Multiple Applications of Integration Formulae - MATLAB Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और संख्यात्मक
अभिकलन के लिए MATLAB
प्रोग्रामिंग (MATLAB
programming for numerical computations) में
आपका स्वागत है।
हम मॉड्यूल 3 में हैं।
इस मॉड्यूल में हम
संख्यात्मक विभेदीकरण
(differentiation) और संख्यात्मक
एकीकरण (integration) को कवर
कर रहे हैं। इस मॉड्यूल
के दूसरे भाग में
हम संख्यात्मक एकीकरण
(integration) को कवर कर रहे
हैं। पिछले व्याख्यान
३.४ में हमने ट्रेपोज़ाइडल
(trapezoidal) नियम और सिम्पसन
के 1/3 नियम (Simpsons 1/3 rule)
के आवेदन को देखा।
आज के व्याख्यान
में हम एक वक्र के
नीचे क्षेत्र को
खोजने के लिए ट्रैपोज़ाइडल
नियम (trapezoidal rule) के कई
अनुप्रयोगों को कवर
करने जा रहे हैं।
यदि आप पिछले व्याख्यान
से याद करते हैं, तो
एकीकरण (integration) a और
b के बीच वक्र f (x) के
तहत क्षेत्र खोजने
के अलावा कुछ भी नहीं
है। हमने इस क्षेत्र
की गणना करने के लिए
ट्रेपोज़ाइडल (trapezoidal)
नियम लागू किया।
और हमने पाया कि ट्रैपेज़ॉइडल
(trapezoidal) नियम के एकल
अनुप्रयोग का उपयोग
करने में एरर्स (errors)
काफी अधिक हो सकती
हैं। इसके बजाय हम
क्या कर सकते हैं,
हम इस पूरे क्षेत्र
को कई अंतरालों में
विभाजित कर सकते
हैं।
और फिर उन अंतरालों
में से प्रत्येक
के लिए ट्रैपोज़ाइडल
नियम (trapezoidal rule) का उपयोग
करके क्षेत्र की
गणना करें। फिर हम
उन सभी क्षेत्रों
को जोड़ते हैं ताकि
ट्रैपेज़ॉइडल नियम
(trapezoidal rule) उपयोग करके
शुद्ध क्षेत्र (net
area) प्राप्त किया जा
सके। हम कैसे करते
हैं कि इस प्रकार
है। पहले अंतराल
के लिए, जो कि a और (a
+ h) के बीच स्थित है,
इस क्षेत्र के अंतर्गत
क्षेत्र जो कि ट्रैपेज़ॉइडल
नियम (trapezoidal rule) का उपयोग
करता है, h / 2 द्वारा
f (a) + f (a + h) से गुणा किया
जाता है।
दूसरा अंतराल (a + h)
से (a + 2h) था। इस अंतराल
के लिए हमारे क्षेत्र
को ट्रैपेज़ॉइडल
नियम (trapezoidal rule) का उपयोग
करके h / 2 को f (a + h) + f (a
+ 2h) से गुणा किया जाना
है। हम आखिरी अंतराल
तक ऐसा करते रहते
हैं। एक बार जब हम
इन सभी क्षेत्रों
को प्राप्त कर लेते
हैं, तो हमारा integral
i इन सभी व्यक्तिगत
क्षेत्रों या इन
सभी व्यक्तिगत integrals
के योग के अलावा और
कुछ नहीं होता है
जो हमने ट्रेपोज़ाइडल
(trapezoidal) नियम का उपयोग
करके प्राप्त किया
है।
स्टेप साइज (step size) h,
n द्वारा विभाजित
(b- a) के अलावा कुछ भी
नहीं है। जब हमारे
पास n अंतराल होता
है तो हम x अक्ष में
(n + 1) अंक रखते हैं।
यह कैसे होता है, यदि
पूरा क्षेत्र सिर्फ
1 एकल अंतराल होता
है, जिसका अर्थ है
कि यदि हम ट्रेपोज़ाइडल
(trapezoidal) नियम का एक भी
आवेदन कर रहे हैं,
तो हमारे पास 2 अंक
होंगे और बी। यदि
हम ट्रेपोज़ाइडल
(trapezoidal) नियम के 2 अनुप्रयोगों
का उपयोग कर रहे हैं,
तो हमारे पास a, मिडपॉइंट
(midpoint) और b होगा, जिसके
परिणामस्वरूप 2 अंतराल
होंगे, a से मिडपॉइंट
(midpoint) के लिए और मिडपॉइंट
(midpoint) से b।
तो 2 अंतराल में x अक्ष
पर 3 अंक होंगे, 3 अंतराल
पर x अक्ष पर 4 अंक होंगे,
4 अंतराल पर 5 अंक और
इतने पर होंगे। और
n अंतराल पर x अक्ष
