नोट्स: पैटर्न्स

पैटर्न गणित का एक मौलिक सिद्धांत है जो CTET और अन्य शैक्षिक परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण है। पैटर्न को समझने से छात्रों को संबंधों को पहचानने, पूर्वानुमान लगाने और समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है। यहाँ एक संक्षिप्त अवलोकन प्रस्तुत है:

एक पैटर्न एक अनुक्रम, श्रृंखला, या तत्वों का ऐसा व्यवस्थित रूप है जो दोहराता है या एक पूर्वानुमेय नियम का पालन करता है।

पैटर्न संख्या, आकार, रंग, गति, और प्रक्रियाओं में पाए जा सकते हैं।

पैटर्न के प्रकार:

• संख्या पैटर्न:
• गणितीय अनुक्रम: एक अनुक्रम जहाँ प्रत्येक पद पिछले पद में एक निश्चित संख्या (सामान्य अंतर) जोड़कर प्राप्त किया जाता है (जैसे, 2, 4, 6, 8...)।
• ज्यामितीय अनुक्रम: एक अनुक्रम जहाँ प्रत्येक पद पिछले पद को एक निश्चित संख्या (सामान्य अनुपात) से गुणा करके प्राप्त किया जाता है (जैसे, 2, 6, 18, 54...)।
• वर्ग संख्या: प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों से संबंधित पैटर्न (जैसे, 1, 4, 9, 16...)।
• त्रिकोणीय संख्या: लगातार प्राकृतिक संख्याओं के योगों से संबंधित पैटर्न (जैसे, 1, 3, 6, 10...)।

• आकार पैटर्न:
• दोहराते आकार: एक ज्यामितीय आकार को दोहराकर बनाए गए पैटर्न (जैसे, टेस्लेशन)।
• सममिति पैटर्न: पैटर्न जो सममिति प्रदर्शित करते हैं, जैसे कि परावर्तन या घूर्णन सममिति (जैसे, बर्फ के फूल, कलेडियोस्कोप डिज़ाइन)।

• रंग पैटर्न:
• रंग अनुक्रम: रंगों के व्यवस्थाओं में पैटर्न, जैसे कि वैकल्पिक रंग या ग्रेडिएंट।

• व्यवहार पैटर्न:
• गति पैटर्न: वस्तुओं या जीवों की गति में पैटर्न, जैसे कि आवधिक गति या प्रवासन।

एक पैटर्न एक इकाई को दोहराकर बनाया जाता है, जो कि एक संख्याओं या आकारों का सेट हो सकता है, एक नियम के अनुसार।

1. वर्ग संख्याएँ

बिंदुओं का उपयोग करके वर्गों के पैटर्न को दो अलग-अलग तरीकों से बनाया जा सकता है।

• I. रीता रंगीन बिंदुओं का उपयोग करके वर्गों के पैटर्न बनाती हैं:

1 × 1 = 1
2 × 2 = 4
3 × 3 = 9
4 × 4 = 12

प्रत्येक वर्ग में बिंदुओं की संख्या एक वर्ग संख्या कहलाती है और इसे इसीलिए कहा जाता है क्योंकि बिंदुएँ वर्ग आकार में व्यवस्थित होती हैं।

एक वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है।

अब, क्या आप अगले दो वर्ग संख्याओं का नाम बता सकते हैं और वर्ग पैटर्न बना सकते हैं?

• II. अभिनव वर्ग पैटर्न इस प्रकार बनाते हैं:

1 × 1 = 1
2 × 2 = 4 = 1 3
3 × 3 = 9 = 1 3 5
4 × 4 = 16 = 1 3 5 7

इस प्रकार, हम देखते हैं कि,
पहली वर्ग संख्या = 1 = पहली विषम संख्या
दूसरी वर्ग संख्या = 4 = 1 3 = पहली दो विषम संख्याओं का योग
तीसरी वर्ग संख्या = 9 = 1 3 5 = पहली तीन विषम संख्याओं का योग
चौथी वर्ग संख्या = 16 = 1 3 5 7 = पहली चार विषम संख्याओं का योग

