ज्यामिति प्रश्नों के साथ उत्तर - 3

प्रश्न 21: 6 सेमी के किनारे वाले समचतुर्भुज का एक कोण नियमित अष्टकोण के बाहरी कोण के बराबर है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ए. 18√2 सेमी²

बी. 9√2 सेमी²

सी. 15√2 सेमी²

डी. 12√2 सेमी²

उत्तर: 18√2 सेमी²

व्याख्या:

• समचतुर्भुज का किनारा 's' = 6 सेमी
• किनारों के बीच का कोण 'a' = अष्टकोण का बाहरी कोण
• इसलिए, a = 45 डिग्री
• समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = sin a * s²
• क्षेत्रफल = (1/√2) * 36
• क्षेत्रफल = 18√2 सेमी²

प्रश्न है "समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।"

इसलिए, उत्तर है 18√2 सेमी².

विकल्प A सही उत्तर है।

प्रश्न 22: 2 के किनारे वाले वर्ग में एक वृत्त अंकित है और उसके भीतर एक समबाहु त्रिकोण अंकित है। समबाहु त्रिकोण के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात क्या है?

ए. 9√3 : 16

बी. 3√3 : 4

सी. 9√3 : 4

डी. 3√3 : 16

उत्तर: 3√3 : 16

वृत्त की त्रिज्या 1 इकाई है। यदि हम समबाहु त्रिकोण का किनारा 'a' मान लें, तो समबाहु त्रिकोण की बाह्य त्रिज्या है

इसलिए, a = √3

तो, समबाहु त्रिकोण के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात है

प्रश्न है "समबाहु त्रिकोण के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात क्या है?"

इसलिए, उत्तर है 3√3 : 16 इकाइयाँ

विकल्प D सही उत्तर है।

प्रश्न 23: एक तीव्रकोण समबाहु त्रिकोण के दो किनारे 10 और 16 के बराबर हैं। इस त्रिकोण का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ए. √231 इकाइयाँ

बी. 12√66 इकाइयाँ

सी. 24 इकाइयाँ

डी. 5√231 इकाइयाँ

उत्तर: 5√231 इकाइयाँ

व्याख्या।

तीसरी भुजा या तो 10 है या 16 और दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग से बड़ा होना चाहिए। 102 102 < 162="" इसलिए,="" त्रिकोण="" की="" तीसरी="" भुजा="" 16="" है।="" अर्धपरिमाप,="" s="(10" +="" 16="" +="" 16)/2="21" क्षेत्रफल="√(21(21-16)(21-16)(21-10))" =="" √(21="" *="" 5="" *="" 5="" *="" 11)="5√231">

प्रश्न है "इस त्रिकोण का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।"

अतः, उत्तर है 5√231 इकाइयाँ।

प्रश्न 24: तीन समान वृत्तों को एक समभुज त्रिकोण के अंदर इस प्रकार रखा गया है कि कोई भी वृत्त समभुज त्रिकोण की दो भुजाओं और दो अन्य वृत्तों के प्रति स्पर्शकारी है। एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात समभुज त्रिकोण के क्षेत्रफल के साथ क्या है?

A. π : (6 + 4√3)

B. 3π : (6 + 4√3)

C. 2π : (6 + 4√3)

D. π : (6 + 2√3)

उत्तर। π : (6 + 4√3)

मान लें कि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या 'a' है। PQ की दूरी = 2a। PM को AB पर लंबवत खींचें ∠MAP = 30°

MP = a, AM = a√3 इसके बाद हम समाप्त करते हैं। वृत्त का क्षेत्रफल = πa² समभुज त्रिकोण का क्षेत्रफल

= a² (6 + 4√3) अनुपात = π : (6 + 4√3)

प्रश्न है "एक वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात समभुज त्रिकोण के क्षेत्रफल के साथ क्या है?"

अतः, उत्तर है π : (6 + 4√3)

प्रश्न 25: एक समभुज त्रिकोण के अंदर एक वर्ग अंकित है। वर्ग की एक भुजा समभुज △ की एक भुजा पर है। वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात समभुज त्रिकोण के क्षेत्रफल के साथ क्या है?

