Short Notes: Averages (औसत) | Quantitative Aptitude/संख्यात्मक योग्यता - Banking Exams PDF Download

औसत सूत्र

औसत को संख्याओं के एक निश्चित समूह के माध्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। औसत पर आधारित प्रश्न विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं विशेषकर सरकारी नौकरी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं। उम्मीदवारों को औसत पर प्रश्नों को हल करने के लिए आवश्यक विधि के बारे में पता होना चाहिए। हम आपको उदाहरण के साथ औसत पर आधारित स्टडी नोट्स प्रदान कर रहे हैं।

औसत क्या है?

गणित में, औसत संख्याओं के समूह का परिकलित “केंद्रीय” मान होता है. ‘औसत’ शब्द का अर्थ ‘मध्य’ या ‘केंद्रीय’ बिंदु है. सरल शब्दों में, औसत एक संख्या को संदर्भित करता है जो डेटा के एक सेट का एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व है. गणित में, औसत को माध्य मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जो सभी डेटा के योग के अनुपात के बराबर होता है और सेट में मौजूद मानों/इकाइयों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर होता है. उदाहरण के लिए, 3, 6 और 9 का औसत 2 + 7 + 9 = 18÷ 3 = 6 है. तो औसत 6 है. इसका अर्थ है कि 6, 3, 6, और 9 का केंद्रीय मान है. अतः औसत का अर्थ है संख्याओं के समूह का माध्य मान ज्ञात करना.

औसत प्रतीक

• हम औसत को उन मानों के माध्य के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जो x̄ (x बार) द्वारा दर्शाए जाते हैं जिन्हें औसत प्रतीक के रूप में भी जाना जाता है.
• औसत प्रतीक को ‘μ’ द्वारा भी दर्शाया जाता है .

औसत फॉर्मूला और ट्रिक्स

औसत = (मात्राओं का योग) / (मात्राओं की संख्या)
दो या दो से अधिक समूहों का औसत
(a) यदि दो समूहों में मात्राओं की संख्या n₁ और n₂ है और उनका औसत क्रमशः x और y है, तो संयुक्त औसत (उन सभी का औसत एक साथ रखा जाता है)
(n₁ x+n₂ y)/(n₁+n₂ )
(b) यदि n₁ मात्राओं का औसत x है और n₂ मात्राओं का औसत y है, तो शेष समूह (शेष मात्राओं) का औसत होगा
(n₁ x-n₂ y)/(n₁ – n₂ )

प्रश्न 1. कक्षा के अनुभाग A के 24 छात्रों का औसत वजन 58 किलोग्राम है जबकि इस कक्षा के अनुभाग B के 26 छात्रों का औसत वजन 60.5 किलोग्राम है. कक्षा के सभी 50 छात्रों का औसत वजन ज्ञात कीजिये.

यहाँ n₁ = 24, n₂ = 26, x = 58 और y = 60.5।

∴ सभी 50 विद्यार्थियों का औसत भार

=(n₁ x+n₂ y)/(n₁+n₂ )

=(24×58+24×60.5)/(24+26)

=(1392+1573)/50=2965/50

= 59.3 kg

n मात्राओं का औसत x के बराबर है. यदि दी गई मात्रा में से एक मात्रा जिसका मान p है, उसे q मान  वाली एक नई मात्रा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो औसत y बन जाता है, तो

q = p + n(y – x)

प्रश्न 2. व्यक्तियों का औसत वजन 2 किलोग्राम बढ़ जाता है जब उनमें से एक व्यक्ति जिसका वजन 60 किलोग्राम है, उसे एक नए व्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है. नए व्यक्ति का वजन कितना है?

नए व्यक्ति का वजन

= p + n(y – x)

= 60 + 25(2) = 110 kg

• n मात्राओं का औसत x के बराबर. जब एक मात्रा हटा दी जाती है, तो औसत y हो जाता है. हटाई गई मात्रा का मान
  n(x – y) + y.
• n मात्राओं का औसत y के बराबर. जब इसमें एक मात्रा जोड़ दी जाती है, तो औसत y हो जाता है. नई मात्रा का मान
  n(y – x) + y.

