MCQ: रैखिक समीकरण - 3 - Bank Exams MCQ

दी गई समीकरणें प्रणाली की हैं
3x + y = 4 ...(i)
x + 2y = 8 ...(ii)
यहाँ, a₁ = 3 , b₂ = 2 और c₂ = B
∵ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 1/2
इसलिए, समीकरणों की प्रणाली के अनंत समाधान हैं, क्योंकि यह एक समानांतर रेखा का प्रतिनिधित्व करती है।

मान लेते हैं कि प्रारंभ में स्वर्ण सिक्कों की संख्या x है और गैर-स्वर्ण सिक्कों की संख्या y है।
प्रश्न के अनुसार,
3x = y

जब 10 और स्वर्ण सिक्के जोड़े जाते हैं, तो स्वर्ण सिक्कों की कुल संख्या x + 10 हो जाती है और गैर-स्वर्ण सिक्कों की संख्या वही y रहती है।
अब हमारे पास है 2(x + 10) = y

इन दो समीकरणों को हल करने पर हमें मिलता है
x = 20 और y = 60।
अंत में संग्रह में सिक्कों की कुल संख्या है
x + 10 + y = 20 + 10 + 60 = 90।

दिया गया है, 6x - 10y = 10 ..........(i)
और x/(x + y) = 5/7
⇒ 7x = 5x + 5y
⇒ 2x - 5y = 0 ...(ii)

समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने और समीकरण (i) से घटाने पर हमें मिलता है
6x - 10y = 10
4x - 10y = 0
---------------------
2x = 10
∴ x = 5
समीकरण (i) में x का मान डालने पर हमें मिलता है
30 - 10y = 10
⇒ 10y = 20
⇒ y = 2
∴ (x - y) = 5 - 2 = 3

दी गई जानकारी के अनुसार, 2^a + 3^b = 17
और 2^{a + 2} - 3^{b + 1} = 5
⇒ 2² x 2² - 3^b x 3¹ = 5
⇒ 4.2^a - 3.3^b = 5
मान लीजिए 2^a = x और 3^b = y
तो, x + y = 17 ...(i)
4x - 3y = 5 ...(ii)
(i) के समीकरण को 3 से गुणा करने और (ii) के समीकरण में जोड़ने पर हमें मिलता है
3x + 3y = 51
4x - 3y = 5
------------------
7x = 56
⇒ x = 8

(i) के समीकरण में x का मान डालने पर हमें मिलता है
8 + y = 17
∴ y = 9

अब, 2^a = x
⇒ 2^a = 8 (2)³
∴ 3^b = y = 9
⇒ 3^b = 3²
∴ b = 2
इसलिए, a = 3 और b = 2

ax + by = c और dx + ey = f
a₁/a₂ = a/d, b₁/b₂ = b/e, c₁/c₂ = c/f
∵ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ b/e ≠ c/f
यह एक समानांतर रेखाओं का जोड़ा दर्शाता है।
∵ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
∴ a/d ≠ b/e
इसलिए, प्रणाली में अद्वितीय समाधान हैं और यह एक इंटरसेक्टिंग रेखाओं का जोड़ा दर्शाती है।

दिया गया,
(x + y - 8)/2 = (x + 2y - 14)/3 = (3x + y - 12)/11
⇒ (x + y - 8)/2 = (x + 2y - 14)/3
⇒ 3x + 3y - 24 = 2x + 4y - 28
⇒ 3x + 3y - 2x - 4y = -28 + 24
x - y = -4 ...(i)

फिर, (x + 2y - 14)/3 = (3x + y - 12)/11
⇒ 11x + 22y - 154 = 9x + 3y - 36
⇒ 2x + 19y = 118 ..(ii)

समीकरण (i) को 2 से गुणा करने और समीकरण से घटाने पर हमें मिलता है
2x - 2y = -8
2x + 19y = 118
-------------------
-21y = -126
∴ y = 6

y के मान को समीकरण (i) में रखने पर हमें मिलता है
x - 6 = -4
∴ x = 2
∴ x = 2 और y = 6

दिए गए प्रश्न को हल करने का तरीका 1।
मान लेते हैं कि इकाई का अंक y है और दस का अंक x है। तब, संख्या है 10x + y।
प्रश्न के अनुसार, अंकों को बदलने पर नई संख्या 10y + x होती है।
तब,
नई संख्या - 18 = मूल संख्या
10y + x = 10x + y + 18
⇒ 9y - 9x = 18
⇒ y - x = 2 .....................(1)
फिर, प्रश्न के अनुसार,
मूल संख्या के अंकों का योग = 8
x + y = 8 ..............................(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमें मिलता है
y - x + x + y = 2 + 8
⇒ 2y = 10
⇒ y = 5
(2) में Y का मान डालने पर, हमें मिलता है
x + 5 = 8
⇒ x = 8 - 5 = 3
तब, मूल संख्या = 10x + y
x और y का मान डालने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।
मूल संख्या = 10x + y = 10 x 3 + 5 = 30 + 5 = 35

