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SSC Exam  >  SSC Tests  >  Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - SSC MCQ

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - SSC MCQ


Test Description

15 Questions MCQ Test - Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ)

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) for SSC 2024 is part of SSC preparation. The Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) questions and answers have been prepared according to the SSC exam syllabus.The Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) MCQs are made for SSC 2024 Exam. Find important definitions, questions, notes, meanings, examples, exercises, MCQs and online tests for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) below.
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Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 1
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दी गई आकृति में AB केंद्र O वाले वृत्त का व्यास है और AT एक स्पर्श रेखा है, यदि ∠AOQ = 94° है, तो ∠ATQ कितना है?

Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 1

दिया गया है:
∠AOQ = 94°

प्रयुक्त अवधारणा:
जब एक त्रिज्या स्पर्शरेखा के एक बिंदु पर खींची जाती है, तो बनने वाला कोण हमेशा एक समकोण (90 डिग्री) कोण होता है।

गणना:

दी गई आकृति में,
∠ATQ = ∠ATB
∠BAT = 90°
OB = OQ   [वृत्त की त्रिज्या]
इसलिए, ∠BOQ = ∠OQB
अब,
चूँकि ∠AOQ = 94°
इसलिए, ∠BOQ = 86°

तो, ∠BOQ = ∠OQB = (180 - 86)/2
⇒ 47°
इसलिए, ∠ATQ = (180 - 90 - 47)
⇒ 43°
∴ ∠ATQ का मान 43° है।

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 2
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दिए गए चित्र में QR = 4 सेमी, QP = 8 सेमी, और OP = 12 सेमी है। QS का मान ज्ञात कीजिए।

Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 2

दिया गया है:
QR = 4 सेमी, QP = 8 सेमी, और OP = 12 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:
QR × QS = QP  × QO

गणना:
मान लीजिए RS = x सेमी
4 × (4 + x) = 8  × (8 + 12)
⇒ 4 + x = 40
⇒ x = 36 सेमी
QS का मान = QR + RS
⇒ 36 + 4 = 40 सेमी
QS का मान = 40 सेमी

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Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 3
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दी गई आकृति में, केंद्र O वाले वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। केंद्र P वाले वृत्त की त्रिज्या x है। STR बिंदुओं R और S पर दोनों वृत्तों के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। RT = 16 सेमी और TS = 24 सेमी है। x का मान (सेमी में) क्या है?

Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 3

दिया है:
O केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। 
STR बिंदुओं R और S पर दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है
RT = 16 सेमी
TS = 24 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:
जब दो रेखाएं एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं तो एकान्तर कोण हमेशा बराबर होते हैं। 

गणना:
जैसा कि हम देख सकते हैं, रेखा RS और रेखा OP एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं
⇒ इसलिए,  ∠RTO = ​​ STP
माना  ∠RTO. x है 
ΔROT में
⇒ tan x = RO/RT = 10/16
इसी प्रकार,
Δ STP में
⇒ tan x = SP/ST = x/24
चूँकि दोनों कोण बराबर हैं, इसलिए हम पाते हैं, 
⇒ 10/16 = x/24

⇒ अत: केंद्र P वाले वृत्त की त्रिज्या 15 सेमी है।

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 4
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एक वृत्त की जीवा AB और व्यास CD, वृत्त के बाहर, बिंदु P पर मिलते हैं जब वृत्त का निर्माण होता है, यदि PB = 8 सेमी, AB = 12 सेमी और वृत्त के केंद्र से P की दूरी 18 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या (सेमी में) किसके निकटतम है?
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 4

अवधारणा:
तिर्यक प्रमेय 
यदि एक वृत्त की जीवा AB और जीवा CD एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो
PA × PB = PC × PD

गणना:

माना वृत्त की त्रिज्या = r 
⇒ 8 × 20 = (18 - r) × (18 + r)
⇒ 160 = 324 - r2
⇒ r2 = 164
⇒ r = 12.8062 
∴ वृत्त की त्रिज्या 12.8 सेमी के निकटतम है। 

