MCQ: केंद्रीय प्रवृत्ति और परिवर्तन के माप - Bank Exams MCQ

संकल्पना:

मान लें कि वहाँ 'n' अवलोकन हैं {x₁, x₂, x₃,…, x_n}

पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग

गणना:

खोजना है: पहले 99 प्राकृतिक संख्याओं का औसत

जैसा कि हम जानते हैं, पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग

संकल्पना:

गणना:

यहाँ n = 3 है। मान लीजिए कि तीसरा संख्या x है।

⇒ x + 18 = 48

⇒ x = 30.

प्रयोग किए गए सूत्र:

यदि दी गई अवलोकनों की कुल संख्या विषम है, तो मध्य मान (median) की गणना करने का सूत्र है:

मध्य मान = {(n+1)/2}वां अवधि

यदि अवलोकनों की कुल संख्या सम है, तो मध्य मान का सूत्र है:

मध्य मान  = [(n/2)वां अवधि + {(n/2)+1}वां अवधि]/2

जहाँ n अवलोकनों की संख्या है।

मोड

मोड वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार प्रकट होता है।

दी गई जानकारी:

गणना:

चूँकि x = 14 की आवृत्ति 9 है जो अधिकतम है।

इसलिए, मोड = 14

आवृत्ति वितरण के लिए,

इसलिए, अवलोकनों की कुल संख्या = (1 + 4 + 7 + 5 + 9 + 3) = 29

इसलिए, 29 विषम संख्या है, विषम संख्या के लिए, मध्य मान का सूत्र है, 

⇒ मध्य मान = 15^वां अवधि

⇒ 15^वां अवधि की आवृत्ति

तालिका के अनुसार, 15^वां मान x = 13 पर है

तो मध्य मान = 13

संकल्पना:

गणना:

हम जानते हैं कि, 

संकल्पना:

250 और 300 के बीच अवलोकनों की संख्या खोजने के लिए।

पहले हमें इस डेटा से एक आवृत्ति वितरण तालिका बनानी होगी।

∴ 250-300 के बीच के अवलोकनों की संख्या = 38 - 15 = 23।

सिद्धांत:

मोड वह मान है जो मानों के डेटा सेट में सबसे अधिक बार प्रकट होता है।

गणना:

दिए गए डेटा मान हैं 3, 8, 6, 7, 1, 6, 10, 6, 7, 2k + 5, 9, 7, और 13

उपरोक्त डेटा सेट में, मान 6 और 7 तीन बार प्रकट हुए हैं।

लेकिन दिया गया है कि मोड 7 है।

इसलिए, 7 को 6 से अधिक बार प्रकट होना चाहिए।

इसलिए चर 2k + 5 को 7 होना चाहिए।

⇒ 2k + 5 = 7

⇒ 2k = 2

∴ k = 1

संकल्पना:

माध्य: माध्य वह मध्य संख्या है जो संख्याओं की क्रमबद्ध-आरोही या अवरोही सूची में होती है।

प्रकरण 1: यदि निरीक्षणों की संख्या (n) सम है

प्रकरण 2: यदि निरीक्षणों की संख्या (n) विषम है

गणना:

दी गई मान 2, 6, 6, 8, 4, 2, 7, 9

निरीक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

2, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 9

यहाँ, n = 8 = सम

जैसा कि हम जानते हैं, यदि n सम है, तो,

इसलिए माध्य = 6

संकल्पना:

औसत: डेटा सेट का औसत या गणना तब प्राप्त होता है जब सभी संख्याओं को जोड़ा जाता है और फिर सेट में मानों की संख्या से विभाजित किया जाता है।

मोड़: मोड़ वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार  प्रकट होता है।

माध्यिका: माध्यिका एक संख्यात्मक मान है जो एक सेट के उच्च आधे को निचले आधे से अलग करता है। 

औसत, मोड़ और माध्यिका के बीच संबंध:

मोड़ = 3(माध्यिका) - 2(औसत)

गणना:

यह दिया गया है कि,

डेटा का औसत = 4 और डेटा का मोड़ = 10

हमें पता है कि

मोड़ = 3(माध्यिका) - 2(औसत)

⇒ 10 = 3(माध्यिका) - 2(4)

⇒ 3(माध्यिका) = 18

⇒ माध्यिका = 6

इसलिए, डेटा की माध्यिका 6 होगी।

उपयोग किया गया सूत्र:

समूहबद्ध डेटा का औसत निम्नलिखित द्वारा दिया गया है,

X_i = i^वें वर्ग का औसत

f_i = i^वें वर्ग के लिए आवृत्ति

दी गई:

गणना:

अब, डेटा का औसत ज्ञात करने के लिए हमें ∑f_iX_i और ∑f_i को निम्नलिखित के अनुसार ज्ञात करना होगा,

फिर,

हमें पता है कि, समूहबद्ध डेटा का औसत निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

अतः, समूहबद्ध डेटा का औसत 35.7 है

दी गई:

दी गई डेटा है 5, 10, 3, 6, 4, 8, 9, 3, 15, 2, 9, 4, 19, 11, 4

उपयोग किया गया सिद्धांत:

मोड वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार प्रकट होता है।

माध्यिका खोजते समय

पहले, दी गई डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और फिर पद को खोजें।

उपयोग किया गया सूत्र:

Mean = सभी पदों का योग/कुल संख्या

Median = {(n + 1)/2}^वें पद जब n विषम हो

Median = 1/2[(n/2)^वें पद + {(n/2) + 1}^वें] पद जब n सम हो

Range = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

गणना:

दी गई डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करना

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 11, 15, 19

यहां, सबसे अधिक बार प्रकट होने वाला डेटा 4 है इसलिए

मोड = 4

दी गई डेटा में कुल पद, (n) = 15 (यह विषम है)

Median = {(n + 1)/2}वां पद जब n विषम हो

⇒ {(15 + 1)/2}^वें पद 

⇒ (8)^वां पद

⇒ 6 

अब, Range = अधिकतम मान – न्यूनतम मान 

⇒ 19 – 2 = 17

Range, Mode और Median का Mean = (Range + Mode + Median)/3

⇒ (17 + 4 + 6)/3 

⇒ 27/3 = 9

∴ Range, Mode और Median का माध्य 9 है

दिया गया: 20 संख्याओं का औसत शून्य है।

उपयोग किया गया सिद्धांत: हम बस सूत्र लिखते हैं और 0 से बड़े पदों की जांच करते हैं।

समाधान:

20 संख्याओं का औसत होगा 

= (n₁ + n₂ +...+ n₂₀)/20 = 0

अब हम अधिकतम मामले पर विचार करते हैं -

चलो मान लेते हैं n₁, n₂, ...n₁₉ 0 से बड़े हैं।

तो, n₂₀ = -(n₁ + n₂ +...+ n₁₉)

इसलिए, अधिकतम मामले में 19 तत्व हैं जो 0 से बड़े हैं।

तो, वहाँ 19 संख्याएँ हैं जो शून्य से बड़ी हैं।

सही उत्तर है: गणितीय माध्य का सूत्र यह है कि अवलोकनों के मानों का कुल योग अवलोकनों की संख्या से विभाजित किया जाता है।

मुख्य बिंदु

गणितीय माध्य के लिए सही सूत्र है:

गणितीय माध्य = (सभी अवलोकनों का योग) / (कुल अवलोकनों की संख्या)
यह सूत्र किसी भी संख्या के समूह के गणितीय माध्य की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, चाहे संख्याएँ समूहित हों या गैर-समूहित।

यहाँ सूत्र का उपयोग करने का एक उदाहरण है:

मान लीजिए हम पास निम्नलिखित संख्याओं का एक समूह है: 1, 2, 3, 4, 5।

गणितीय माध्य की गणना करने के लिए, हम पहले सभी संख्याओं का योग करेंगे:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

फिर, हम योग को अवलोकनों की कुल संख्या द्वारा विभाजित करेंगे:

15 / 5 = 3

इसलिए, संख्याओं के इस सेट का गणितीय माध्य 3 है।
गणितीय माध्य एक उपयोगी केंद्रीय प्रवृत्ति का माप है, और इसका अक्सर डेटा को संक्षेपित करने और विभिन्न डेटा समूहों के बीच तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

मुख्य बिंदु

• मध्य किसी डेटा सेट में मध्य मान होता है। जब डेटा को सबसे छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, तो मध्य वह मान होता है जिसके पास आधे डेटा मान उससे छोटे और आधे डेटा मान उससे बड़े होते हैं।
• इसलिए, मध्य से छोटी अवलोकनों की संख्या उसी संख्या से बड़ी अवलोकनों की संख्या के समान होती है।

आइए दिए गए डेटा सेट के लिए औसत (mean), माध्यिका (median), और प्रमुख (mode) की गणना करें: 4, 4, 5, 6, 6।

1. औसत: औसत = 4 + 4 + 5 + 6 + 6 = 25 ÷ 5 = 5

2. माध्यिका:

   • चूंकि डेटा सेट पहले से ही क्रमबद्ध है (4, 4, 5, 6, 6), माध्यिका मध्य का मान है, जो 5 है।

3. प्रमुख:

   • प्रमुख वह मान है जो सबसे अधिक बार प्रकट होता है। इस मामले में, 4 और 6 दोनों दो बार आते हैं, इसलिए डेटा सेट bimodal है, और कोई एकल प्रमुख नहीं है।

अब, आइए विकल्पों की जांच करें:

• औसत = माध्यिका: यह सच है क्योंकि औसत और माध्यिका दोनों 5 हैं।

• औसत = प्रमुख: यह सही नहीं है क्योंकि इस डेटा सेट में कोई एकल प्रमुख नहीं है।

• प्रमुख = माध्यिका: यह सही नहीं है क्योंकि डेटा bimodal है (दो प्रमुख), और माध्यिका 5 है।

• औसत माध्यिका से कम है: यह सही नहीं है क्योंकि औसत (5) माध्यिका (5) के बराबर है।

इसलिए, सही कथन है "औसत = माध्यिका।"

दिया गया:

कर्मचारियों की कुल संख्या (n) = 77

सभी कर्मचारियों का औसत वेतन = ₹78

₹45 वेतन वाले कर्मचारियों की संख्या = 32

₹82 वेतन वाले कर्मचारियों की संख्या = 25

उपयोग किया गया सिद्धांत:

कुल वेतन = औसत वेतन × कुल कर्मचारियों की संख्या

गणना:

₹45 वेतन वाले कर्मचारियों के लिए कुल वेतन

⇒ 45 × 32 = ₹1440

₹82 वेतन वाले कर्मचारियों के लिए कुल वेतन

⇒ 82 × 25 = ₹2050

कुल वेतन = 78 × 77 = ₹6006

शेष कर्मचारियों का कुल वेतन

⇒ कुल वेतन - ज्ञात कर्मचारियों का वेतन
⇒ 6006 - 1440 - 2050 = ₹2516

अब, शेष कर्मचारियों का औसत वेतन

⇒ 2516/(77 - 32 - 25) = 2516/20 = 125.8

∴ औसत वेतन ₹125.8 है।