ज्यामिति: हल किए गए उदाहरण - 1

• O ΔABC के अंतर्गत एक बिंदु है
• OA = 12 सेमी
• OC = 9 सेमी
• ∠AOB = ∠BOC = ∠COA
• ∠ABC = 60°

प्रश्न के अनुसार, हमें पता है कि एक बिंदु के चारों ओर का कोण हमेशा 360° होता है। तो, ⇒ ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 360/3 ⇒ 120° अब, ∠ABC = 60° हमें पता है कि त्रिकोण के सभी कोणों का योग 180° होता है। ΔAOB में, मान लेते हैं ∠OBA = θ ⇒ ∠OBA + ∠BAO + ∠AOB = 180° ⇒ θ + ∠BAO + 120° = 180° ⇒ ∠BAO = (180° - 120° - θ) ⇒ ∠BAO = 60° - θ अब, ΔBOC में, ⇒ ∠OBC = (∠ABC - ∠OBA) ∠OBC = 60° - θ ⇒ ∠OBC + ∠BOC + ∠OCB = 180° ⇒ (60° - θ + 120° + ∠OCB = 180° ⇒ ∠OCB = (180° - 120° - 60° - θ) ⇒ ∠OCB = θ तो, ∠AOB और ∠BOC ⇒ ∠A = ∠B ⇒ ∠O = ∠O ⇒ ∠B = ∠C ΔAOB ~ ΔBOC [AAA समानता] अब, ⇒ OB² = 108 ⇒ OB = 6√3 सेमी ∴ OB का आवश्यक मान 6√3 सेमी है।

• ∠AOC = 80°

AC एक तंतु है जो वृत्त को छूता है। ⇒ ∠ABC = 1/2 × ∠AOC = 1/2 × 80 = 40° त्रिकोण OBC में, ⇒ OB = OC = वृत्त का त्रिज्या ⇒ ∠OBC = ∠OCB = 40° ⇒ ∠XCO = 90° (स्पर्श रेखा त्रिज्या के प्रति लंब होती है) ⇒ ∠BCX = ∠XCO - ∠OCB = 90 - 40 = 50° ∴ ∠BCX का मान 50° है।

प्रश्न 3: ΔPQR में, ∠Q = 85° और ∠R = 65° हैं। बिंदु S और T PQ और PR के किनारों पर हैं, इस प्रकार कि ∠STR = 95° और QR और ST का अनुपात 9 : 5 है। यदि PQ = 21.6 सेमी है, तो PT की लंबाई क्या होगी? (a) 12 सेमी (b) 10.5 सेमी (c) 9 सेमी (d) 9.6 सेमी उत्तर: (a) दी गई जानकारी:

• QR : ST = 9 : 5
• PQ = 21.6 सेमी
• ∠Q = 85°
• ∠R = 65°
• ∠STR = 95°

निम्नलिखित चित्र से ΔPTS ∼ PQR ⇒ QR/TS = PQ/PT ⇒ 9/5 = 21.6/PT ⇒ PT = (21.6 × 5)/9 ⇒ PT = 12 सेमी ∴ PT की लंबाई 12 सेमी है।

प्रश्न 4: एक वृत्त के chords AB और CD, जब बढ़ाए जाते हैं, तो वृत्त के बाहर एक बिंदु P पर मिलते हैं। यदि AB = 6 सेमी, CD = 3 सेमी और PD = 5 सेमी है, तो PB के बराबर है: (a) 6 सेमी (b) 4 सेमी (c) 5 सेमी (d) 6.25 सेमी उत्तर: (b)

दी गई जानकारी: AB = 6 सेमी, CD = 3 सेमी, PD = 5 सेमी मान लीजिए PB की लंबाई x है, PA = (x + 6) और PC = 5 + 3 = 8 सेमी। जैसा कि हम जानते हैं, PB × PA = PD × PC ⇒ x × (x + 6) = 5 × 8 ⇒ x² + 6x - 40 = 0 ⇒ x² - 10x - 40 = 0 ⇒ x (x - 10) - 4 (x + 10) = 0 ⇒ (x - 10) (x - 4) = 0 ⇒ (x - 10) = 0 ⇒ x = -10 [संभावित नहीं] ⇒ (x - 4) = 0 ⇒ x = 4