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 5
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ΔABC के परिकेन्द्र I से BC पर लंब ID खींचा जाता है। यदि ∠BAC = 60°, तो ∠BID का मान है
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 5

दिया गया है:
∠BAC = 60°

प्रयुक्त अवधारणा:
एक वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर उसके द्वारा बनाए गए किसी भी बिंदु पर कोण का दोगुना होता है।

गणना:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 
∴ ∠BID = ∠DIC = 120°/2 = 60° 

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 6
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दिए गए चित्र में, O वृत्त का केंद्र है तो OP||QR है, QR वृत्त की स्पर्श-रेखा है और OP = 6 सेमी है, ∆OPR का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 6


OP||QR (दिया है)
⇒ बिंदु P को बिंदु S तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि QR = OS
अतः आयत QRSO का निर्माण होता है
⇒ OQ = SR = 6 सेमी (∆OPR की ऊंचाई)
⇒ OP = 6 सेमी = ∆OPR का आधार
⇒ ∆OPR का क्षेत्रफल = 1/2 × 6 × 6 = 18 सेमी2

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 7
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दी गयी आकृति में ∠BOQ = 60° है और AB वृत्त का व्यास है। ∠ABO का मान ज्ञात कीजिये।
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 7

प्रमेय के अनुसार, अर्द्ध वृत्त में कोण समकोण होता है,
⇒ ∠BOA = 90°
प्रमेय: वैकल्पिक खंड प्रमेय के अनुसार संपर्क बिंदु के माध्यम से स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर है।
⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°
चूँकि, त्रिभुज में सभी कोणों का योग 180° होता है  
⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 60° – 90° = 30°

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 8
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एक वृत्त में, जीवा PQ और TS को इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि वे R पर मिलती हैं। यदि RQ = 14.4 सेमी, PQ = 11.2 सेमी, और SR = 12.8 सेमी है, तो जीवा TS  की लम्बाई कितनी होगी?
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 8


RP = RQ + PQ = 14.4 + 11.2 = 25.6
जैसा कि हम जानते हैं,
RP × RQ = RT × RS
⇒ 25.6 × 14.4 = RT × 12.8
⇒ RT = 28.8 सेमी
अब, TS = RT – RS = 28.8 – 12.8 = 16 सेमी

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 9
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दी गई आकृति में OP और OQ केंद्र O वाले एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। यदि त्रिज्या 2 सेमी है और यह केंद्र पर 2θ का कोण बनाती है, (θ< 45°)। जीवा PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 9

दिया गया है:
OP और OQ केंद्र O वाले एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
त्रिज्या 2 सेमी है और यह केंद्र में 2θ का कोण बनाती है, (θ

प्रयुक्त अवधारणा:

sin नियम का उपयोग करके हम PQ के मान का मूल्यांकन कर सकते हैं।
⇒ Sin (90° - θ) = Cos θ

प्रयुक्त सूत्र:
Sin2θ = 2 SinθCos θ

गणना:
∠OPQ = (180° - 2θ) / 2
⇒ 90° - θ 
प्रश्नानुसार,
PQ / OP = Sin2θ / Sin(90° - θ)
⇒ PQ / 2 =  2 Sinθ Cos θ / Cosθ
⇒ PQ = 4 Sinθ 
जीवा PQ की लंबाई 4Sinθ है।

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 10
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दी गयी आकृति में O वृत्त का केंद्र है। ∠PQO = 36° और ∠PRO = 32° है। ∠QOR का मान ज्ञात कीजिए।
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 10

दिया गया है:
O वृत्त का केंद्र है।
∠PQO = 36° और ∠PRO = 32° 

प्रयुक्त अवधारणा​:
PO को मिलाइए।
तब, PO = OR = OQ [ वृत्त की त्रिज्या]
केन्द्र पर बना कोण, चाप पर बने कोण से दोगुना होता है।

गणना:
∠PQO = ∠QPO = 36°
पुनः, ∠OPR =  ∠ORP = 32°
इसलिए,  ∠QPR = ∠QPO + ∠OPR 
⇒ 36 + 32 = 68°
इसलिए, ∠QOR = 2 × ∠QPR
⇒ 2 × 68° = 136°  
∠QOR का मान 136° है।

