
=
2 0 0
sin2 2
lim lim
2 cos2
yy
y
yy
??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
0 2 0 yy ? ? ?
=
2
1
cos0
?
0
sin
lim 1
x
x
x
?
??
?
??
??
=
2
1
1
?
= 2
Question 23:
Find
0
lim
x ?
f(x) and
1
lim
x ?
f(x), where f(x) =
? ?
2 3, 0
3 1, 0
xx
xx
?? ?
?
?
??
?
?
Solution 23:
The given function is
f(x) =
? ?
2 3, 0
3 1, 0
xx
xx
?? ?
?
?
??
?
?
? ? ? ? ? ?
0 0
lim lim 2 3 2 0 3 3
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0 0
lim lim3 1 3 0 1 3
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0 00
lim lim lim 3
x xx
f x f x f x
??
? ??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 1
lim lim3 1 3 1 1 6
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 11
lim lim lim 6
x xx
f x f x f x
??
? ??
? ? ? ?
Question 24:
Find ? ?
1
lim
x
fx
?
, when f(x) =
2
2
1 , 1
1 , 1
xx
xx
???
?
?
? ? ?
?
?
Solution 24:
The given function is
f(x) =
2
2
1, 1
1, 1
xx
xx
???
?
?
? ? ?
?
?
? ?
22
1 1
lim lim 1 1 1 1 1 0
x x
f x x
?
? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?
??
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Question 20:
Evaluate the Given limit:
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
a, b, a + b ? 0
Solution 20:
At x = 0, the value of the given function takes the form
0
0
.
Now,
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
=
0
sin
lim
sin
x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
?
??
?
??
??
??
?
??
??
=
? ? ? ?
? ?
0 0 0
0 0 0
sin
lim lim lim
Asx 0 ax 0 and bx 0
sin
lim lim lim
x x x
x x x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
? ? ? ?
??
?
??
??
=
? ?
00
00
00
lim lim
sin
lim lim 1
lim lim
xx
xx
xx
ax bx
x
ax bx x
??
??
??
?
??
?
??
?
??
=
? ?
? ?
0
0
lim
lim
x
x
ax bx
ax bx
?
?
?
?
=
0
lim
x ?
(1)
= 1
Question 21:
Evaluate the Given limit: ? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
Solution 21:
At x = 0, the value of the given function takes the form ? ? ?
Now,
? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
=
0
1 cos
lim
sin sin
x
x
xx
?
??
?
??
??
=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
?
???
??
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
x
x
?
???
??
??
??
??
??
=
0
0
1 cos
lim
sin
lim
x
x
x
x
x
x
?
?
?
=
0
1
00
1 cos sin
lim 0and lim 1
xx
xx
xx
??
???
??
??
??
= 0
Question 22:
2
tan 2
lim
2
x
x
x
?
?
?
?
Solution 22:
2
tan 2
lim
2
x
x
x
?
?
?
?
At x =
2
?
, the value of the given function takes the form
0
0
Now, put So that x , 0
22
x y y
??
? ? ? ?
0
2
tan2
tan2 2
lim lim
2
y
x
y
x
y
x
?
?
? ?
?
??
?
??
??
??
?
=
? ?
0
tan 2
lim
y
y
y
?
?
?
=
? ?
0
tan2
lim tan 2 tan2
y
y
yy
y
?
?
?? ??
??
=
0
sin2
lim
cos2
y
y
yy
?
=
0
sin2 2
lim
2 cos2
y
y
yy
?
??
?
??
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
=
2 0 0
sin2 2
lim lim
2 cos2
yy
y
yy
??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
0 2 0 yy ? ? ?
=
2
1
cos0
?
0
sin
lim 1
x
x
x
?
??
?
??
??
=
2
1
1
?
= 2
Question 23:
Find
0
lim
x ?
f(x) and
1
lim
x ?
f(x), where f(x) =
? ?
2 3, 0
3 1, 0
xx
xx
?? ?
?
?
??
?
?
Solution 23:
The given function is
f(x) =
? ?
