Test: Geometry (ज्यामिति) - SSC MCQ

A(4, 1), B(1, 1) और C(3, 5) त्रिभुज के तीन शीर्ष है। फिर,
⇒ AB² = (1 - 1)² + (1 - 4)² = 9
⇒ BC² = (5 - 1)² + (3 - 1)² = 20
⇒ AC² = (5 - 1)² + (3 - 4)² = 17
चूंकि, सभी 3 पक्षों की लंबाई अलग-अलग है, इसलिए यह एक विषमभुज त्रिभुज है।

दिया है :
एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योगफल 1620° है।
उपयोग किया गया सूत्र :
एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योगफल = (n – 2) × 180°
जहाँ n भुजाओं की संख्या है।
गणना :
सूत्र लागु करने पर :
1620° = (n – 2) × 180°
⇒ (n – 2) = 1620°/180°
⇒ (n – 2) = 9
⇒ n = 11
इस प्रकार,
भुजाओं की संख्या = 11

दिया गया है:
ΔPQR ∼ ΔDEF
Δ​PQR और ΔDEF की भुजाएं 5 ∶ 6 के अनुपात में हैं।
क्षेत्रफल(PQR) = 75 सेमी²
प्रयुक्त सूत्र:
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
गणना:
ΔPQR ∼ ΔDEF
क्षेत्रफल(PQR)/क्षेत्रफल(DEF) = (ΔPQR की भुजा/ΔDEF की भुजा)²
⇒ 75/क्षेत्रफल(DEF) = (5/6)²
⇒ क्षेत्रफल(DEF) = 108 सेमी²
∴ ΔDEF का क्षेत्रफल 108 सेमी² के बराबर है।

दिया है:-
त्रिभुज के शीर्ष = (1,2), (-4,-3), (4,1)
प्रयुक्त सूत्र:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]
जिनके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हैं
गणना :
⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × [1(-3 – 1) + (-4) (1 – 2) + 4{2 – (-3)}]
= (1/2) × {(-4) + 4 + 20}
= 20/2
= 10 वर्ग इकाई

अवधारणा:
न्यून कोण: न्यून कोण वह कोण होता है जिसकी माप 90° से कम होती है।
समकोण: समकोण वह कोण होता है जो बिल्कुल 90° के बराबर होता है।
अधिककोण: अधिककोण वह कोण होता है जो हमेशा 90° से अधिक लेकिन 180° से कम होता है।
शीर्षाभिमुख कोण:
जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो प्रतिच्छेदन के कारण बनने वाले विपरीत कोणों को ऊर्ध्वाधर कोण या शीर्षाभिमुख कोण कहते हैं।
गणना:
शब्द 'ONE' के बीच वाले अक्षर द्वारा बनाया गया कोण न्यून कोण है।
सही विकल्प 1, अर्थात् न्यून कोण है।

दिया गया है:
A अपने कोटिपूरक कोण से 26° अधिक है।
B अपने संपूरक कोण से 30° कम है।
प्रयुक्त अवधारणा:
कोटिपूरक कोण वे कोण हैं जिनका योग 90° है
संपूरक कोण वे हैं जिनका योग 180° है
गणना:
A + A - 26 = 90
⇒ 2A = 116
⇒ A = 58
B + B + 30 = 180
⇒ 2B = 150
⇒ B = 75
इसलिए,
A - B
⇒ 58 - 75
⇒ - 17
∴ अभीष्ट मान -17 है 

दिया गया है:
संपूरक कोणों में से एक 130° है।
प्रयुक्त अवधारणा:
संपूरक कोण के लिए: दो कोणों का योग 180° होता है।
पूरक कोण के लिए: दो कोणों का योग 90° होता है।
गणना:
130° का संपूरक कोण = 180° - 130° = 50°
50° का पूरक कोण = 90° - 50° = 40°
∴ 130° के संपूरक कोण का पूरक कोण 40° है।

दिया गया है:
LC = 6, CD = 11, LB = 4 और AB = x 
प्रयुक्त सूत्र:
LC × LD = LB × AL 
गणना:
प्रश्न के अनुसार
LC × LD = LB × AL 
6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 
⇒ 4 + x = 51/2 
⇒ 4 + x = 25.5 
⇒ x = AB = 21.5 
∴ AB की लंबाई 21.5 सेमी है।

तिर्यक प्रमेय
यदि एक वृत्त की जीवा AB और जीवा CD एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो
PA × PB = PC × PD
गणना:

माना वृत्त की त्रिज्या = r 
⇒ 8 × 20 = (18 - r) × (18 + r)
⇒ 160 = 324 - r2
⇒ r² = 164
⇒ r = 12.8062 
∴ वृत्त की त्रिज्या 12.8 सेमी के निकटतम है। 

हम जानते हैं,
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लम्बाई = √[d² - (R - r)²]
जहाँ d वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी तथा R और r वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं
PQ = √[(R + r)² - (R - r)²]
⇒ PQ = √[R² + r² + 2Rr - (R² + r² - 2Rr)]
⇒ PQ = √4Rr
⇒ PQ² = 4Rr