MCQ: रैखिक समीकरण - 1 - RRB NTPC/ASM/CA/TA MCQ

पहला 3-अंक का संख्या जो 6 से विभाजित होता है, वह है 102 और अंतिम 3-अंक का संख्या जो 6 से विभाजित होता है, वह है 996।
दो लगातार संख्याओं के बीच का अंतर जो 6 से विभाजित होते हैं, वह है 6।
इसलिए 3-अंक की संख्याएँ जो 6 से विभाजित होती हैं, वे हैं 102, 108, 114, ......., 996।
यह एक अंकगणितीय अनुक्रम है जिसमें a = 102, d = 6 और l = 996 है।
जहाँ a = पहला संख्या, l = अंतिम संख्या और d = दो लगातार संख्याओं का अंतर है।
मान लें कि पदों की संख्या n है। तो अंतिम पद = t_n
तब t_n = 996
अंकगणितीय अनुक्रम के n पदों के लिए सूत्र का उपयोग करें।
∴ a + ( n - 1) x d = 996
⇒ 102 + (n - 1) x 6 = 996
⇒ 6(n - 1) = 894
⇒ (n - 1) = 149
⇒ n = 150
∴ पदों की संख्या = 150

मान लीजिए कि पहली किस्त a है और दो लगातार किस्तों के बीच का अंतर d है।
प्रश्न के अनुसार,
40 किस्तों का योग = 3600
फॉर्मूला लागू करें अंकगणितीय प्रगति में पहले n अंशों का योग = S_n = n/2[ 2a + (n-1)d ]
जहाँ a = पहला अंश, d = सामान्य अंतर, n = अंशों की संख्या।
n/2[ 2a + (n-1)d ] = 3600
प्रश्न से a, n और d का मान डालें,
40/2[ 2a + (40-1)d ] = 3600
20[ 2a + 39d ] = 3600
[ 2a + 39d ] = 3600/20 = 180
2a + 39d = 180...........................(1)

पुनः दिए गए प्रश्न के अनुसार,
30 किस्तें चुकाने के बाद बाकी राशि = 1/3(कुल बाकी राशि) = 3600 x 1/3
30 किस्तें चुकाने के बाद बाकी राशि = 1200
इसलिए 30 किस्तें चुकाने के बाद चुकाई गई राशि = 3600 - 1200 = 2400
30 किस्तों का योग = 2400
30/2[ 2a + (30-1)d ] = 2400
[ 2a + (30-1)d ] = 2400 x 2/30
2a + 29d = 80 x 2 = 160
2a + 29d = 160..........................(2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर हमें मिलेगा
2a + 39d - 2a - 29d = 180 - 160
10d = 20
d = 2
समीकरण (1) में d का मान डालें, हमें मिलेगा
2a + 39 x 2 = 180
2a = 180 - 78
a = 102/2
a = 51
पहली किस्त का मान = a = 51

दिए गए प्रश्न के अनुसार,
पहले दिन 1 रुपये, दूसरे दिन 2 रुपये, तीसरे दिन 4 रुपये.....
1, 2, 4............ और इसी तरह
दिया गया अनुक्रम ज्यामितीय प्रगति (GP) में है।
1, 2¹, 2²,.............
ज्यामितीय प्रगति (GP) में पहले n पदों का योग:
S_n = a (rⁿ ? 1) /(r ? 1)
यदि r > 1 है और जहाँ a= पहला पद, r = सामान्य अनुपात, n = पदों की संख्या
दिए गए प्रश्न के अनुसार a = 1, r = 2 और n = 20;
S_n = 1(2²⁰ ? 1) /(2 ? 1)
S_n = (2²⁰ ? 1) /1
S_n = (2²⁰ ? 1)
S_n = 2²⁰ ? 1