A. √3 : (5 + 4√3)

B. 2√3 : (7 + 4√3)

C. 4√3 : (7 + 4√3)

D. 4√3 : (5 + 2√3)

उत्तर। 4√3 : (7 + 4√3)

वर्ग का एक पक्ष 'a' मानते हैं। MN = LP = a, ∠ABC = 60°

ML = a। BL (इसके लिए कुछ त्रिकोणमिति का उपयोग करें)

वर्ग का क्षेत्रफल = a² समकोण त्रिकोण का क्षेत्रफल

अनुपात = 4√3 : (7 4√3)

प्रश्न है "वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात समकोण त्रिकोण के क्षेत्रफल से क्या है?"

इसलिए, उत्तर है 4√3 : (7 4√3)

विकल्प C सही उत्तर है।

प्रश्न 26: वर्ग S जो वृत्त C में अंतर्निहित है, S और Q के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है? और, वृत्त C जो वर्ग S में अंतर्निहित है, S और Q के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है?

A. 2:π, 4:π

B. 4:π, 2:π

C. 1:π, 4:π

D. 2:π, 1:π

उत्तर। 2:π, 4:π

यदि वर्ग वृत्त के अंदर है, तो वर्ग के क्षेत्र का अनुपात वृत्त के क्षेत्र से 2 : π है।

यदि वृत्त वर्ग के अंदर है, तो वर्ग के क्षेत्र का अनुपात वृत्त के क्षेत्र से 4 : π है। याद रखें, वृत्त का क्षेत्र π के साथ जाता है, वर्ग का क्षेत्र संख्या के साथ।

यदि वर्ग वृत्त के अंदर है, तो वर्ग के क्षेत्र का अनुपात वृत्त के क्षेत्र से 2 : π है। यदि वृत्त वर्ग के अंदर है, तो वर्ग के क्षेत्र का अनुपात वृत्त के क्षेत्र से 4 : π है।

प्रश्न है "S और Q के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है? और S और Q के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है?"

इसलिए, उत्तर है 2:π, 4:π।

प्रश्न 27: समकोण त्रिकोण T जो वृत्त C में अंतर्निहित है, T और C के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है? समकोण त्रिकोण T में वृत्त C अंतर्निहित है, T और C के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है?

A. 3√3:π , 3√3:16π

B. 3√3:4π , 3√3:π

C. √3:π , 3√3:4π

D. √3:π , √3:16π

उत्तर: 3√3:4π , 3√3:π

किसी भी समभुज त्रिकोण की भुजा 'a' हो

अंतरक = और परिकेंद्र =

छोटे वृत्त का क्षेत्रफल

बड़े वृत्त का क्षेत्रफल

जब समभुज त्रिकोण T वृत्त C में अंकित हो, तब T और C के क्षेत्रों का अनुपात :: 3√3:4π जब वृत्त C समभुज त्रिकोण T में अंकित हो, तब T और C के क्षेत्रों का अनुपात :: 3√3:π

प्रश्न है "समभुज त्रिकोण T को वृत्त C में अंकित करें, T और C के क्षेत्रों का अनुपात क्या है? वृत्त C को समभुज त्रिकोण T में अंकित करें, T और C के क्षेत्रों का अनुपात क्या है?"

इसलिए, उत्तर है 3√3:4π , 3√3:π

विकल्प B सही उत्तर है।

प्रश्न 28: नियमित षट्भुज H को वृत्त C में अंकित करें, H और C के क्षेत्रों का अनुपात क्या है? वृत्त C को नियमित षट्भुज H में अंकित करें, H और C के क्षेत्रों का अनुपात क्या है?

• A. 2√3 : 3π , 3√3 : 4π
• B. 3√3 : π , 3√3 : 4π
• C. 3√3 : 2π, 2√3 : π
• D. √3 : π , √3 : 4π

उत्तर: 3√3 : 2π, 2√3 : π

अंतरक = समभुज त्रिकोण की ऊँचाई जो कि a = √3a/2 है

परिकेंद्र = a. नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल = 6 * √3a²/4 छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = π ∗ √3a/2 ∗ √3a/2 = 3πa²/4 बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = πa² जब षट्भुज H वृत्त C में अंकित हो, तब H और C के क्षेत्रों का अनुपात :: 3√3 : 2π जब वृत्त C नियमित षट्भुज H में अंकित हो, तब H और C के क्षेत्रों का अनुपात :: 2√3 : π

प्रश्न है "नियमित षट्भुज H को वृत्त C में अंकित करें, H और C के क्षेत्रों का अनुपात क्या है? वृत्त C को नियमित षट्भुज H में अंकित करें, H और C के क्षेत्रों का अनुपात क्या है?"

