Test: Permutation & Combination (क्रमपरिवर्तन और संयोजन) - SSC MCQ

अवधारणा और सूत्र:-
किसी विशेष शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = n!/m!n!o!
जहां n अक्षरों की संख्या है। m, n और o शब्द में किसी विशेष अक्षर के दोहराए जाने की संख्या हैं।

गणना:-
शब्द 'TECHNOCRATIC' में T दो बार और C तीन बार है। अन्य अक्षर केवल एक हैं।
इसलिए व्यवस्थाओं की संख्या = 12!/(3! × 2!)

दिया गया है
लड़कों की संख्या = 10

अवधारणा
n अलग-अलग चीजों के वृत्ताकार क्रमचयों की संख्या , जब सभी को एक साथ लिया जाता है =(n - 1)!

गणना:
10 लड़कों को वृत्ताकार शैली में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = (10 - 1)!
⇒ 9!
⇒ 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
⇒ 362880

हमें 2 पुरुषों और 3 महिलाओं को चुनना है
यह करने के तरीकों की संख्या = ⁸C₂ × ¹⁰C₃ = 28 × 120 = 3360

दिया गया है:
दी गई संख्या 'GEOGRAPHY' है।

गणना:
शब्द 'GEOGRAPHY' में 9 अक्षर हैं। इसमें E, O, A स्वर हैं और इन तीनों स्वर को एकसाथ आना चाहिएI अतः इन 3 स्वरों को समूहीकृत किया जा सकता है और उन्हें एक अक्षर माना जा सकता है। जो कि, GGRPHY(EOA) हैI 
मान लीजिये कि इस शब्द में 7 अक्षर हैं लेकिन इन 7 अक्षरों में, 'G', 2 बार आता है, लेकिन शेष अक्षर अलग-अलग हैंI
अब,
इन अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 7!/2!
⇒ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520
3 स्वरों (EOA) में, सभी स्वर अलग-अलग हैं।
इन स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 3!
⇒ 3 × 2 × 1 = 6
अब, 
तरीकों की अभीष्ट संख्या = 2520 × 6 
⇒ 15120
∴ तरीकों की अभीष्ट संख्या 15120 हैI

दिया है:
CHRISTMAS शब्द से विभिन्न शब्द बनाये जाने हैं।

सूत्र:
शब्द जिनमें C और M कभी एक साथ ना हों = सभी स्थितियां –  शब्द जिनमें C और M एक साथ हों

गणना:
⇒ शब्दों की कुल संख्या = 9!/2! (2! का भाग क्योंकि S आवर्ती है)
माना C और M एक इकाई है। तब, अक्षरों को 8! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। C और M को 2! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अक्षर S आवर्ती है, इसलिए तरीकों की कुल संख्या का 2! से भाग दिया जाएगा।
⇒ शब्दों की संख्या जिनमें C और M एक साथ हों = 8!/2! × 2! = 8!
शब्द जिनमें C और M कभी एक साथ ना हों = 9!/2! – 8! = 8! × (9/2 - 1) = 8! × (7/2)

दिया गया है: 
(7 पुरुष + 6 महिलाएं) 5 व्यक्तियों को एक समिति के लिए चुना जाना है।

प्रयुक्त सूत्र:
ⁿC_r = n!/(n - r)! r!

गणना:
वह तरीके जिनसे कम से कम 3 पुरुषों का चयन किया जाता है;
⇒ 3 पुरुष + 2 महिलाएं
⇒ 4 पुरुष + 1 महिला
⇒ 5 पुरुष + 0 महिला
तरीकों की संख्या = ⁷C₃ × ⁶C₂ + ⁷C₄ × ⁶C₁ + ⁷C₅ × ⁶C₀
⇒ 7!/(3! × 4!) × 6!/(2! × 4!) + 7!/(4! × 3!) × 6!/(1! × 5!) + 7!/(5! × 2!) × 6!/(6!× 0!)
⇒ 35 × 15 + 35 × 6 + 21 
⇒ 735 + 21 = 756
∴ अभीष्ट तरीकों की संख्या = 756

दिया है:
शब्द = MANAGEMENT

गणना:
स्वर 4 स्थान लेते हैं, तो !4
∵ A और E का दोहराव हुआ है, तो !4/(!2 × !2)
व्यंजन 6 स्थान लेते हैं, तो !6
⇒ M और N का दोहराव हुआ है, तो !6/(!2 × !2)

= 6 × 180 = 1080

सभी स्वरों को एक इकाई जैसे TSTBK (EOO) के रूप में मानिये।
अब, इकाइयों की कुल संख्या (5 + 1)  = 6 है।
इकाइयाँ खुद को 6! तरीकों से व्यवस्थित कर सकती हैं।
स्वर (EOO) खुद को 3! तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं।
अब 'T' और 'O' अक्षर दो बार आयें हैं
इसलिए तरीकों की कुल संख्या = 6! ×  3!/(2! × 2!) = 4320/4 = 1080

अवधारणा:-
1. प्रायिकता = अनुकूल स्थितियां/स्थितियों की संख्या
2. शतरंज के बोर्ड पर 32 टुकड़े होते हैं, प्रत्येक में 16 सफेद और 16 काले रंग के होते हैं।

गणना:-
वर्गों की कुल संख्या = 8 × 8 = 64
बोर्ड पर टुकड़ों की संख्या = 32 - 5 - 4 = 23
खाली वर्ग प्राप्त करने की प्रायिकता = (64 - 23)/64 = 41/64

⇒ अंकों 3, 5 और 7 के उपयोग से बनायी जा सकने वाली दो अंकों वाली संख्याओं की संख्या = 3 × 3
∴ दो अंकों वाली 9 संभव संख्याएँ बनायी जा सकती हैं।
9 संभव दो अंकों की संख्या हैं:
33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77