मान लेते हैं कि a पहले अंक है और d सामान्य अंतर है।
प्रश्न के अनुसार,
m^th क्रमांक का अंकगणितीय अनुक्रम (AP) 1/n है।
m^th क्रमांक के लिए अंकगणितीय अनुक्रम का सूत्र उपयोग करें,
⇒ a + ( m - 1 ) x d = t_m
⇒ a + ( m - 1 ) x d = 1/n
⇒ a + md - d = 1/n .......................(1)
n^th क्रमांक के लिए अंकगणितीय अनुक्रम का सूत्र उपयोग करें,
⇒ a + ( n - 1 ) x d = t_n
⇒ a + ( n - 1 ) x d = 1/m
⇒ a + nd - d = 1/m.........................(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाएं, हमें मिलेगा
⇒ a + nd - d - (a + md - d) = 1/m - 1/n
⇒ a + nd - d - a - md + d = 1/m - 1/n
⇒ nd - md = 1/m - 1/n
⇒ d(n - m) = 1/m - 1/n
⇒ d(n - m) = (n - m)/mn
⇒ d = 1/mn.......................................(3)
समीकरण (1) में d का मान डालें, हमें मिलेगा,
⇒ a + md - d = 1/n
⇒ a + ( m x 1/mn ) - 1/mn = 1/n
⇒ a + 1/n - 1/mn = 1/n
⇒ a = 1/n - 1/n + 1/mn
⇒ a = 1/mn.....................................(4)
अब प्रश्न के अनुसार,
mn अंकों का योग = mn/2(2a + ( mn - 1) x d)
S_mn = mn/2(2a + ( mn - 1) x d)
a और d का मान उपरोक्त समीकरण में डालें, हमें मिलेगा,
S_mn = mn/2 [ 2 x 1/mn + ( mn - 1) x 1/mn ]
S_mn = mn/2 [2/mn + 1 - 1/mn ]
S_mn = mn/2 [ 1 + 1/mn ]
S_mn = mn/2 [ ( mn + 1 )/mn ]
S_mn = mn/2 (1 + mn)/mn
S_mn = 1/2 (1 + mn)
S_mn = (1 + mn)/2 = (mn + 1)/2

मान लेते हैं कि संख्या है n।
प्रश्न के अनुसार,
यदि 24 घटाया जाए, तो यह संख्या का 4/7 हो जाती है।
n - 24 = n x 4/7
⇒ n - 4n/7 = 24
⇒ (7n - 4n)/7 = 24
⇒ 3n/7 = 24
⇒ 3n = 24 x 7
⇒ n = 24 x 7/3
⇒ n = 8 x 7
⇒ n = 56
संख्या के अंकों का योग = 5 + 6 = 11

मान लीजिए कि ड्राइवर की सैलरी ₹ R है।
तब सप्ताह के लिए टिप्स = R x 5/4
प्रश्न के अनुसार,
एक सप्ताह में उसकी आय = सैलरी + टिप्स
⇒ एक सप्ताह में कुल आय = R + (5R/4)
⇒ एक सप्ताह में कुल आय = (4R + 5R)/4 = 9R/4

आवश्यक भिन्न = सप्ताह में टिप्स/सप्ताह में कुल आय
⇒ आवश्यक भिन्न = 5R/4 / 9R/4
⇒ आवश्यक भिन्न = 5R/4 x 4/9R
⇒ आवश्यक भिन्न = 5/9

मान लेते हैं कि राम के पास R रुपये हैं और मोहन के पास M रुपये हैं।
प्रश्न के अनुसार,
यदि राम मोहन को 30 रुपये देता है, तो
राम के पास बचे हुए पैसे हैं = R - 30 और मोहन के पास पैसे हैं = M + 30
तो मोहन के पास राम के पास बचे हुए पैसे का दो गुना होगा,
M + 30 = 2(R - 30)
M + 30 = 2R - 60
2R - M = 90................................(1)
फिर प्रश्न के अनुसार,
यदि मोहन राम को 10 रुपये देता है, तो
मोहन के पास बचे हुए पैसे हैं = M - 10 और राम के पास पैसे हैं = R + 10
प्रश्न के अनुसार,
राम के पास मोहन के पास बचे हुए पैसे का तीन गुना होगा,
R + 10 = 3(M - 10)
⇒ R + 10 = 3M - 30
⇒ 3M - R = 10 + 30
⇒ 3M - R = 40..................................(2)
2 के समीकरण (2) को गुणा करने के बाद, समीकरण (1) के साथ जोड़ें,
6M - 2R + 2R - M = 80 + 90
⇒ 6M - M = 170
⇒ 5M = 170
⇒ M = 170/5
⇒ M = 34
M का मान समीकरण (1) में डालें, हमें मिलेगा
⇒ 2R - 34 = 90
⇒ 2R = 90 + 34
⇒ 2R = 124
⇒ R = 124/2
⇒ R = 62

मान लीजिए कि संख्याएँ हैं a और b।
प्रश्न के अनुसार,
a² - b² = 256000 .......................(1)
और a + b = 1000 .........................(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से विभाजित करने पर,
(a² - b²)/(a + b) = 256000/1000
(a² - b²)/(a + b) = 256
(a + b)(a - b)/(a + b) = 256
a - b = 256...............................(3)
समीकरण (2) और (3) को जोड़ने पर, हमें मिलेगा
a + b + a - b = 1000 + 256
2a = 1256
a = 628
समीकरण (2) में a का मान डालने पर, हमें मिलेगा
658 + b = 1000
b = 1000 - 628
b = 372
इसलिए उत्तर है 628 , 372।

