Stiff Systems & Solution using ode15s Video Lecture | MATLAB Programming for Numerical Computation - Software Development

नमस्कार और न्यूमेरिकल
कम्प्युटशंस के लिए
MATLAB प्रोग्रामिंग
(MATLAB programming for Numerical Computations
) में आपका स्वागत
है। हम मॉड्यूल 8 में
हैं और यह मॉड्यूल
हम आर्डिनरी डिफरेंशियल
एक्वेशन्स (ordinary differential
equations) के इनिशियल वैल्यू
प्रोब्लेम्स (intial
value problems) को हल करने
के व्यावहारिक पहलुओं
को कवर कर रहे हैं।
पिछले व्याख्यान
में हमने ode45 को एक
सामान्य मल्टीवेरिएबल
(multivariable) मामले में
बढ़ाया था। इस व्याख्यान
में हम ऐसे उदाहरण
लेने जा रहे हैं जहाँ
ode45 को समस्याओं को
हल करने में बहुत
मुश्किल होने वाली
है। कारण है ode45 एक
रनगे-कुट्टा (Runge-Kutta)
सॉल्वर (solver) है जो
एक एक्सप्लिसिट (explicit)
सॉल्वर (solver) है। एक
एक्सप्लिसिट (explicit)
सॉल्वर (solver) को संख्यात्मक
(numerical) कठिनाइयों का
सामना करना पड़ेगा
जब उसे स्टिफ (stiff) प्रणालियों
के रूप में जाना जाता
है। इसलिए मैं इस
व्याख्यान में शामिल
करने जा रहा हूं कि
स्टिफ (stiff) प्रणाली
क्या है और यदि ode45
विफल रहता है तो आप
इसके बजाय ode15s का उपयोग
कैसे कर सकते हैं।
हम जो करने जा रहे
हैं, हम पहले उसी समस्या
से शुरू करेंगे जो
हमने पिछले व्याख्यान
में देखा था। तो चलिए
MATLAB पर जाते हैं और
ठीक करते हैं।
तो यह solveMassSpring उदाहरण
है जो हमने पहले लिया
था। पिछले व्याख्यान
में हमने जो किया
है वह यह है। हमने
जो किया था, हमने कहा
था कि जिस तरह से हम
अपने फ़ंक्शंस (functions)
को लिखने जा रहे हैं,
जिसका उपयोग हम ode45
के लिए मल्टीवेरिएबल
(multivariable) मामले में
करने जा रहे हैं, ठीक
वैसा ही होने जा रहा
है जैसा कि हमने एकल
वेरिएबल (variable) मामले
में किया था। फर्क
सिर्फ इतना है कि
हमारा y एक n 1 वेक्टर,
n पंक्तियों और एक
एकल स्तंभ है और हमारा
fval भी एक n / 1 वेक्टर,
n पंक्तियाँ और एक
एकल स्तंभ फिर से
है। हम इसे ode45 का उपयोग
करके हल करते हैं।
अब अगर हम ode15s का उपयोग
करके इसे हल करना
चाहते हैं, तो मैं
आपको दिखा सकता हूं
कि ode15s का उपयोग करना
कितना सरल है। अगर
हम ode15s का उपयोग करके
इसे हल करने के लिए
थे, तो हमें केवल ode45
को ode15s में बदलना होगा।
यह सब हमें करने की
आवश्यकता है। मैं
run पर क्लिक करता हूं
और मुझे वही परिणाम
मिलते हैं जो हमने
पहले देखे थे। तो,
यहाँ पर मेसेज (message)
लें कि हमारे जैसे
बाहरी उपयोगकर्ता
के लिए ode15s ode45 की तरह
ही काम करता है।
यदि ode45 काम करता है
तो हमें ode15s की आवश्यकता
क्यों है और इसका