इसलिए, उत्तर है 3√3 : 2π, 2√3 : π।

प्रश्न 29: एक त्रिकोण के ऑर्थोसेंटर और सर्कमसेंटर के बीच की दूरी क्या है, जिसकी भुजाएँ 24 सेमी, 26 सेमी और 10 सेमी हैं?

A. 13 सेमी

B. 12 सेमी

C. 7.5 सेमी

D. √30 सेमी

उत्तर: 13 सेमी

भुजाएँ 24 सेमी, 26 सेमी और 10 सेमी हैं। 10, 24, 26 एक पाइथागोरियन ट्रिपल है! इसलिए, हम एक समकोण त्रिकोण के बारे में बात कर रहे हैं। सर्कमसेंटर प्राप्त करने के लिए लम्बवत बाइसेक्टर(draw) बनाएं। ऑर्थोसेंटर वह बिंदु है जहाँ सभी ऊँचाई मिलती हैं। समकोण त्रिकोण में, यह वह शीर्षक है जो 90 डिग्री का कोण बनाता है।

अब OC खोजना आसान है! यह बने आयत का विकर्ण है। लंबाई = 12 सेमी, चौड़ाई = 5 सेमी विकर्ण = √(122 + 52) = 13

प्रश्न है "एक त्रिकोण के ऑर्थोसेंटर और सर्कमसेंटर के बीच की दूरी क्या है, जिसकी भुजाएँ 24 सेमी, 26 सेमी और 10 सेमी हैं?"

इसलिए, उत्तर है 13 सेमी।

प्रश्न 30: दो वृत्त जिनके केंद्र O1 और O2 हैं, एक बिंदु R पर बाहरी रूप से एक-दूसरे को छूते हैं। AB एक स्पर्श रेखा है जो दोनों वृत्तों को R पर छूती है। P'Q' एक और स्पर्श रेखा है जो उन्हें P और Q पर छूती है और AB को S पर काटती है। PQ की लंबाई 6 सेमी है और बिंदु S वृत्तों के केंद्रों से 5 सेमी और 4 सेमी की दूरी पर है। त्रिकोण SO1O2 का क्षेत्रफल क्या है?

A. 9 सेमी²

B. 3(4 √7)/2 सेमी²

C. 27/2 सेमी²

D. (3√41)/2 सेमी²

उत्तर: 3(4 √7)/2 सेमी²

चित्र से हम देखते हैं कि SP, SR एक ही बिंदु S से वृत्त1 के लिए स्पर्श रेखाएँ हैं। इसी तरह SR, SQ एक ही बिंदु से वृत्त 2 के लिए स्पर्श रेखाएँ हैं। SP = SR; SQ = SR का मतलब SP = SQ है। दिया गया PQ = 6 सेमी, SP SQ = 6। इसलिए SR = SP = SQ = 3 सेमी। SR त्रिकोण SO1O2 की ऊँचाई है। हमें क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए आधार O1O2 की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। O1RS एक समकोण त्रिकोण है जिसकी कर्ण = 5 और एक भुजा = 3 है। इसलिए, O1R = √(52 - 32) = 4 सेमी। इसी तरह, O2RS एक समकोण त्रिकोण है जिसकी कर्ण = 4 और एक भुजा = 3 है। इसलिए, O2R = √(42 - 32) = √7 सेमी। O1O2 = O1R + O2R = 4 + √7। त्रिकोण SO1O2 का क्षेत्रफल = 1/2 * SR * O1O2 = 1/2 * 3 * (4√7) सेमी²।

प्रश्न है "त्रिभुज SO1O2 का क्षेत्रफल क्या है?"

इसलिए, उत्तर है 3(4 √7)/2 cm².