2 3, 0
3 1, 0
xx
xx
?? ?
?
?
??
?
?
? ? ? ? ? ?
0 0
lim lim 2 3 2 0 3 3
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0 0
lim lim3 1 3 0 1 3
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0 00
lim lim lim 3
x xx
f x f x f x
??
? ??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 1
lim lim3 1 3 1 1 6
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 11
lim lim lim 6
x xx
f x f x f x
??
? ??
? ? ? ?
Question 24:
Find ? ?
1
lim
x
fx
?
, when f(x) =
2
2
1 , 1
1 , 1
xx
xx
???
?
?
? ? ?
?
?
Solution 24:
The given function is
f(x) =
2
2
1, 1
1, 1
xx
xx
???
?
?
? ? ?
?
?
? ?
22
1 1
lim lim 1 1 1 1 1 0
x x
f x x
?
? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
? ?
22
1 1
lim lim 1 1 1 1 1 2
x x
f x x
?
? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
It is observed that ? ?
1
lim
x
fx
?
?
? ? ?
1
lim
x
fx
?
?
.
Hence, ? ?
1
lim
x
fx
?
does not exist.
Question 25:
Evaluate ? ?
0
lim
x
fx
?
, where f(x) =
,0
0, 0
x
x
x
x
?
? ?
?
?
?
?
Solution 25:
The given function is
f(x) =
,0
0, 0
x
x
x
x
?
? ?
?
?
?
?
? ?
00
lim lim
xx
x
fx
x
??
??
??
?
??
??
=
0
lim
x
x
x
?
? ??
??
??
[When x is negative, x = -x]
= ? ?
0
lim 1
x ?
?
= -1
? ?
00
lim lim
xx
x
fx
x
??
??
??
?
??
??
=
0
lim
x
x
x
?
??
??
??
[When x is positive, x = x]
= ? ?
0
lim 1
x ?
= 1
It is observed that ? ?
0
lim
x
fx
?
?
? ? ?
0
lim
x
fx
?
?
.
Hence, ? ?
0
lim
x
fx
?
does not exist.
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Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
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Question 20:
Evaluate the Given limit:
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
a, b, a + b ? 0
Solution 20:
At x = 0, the value of the given function takes the form
0
0
.
Now,
0
sin
lim
sin
x
ax bx
ax bx
?
?
?
=
0
sin
lim
sin
x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
?
??
?
??
??
??
?
??
??
=
? ? ? ?
? ?
0 0 0
0 0 0
sin
lim lim lim
Asx 0 ax 0 and bx 0
sin
lim lim lim
x x x
x x x
ax
ax bx
ax
bx
ax bx
bx
? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
? ? ? ?
??
?
??
??
=
? ?
00
00
00
lim lim
sin
lim lim 1
lim lim
xx
xx
xx
ax bx
x
ax bx x
??
??
??
?
??
?
??
?
??
=
? ?
? ?
0
0
lim
lim
x
x
ax bx
ax bx
?
?
?
?
=
0
lim
x ?
(1)
= 1
Question 21:
Evaluate the Given limit: ? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
Solution 21:
At x = 0, the value of the given function takes the form ? ? ?
Now,
? ?
0
lim cosec cot
x
xx
?
?
=
0
1 cos
lim
sin sin
x
x
xx
?
??
?
??
??
=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
?
???
??
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
=
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
x
x
?
???
??
??
??
??
??
=
0
0
1 cos
lim
sin
lim
x
x
x
x
x
x
?
?
?
=
0
1
00
1 cos sin
lim 0and lim 1
xx
xx
xx
??
???
??
??
??
= 0
Question 22:
2
tan 2
lim
2
x
x
x
?
?
?
?
Solution 22:
2
tan 2
lim
2
x
x
x
?
?
?
?
At x =
2
?
, the value of the given function takes the form
0
0
Now, put So that x , 0
22
x y y
??
? ? ? ?
0
2
tan2
tan2 2
lim lim
2
y
x
y
x
y
x
?
?
? ?
?
??
?
??
??
??
?
=
? ?