पर (n + 1) अंक होंगे।
अब हम क्या करेंगे,
MATLAB पर जाएं और ट्रेपोजॉइडल
नियम (trapezoidal rule) के कई
अनुप्रयोगों का उपयोग
करके इसे हल करें।
यह 2 विधियों में से
एक है जो मैं आपको
आज के व्याख्यान
में ट्रेपोज़ाइडल
(trapezoidal) नियम के कई अनुप्रयोगों
का उपयोग करने के
लिए दिखाऊंगा।
आइए हम उस उदाहरण
पर विचार करें जो
हमने पिछले व्याख्यान
में हल किया था। यह
2- (x + ln x) के इंटीग्रल
(integral) को करना था। तो
चलिए MATLAB पर चलते हैं
और इस समस्या को करते
हैं। हम क्या करेंगे,
हम उस फ़ाइल को खोलेंगे
जिसका उपयोग हमने
पिछले व्याख्यान
में किया था। उस फाइल
को हमने numIntegral कहा
है। यह एकल अनुप्रयोग
का उपयोग करके 2- (x
+ ln x) के इंटीग्रल (integral)
की गणना करना था।
हम क्या करेंगे, हम
ट्रैपोज़ाइडल नियम
(trapezoidal rule) के 2 कई अनुप्रयोगों
को बदल देंगे। मैं
इसे एक अलग फाइल के
रूप में save करूँगा।
इसे हम multiStepIntegral कहते
हैं। तो समस्या setup
a = 1, b = 2 है। आप इस फ़ंक्शन
को 1 से 2 तक इंटीग्रल
(integral) करना चाहते हैं।
TrueVal यह है और हमें
set की संख्या बताती
है जिसे हम शुरू में
लेना चाहते हैं।
हम कहते हैं कि यह
2 है, सही है। वही हमने
कहा।
हम ठीक करेंगे। इसलिए
ट्रेपोज़ॉइडल (trapezoidal)
कई अनुप्रयोगों पर
शासन करते हैं और
हमें सिम्पसन के
1/3 नियम (Simpsons 1/3 rule) के
बारे में अनुभाग
हटाते हैं और परिणाम
प्रदर्शित करते हैं।
और यही है। तो n= 2 के
लिए n = 2 या h था (b-a) /n था।
तो h क्या है (b-a)/ n है
और हमने सभी फंक्शन्स
(functions) की गणना करने
के लिए myFunInt का उपयोग
किया था।
इसके बजाय हम क्या
करेंगे, हम फिर से
myFunInt का उपयोग करते
रहेंगे, लेकिन हम
यह सभी डेटा बिंदुओं
के लिए करना चाहते
हैं, जिसका मतलब है
कि सभी x मानों के
लिए X1, x2, x3 तक x n + 1. तो
हम इस xVecor को परिभाषित
करें। xVec = a है। a जो
h= 2b के चरणों में।
तो इसका परिणाम (n
+ 1) आयामी xVector होगा।
हम क्या करना चाहते
हैं, x1 पर f, x2 पर f और
इतने पर फ़ंक्शन
की गणना करें।
हम अपने myFunInt का उपयोग
करके ऐसा करेंगे।
हमें myFunInt खोलें। यदि
हम अपने xVec को हमारे
x को वेक्टर के रूप
में देते हैं, तो हम
जो देखते हैं वह यह
है कि इन सभी बिंदुओं
पर f का मूल्यांकन
किया जाएगा। ऐसा
इसलिए है क्योंकि
इस फ़ंक्शन को पहले
से ही वेक्टर (2- x) किया
गया है हमें एक वेक्टर
देने जा रहा है जो
(n + 1) आकार का है + logx।
logx भी हमें (n + 1) आकार
का वेक्टर देने जा
रहा है। (n + 1) आकार वेक्टर
जोड़ा गया था (n + 1) आकार
वेक्टर हमें फिर
से (n + 1) आकार वेक्टर
देगा।
इसलिए हमें myFunInt में
कोई बदलाव करने की
जरूरत नहीं है ठीक
है। तो हम सिर्फ fVec
कह सकते हैं, फ़ंक्शन
मान का वेक्टर myFunInt
(xVec) के अलावा और कुछ
नहीं है। और यह पर्याप्त
होना चाहिए और मुझे
इसे हटा देना चाहिए।
तो अब हम क्या करते
हैं, बस जाँचें और
सत्यापित करें कि
यह वास्तव में काम
करता है। तो run करें
ठीक है। और हमें 1
पर myFunInt, 2 पर myFunInt और
1.5 पर myFunInt की गणना करने
दें। तो ये 3 बिंदु
हैं जब हमारे पास
2 अंतराल हैं। आइए
हम देखें कि fVec कैसा
दिखता है।
हमें fVec टाइप करें,
पहला लड़का 1 है जो
यहां है और अंतिम