2. त्रिकोणीय संख्याएँ

बिंदुओं का उपयोग करके त्रिकोणीय पैटर्न दो तरीकों से बनाये जा सकते हैं। प्रत्येक त्रिकोण में बिंदुओं की संख्या को त्रिकोणीय संख्या कहा जाता है।

1. बिंदुओं का उपयोग करके बने पैटर्न पर ध्यान दें। संख्याएँ 1, 3, 6, 10, ... त्रिकोणीय आकार की बिंदुओं की तस्वीर दिखाती हैं। इसलिए, इन्हें त्रिकोणीय संख्याएँ कहा जाता है। उपरोक्त पैटर्न का अनुसरण करते हुए, बिंदुओं का उपयोग करके अगली दो त्रिकोणीय संख्याएँ बनाएँ।

2. बिंदुओं का उपयोग करके निम्नलिखित त्रिकोणीय पैटर्न पर ध्यान दें।

इस प्रकार, हम पैटर्न का अवलोकन करते हैं:
पहली त्रिकोणीय संख्या = 1 = पहली प्राकृतिक संख्या।
दूसरी त्रिकोणीय संख्या = 3 = 1 2 = पहली दो प्राकृतिक संख्याओं का योग।
तीसरी त्रिकोणीय संख्या = 6 = 1 2 3 = पहली तीन प्राकृतिक संख्याओं का योग और इसी तरह। अब, देखें कि यदि आप दो लगातार त्रिकोणीय संख्याओं को जोड़ते हैं तो क्या होता है?
1 + 3 = 4
3 + 6 = 9
6 + 10 = 16
10 + 15 = 25
सर्वगुणकारी संख्याएँ

एड्यूरव टिप्स: हम दो

हम दो लगातार त्रिकोणीय संख्याओं को जोड़कर एक वर्ग संख्या प्राप्त करते हैं। वर्ग संख्याएँ एक गुणन वर्ग में दर्शाई गई हैं, जैसा कि साथ में दिया गया है। ये एक विकर्ण रेखा पर स्थित होती हैं।

सीमा पैटर्न

अपने चारों ओर निम्नलिखित पैटर्नों का अवलोकन करें। दुपट्टा, बेडशीट,

फर्श, आदि की सीमाओं में पैटर्न।

इन्हें सीमा पैटर्न कहा जाता है। हम देखते हैं कि सीमा पैटर्न मूल सौंदर्य को बढ़ाते हैं। ये सीमा पैटर्न एक विशेष आकार या इकाई को एक दिशा में दोहराकर बनाए जाते हैं। एक बुनियादी सममिति पुनरावृत्ति का पालन करते हुए, जो अनुवाद, ऊर्ध्वाधर परावर्तन या क्षैतिज परावर्तन हो सकता है। समझने के लिए, आइए एक उदाहरण लेते हैं। सीमा पैटर्न में प्रतीक को आधार इकाई या आकार के रूप में मानें। हम निम्नलिखित पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं जब यह विभिन्न सममितियों का पालन करता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

जब यह विभिन्न सममितियों का पालन करता है तो हम निम्नलिखित पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं।

टाइलिंग पैटर्न

अनुवाद के सबसे परिचित उदाहरण हैं उन पैटर्नों का निर्माण जो पत्थरों या ईंटों के जोड़ने से बनते हैं और शहद की मक्खियों का क्रॉस-सेक्शन।

एक टाइलिंग पैटर्न एक एकल इकाई या आकार के पुनरावृत्ति से बनता है जो जब दोहराया जाता है, तो बिना किसी खाली जगह और बिना ओवरलैप के तह को भरता है।

निम्नलिखित पैटर्नों पर ध्यान दें।

अब, इन पैटर्नों पर ध्यान दें। क्या ये टाइलिंग पैटर्न हैं? यदि नहीं, तो क्यों नहीं?

इस प्रकार, उपरोक्त पैटर्न टाइलिंग पैटर्न नहीं हैं।

हमारे चारों ओर टाइलिंग पैटर्न टाइलिंग पैटर्न हमारे चारों ओर की चीज़ों में पाए जाते हैं।

एक ही आकार का उपयोग करके कई टाइलिंग पैटर्न बनाए जा सकते हैं जैसा कि दिखाया गया है।