0
tan 2
lim
y
y
y
?
?
?
=
? ?
0
tan2
lim tan 2 tan2
y
y
yy
y
?
?
?? ??
??
=
0
sin2
lim
cos2
y
y
yy
?
=
0
sin2 2
lim
2 cos2
y
y
yy
?
??
?
??
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
=
2 0 0
sin2 2
lim lim
2 cos2
yy
y
yy
??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
0 2 0 yy ? ? ?
=
2
1
cos0
?
0
sin
lim 1
x
x
x
?
??
?
??
??
=
2
1
1
?
= 2
Question 23:
Find
0
lim
x ?
f(x) and
1
lim
x ?
f(x), where f(x) =
? ?
2 3, 0
3 1, 0
xx
xx
?? ?
?
?
??
?
?
Solution 23:
The given function is
f(x) =
? ?
2 3, 0
3 1, 0
xx
xx
?? ?
?
?
??
?
?
? ? ? ? ? ?
0 0
lim lim 2 3 2 0 3 3
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0 0
lim lim3 1 3 0 1 3
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0 00
lim lim lim 3
x xx
f x f x f x
??
? ??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 1
lim lim3 1 3 1 1 6
x x
f x x
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 11
lim lim lim 6
x xx
f x f x f x
??
? ??
? ? ? ?
Question 24:
Find ? ?
1
lim
x
fx
?
, when f(x) =
2
2
1 , 1
1 , 1
xx
xx
???
?
?
? ? ?
?
?
Solution 24:
The given function is
f(x) =
2
2
1, 1
1, 1
xx
xx
???
?
?
? ? ?
?
?
? ?
22
1 1
lim lim 1 1 1 1 1 0
x x
f x x
?
? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?
??
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
? ?
22
1 1
lim lim 1 1 1 1 1 2
x x
f x x
?
? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
It is observed that ? ?
1
lim
x
fx
?
?
? ? ?
1
lim
x
fx
?
?
.
Hence, ? ?
1
lim
x
fx
?
does not exist.
Question 25:
Evaluate ? ?
0
lim
x
fx
?
, where f(x) =
,0
0, 0
x
x
x
x
?
? ?
?
?
?
?
Solution 25:
The given function is
f(x) =
,0
0, 0
x
x
x
x
?
? ?
?
?
?
?
? ?
00
lim lim
xx
x
fx
x
??
??
??
?
??
??
=
0
lim
x
x
x
?
? ??
??
??
[When x is negative, x = -x]
= ? ?
0
lim 1
x ?
?
= -1
? ?
00
lim lim
xx
x
fx
x
??
??
??
?
??
??
=
0
lim
x
x
x
?
??
??
??
[When x is positive, x = x]
= ? ?
0
lim 1
x ?
= 1
It is observed that ? ?
0
lim
x
fx
?
?
? ? ?
0
lim
x
fx
?
?
.
Hence, ? ?
0
lim
x
fx
?
does not exist.
Class XI Chapter 13 – Limits and Derivatives Maths
______________________________________________________________________________
Question 26:
Find ? ?
0
lim
x
fx
?
, when f(x) =
,0
0, 0
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
Solution 26:
The given function is
f(x) =
,0
0, 0
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
? ?
00
lim lim
xx
x
fx
x
??
??
??
?
??
??
=
0
lim
x
x
x
?
??
??
?
??
[When x < 0, x = -x]
= ? ?
0
lim 1
x ?
?
= -1
? ?
00
lim lim
xx
x
fx
x
??
??
??
?
??
??
=
0
lim
x
x
x
?
??
??
??
[When x > 0, x = x]
= ? ?
0
lim 1
x ?
= 1
It is observed that ? ? ? ?
00
lim lim
xx
f x f x
??
??
? .
Hence, ? ?
0
lim
x
fx
?
does not exist.
Question 27:
Find ? ?
5
lim
x
fx
?
, where f(x) = x - 5
Solution 27:
The given function is f(x) = x - 5
? ? ? ?
55
lim lim 5
xx
f x x
??
??
??
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