दिए गए प्रश्न को हल करने का तरीका 2।
दिया गया है कि मूल संख्या के अंकों का योग 8 है।
मान लेते हैं कि इकाई का अंक x है, तो दस का अंक 8 - x होगा। (क्योंकि अंकों का योग 8 है।)
अब मूल संख्या = 10(8 - x) + x
अंकों को बदलने के बाद, संख्या = 10x + (8 - x) = 9x + 8
प्रश्न के अनुसार।
नई संख्या = मूल संख्या + 18
⇒ 9x + 8 = 10(8 - x) + x + 18
⇒ 9x + 8 = 80 - 10x + x + 18
⇒ 9x + 8 = 98 - 9x
⇒ 9x + 9x = 98 - 8
⇒ 18x = 90
⇒ x = 90/18
⇒ x = 5
मूल संख्या = 10(8 - x) + x = 10(8 - 5) + 5 = 10(3) + 5 = 30 + 5 = 35

(p/x) + (q/y) = m ..(i)
(q/x) + (p/y) = n ...(ii)

समीकरण (i) को q से गुणा करने और समीकरण (ii) को p से गुणा करके घटाने पर हमें मिलता है
(pq/x) + (q²)/y = mq
(pq/x) + (p²)/y = np
-----------------------------------------
(q²/y) - (p²/y) = mq - np
∴ (q² - p²) = y(mq - np)
∴ y = (q² - p²)/mp - np = (p² - q²)/np - mq

फिर, समीकरण (i) को p से और समीकरण (ii) को q से गुणा करके घटाने पर हमें मिलता है
(p²/x) + (pq/y) = mp
(q²/x) + (pq/y) = nq
-----------------------------------------
(p²/x) - (q²/x) = mp - nq
⇒ (p² - q²) = x (mp - nq)
⇒ x = (p² - q²)/(mp - nq)
∴ x = (p² - q²)/(mp - nq)
और y = (p² - q²) / (np - mq)

मान लेते हैं कि संख्या का दसवां अंक n है। फिर इकाई स्थान का अंक 3n होगा।
प्रश्न के अनुसार,
अंकों का योग 8 के बराबर है।
अंकों का योग = 8
n + 3n = 8
⇒ 4n = 8
⇒ n = 2
तो, दसवां अंक 2 है और इकाई स्थान का अंक 6 है।
तो संख्या = 10n + 3n = 10 x 2 + 3 x 2 = 20 + 6 = 26।

मान लेते हैं कि द्विघात संख्या के अंकों को a और b के रूप में दर्शाया गया है।
प्रश्न के अनुसार,
मूल संख्या है 10a + b।
अंकों को बदलने के बाद, संख्या होगी 10b + a।
प्राप्त संख्या मूल संख्या से 45 अधिक है,
हम प्राप्त करते हैं,
नई संख्या = मूल संख्या + 45
⇒ 10b + a = 10a + b + 45
⇒ 10b + a - 10a - b = 45
⇒ 9b - 9a = 45
⇒ b - a = 5
प्रश्न के अनुसार अंकों के बीच का अंतर 5 है, जो हमें इस प्रश्न को हल करने में मदद नहीं करेगा क्योंकि प्रश्न में दी गई दोनों शर्तें समान हैं। इसलिए उत्तर निर्धारित नहीं किया जा सकता।

अब प्रयास करें और परीक्षण विधि अपनाएं
एक-एक करके सभी विकल्पों का प्रयास करें। सभी 3 विकल्प सही हैं।
लेकिन हम सभी 3 विकल्प नहीं चुन सकते, लेकिन प्रश्न के अनुसार हम उत्तर नहीं खोज सकते।

मान लें कि दस का अंक x है और इकाई का अंक y है।
तब, (10x + y) - (10y + x) = 36 ⇔ 9(x - y) = 36
⇔ x - y = 4

