अतिरिक्त प्रश्न समाधान - निर्माण
प्रश्न 1: त्रिभुज ABC का निर्माण करें जिसमें BC = 7.5 सेंटीमीटर, ∠ B = 45º और अन्य दो भुजाओं के बीच का अंतर 4 सेंटीमीटर हो।
निर्माण के चरण:
- BC = 7.5 सेंटीमीटर लें।
- ∠CBX = 45º बनाएं।
- BD = 4 सेंटीमीटर काटें।
- D और C को जोड़ें।
- DC का लंबवत बिसेक्टर बनाएं जो A पर मिलता है।
- A और C को जोड़ें।
इस प्रकार, ABC आवश्यक त्रिभुज है।
प्रश्न 2: ΔABC का निर्माण करें जिसकी परिधि 12 सेंटीमीटर है और भुजाएँ 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं।
- 12 सेंटीमीटर खींचें।
- XY के साथ नीचे की ओर एक तीव्र कोण बनाते हुए, एक रेखा बनाएं।
- X से, (2 3 4 = 9) नौ समान दूरी XZ पर सेट करें।
- XZ पर बिंदु P, Q और R को इस प्रकार चिह्नित करें कि XP = 2 यूनिट, PQ = 3 यूनिट, QR = 4 यूनिट।
- RY को जोड़ें।
- QC || RY और PB || RY बनाएं।
- B केंद्र और BX त्रिज्या के साथ एक आर्क बनाएं।
- C केंद्र और CY त्रिज्या के साथ एक आर्क बनाएं जो पहले के आर्क को A पर काटता है।
- AB और AC को जोड़ें।
इस प्रकार, ΔABC आवश्यक त्रिभुज है।
प्रश्न 3: ΔABC का निर्माण करें, जिसमें ∠ B = 60º और ∠ C = 45º है और शिखर A से आधार BC पर लंबवत 5.2 सेंटीमीटर है।
- PQ नामक एक रेखा खींचें।
- PQ पर एक बिंदु L को चिह्नित करें।
- LM को PQ पर लंबवत बनाएं।
- LA = 5.2 सेंटीमीटर काटें।
- A के माध्यम से XY || PQ बनाएं।
- ∠XAB = 60º और ∠YAC = 45º बनाएं जो क्रमशः PQ पर B और C पर मिलते हैं।
इस प्रकार, ΔABC आवश्यक त्रिभुज है।
प्रश्न 4: यदि इसका ऊँचाई 6 सेंटीमीटर है तो एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करें। अपने निर्माण का औचित्य दें।
XY रेखा खींचें और उस पर D बिंदु चिह्नित करें। XY पर लंबवत PD बनाएं। AD = 6 सेमी काटें। ∠CAD = 30° और ∠BAD = 30° को A पर AD के दोनों ओर बनाएं, ताकि B और C XY पर स्थित हों।
- इस प्रकार, ΔABC आवश्यक त्रिकोण है।
न्यायसंगतता: ∠CAD = 30° और ∠ADC = 90°
इसलिए, ΔADC में, ∠C = 180° - (90° + 30°) = 60°
इसी प्रकार, ∠B = 60°
इसके अलावा, ∠BAD - ∠CAD = 60° ⇒ ∠A = 60°
इस प्रकार, ΔABC एक समभुज त्रिकोण है जिसमें ऊँचाई AD = 6 सेमी है।
प्रश्न 5: यदि ∠A = 60°, AB = 6 सेमी और AC BC = 5 सेमी हो तो हम ΔABC क्यों नहीं बना सकते, लेकिन यदि ∠A = 60°, AB = 6 सेमी और AC - BC = 5 सेमी हो तो ΔABC का निर्माण संभव है?