प्रश्न 5: दिए गए चित्र में, B और C दो वृत्तों के केंद्र हैं। ADE दोनों वृत्तों के लिए सामान्य स्पर्शरेखा है। यदि दोनों वृत्तों की त्रिज्या का अनुपात 3: 5 है और AC = 40 है, तो DE का मान क्या है? (a) 3√15 (b) 5√15 (c) 6√15 (d) 4√15 उत्तर: (d)

उपयोग किया गया सिद्धांत: स्पर्शरेखाएँ हमेशा त्रिज्या के साथ ⊥ होती हैं। गणना: चूंकि दोनों वृत्तों की त्रिज्या का अनुपात 3: 5 है, मान लीजिए DB = 3x और EC = 5x; चूंकि ΔABD और ΔACE समान हैं, AB : AC = 3 : 5; ∴ AB : BC = 3 : 2 ∵ AC = 40 ∴ BC = 2/5 × 40 = 16 ⇒ BC = 3x + 5x = 16 ⇒ x = 2 ∴ BD = 3x = 6 और EC = 5x = 10। ΔAEC एक समकोण त्रिकोण है; AE² = AC² - EC² AE² = 1600 - 100 = 1500 AE = 10√15 चूंकि AD : DE = 3 : 2 ∴ DE = 2/5 × 10√15 = 4√15

प्रश्न 6: यदि D और E त्रिभुज ABC के पक्ष AB और AC पर बिंदु हैं, ऐसा कि DE||BC। यदि AD = x सेमी, DB = (x - 3) सेमी, AE = (x + 3) सेमी और EC = (x - 2) सेमी है, तो x का मान (सेमी में) क्या है? (a) 3 (b) 3.5 (c) 4 (d) 4.5 उत्तर: (d)

दिया गया त्रिभुज नीचे दिखाया गया है। समान त्रिभुजों ∆ABC और ∆ADE पर विचार करते हुए, ⇒ AB/AD = AC/AE ⇒ (AD + DB)/AD = (AE + EC)/AE ⇒ (x + (x - 3))/x = ((x + 3) + (x - 2))/(x + 3) ⇒ (2x - 3)/x = (2x + 1)/(x + 3) ⇒ (2x - 3)(x + 3) = x(2x + 1) ⇒ 2x² + 6x - 3x - 9 = 2x² + x ⇒ 2x = 9 ∴ x = 9/2 = 4.5

प्रश्न 7: ΔABC का परिक्रमण केंद्र O है। यदि ∠BAC = 75° और ∠BCA = 80°, तो ∠OAC का मान (डिग्री में) क्या है? (a) 45 (b) 65 (c) 90 (d) 95 उत्तर: (b)

दिया गया: ΔABC में, ⇒ ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180° ⇒ ∠ABC = 180° - 75° - 80° ⇒ ∠ABC = 25° चूंकि O परिक्रमण केंद्र है ⇒ 2 × ∠ABC = ∠AOC ⇒ ∠AOC = 50° ΔAOC में, AO = OC (वृत्त की त्रिज्या) इसलिए, ΔAOC एक समद्विभाजित Δ है ⇒ ∠OAC + ∠ACO + ∠AOC = 180° ⇒ ∠OAC + ∠ACO = 180° - 50° ⇒ 2 × ∠OAC = 130° ⇒ ∠OAC = 65° ∴ सही विकल्प 2 है।

प्रश्न 8: दिए गए चित्र में, ABC एक त्रिकोण है। आंतरिक DB और बाहरी DC के विभाजक D पर मिलते हैं। यदि ∠BDC = 48°, तो ∠A का मान (डिग्री में) क्या है? (a) 48 (b) 96 (c) 100 (d) 114 उत्तर: (b)

दिया गया: आंतरिक DB और बाहरी DC के विभाजक D पर मिलते हैं। ∠BDC = 48° गणना:

ΔBDC में बाहरी कोण गुणांक का उपयोग करते हुए ⇒ y 48 = x ⇒ x - y = 48° ......(i) ΔABC से, ⇒ ∠ACB = 180 - 2y - ∠A ......(ii) ΔBCD से, ⇒ ∠ACB = 180 - y - x - 48 ......(iii) (ii) और (iii) की तुलना करते हुए ⇒ 180 - 2y - ∠A = 180 - y - x - 48 ⇒ ∠A = x - y 48 का उपयोग करते हुए ⇒ ∠A = 48 48 = 96° ∴ ∠A का मान (डिग्री में) 96° है।

प्रश्न 9: बिंदु P, Q, R, S और T इस क्रम में एक वृत्त पर हैं जिसका केंद्र O है। यदि chord TS व्यास PR के समानांतर है और ∠RQT= 58°, तो ∠RTS का माप (डिग्री में) ज्ञात करें। (a) 45 (b) 29 (c) 32 (d) 58

उत्तर: (c) दिया गया: बिंदु P, Q, R, S और T इस क्रम में एक वृत्त पर हैं। chord TS व्यास PR के समानांतर है। ∠RQT = 58°

• गणना: PR एक व्यास है। ∠PTR = 90° .....(आधा वृत्त में अंकित कोण)
• ∠TPR = 58° .....(समान chord पर निर्मित कोण)
• इसलिए, ∠PRT = 180° - ∠PTR - ∠TPR ⇒ ∠PRT = 180° - 90° - 58° ⇒ ∠PRT = 32°
• ∠PRT = ∠RTS = 32° (वैकल्पिक आंतरिक कोण क्योंकि chord TS व्यास PR के समानांतर है)

∴ ∠RTS का माप 32 है।

प्रश्न 10: दिए गए चित्र में, ΔPQR में एक वृत्त अंकित है जो इसके पक्ष PQ, QR और RP को क्रमशः बिंदुओं S, T और U पर छूता है। यदि PQ = 15 सेमी, QR = 10 सेमी, और RP = 12 सेमी है, तो PS, QT और RU की लंबाई ज्ञात करें। (a) PS = 6.5 सेमी, QT = 8.5 सेमी और RU = 3.5 सेमी (b) PS = 3.5 सेमी, QT = 6.5 सेमी और RU = 8.5 सेमी (c) PS = 8.5 सेमी, QT = 6.5 सेमी और RU = 3.5 सेमी (d) PS = 8.5 सेमी, QT = 3.5 सेमी और RU = 6.5 सेमी

उत्तर: (c) मान लीजिए PS = x सेमी, तो QS = (15 - x) सेमी। PS = PU, QS = QT, RT = RU [टैंगेंट्स] ⇒ QT = (15 - x) सेमी ⇒ RT = 10 - (15 - x) = x - 5 ⇒ RU = (x - 5) ⇒ PU = 12 - x 5 = 17 - x ⇒ 17 - x = x ⇒ 2x = 17 ⇒ x = 17/2 ⇒ x = 8.5 सेमी ⇒ PS = 8.5 ⇒ QT = 15 - 8.5 = 6.5 ⇒ RU = 8.5 - 5 = 3.5।

प्रश्न 11: ΔABC, BE ⊥ AC, CD ⊥ AB और BE तथा CD एक-दूसरे पर O पर मिलते हैं। ∠OBC और ∠OCB के द्विभाजक P पर मिलते हैं। यदि ∠BPC = 148°, तो ∠A का माप क्या है? (a) 28° (b) 32° (c) 64° (d) 56°

उत्तर: (c) जैसा कि हम जानते हैं, ∠BPC = 90° ∠BOC/2 ⇒ 148° = 90° ∠BOC/2 ⇒ ∠BOC/2 = 148° - 90° = 58° ⇒ ∠BOC = 58° × 2 = 116° ⇒ ∠BOC = ∠DOE = 116° [विपरीत कोण]

• चतुर्भुज ADOE में ∠DAE + ∠ADO + ∠DOE + ∠OEA = 360° ⇒ ∠DAE + 90° + 116° + 90° = 360° ⇒ ∠DAE = 360° - 296° = 64°