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 11
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दो वृत्त बाह्यतः एक दूसरे को बिंदु X पर स्पर्श करते हैं। PQ दोनों वृत्तों के लिए सामान्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है जो वृत्तों को बिंदु P और बिंदु Q पर स्पर्श करती है। यदि वृत्तों की त्रिज्या R और r हैं, तब PQ2 ज्ञात कीजिये।
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 11


हम जानते हैं,
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लम्बाई = √[d2 - (R - r)2]
जहाँ d वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी तथा R और r वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं
PQ = √[(R + r)2 - (R - r)2]
⇒ PQ = √[R2 + r2 + 2Rr - (R2 + r2 - 2Rr)]
⇒ PQ = √4Rr
⇒ PQ2 = 4Rr

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 12
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दी गई आकृति में, जीवा AB और CD बिंदु L पर एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 12

दिया गया है:
LC = 6, CD = 11, LB = 4 और AB = x 

प्रयुक्त सूत्र:
LC × LD = LB × AL 

गणना:
प्रश्न के अनुसार
LC × LD = LB × AL 
6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 
⇒ 4 + x = 51/2 
⇒ 4 + x = 25.5 
⇒ x = AB = 21.5 
∴ AB की लंबाई 21.5 सेमी है।

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 13
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आरेख में, AD वृत्त की स्पर्श रेखा है और ABC छेदक रेखा है। यदि AB = 4 सेमी और BC = 5 सेमी है, तो AD की लंबाई_______है
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 13

दिया गया है:
AB = 4 सेमी और BC = 5 सेमी

अवधारणा:
स्पर्शरेखा छेदक खंड प्रमेय: यदि एक स्पर्शरेखा और छेदक एक वृत्त के बाहर एक सामान्य बिंदु पर मिलते हैं, तो बनाए गए खंडों का संबंध दो छेदक किरणों के समान होता है।
⇒ AD2 = AB (AB + BC)      

गणना:
स्पर्श रेखा छेदक प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है,
AD2 = AB (AB + BC)     
⇒ AD2 = 4 (4 + 5)
⇒ AD2 = 36
⇒ AD = 6 सेमी

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 14
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एक वृत्त त्रिभुज ΔABC के परिगत है। O वृत्त का केंद्र है और CP वृत्त के बिंदु C पर स्पर्शरेखा है। यदि BC, ∠OCP को द्विविभाजित करती है, तो ∠BAC का  संपूरख कोण क्या है?
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 14

जैसा कि हम जानते हैं,
⇒ ∠OCP = 90° (स्पर्शरेखा)
⇒ BC, ∠OCP को द्विविभाजित करती है
∠OCB = ∠OBC = 45° [OB = OC]
ΔBOC में,
⇒ ∠OCB + ∠OBC + ∠BOC = 180°
⇒ ∠BOC + 45° + 45° = 180°
⇒ ∠BOC = 180° – 90° = 90°
⇒ ∠BAC = 1/2 × ∠BOC = (1/2) × 90° = 45°
जैसा कि हम जानते हैं,
दो सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है।
माना ∠BAC का पूरक कोण x है, तो
⇒ x + ∠BAC = 180°
⇒ x = 180° – 45° = 135°

Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 15
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A, B और C एक वृत्त पर तीन बिंदु इस प्रकार है कि जीवा AB और AC द्वारा केंद्र O बना आंतरिक कोणक्रमशः 110° और 130° हैं। ∠BAC का मान है:
Detailed Solution for Test: Circle & its chords (वृत्त और उसकी जीवाएँ) - Question 15


निम्नलिखित आकृति से
∠AOB = 110° and ∠AOC = 130°
जैसा कि हम जानते हैं,
∠AOB + ∠AOC + ∠BOC = 360°
∠BOC = 360° - 110° - 130° = 120°
∠BAC = ∠BOC/2
∴ ∠BAC = 120°/2 = 60°

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