कारण ode45 है सभी मामलों
के लिए काम नहीं कर
सकता है। तो हम पावर
प्वाइंट (powerpoint) पर
जाएं और देखें। इसलिए
जिन मामलों में हमें
ode15s को देखने की जरूरत
है, उन्हें स्टिफ
(Stiff) प्रणालियों के
रूप में जाना जाता
है। तो आइए हम पहले
विचार करें कि ode x`
= -100 * X1 पर विचार करें।
हम इस समस्या को (tSol,
xSol) = ode45 @ (t, x) -100 * X1, नेगेटिव
(negative) 100 * x के रूप में
हल कर सकते हैं। आइए
हम इसके लिए tSpan को
कहते हैं (0: 1)। और हमें
इनिशियल वैल्यू (initial
value) 1 लेते हैं। हमें
plot(tSol, xSol) भी देते हैं।
और हम देखते हैं कि
हमें क्या मिला है।
जब हम हल करते हैं
(tSol, xSol), तो हम देखते
हैं कि x का मान या
बजाय X1 का मान तेजी
से गिरता है और 0 के
बराबर चला जाता है।
अत: .01 सेकंड के भीतर
xSol मान 0 की स्थिर स्थिति
मान पर गिर गया है।
तो चलिए हम इसे hold
करते हैं। अब हम जो
करेंगे वह अन्य ode
-100 को x से गुणा करने
पर विचार करेंगे।
तो (tSol, xSol) क्षमा करें,
-100 * x नहीं, -0 .01 * x ठीक
है। तो -0.01 * x है जिसे
हमें हल करने की आवश्यकता
है। और हम इस परिणाम
को भी प्लॉट (plot) करेंगे।
और हम ग्राफ (graph) पर
नजर डालते हैं। जैसा
कि आप यहां लाल रंग
की लाइन में देख सकते
हैं कि यह विशेष मूल्य
लगभग 1 पर स्थिर है
और अब हम फिर से उसी
समस्या को हल करते
हैं, लेकिन tSpan के 0
से 1 के बजाय हमें
0 से 3000 के रूप में tSpan
बनाते हैं और फिर
इसे प्लॉट (plot) करते
हैं और देखें कि हमें
क्या मिलने वाला
है। आइए हम उस आंकड़े
को देखें। जैसा कि
आप यहां देख सकते
हैं कि पहले वाला
ग्राफ (graph) 0.1 सेकंड
के भीतर 1 से 0 हो जाता
है। जबकि, दूसरी प्रणाली
1 से 0 तक जाती है, ऐसा
करने में लगभग 500 सेकंड
लगते हैं। इसलिए
जब यह कोएफ़िशिएंट
(coefficient) एक बहुत बड़ा
मूल्य है तो सिस्टम
बहुत तेज़ी से प्रतिक्रिया
करता है, यदि यह कोएफ़िशिएंट
(coefficient) बहुत छोटा मूल्य
है तो सिस्टम बहुत
धीरे-धीरे प्रतिक्रिया
करता है। अब सवाल
यह है कि यदि 2 वेरिएबल
(variable) एक ही समीकरण
में एक साथ थे। यदि
हमारे पास समान वेक्टर
समीकरण में dx है।
यदि हमारे पास dx1 / dt
= -100 * X1 है और dx2 / dt = -0.01
* x 2 जो हम प्राप्त
करने जा रहे हैं वह
यह है। इसलिए यदि
हमारे पास एक एक्सप्लिसिट
(explicit) सॉल्वर (solver) है
जैसे कि रनगे-कुट्टा
सॉल्वर (Runge Kutta solver) और
हमारे पास यह प्रणाली
और यह प्रणाली एक
साथ है जैसा कि यहां
दिखाया गया है। हमें
इस विशेष समीकरण
के कारण वास्तव में
छोटे कदम उठाने की
जरूरत है। हमें जो
कदम उठाने की जरूरत
है, वह 0.001 के आर्डर
(order) का होगा। लेकिन
इस विशेष समीकरण
