Test: Probability (संभावना) - SSC MCQ

प्रयुक्त सूत्र:
1. घटना के घटित होने की प्रायिकता:

जहाँ,
n(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या
n(S) = संभावित परिणामों की संख्या
2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

गणना:
पान आने की प्रायिकता
P(A) = 13/52 
बादशाह आने की प्रायिकता
P(B) = 4/52
पान का बादशाह आने की प्रायिकता
P(A ∩ B) = 1/52
हम जानते हैं कि,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 13/52 + 4/52 - 1/52
P(A ∪ B) = (13+4-1)/51 = 16/52
P(A ∪ B) = 4/13
∴ अभीष्ट प्रायिकता 4/13 होगी।

जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या,
{(1,1)     (1,2)       (1,3)       (1,4)       (1,5)       (1,6)
(2,1)       (2,2)       (2,3)       (2,4)       (2,5)       (2,6)
(3,1)       (3,2)       (3,3)       (3,4)       (3,5)       (3,6)
(4,1)       (4,2)       (4,3)       (4,4)       (4,5)       (4,6)
(5,1)       (5,2)       (5,3)       (5,4)       (5,5)       (5,6)
(6,1)       (6,2)       (6,3)       (6,4)       (6,5)       (6,6)}
∴ n(S) = 6 × 6 = 36
दोनों पासों पर समान अंक प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम है:
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
∴ अभीष्ट प्रायिकता =  6/36
= 1/6

अवधारणा:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A  ∩ B)
P(A U B) = 3/4,
P(A ∩ B) = 1/4,
P(A̅) = 2/3

चूँकि, P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A  ∩ B)

संकल्पना:
स्वतंत्र घटनाएँ:
दो घटनाएं स्वतंत्र तब होती हैं यदि एक घटना का घटित होना दूसरी घटना की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं डालता है। 
यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B) है। 

गणना:
दिया गया है: P(B) = 0.4 और P(A ∪ B) = 0.6 
P(A ∪ B) = 0.6
⇒ P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.6
⇒ P(A) + P(B) - P(A) × P(B) = 0.6    (∵ A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं।)
⇒ P(B) + P(A) [1 - P(B)] = 0.6
⇒ 0.4 + P(A) [1 - 0.4] = 0.6
⇒ P(A) × 0.6 = 0.2 

1) संयोजन: दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं का चयन करना।

• दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं के चयनों की संख्या को ⁿC_r द्वारा निरूपित किया जाता है
• 

2) किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 

टिप्पणी: संयोजन का उपयोग करें यदि कोई समस्या वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या के लिए कहती है।
गणना:
दिया हुआ:
एक कमरे में आठ जोड़े हैं।
⇒ आठ जोड़े = 16 लोग
हमें 16 लोगों में से चार लोगों का चयन करना है
⇒ कुल संभव स्थितियां = ¹⁶C₄
अब हमें चार लोगों का चयन करना होगा, वे युगल हो सकते हैं
इसलिए हमें आठ जोड़ों में से दो जोड़ों का चयन करना होगा
⇒ अनुकूल स्थितियां = ⁸C₂
इसलिए आवश्यक प्रायिकता 

संकल्पना:
नमूना स्थान और कुछ नहीं बल्कि प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का एक समुच्चय है।
यदि हम एक सिक्का n बार उछालते हैं तो संभावित परिणाम या नमूना अंतरिक्ष में तत्वों की संख्या = 2ⁿ तत्व

गणना:
जब सिक्का उछाला जाता है तो परिणामों की संख्या = 2 (हेड या टेल)
∴ जब एक सिक्का 6 बार उछाला जाता है तो संभावित परिणाम = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2: 64

संकल्पना:
पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय = n^r
जहां n पुनरावृत्ति की अनुमति होने पर r विभिन्न वस्तुओं में से चुनने के लिए वस्तुओं की संख्या है, और आदेश मायने रखता है।
अनुकूल स्थितियाँ   = कुल स्थितियाँ   - प्रतिकूल स्थितियाँ   

गणना​:
प्रश्न के अनुसार
चार पासे लुढ़काएं जाते हैं
अतः, परिणामों की कुल संभावित संख्या = 6⁴
अब, कुल परिणाम जब कोई 2 दिखाई नहीं देता है = 5⁴
अब, प्रयुक्त अवधारणा से
अनुकूल स्थितियाँ  = 6⁴ - 5⁴
⇒ 1296 - 625
⇒  671
∴ संभावित परिणामों की संख्या जिसमें कम से कम एक पासा 2, 671 दर्शाता है।

संकल्पना:

• 
• 
• A ⊂ B = उचित उपसमुच्चय: A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।
• ϕ = रिक्त समुच्चय = {}

गणना:
दिया गया है: P(B/A) = 1

⇒ P(A ∩ B) = P(A)
⇒ (A ∩ B) = A

इसलिए A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।
∴ A ⊂ B

संकल्पना:

जहाँ n(A) = घटना A के लिए अनुकूल मामलों की संख्या और n(S) = प्रतिदर्श समष्टि की गणन-संख्या।

समाधान:
यदि एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम हैं:
S = {HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT, TTT}
एक या दो शीर्ष आने की प्रायिकता:
A = {HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT}
P(A) = 6/8
= 3/4

संकल्पना:

• दो घटनाओं, A और B, के लिए: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) है।
• यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

गणना:
उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करना क्योंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, हम लिख सकते हैं:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)
⇒ 0.7 = 0.4 + P - 0.4 × P
⇒ 0.6P =0.3
⇒ P = 0.5