मान लेते हैं कि अनुपात का तत्व r है।
फिर संख्या 3r और 4r होगी।
प्रश्न के अनुसार,
(4r)² + 224 = 8 x (3r)²
16r² + 224 = 8 x 9r²
16r² + 224 = 72r²
72r² - 16r² = 224
56r² = 224
r² = 224/56
r² = 4
r = 2

पहली संख्या = 3r = 3 x 2 = 6
दूसरी संख्या = 4r = 4 x 2 = 8

मान लेते हैं कि पहली विषम संख्या a है।
तब 2nd विषम संख्या = a + 2
और 3rd विषम संख्या = a + 4
प्रश्न के अनुसार,
तीन लगातार विषम संख्याओं का योग पहले संख्या से 20 अधिक है;
a + (a + 2) + (a + 4) = a + 20
⇒ a + a + 2 + a + 4 - a = 20
⇒ 2a + 6 = 20
⇒ 2a = 20 - 6
⇒ 2a = 14
⇒ a = 7
पहली विषम संख्या a = 7
दूसरी विषम संख्या = a + 2 = 7 + 2 = 9
दूसरी विषम संख्या मध्य संख्या है = 9

विधि 1
मान लेते हैं कि अनुपात का कारक x है।
इसलिए विकास और विशाल की वर्तमान आयु क्रमशः 15x वर्ष और 8x वर्ष है।
10 वर्षों के बाद
विकास की आयु = 15x + 10 और विशाल की आयु = 8x + 10
प्रश्न के अनुसार,
(15x+10)/(8x+10) = 5/3
⇒ 3(15x + 10) = 5(8x + 10)
⇒ 45x + 30 = 40x + 50
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5
⇒ x = 4
इसलिए विकास की वर्तमान आयु = 15x = 15 x 4 = 60 वर्ष
और विशाल की वर्तमान आयु = 8x = 8 x 4 = 32 वर्ष

विधि 2
मान लेते हैं कि विकास की वर्तमान आयु = x वर्ष और विशाल की वर्तमान आयु = y वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,
विकास की वर्तमान आयु/ विशाल की वर्तमान आयु = 15/8
⇒ x/y = 15/8
⇒ 8x = 15y
⇒ 8x - 15y = 0
⇒ x = 15y/8 .................................(1)
10 वर्षों के बाद विकास की आयु = x + 10 और विशाल की आयु = y + 10
10 वर्षों के बाद आयु का अनुपात = 5/3
(x + 10)/(y + 10) = 5/3
⇒ 3(x + 10) = 5(y + 10)
⇒ 3x + 30 = 5y + 50
⇒ 3x - 5y = 50 - 30
⇒ 3x - 5y = 20 ................................(2)
समीकरण (1) से x का मान उपरोक्त समीकरण (2) में डालें।
⇒ 45y/8 - 5y = 20
⇒ 45y - 40y = 20 x 8
⇒ 5y = 20 x 8
⇒ y = 4 x 8 = 32
समीकरण (1) में Y का मान डालें
x = 15 x 32/8 = 15 x 4 = 60

इसलिए विकास की वर्तमान आयु = x = 60 वर्ष
और विशाल की वर्तमान आयु = y = 32 वर्ष

मान लीजिए पिता की उम्र F है और उसके पुत्र की उम्र S है।
प्रश्नानुसार,
पिता और पुत्र की उम्र का योग पुत्र की उम्र का 4 गुना है,
F + S = 4S
F = 3S.............. (1)
पिता और पुत्र की औसत उम्र 28 वर्ष है।
(F + S)/2 = 28
F + S = 56
समEquation (1) से F का मान लगाएं,
3S + S = 56
4S = 56
S = 14 वर्ष
पुत्र की उम्र = 14 वर्ष।

मान लें कि मध्य संख्या = x, तो पहली संख्या = x - 2 और अंतिम संख्या = x + 2
(x - 2) + x + (x + 2) = 176/4 - 14
x - 2 + x + x + 2 = 44 - 14
3x = 30
x = 10
इसलिए मध्य संख्या = x = 10

मान लें कि संख्या x है।
प्रश्न के अनुसार,
x - 20 = 7x/12
⇒ x - 7x/12 = 20
⇒ (12x - 7x)/12 = 20
⇒ 5x/12 = 20
⇒ x = 20 x 12/5
⇒ x = 4 x 12
⇒ x = 48
48 के अंकों का योग = 4 + 8 = 12

5 कलम और 8 पेंसिल की कीमत = Rs.31
3 से गुणा करने पर,
15 कलम और 24 पेंसिल = 3 x 31 =
Rs. 15 कलम और 24 पेंसिल = 93