के विकास को प्राप्त
करने के लिए। हमें
इस समस्या को बड़ी
संख्या में हल करने
की आवश्यकता है, जिसका
अर्थ है कि हमें .001
का एक कदम उठाने की
आवश्यकता है, लेकिन
लगभग 100 या 1000 चरणों
पर जाने की आवश्यकता
है।
यही कारण है कि स्टिफ
(stiff) प्रणालियों को
हल करना मुश्किल
हो रहा है। हमें स्थिरता
सुनिश्चित करने के
लिए छोटे कदम उठाने
की आवश्यकता है, लेकिन
हम बड़ी मात्रा में
जाना चाहते हैं।
आइए देखें कि क्या
होता है जब हम ode45 और
ode15s का उपयोग करके
इसे हल करने का प्रयास
करते हैं। संपादित
करें, multiVarFun। आइए हम
इस फंक्शन (function) को
बनाएं fval = multiVarFun (t, y)।
हम a = (-100, 0) (0, -0.01) करेंगे
जो हमारा A मैट्रिक्स
है। और fval = a * y ठीक है।
इसलिए हमने ऐसा किया
है। तो अब हम इसे ode45
का उपयोग करके run करते
हैं। (tSol, ySol) ode45 @ (t, y) multiVarFun
(t, y) के बराबर होने
जा रहा है। 0 से tSpan
के लिए, हम 0 से 200 कहते
हैं कि हमें अपने
शो (show) को दिखाने के
लिए पर्याप्त होना
चाहिए जो हमारे पास
है। और 1 और 1 की प्रारंभिक
स्थिति (initial condition) के
लिए। और हमने इसे
ode45 का उपयोग करके
चलाया है। अब MATLAB ने
ode45 का उपयोग करके
हल किया है। MATLAB ने
कितने टाइम स्टेप्स
( time steps) उठाए हैं।
यह ode45 का उपयोग करते
हुए सरल समस्या को
हल करने के लिए 24157
टाइम स्टेप्स ( time
steps) उठाए हैं। तो आइए
हम plot (tSol, ySol) करें और
देखें कि हमे क्या
मिलने जा रहे हैं।
यह विशेष रूप से बहुत
जल्दी प्रतिक्रिया
करता है जबकि यह बेहद
सुस्त प्रतिक्रिया
दे रहा है। आइए हम
अपने वेक्टर tSol को
देखें और देखें कि
हमें क्या मिलता
है। तो जैसा कि आप
देख सकते हैं कि हमारा
सॉल्वर (solver) बहुत छोटे
कदम उठा रहा है, यह
10 के पावर (power) -4 के क्रम
में चरणों के साथ
शुरू हुआ, लेकिन जैसे-जैसे
चीजें ठीक होती हैं,
यह बड़े कदम नहीं
उठा सकता है।
यह अभी भी 10 के पावर
(power) -3 आर्डर (order) के
ले जा रहा है जैसा
कि आप यहां देख सकते
हैं। 10 के पावर (power)
-3 के आर्डर (order) में
कदम उठाने की आवश्यकता
क्यों है इसका कारण
यह है कि अगर हम बड़े
कदम उठाते हैं तो
एक्सप्लिसिट (explicit)
पद्धति अस्थिर हो
जाएगी। दूसरी ओर
ode15s एक अंतर्निहित
(implicit) विधि है और r पर
कोई प्रतिबंध नहीं
है। आमतौर पर उस स्टेप
साइज (step size) पर बहुत
कम प्रतिबंध है जो
ode15s को ले जाएगा।
तो आइए हम ode15s का उपयोग
करके उसी समस्या
को हल करने का प्रयास
करें। इसे हम t2 और
ySol 2 = ode15s multiVarFun से (0 200)
कहते हैं और प्रारंभिक
स्थिति (1; 1) ठीक है।
और हमें इसे हल करने
दें और हमें प्लॉट
करें plot (t2, y2) ठीक है।