लड़का 0.6931 है जो यहां
खत्म हो गया है और
मध्यम लड़का 0.9055 है।
तो यह वास्तव में
हम क्या उम्मीद करते
हैं। तो आइए हम clear
all clc करें। अब हमारे
पास जो fVec है वह f1, f2,
f3 और इसी तरह f (n + 1) तक
है। अब हम क्या करना
चाहते हैं, i1 i2 और इतने
पर i(n + 1) की गणना।
जिस तरह से हम जा रहे
हैं ऐसा करो, हम इसे
loop के लिए करेंगे।
i = 1 से n के लिए। तो
ये n अंतराल हैं ठीक
है। Iinterval = zeroes क्योंकि
n, n के आकार के n अंतराल
शून्य हैं, 1 ठीक है।
पहले अंतराल के लिए
इंटीग्रल (integral)। इसलिए
Iinterval Iinterval के लिए। यह
कुछ भी नहीं है लेकिन
(f1 + f2)*h / 2 है, दूसरे अंतराल
के लिए (f2 + f3)*h / 2 है, तीसरे
अंतराल (f3 + f4)*h /3 है।
तो ith अंतराल पर अगर
यह जा रहा है (fi + fi +
1) h / 2. तो वही है जो हम
यहाँ डालेंगे, h / 2
क्षमा करें, h / 2 से
गुणा, h / 2 को गुणा करें
(fVec i + fVec i + 1)। End और I_trap,
I_trap पहली विधि का उपयोग
करके इन सभी मानों
का योग बनने जा रहा
है। इसलिए मैं केवल
Iinterval err1 = abs (trueVal- I_trap 1) कहूंगा।
h = num2str h के लिए। एरर
(error) = err1 क्षमा करें,
num2str err1 । तो वही हमारे
पास है। हम इसे save
करें और इसे run करें।
उम्मीद है कि यह हमें
कोई एरर (error) दिए बिना
चलेगा। हमें MATLAB कमांड
प्रॉम्प्ट (command prompt)
पर जाएं और देखें
कि परिणाम क्या हैं।
इसलिए इंटीग्रल (integral)
मान 0. 8760 है और 0.5 के
स्टेप साइज (step size) के
लिए, एरर (error) 10^- 2 ठीक
है।
अब हम n = 2 से n = 20 में
बदलते हैं। इसलिए
ऐसा करने से स्टेप
साइज (step size) में परिमाण
के 1 क्रम से कमी आने
वाली है। तो चलिए
देखते हैं और क्या
होता है। इसलिए जब
हम परिमाण के 1 क्रम
द्वारा स्टेप साइज
(step size) को घटाकर इसे
चलाएंगे, तो परिमाण
के 2 क्रम से एरर (error)
कम हो गई है। एरर (error)
10^- 2 से 10^-4 तक चली गई
है।
आइए हम परिमाण के
1 और क्रम से स्टेप
साइज (step size) में कमी
करें। हम इसे save करें
और इसे run करें। हम
जो देखेंगे वह यह
है कि एरर (error) में
परिमाण के 2 क्रम में
कमी आएगी। इसलिए
जब हमने स्टेप साइज
(Step size) को 10 से विभाजित
किया, तो 100 के फैक्टर
(factor) से एरर (error) कम हो
गया। जब हमने स्टेप
साइज (Step size) को 10 के
फैक्टर (factor) से विभाजित
किया, तो एरर (error) मतलब
कुछ भी नहीं है, लेकिन
मेथड (method) h^2 सटीक है।
यह वैश्विक ट्रंकेशन
एरर (global truncation error) के
कुछ बिंदुओं से दूसरा
क्रम सटीक तरीका
है। अब मैं क्या करूंगा
कि इस समस्या को एक
दूसरे तरीके से हल
करने की कोशिश की
जाएगी और जो MATLAB प्रोग्राम
लिखने से एक आसान
तरीका होने जा रहा
है। हम क्या करने
जा रहे हैं, हम सिर्फ
i1, i2, i3 और इसी तरह i n
तक जोड़ देंगे। तो
आपके पास h / 2 को f (a)
+ 2 * f (a + h) करके आगे किया
जाएगा।
तो आखिरकार हमें
जो परिणाम मिलेगा,
अगर हम f (a) को f1 के रूप
में लिखते हैं, तो
यह आदमी f2 है, यह आदमी
f3 से f (n + 1) है, जिसका
परिणाम हमें मिलने
वाला है, i=h / 2*f1+ सभी
मध्यम लोगों के 2 गुना
योग + 1 गुना f (n + 1) से
गुणा किया जाता है।
यह सूत्र प्राप्त
करना बहुत आसान है।
आप बहुत जल्दी इसे
आज़मा सकते हैं और