मान लीजिए कि पहली पुस्तक वर्ष x में प्रकाशित हुई।
प्रश्न के अनुसार,
पुस्तकें सात वर्षों के अंतराल पर प्रकाशित होती हैं,
पहली संस्करण की पुस्तक वर्ष = x
दूसरी संस्करण की पुस्तक वर्ष = x + 7
तीसरी संस्करण की पुस्तक वर्ष = x + 14
चौथी संस्करण की पुस्तक वर्ष = x + 21
पांचवीं संस्करण की पुस्तक वर्ष = x + 28
छठी संस्करण की पुस्तक वर्ष = x + 35
सातवीं संस्करण की पुस्तक वर्ष = x + 42
जब सातवीं पुस्तक जारी की गई, तो प्रकाशन वर्षों का योग 13,524 था।
x + x + 7 + x + 14 + x + 21 + x + 28 + x + 35 + x + 42 = 13524
147 + 7x = 13524
7x = 13524 - 147
⇒ x = 13377/7 = 1911
पहली पुस्तक वर्ष x में प्रकाशित हुई = 1911

मान लेते हैं कि पहली संख्या x है और दूसरी संख्या y है।
प्रश्न के अनुसार,
पहली संख्या का दो गुना और दूसरी संख्या का तीन गुना का योग 100 है।
2x + 3y = 100 ...................(1)
और तीन गुना पहली संख्या और दो गुना दूसरी संख्या का योग 120 है।
3x + 2y = 120...................(2)
(1) समीकरण से (2) समीकरण को घटाने के लिए, (1) समीकरण को 2 से और (2) समीकरण को 3 से गुणा करें, हमें मिलेगा।
3(3x + 2y) - 2(2x + 3y) = 3 x 120 - 2 x 100
9x + 6y - 4x - 6y = 360 - 200
5x = 160
x = 32
(1) समीकरण में x का मान डालें
2 x 32 +3y = 100
3y = 100 - 64
3y = 36
y = 12
बड़ी संख्या 32 है।

मान लेते हैं कि दस के अंकों की संख्या x है और इकाई स्थान का अंक y है।
तब दो अंकों की मूल संख्या = 10x + y
प्रश्न के अनुसार → y = 2x - 1 ................(1)
जब अंकों को बदल दिया जाता है, तो नई संख्या = 10y + x
यदि इकाई और दस स्थान के अंकों को बदला जाए, तो नए और मूल संख्या के बीच का अंतर मूल संख्या से 20 कम है,
नई संख्या - मूल संख्या = मूल संख्या - 20
&arr 10y + x - (10x + y) = 10x + y - 20
&arr 10y + x - 10x - y - 10x - y = - 20
&arr 8y - 19x = - 20
&arr 19x - 8y = 20 ...................(2)
उपरोक्त समीकरण (1) में y का मान डालें।
&arr 19x - 8(2x - 1) = 20
&arr 19x - 16x - 8 = 20
&arr 7x = 20 + 8
&arr 7x = 28
&arr x = 28/7
&arr x = 4
समीकरण (1) में y का मान डालें
(1) से y = 2 x 4 - 1 = y = 7
इसलिए मूल संख्या = 10x + y = 10 x 4 + 7 = 47।

मान लेते हैं कि भूरे मोज़े की संख्या = B
मान लेते हैं कि भूरे मोज़ों की कीमत = ₹ P प्रति जोड़ी
तो काले मोज़ों की कीमत = ₹ 2P प्रति जोड़ी
मोज़ों का आदान-प्रदान करने से पहले कुल राशि = काले मोज़ों की राशि + भूरे मोज़ों की राशि
⇒ आदान-प्रदान करने से पहले कुल राशि = 4 x 2P + B x P
⇒ आदान-प्रदान करने से पहले कुल राशि = 8P + BP
आदान-प्रदान करने के बाद कुल राशि = काले मोज़ों की राशि + भूरे मोज़ों की राशि
⇒ आदान-प्रदान करने के बाद कुल राशि = 4 x P + B x 2P
⇒ आदान-प्रदान करने के बाद कुल राशि = 4P + 2BP
प्रश्न के अनुसार,
आदान-प्रदान करने के बाद कुल राशि = आदान-प्रदान करने से पहले की राशि + आदान-प्रदान करने से पहले की राशि x 50%
4P + 2BP = 8P + BP + (8P + BP) x 50%
⇒ 4P + 2BP = 8P + BP + (8P + BP) x 1/2
⇒ 4P + 2BP = ( 16P + 2BP + 8P + BP) x 1/2
⇒ (4P + 2BP) x 2 = ( 16P + 2BP + 8P + BP)
⇒ 8P + 4BP = 24P + 3BP
⇒ 8P + 4BP = 24P + 3BP
⇒ 4BP - 3BP = 24P - 8P
⇒ BP = 16P
⇒ B = 16
काले और भूरे मोज़ों की जोड़ी की संख्या का अनुपात = काले मोज़ों की संख्या / भूरे मोज़ों की संख्या
⇒ मूल ऑर्डर में काले और भूरे मोज़ों की जोड़ी का अनुपात = 4/16 = 1/4 = 1: 4