जैसा कि आप देखेंगे
(t2, y2) में ठीक वैसा
ही व्यवहार है (tSol,
ySol), ode15s का उपयोग करके
हम ठीक उसी व्यवहार
को प्राप्त करने
जा रहे हैं। जब आप
Val को देखते हैं, तो
ode15s ने जितने पॉइंट
run किए हैं, वह 24000 पॉइंट्स
के बजाय केवल 88 पॉइंट्स
पर चला है।
आइए हम अपने t2 पर क्लिक
करें और उन बिंदुओं
को देखें जिन पर यह
run किए है। प्रारंभ
में जब हमारा पहला
तत्व हमारा X1 अभी
भी विकसित हो रहा
है। यह ode सॉल्वर (solver)
को सटीकता बनाए रखने
के लिए छोटे कदम उठाने
की जरूरत है। अतः
सटीकता बनाए रखने
के लिए ode15s 10 के पावर
(power) -4 , 10 के पावर (power)
-4 , 110 के पावर (power) -4 तक
छोटे कदम किए हैं।
अब, इसने 10 के पावर
(power) -3 के क्रम के कदम
उठाने शुरू कर दिए
हैं, लेकिन जैसे-जैसे
हम होते जाएंगे।
अब इसने 10 के पावर
(power) -2 के कदम उठाने
शुरू कर दिए हैं।
हम कहने के समय से
भी आगे जाते हैं 2
यह 1 के क्रम में कदम
उठाना शुरू कर दिया
है। अब यह 10 सटीकता
के आर्डर (order) में कदम
उठाना शुरू कर दिया
है कि 10 के पावर (power)
-3 तक के क्रम में कदम
उठाए जाने की आवश्यकता
है X1 की प्रतिक्रिया
स्थिर हो जाती है।
लेकिन X1 की प्रतिक्रिया
स्थिर होने के बाद
हमें X1 के बारे में
चिंता करने की आवश्यकता
नहीं है, हमें बड़े
कदम उठाने में सक्षम
होना चाहिए। हम एक
एक्सप्लिसिट (explicit)
सॉल्वर (solver) में बड़े
कदम उठाने में असमर्थ
हैं क्योंकि यह एक
स्टिफ (stiff) प्रणाली
है लेकिन हम एक अंतर्निहित
(implicit) सॉल्वर (solver) में
बड़े कदम उठाने में
सक्षम हैं जो कि ode15s
है। तो सवाल यह है
कि स्टिफ (stiff) प्रणाली
की परिभाषा क्या
है। इस पाठ्यक्रम
के लिए स्टिफ (stiff) प्रणालियों
की कार्यशील परिभाषा
एक स्टिफ (stiff) प्रणाली
होने जा रही है, एक
ऐसी प्रणाली है जहाँ
आपके पास एक ही ode में
एक साथ बहुत तेज़
गतिमान और अत्यधिक
धीमी गति से होने
वाली युगल जोड़ी
होती है।
तो सवाल यह है कि स्टिफ
(stiff) प्रणाली को विकर्ण
(diagonal) या लीनियर (linear)
होने की आवश्यकता
है। तो आइए हम इस विशेष
उदाहरण को लेते हैं
जहां एक -5.7, 1.85 ठीक है,
13.2 और -4.3 है। और फिर
हम evaluate selection पर क्लिक
करते हैं ताकि अब
हमारे पास a। तो अब
हम ode45 का उपयोग करके
इसे हल करते हैं।
बाकी सब कुछ वैसा
ही है जैसा हम ode45 ओके
का उपयोग करके इसे
हल करने जा रहे हैं।
और जब हम इसे ode45 का
उपयोग करके हल करते
हैं तो हम देखते हैं
कि हम 2400 कदम उठाते
हैं। अब हम इसे हल
करते हैं इसलिए हम
अब इसे ode15s का उपयोग
करके हल करते हैं।
जब हम इसे ode15s का उपयोग
करके हल करते हैं
तो हमें इस ode15s को run
करने दें और देखें
