MCQ: ज्यामितीय प्रगति - 1 - Bank Exams MCQ

स्पष्टिकरण: एक अनुक्रम को ज्यामितीय अनुक्रम कहा जाता है यदि a_n+1 = a_n * r जहाँ a₁ पहला पद है और r सामान्य अनुपात है।

दिया गया है, a = 20 और r = 4।
हम जानते हैं, a_n = ar^n-1
⇒ a₅ = 20*4⁴ = 20*256 = 5120।

यदि a जी.पी. का पहला पद है, तो जी.पी. कुछ इस तरह दिखेगा: a, a, a, a, …………
तब n पदों का योग n*a होगा।

दी गई जी.पी. में, a = 4 और r = 8/4 = 2।
हमें पता है, S_n = a(rⁿ-1)/(r-1)
→ S₅ = 4(2⁵-1) / (2-1) = 4*31 = 124।

दी गई जानकारी के अनुसार, a₅ = 27 और a₈ = 729 है।
⇒ ar⁴ = 27 और ar⁷ = 729
इन्हें विभाजित करने पर हमें मिलता है, r³ = 27 ⇒ r = 3
⇒ a = 27 / (3⁴) = 1/3
⇒ a₁₁ = ar¹⁰ = (1/3) (3¹⁰) = 39 = 19683।

यहाँ a = 2 और r = 4/2 = 2 है।
हमें ज्ञात है, S_n = a(rⁿ-1)/(r-1)
2(2ⁿ-1) / (2-1) = 254
=> 2ⁿ-1 = 127 => 2ⁿ = 128 = 2⁷
=> n=7।

गुणात्मक अनुक्रम को 4, G₁, G₂, G₃, 512 मान लें।
=> a=4 और a₅ = a*r⁴ = 512 => 4*r⁴ = 512 => r⁴ = 512/4 = 128 => r = 4.
G₁ = a₂ = a * r = 4*4 = 16.
G₂ = G₁ * r = 16 * 4 = 64.
G₃ = G₂ * r = 64*4 = 256.
इस प्रकार, डाली गई संख्याएँ 16, 64, और 256 हैं। डाली गई संख्या नहीं है 128.

मान लेते हैं कि तीन अंश हैं a/r, a, a*r।
गुणनफल = 27 => (a/r) (a) (a*r) = 27 => a³ = 27
=>a = 3।
योग = 21/2 => (a / r + a + a*r) = 21/2 => a (1 / r + 1 + 1*r) = 21/2
=> (1 / r + 1 + 1*r) = (21/2)/3 = 7/2
=> (r² + r + 1) = (7/2) r => r² – (5/2) r +1 = 0
=> r = 2 और 1/2।
अंश हैं 3/2, 3, 3*2 यानी 3/2, 3, 6।

यदि a_n = 2*5ⁿ है, तो
a₁ = 10, a₂ = 50, a₃ = 250।
यह 10 के पहले पद और 5 के सामान्य अनुपात के साथ एक भौगोलिक प्रगति (geometric progression) है।

हमें ज्ञात है, S_n = a(rⁿ-1)/(r-1)
यहाँ a = 3, r = 2 और n = 5 है।
S₅ = 3 (2⁵-1) / (2-1) = 3(32 -1) = 3*31 = 93।

दी गई जी.पी. (गुणात्मक श्रेणी) में, a = 25 और r = 125/25 = 5।
दी गई जानकारी के अनुसार, a_n = 390625 => ar^n-1 = 390625
=> 25*5^n-1 = 390625
=> 5^n-1 = 390625/25 = 15625 = 5⁶
=> n-1 = 6 => n=7।

चूंकि एक गुणात्मक श्रेणी (G.P.) के प्रत्येक पद का मान पिछले पद के मान का r गुना होता है।
यानि, a_n+1 = a_n * r = a_n-1 * r² = ….. = a₁ * rⁿ
या a_n = a * r^n-1

दी गई श्रृंखला एक गुणनात्मक श्रृंखला (G.P.) है जिसका पहला पद 1 और सामान्य अनुपात 1/2 है।
हम जानते हैं, S_n = a(1-r_n)/(1-r) जब r<1।
S₆ = 1(1-(1/2)⁶) / (1-1/2) = (1-1/64) / (1/2) = 63*2/64 = 63/32. 

मान लीजिए तीन पद हैं a/r, a, a*r।
गुणनफल = 27 => (a/r) (a) (a*r) = 27 => a³ = 27
=> a = 3।
योग = 21/2 => (a / r + a + a*r) = 21/2 => a (1 / r + 1 + 1*r) = 21/2
=> (1 / r + 1 + 1*r) = (21/2)/3 = 7/2
=> (r² + r + 1) = (7/2) r => r² – (5/2) r + 1 = 0
=> r = 2 और 1/2।

हमें पता है कि दो संख्याओं a और b का भौगोलिक औसत दिया जाता है

इसलिए, 3 और 12 का भौगोलिक औसत है