हमें पता है कि त्रिकोण असमानता के गुण के अनुसार, त्रिकोण का निर्माण तब संभव है जब त्रिकोण के दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा हो। यहाँ, AC BC = 5 सेमी है, जो AB (6 सेमी) से कम है। इसलिए, ΔABC संभव नहीं है।
इसके अलावा, त्रिकोण असमानता के गुण के अनुसार, त्रिकोण का निर्माण तब संभव है जब त्रिकोण की दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से कम हो। यहाँ, AC - BC = 5 सेमी है, जो AB (6 सेमी) से कम है। इसलिए, ΔABC संभव है।
प्रश्न 6: दिए गए किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 90° कोण बनाएँ।
निर्माण के चरण:
- OA किरण खींचें।
- O को केंद्र मानते हुए और किसी भी सुविधाजनक त्रिज्या के साथ, एक आर्क बनाएं, जो OA को P पर काटता है।
- P को केंद्र मानते हुए और वही त्रिज्या रखते हुए, एक आर्क बनाएं जो चरण 2 में बनाए गए आर्क को Q पर काटता है।
- Q को केंद्र मानते हुए और चरण 2 और 3 में समान त्रिज्या रखते हुए, एक आर्क बनाएं, जो चरण 2 में बनाए गए आर्क को R पर काटता है।
- Q और R को केंद्र मानते हुए और वही त्रिज्या रखते हुए, दो आर्क बनाएं, जो S में एक-दूसरे को काटते हैं।
- OS को जोड़ें और B तक बढ़ाएँ।
इस प्रकार, ∠AOB आवश्यक 90° कोण है।
प्रश्न 7: एक सीधा कोण खींचें। कंपास का उपयोग करके इसे आधा करें। प्राप्त कोणों का नाम दें।
कोई भी सीधा कोण बनाएं (मान लीजिए ∠AOC)। ∠AOC को आधा करें और BO को जोड़ें। ∠AOB, सीधा कोण AOC का आवश्यक बाइसेक्टर है।
- कोई भी सीधा कोण बनाएं (मान लीजिए ∠AOC)।
- ∠AOC को आधा करें और BO को जोड़ें।
प्रश्न 8: एक ∆ABC का निर्माण करें जिसमें BC = 3.2 सेमी, ∠B = 45° और AC - AB = 2.1 सेमी हो।
- एक रेखा खंड BC = 3.2 सेमी बनाएं।
- B पर, एक कोण ∠CBX = 45° बनाएँ और इसे बिंदु X' तक बढ़ाएं।
- BD = 2.1 सेमी काटें और CD को जोड़ें।
- CD का लम्बवत बाइसेक्टर बनाएं और इसे X'BX पर A पर काटने दें।
- AC को जोड़ें। इस प्रकार, ∆ABC आवश्यक त्रिकोण है।
प्रश्न 9: एक त्रिकोण ABC का निर्माण करें जिसमें BC = 4.7 सेमी, AB = AC = 8.2 सेमी और ∠C = 60° हो।
दी गई: ∆ABC में, BC = 4.7 सेमी, AB = AC = 8.2 सेमी और ∠C = 60°। आवश्यक: ∆ABC का निर्माण करना। निर्माण के चरण:
- BC = 4.7 सेमी बनाएं।
- रे CX से, CD = 8.2 सेमी काटें।
- BD को जोड़ें। BD का लम्बवत बाइसेक्टर बनाएं जो CD पर A पर मिले।
- AB को जोड़ें ताकि आवश्यक त्रिकोण ABC प्राप्त हो।
न्याय: ∵ A BD के लम्बवत बाइसेक्टर पर स्थित है, इसलिए, AB = AD अब, CD = 8.2 सेमी ⇒ AC = AD = 8.2 सेमी ⇒ AC = AB = 8.2 सेमी।
प्रश्न 10: एक त्रिकोण का निर्माण करें, जिसकी परिधि 10 सेमी और आधार कोण 60° और 45° हो।
दी गई: ∆ABC में, AB + BC + CA = 10 सेमी, ∠B = 60° और ∠C = 45°। आवश्यक: ∆ABC का निर्माण करना। निर्माण के चरण:
- DE = 10 सेमी बनाएं।
- D पर, ∠EDP = 60° और E पर ∠DEQ = 45° बनाएं।
- DP और EQ को A पर मिलाएं।
- AD का लम्बवत बाइसेक्टर बनाएं ताकि DE पर B पर मिले।
- AE का लम्बवत बाइसेक्टर बनाएं ताकि DE पर C पर मिले।
- AB और AC को जोड़ें। इस प्रकार, ABC आवश्यक त्रिकोण है।