कि ode15s कितने कदम लेता
है। Ode15s को केवल 40 चरणों
की आवश्यकता है।
प्रश्न यह क्यों
हो रहा है? ऐसा क्यों
हो रहा है इसका कारण
आइए हम अपने A मैट्रिक्स
के Eigen मान लें। एक
मैट्रिक्स (matrix) के
Eigen मान 10 के आर्डर
(order) के हैं और 0.01 के
आर्डर (order) के हैं।
तो 2 Eigen मानों ans1 / ans2
का अनुपात बहुत बड़ी
संख्या है।
यह अच्छी तरह से आर्डर
(order) की है यह वास्तव
में बहुत बड़ी संख्या
नहीं है यह काफी बड़ी
संख्या में है Eigen
मूल्यों का अनुपात
हजार के आर्डर (order)
का है। तो यह मैट्रिक्स
(matrix) A एक NILL कंडीशन
(condition) मैट्रिक्स (matrix)
है। हम स्टिफ (stiff) व्यवस्था
करने जा रहे हैं और
ode15s का उपयोग करना
आवश्यक हो सकता है।
आइए हम एक नॉन-लीनियर(non-linear)
प्रणाली का एक उदाहरण
देखें।
MATLAB help फ़ाइलों में
यह एक हल किया गया
उदाहरण है, इसे वान
डेर पोल ऑसिलेटर
(Van der Pol oscillator) के रूप
में जाना जाता है,
यह समग्र समीकरण
x`- mu * (1-x ^ 2) * x+ x = 0 है और
ये शुरुआत हैं ठीक
है। (वीडियो प्रारंभ:
14:31) तो चलिए MATLAB पर चलते
हैं। संपादित करें,
myVDP ठीक है। तो फंक्शन
(function) fval = myVDP (t, y)। हमें
mu = 1 कहते हैं। हमारा
पहला शब्द dx / dt = x` होने
जा रहा है। तो हमारा
fval (1, 1) कुछ भी नहीं
होने वाला है लेकिन
हम x = y1 और v = y2 को कहते
हैं। तो, fval कुछ भी
नहीं है, लेकिन dx / dt
और dx / dt, v के बराबर है,
और fval (2, 1) वर्ग mu * (1-x
^ 2) * vx के बराबर होने
वाला है। और अब हमें
अपना (tSol, ySol) = ode45 @ (t, y)
myVDP (t, y) run करने दें।
आइए हम इसे 0 से 10 run
करते हैं, यह प्रारंभिक
स्थिति के साथ पर्याप्त
होना चाहिए जैसे
कि x0 = 2 और x '0 = 0 ताकि
हमारी प्रारंभिक
स्थिति है। हम इसे
हल करते हैं और हमें
प्लॉट plot(tSol, ySol) (1, :) ठीक
है (tSol:, 1) करते हैं।
तो हम यह करते है।
तो यह हमारे वान डेर
पोल ऑसिलेटर्स (Van
der Pol oscillators) समाधान के
लिए mu = 1 के लिए mu= 1 वान
डेर पोल ऑसिलेशन
(Van der Pol oscillation)। ऑसिलेटर
(oscillator) बहुत स्टिफ
(stiff) ऑसिलेटर (oscillator)
नहीं है और इसलिए
हम बहुत जल्दी समाधान
प्राप्त करते हैं।
तो पहला व्यावहारिक
टिप यह है कि जब आप
चाहते हैं, जब आप जानते
हैं कि सिस्टम नॉन-स्टिफ
(non-stiff) है या आप सिस्टम
की कठोरता के बारे
में सुनिश्चित नहीं
हैं, तो आपको पहले
ode45 का उपयोग करना
चाहिए। यदि ode45 काम
नहीं करता है या यदि
आप जानते हैं कि सिस्टम
एक स्टिफ (stiff) प्रणाली
है, तब आपको ode15s का
उपयोग करना चाहिए।
तो आइए हम अपने mu को
100 में बदलकर सिस्टम
को स्टिफ (stiff) बनाते
हैं और ode45 का उपयोग