इस सूत्र को प्राप्त
कर सकते हैं। तो क्या
होगा, अब जाओ और अब
MATLAB में करें।
प्रत्यक्ष सूत्र
का उपयोग करके कई
अंतरालों से इस प्रत्यक्ष
सूत्र का उपयोग करके
इसे हल करना। प्रत्यक्ष
सूत्र I_trap2=h/2*f1 का उपयोग
करना जो fVec1, fVec1 + 2 * योग
के अलावा और कुछ नहीं
है, बल्कि सभी मध्यम
लोगों का योग + 2 * योग
fVec2 है जो 2 से n ठीक है,
+ fVec n + 1 ठीक है। यह प्रत्यक्ष
विधि का उपयोग करके
हमारा I_trap2 होने जा
रहा है।
तो अब यह आदमी क्या
करता है, यह लड़का
वेक्टर के सबपार्ट
(subpart) को दूसरे से nth
मान तक निकालेगा।
और हम इसका योग यहाँ
पर लिखना चाहते हैं।
और इसे 2 से गुणा करें
और f1 और fn + 1. जोड़ें
और जो हमें वांछित
परिणाम देगा, वह h
/ 2 के साथ कई होगा।
इसलिए I_trap1 प्रदर्शित
करें। मैं I_trap2.err2= abs
(trueVal- I_trap2) भी प्रदर्शित
करूंगा।
h = num2str err2 के लिए हाँ।
आइए हम इसे save करते
हैं और इसे फिर से
n = 200 के लिए run करते
हैं। तो जैसा कि आप
इन दोनों विधियों
से देख सकते हैं, परिणाम
वही है जैसा कि हम
यहाँ पर प्रदर्शित
कर सकते हैं और एरर
(error) को जो हम trueVal और
संख्यात्मक मानों
के बीच देख सकते हैं,
वही ठीक है। इसलिए
हमने वास्तव में
जो किया है, वह फ़ंक्शन
की गणना करने के लिए
है, क्षमा करें, ट्रैपोज़ाइडल
नियम (trapezoidal rule) के कई
अनुप्रयोगों का उपयोग
करके एक इंटीग्रल
(integral) की गणना करें।
पहला 1 उन अंतरालों
में से प्रत्येक
के लिए इंटीग्रल
(integral) की गणना करके
उपयोग कर रहा था और
दूसरा, अधिक कुशल
तरीका और जिस विधि
की मैं अंत में सिफारिश
करूंगा, वह समग्र
परिणाम की गणना करना
है। पूर्व समग्र
परिणाम की गणना करें
और फिर MATLAB में कोड
(code) करें जैसा कि यहां
ठीक दिखाया गया है।
इस प्रकार हमने आज
के व्याख्यान में
मुख्य रूप से कवर
किया है और हमने f
(x) = 2- (x + lnx) के उदाहरण
के लिए इसका उपयोग
किया है।
हमने जो भी किया, वह
यह था कि ट्रेपोज़ाइडल
(trapezoidal) नियम के लिए
देखें। वैश्विक ट्रंकेशन
एरर (global truncation error) h^2 है।
इसलिए यह सटीक विधि
का दूसरा क्रम है।
जब हम विपरीत स्थानीय
ट्रंकेशन एरर (local
truncation error) में ट्रैपोज़ाइडल
नियम (trapezoidal rule) के कई
कार्यान्वयन का उपयोग
करते हैं, तो ट्रैपेज़ॉइडल
नियम (trapezoidal rule) के लिए
h^3 है।
अभ्यास समस्या के
रूप में आप क्या कर
सकते हैं, आप सिम्पसन
के 1/3 नियम (Simpsons 1/3 rule)
के कई अनुप्रयोगों
के लिए एक कोड लिखकर
उसी उदाहरण को हल
कर सकते हैं। और फिर
आप आगे बढ़ सकते हैं
और वैश्विक ट्रंकेशन
एरर (global truncation error) को
सत्यापित कर सकते
हैं और अपने आप को
देख सकते हैं कि step
size को 1 क्रम से कम करके
वास्तव में 3 क्रम
से एरर (error) को कम करता
है, सिम्पसन के 1/3 नियम
(Simpsons 1/3 rule) में परिमाण
के 4 क्रम से एरर (error)
को कम करता है।
तो इसके साथ ही मैं
इस व्याख्यान के
अंत में आता हूं।
अगले व्याख्यान में
हम 2 MATLAB फ़ंक्शन ट्रेपेज़
और क्वार्ड (trapez and quard)
का उपयोग करके एकीकरण
(integration) को कवर करने
जा रहे हैं। इसलिए
हम उन्हें अगले व्याख्यान
में शामिल करेंगे।
धन्यवाद और अगले
व्याख्यान में आपको
अलविदा कहते हैं।