प्रश्न 3. एक कक्षा के 24 छात्रों और शिक्षक की औसत आयु 16 वर्ष है. यदि शिक्षक की आयु को शामिल नहीं किया जाता है, तो औसत आयु 1 वर्ष कम हो जाती है. शिक्षक की आयु कितनी है?

कक्षा शिक्षक की आयु

= n (x – y) + y

= 25 (16 – 15) + 15

= 40 years

• पहली n प्राकृतिक संख्या का औसत
  (n + 1)/2.
• n तक प्राकृतिक संख्या के वर्ग का औसत
  ((n + 1)  (2n + 1))/6
• n तक प्राकृतिक संख्या के घन का औसत
  (n (n + 1)²)/4.
• 1 से n तक विषम संख्याओं का औसत
  (अंतिम विषम संख्या+1)/2.
• 1 से n तक की सम संख्याओं का औसत
  (अंतिम सम संख्या + 2)/2.

प्रश्न 4. 1 से 40 तक विषम संख्याओं का औसत कितना है?

आवश्यक औसत

=(आखिरी विषम संख्या+1)/2

=(39+1)/2

= 20

प्रश्न 5. 1 से 81 तक की सम संख्या का औसत कितना है?

आवश्यक औसत

=(अंतिम सम संख्या+2)/2

=(80+2)/2

= 41

• यदि n विषम है: तो n क्रमागत संख्याओं का औसत, क्रमागत सम संख्याएं या क्रमागत विषम संख्याओं का हमेशा माध्य संख्या होती है.
• यदि n सम है: तो n क्रमागत संख्याओं का औसत, क्रमागत सम संख्याओं या क्रमागत विषम संख्याओं के मध्य की दो संख्याओं का औसत होता है.
• पहली n क्रमागत सम संख्याओं का औसत  (n + 1)
• पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का औसत n है.
• पहले n क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का औसत
  (2 (n + 1)  (2n + 1))/3.
• n तक पहले क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का औसत
  ((n + 1)  (n + 2))/3.
• n तक पहले क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का औसत
  (n (n + 2))/3.
• यदि n क्रमागत संख्याओं का औसत m है, तो सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या के बीच का अंतर
  2 (n – 1).

प्रश्न 6. पहली 19 क्रमागत संख्याओं के वर्गों का औसत ज्ञात कीजिये.

आवश्यक औसत

=(2 (n+1)(2n+1))/3=(2(19+1)(2×19+1))/3

=(2×20×39)/3=1560/3=520

प्रश्न 7. 1 से 31 तक क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का औसत ज्ञात कीजिये. 

आवश्यक औसत

=(n (n+2))/3=(31×(31+2))/3=(31×33)/3=341

औसत फॉर्मूला- अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रश्न 1. आप औसत की गणना कैसे करते हैं?

औसत की गणना संख्याओं के समूह को जोड़कर और उस योग को उन संख्याओं की संख्या से विभाजित करके की जाती है. उदाहरण के लिए, 3, 4, 5, 6, 7, और 11 के औसत को 36 से 6 से विभाजित किया जाता है, जो कि 6 है.

प्रश्न 2. औसत की गणना करने के तीन तरीके क्या हैं?

केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन सबसे सामान्य उपाय हैं: माध्य, माध्यिका और बहुलक.

प्रश्न 3. औसत का मूल सूत्र क्या है?

औसत का मूल सूत्र मानों की कुल संख्या से विभाजित सभी मानों का योग है.

प्रश्न 4. औसत की गणना क्यों की जाती है?

औसत की गणना एकल संख्या वाली संख्याओं के बड़े समूह को दर्शाने के लिए की जाती है. औसत डेटा सेट में उपलब्ध सभी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है.