Test: Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति) - SSC MCQ

दिया गया:
बिंदुओं (4, 4) और (6, 8) को मिलाने वाली रेखा
प्रयुक्त सूत्र :
बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) = (y2 - y1)/(x2 - x1) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता 
गणना:
हम जानते हैं कि,
बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) = (y2 - y1)/(x2 - x1) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता 
⇒ बिंदुओं (4, 4) और (6, 8) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता 
⇒ (8 - 4)/(6 - 4) = 4/2 = 2
∴ बिन्दुओं (4, 4) और (6, 8) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता 2 है।

दिया गया है:
वक्र 5x + 6y - 30, एक रैखिक समीकरण है।
अवधारणा:
अंतःखंड अक्ष पर एक रेखा द्वारा छायांकित भाग होता है
या जहाँ रेखा अक्ष को काटती है।
इसलिए, माना रेखा x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर काटती है, याद रखिये कि संपूर्ण x-अक्ष पर y हमेशा शून्य रहेगा।
गणना:
समीकरण को शून्य के बराबर रखिए,
⇒ 5x + 6y - 30 = 0
⇒ 5x + 6y = 30
x-अंतःखंड के लिए, समीकरण में y = 0 रखिए,
⇒ 5x = 30
⇒ x = 6
∴ समीकरण का x-अंतःखंड = 6

A(4, 1), B(1, 1) और C(3, 5) त्रिभुज के तीन शीर्ष है। फिर,
⇒ AB² = (1 - 1)² + (1 - 4)² = 9
⇒ BC² = (5 - 1)² + (3 - 1)² = 20
⇒ AC² = (5 - 1)² + (3 - 4)² = 17
चूंकि, सभी 3 पक्षों की लंबाई अलग-अलग है, इसलिए यह एक विषमभुज त्रिभुज है।

नौ बिंदु वाला वृत्त प्रमेय कहता है कि मान लीजिए कि ABC एक त्रिभुज है, मान लीजिए M_A, BC का मध्य बिंदु है, M_B AC का मध्य बिंदु है और M_C AB का मध्य बिंदु है, P_A BC पर लंबवत है, P_B AC पर लंबवत है और P_C AB पर लंबवत हो। D तीन ऊँचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु हो। Q_A  AD का मध्य बिंदु हो, Q_B BD का मध्य बिंदु हो और Q_C CD का मध्य बिंदु हो तो ये नौ बिंदु M_A, M_B, M_C, P_A, P_B, P_C, Q_A, Q_B, Q_C सभी वृत्त पर स्थित होते हैं और वृत्त का केंद्र (A + B + C + D)/4 होता है।
∴  विकल्प 3 सही है।

दिया गया है:
बिंदु (6, 4) और (8, 19) हैं।
प्रयुक्त सूत्र:
दो बिंदुओं P (x₁, y₁) और Q (x₂, y₂) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:
PQ = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
गणना:
यहाँ, (x₁ ​= 6, y₁ =  4) और (x₂ = 8, y₂ = 19)
सूत्र के अनुसार,
दूरी = √{(8 - 6)² + (19 - 4)²}
⇒ √{(2)² + (15)²}
⇒ √{4 +225}
⇒ √229
∴ दो बिंदुओं के बीच की दूरी √229 है।

दिया है:-
त्रिभुज के शीर्ष = (1,2), (-4,-3), (4,1)
प्रयुक्त सूत्र:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]
जिनके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हैं
गणना :
⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × [1(-3 – 1) + (-4) (1 – 2) + 4{2 – (-3)}]
= (1/2) × {(-4) + 4 + 20}
= 20/2
= 10 वर्ग इकाई

⇒ अन्तः विभाजन के लिए खंड सूत्र = {[(mx₂ + nx₁)/(m + n)], [(my₂ + ny₁)/(m + n)]}
⇒ यहाँ, x₁, y₁ = (- 1, 0) और x₂, y₂ = (2, 6). m : n = 2 : 1
⇒ [(2 × 2) + (1 × - 1)]/(2 + 1), [(2 × 6) + (1 × 0)]/(2 + 1) = (1, 4)
∴ बिन्दुओं (- 1, 0) और (2, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु (1, 4) है।

जैसा कि हम जानते हैं,
त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष हैं (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) = 1/2 × [x1 (y₂ – y₃) + x2(y₃ – y₁) + x3 (y₁ – y₂)]
त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष हैं A(-4, -2), B(-3, -5) और C(3, -2)
⇒ 1/2 × [{(-4) × (-3)} + {(-3) × 0} + {3 × 3}]
⇒ 1/2 × [12 + 0 + 9]
⇒ (1/2) × 21
⇒ 10.5 वर्ग इकाई

दिया गया है:
रेखाएँ हैं 2x + 5y = 12    ----(i)
x + y = 3     ----(ii)
और x अक्ष अर्थात् y = 0
गणना:
हम समीकरण (i) और (ii) का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त करते हैं
(2x + 5y) - (2x + 2y) = 12 - 2 × 3
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2 
(ii) से, हम प्राप्त करते हैं
⇒ x = 1
समीकरण (i) और (ii) का प्रतिच्छेदन बिंदु (1, 2) है
समीकरण (i) और x-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु (6, 0) है
समीकरण (ii) और x अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु (3, 0) है

आलेख से हमें त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है
आधार (AB) = 6 - 3 = 3 इकाई
ऊँचाई (CM) = Y-निर्देशांक = 2 इकाई
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = (1/2) × 3 × 2 = 3 वर्ग इकाई

दिए गये बिंदु एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसका आधार 6 इकाई है और ऊंचाई 8 इकाई है।
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल
= (आधार × ऊंचाई) /2
= (6 × 8) /2 = 24 वर्ग इकाई

प्रयुक्त सूत्र:
त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष बिन्दु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) पर हैं = (1/2) × [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]
गणना:
शीर्ष (3, 4), (-3, 4) और (-3, -4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल
⇒ (1/2) × [3(4 - (-4)) + (-3)(-4 - 4) + (-3)(4 - 4)]
⇒ (1/2) × [3(8) + (-3)(-8) + 0]
⇒ (1/2) × [24 +24]
⇒ 24
∴ सही उत्तर 24 है।