करके इसे हल करने
का प्रयास करते हैं।
आइए हम इसे 0 से 1000 तक
हल करते हैं और इसे
हल करते हैं। और हम
देखते हैं, हम देखेंगे
कि यह विशेष प्रणाली
सुस्त तरीके से व्यवहार
करती है, लेकिन इसे
हल करने में काफी
लंबा समय लगता है।
मैं अभी भी ode45 के हल
होने का इंतजार कर
रहा हूं और आखिरकार
ode45 ने इसे हल कर दिया
है। इसने लगभग 2 लाख
कदम उठाए हैं।आइए
अब हम इसके बजाय ode15s
का उपयोग करके इसे
हल करते हैं क्योंकि
यह स्टिफ (stiff) प्रणाली
है। जैसा कि आप देखेंगे
कि ode15s का उपयोग करते
हुए इसे हल करना बहुत
तेज़ होने वाला है
और 2 लाख अंकों के
बजाय यह केवल 1725 अंकों
में हल होने वाला
है। और नतीजा पहले
जैसा ही है।
अब अगर हम mu को 1000 तक
बढ़ा सकते हैं और
यही आपका MATLAB मदद उदाहरण
आपको देता है। यदि
आप इसे 1000 तक बढ़ाते
हैं, तो आप ode45 का उपयोग
करके इस समस्या को
हल करने में सक्षम
नहीं होंगे। तो आइए
हम ode45 का उपयोग करके
हल करने का प्रयास
करें और हमें यह दें
कि मैंने लगभग 1 मिनट
तक इंतजार किया है
और यह अभी तक हल नहीं
हुआ है। तो मुझे control
c दबाकर इसे रद्द करना
चाहिए। जैसा कि आप
उचित समय में देख
सकते हैं ode45 ने अभी
भी इस समस्या को हल
नहीं किया है। इसके
बजाय अगर हम ode15s का
उपयोग करके इसे हल
कर रहे थे, तो हम समाधान
को जल्दी से करने
जा रहे हैं। मुझे
इस को 40 स्पैन (span) = 5000
तक हल करने दें और
फिर मैं दिखाऊंगा
कि यह एक अत्यंत स्टिफ
(stiff) प्रणाली क्यों
है। जैसा कि आप देख
सकते हैं कि सिस्टम
एक निश्चित बिंदु
तक पहले धीरे-धीरे
प्रतिक्रिया करता
है और इस बिंदु पर
कि सिस्टम प्रतिक्रिया
बहुत तेजी से ठीक
है। तो यह सिस्टम
की समग्र कठोरता
के कारण है।
फिर आपके पास धीमे
समय का पैमाना है,
फिर बहुत तेजी से
समय का पैमाना, धीमा
समय का पैमाना और
फिर बहुत तेजी से
समय का पैमाना। तो
जैसा कि आप यहां देख
सकते हैं इस व्यावहारिक
उदाहरण में भी आपके
पास मामला है, जहां
एक धीमी गति को समय
के साथ तेजी गति गति
समय से मिलाया जाता
है। तो इसके साथ ही
मैं इस व्याख्यान
के अंत में आता हूं।
मैंने इस व्याख्यान
ode45 और ode15s में क्या
शामिल किया है। Ode45
एक रनगे-कुट्टा (Runge-Kutta)
एक्सप्लिसिट (explicit)
सॉल्वर (solver)है। यदि
आप एक प्राथमिकता
जानते हैं कि सिस्टम
वह स्टिफ (stiff) प्रणाली
है जिसके बजाय आप
ode15s का उपयोग करना
चाहते हैं। यदि आप
नहीं जानते कि सिस्टम
स्टिफ (stiff) है या नहीं,
तो पहले ode45 को आज़माना
हमेशा एक अच्छा विचार
है। यदि ode45 काम नहीं
करता है तो आप ode15s पर
स्विच (switch) करेंगे।
इसके साथ मैं इस व्याख्यान
के अंत में आता हूं
और अगले व्याख्यान
में आपको देखूंगा।