प्रश्न 12: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण P पर मिलते हैं। यदि AB = BC, ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30°, तो ∠PCD का माप: (a) 50° (b) 35° (c) 55° (d) 30°

उत्तर: (a)

ΔABC में, यदि AB = BC है, तो ∠BAC = ∠BCA = 30° ⇒ ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180° ⇒ ∠ABC = 180° - 30° - 30° = 120° ⇒ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC ⇒ 120° = ∠ABD + ∠DBC ⇒ ∠ABD = 50° जैसा कि हम जानते हैं, ⇒ ∠ABD = ∠ACD = 50° (विभिन्न बिंदुओं से वृत्त की परिधि पर खींचे गए कोण) और हम लिख सकते हैं ∠ACD = ∠PCD या ∠PCD = 50°

प्रश्न 13: एक समभुज त्रिकोण जिसका क्षेत्रफल 300 cm² है, इसके तीन शीर्षों से काटकर एक नियमित षट्कोण बनाया गया है। षट्कोण का क्षेत्रफल त्रिकोण के क्षेत्रफल का कितना प्रतिशत है? (नियमित षट्कोण की प्रत्येक भुजा समभुज त्रिकोण की मूल भुजा का 1/3 है)

• (a) 66.66%
• (b) 33.33%
• (c) 83.33%
• (d) 56.41%

उत्तर: (a) नियमित षट्कोण की प्रत्येक भुजा समभुज त्रिकोण की मूल भुजा का 1/3 है ⇒ नियमित षट्कोण का क्षेत्रफल = (3√3/2) × (भुजा)² ⇒ (3√3/2) × (भुजा के त्रिकोण/3)² ⇒ (√3/6) × भुजा के त्रिकोण² ⇒ (2/3) × (√3/4) × भुजा के त्रिकोण² ⇒ 2/3 × समभुज त्रिकोण का क्षेत्रफल = (2/3) × 100 = 66.66% ∴ आवश्यक प्रतिशत 66.66% है।

प्रश्न 14: ΔXYZ, ΔPQR के समान है। यदि ΔXYZ और ΔPQR की परिधि का अनुपात 4 : 9 है और यदि PQ = 27 cm है, तो XY की लंबाई (सेमी में) क्या है?

• (a) 9
• (b) 12
• (c) 16
• (d) 15

उत्तर: (b) दिया गया है कि ΔXYZ, ΔPQR के समान है। चूंकि वे समान हैं, हम जानते हैं, (ΔXYZ की परिधि)/(ΔPQR की परिधि) = (XY की लंबाई)/(PQ की लंबाई) ΔXYZ और ΔPQR की परिधि का अनुपात 4 : 9 है ⇒ 4/9 = (XY की लंबाई)/27 ⇒ XY की लंबाई = 4/9 × 27 = 12 cm ∴ XY की लंबाई 12 cm है।

प्रश्न 15: दिए गए चित्र में, त्रिकोण ABC इस प्रकार खींचा गया है कि AB एक वृत्त पर A पर स्पर्शरेखा है, जिसकी त्रिज्या 10cm है और BC वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। बिंदु C वृत्त पर है। यदि BC = 36cm और AB = 24cm हो, तो त्रिकोण ABC का क्षेत्रफल (cm² में) क्या है?

• (a) 134.5
• (b) 148
• (c) 166.15
• (d) 180

उत्तर: (c) OA को जोड़ें जहाँ OA = 10 cm है। यहाँ, AO AB के प्रति लंब है ⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = ΔOAB का क्षेत्रफल + ΔAOC का क्षेत्रफल ⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = 1/2(OA)(AB) + 1/2(OC)(OA)sin(∠AOC) ⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = 1/2(10)(24) + 1/2(10)(10)sin(∠AOC) ⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = 120 + 50sin(∠AOC) समकोणीय ΔOAB में ⇒ tan(∠AOB) = 24/10 = 12/5 ⇒ ∠AOB = 67.38° इसलिए, ∠AOC = 180° - 67.38° = 112.62° इस प्रकार, ΔABC का क्षेत्रफल = 120 + 50(0.93) = 120 + 46.15 = 166.15 ∴ त्रिकोण ABC का क्षेत्रफल (cm² में) 166.15 है।