MCQ: हार्मोनिक प्रगति - RRB NTPC/ASM/CA/TA MCQ

संकल्पना:

• यदि a, b और c तीन GP में हैं तो b² = ab और इसके विपरीत
• यदि तीन तत्व a, b, c HP में हैं, तो और इसके विपरीत
• जब तीन मात्राएं AP में होती हैं, तो मध्य वाला अन्य दो का गणितीय माध्य कहलाता है।
• यदि a, b और c तीन तत्व AP में हैं तो 
• और इसके विपरीत
• यदि a, b और c A.P में हैं तो 1/a, 1/b, 1/c H.P में हैं और इसके विपरीत

गणना:

(b + c), (c + a) और (a + b) AP में हैं

⇒ 2(c + a) = b + c + a + b    

⇒ 2c + 2a = 2b + a + c     -----(i)

⇒ 2c + 2a - 2b - a - c = 0

⇒ 2b = c + a

तो, a, b, c AP में हैं

अब, मान लें (b + c)2, (c + a)2, (a + b)2 GP में हैं

(c + a)² = √[(b + c).(a + b)]²

⇒ c² + a² + 2ac = (b + c).(a + b)

⇒ c² + a² + 2ac = ab + b² + ac + bc

⇒ c² + a² - b² + ac - ab - bc = 0

यहां से हम a, b और c के बीच संबंध की जांच नहीं कर पा रहे हैं 

तो, हमारी धारणा गलत थी 

तो, (b + c)², (c + a)², (a + b)² GP में नहीं हैं।

संकल्पना:

यदि a, b, c HP में हैं, तो 

यदि a, b, c AP में हैं, तो 2b = a + c

संख्याओं का एक अनुक्रम तब Harmonic progression कहलाता है जब उसके पदों का प्रतिलोम AP में हो।

गणना:

दिया गया: 1 / 4, 1 / x, 1 / 10 HP में हैं

अनुक्रम 1 / 4, 1 / x, 1 / 10 HP में है, इसलिए इसके प्रतिलोम 4, x, 10 AP में हैं।

जैसा कि हम जानते हैं, यदि a, b, c AP में हैं, तो 2b = a + c

⇒ 2x = 4 + 10

⇒ 2x = 14

∴ x = 7

संकल्पना:

यदि a, b, c ज्यामितीय अनुक्रम में हैं, तो b² = ac

यदि b - a = c - b, तो a, b, c अंकगणितीय अनुक्रम में हैं।

यदि 1/a, 1/b, 1/c अंकगणितीय अनुक्रम में हैं, तो a, b, c हार्मोनिक अनुक्रम में हैं।

गणना:

यदि a, b, c ज्यामितीय अनुक्रम में हैं, तो b² = ac

इसलिए, दोनों पक्षों को x² से गुणा करने और दोनों पक्षों का लॉग x के आधार पर लेने पर:

संकल्पना: 

तीन संख्याएँ x, y, और z H.P में होती हैं यदि और केवल यदि y 

गणना:

दी गई: तीन संख्याएँ 5, p और 10 हार्मोनिक प्रोग्रेशन में हैं

अब, उपयोग की गई संकल्पना के अनुसार

संकल्पना:

मान लीजिए कि a पहले पद है और d एक समान अंतर है किसी AP का। तब AP का nth पद निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है: a_n = a + (n - 1) × d।

नोट: यदि l किसी अनुक्रम का अंतिम पद है, तो l = a_n = a + (n - 1) × d।

गणना:

यहाँ हमें उन दो अंकों वाले संख्याओं को ढूंढना है जो 7 से विभाजित हैं।

यानी 14, 21,............,98 एक AP अनुक्रम है जिसमें पहला पद a = 14, समान अंतर d = 7 और अंतिम पद l = 98 है।

जैसा कि हम जानते हैं, यदि l किसी अनुक्रम का अंतिम पद है, तो l = an = a + (n - 1) × d

⇒ 98 = 14 + (n - 1) × 7

⇒ 84 = 7(n - 1)

⇒ 12 = n - 1

⇒ n = 13

दिया गया:

पहली श्रृंखला के लिए n^th टर्म = दूसरी श्रृंखला के लिए n^th टर्म।

संकल्पना:

अंकगणितीय प्रगति:

• एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्याओं की सूची है जिसमें प्रत्येक टर्म को पिछले टर्म में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है, पहले टर्म को छोड़कर।
• इस निश्चित संख्या को सामान्य अंतर कहा जाता है और यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

मान लीजिए कि AP का पहला टर्म 'a' है और सामान्य अंतर 'd' है और इसमें n संख्या के टर्म हैं।

a, a + d, a + 2d, a + 3d........a + (n - 1)d

इसलिए, AP का n^th टर्म निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

T_n = a + (n - 1)d

गणना:

पहली श्रृंखला पर विचार करें

3 + 10 + 17 + ...

a = 3 और d = 10 - 3 = 7

AP का n^th टर्म निम्नलिखित द्वारा दिया गया है,

(T_n)₁ = 3 + (n - 1) × 7

⇒ (Tn)₁ = 7n - 4 ........(1)

दूसरी श्रृंखला पर विचार करें

63 + 65 + 67 + ....

a = 63 और d = 2

AP का nth टर्म निम्नलिखित द्वारा दिया गया है,

(Tn)₂ = 63 + (n - 1) × 2

⇒ (Tn)₂ = 2n + 61 .......(2)

प्रश्न के अनुसार

(Tn)₁ = (Tn)₂

⇒ 7n - 4 = 2n + 61

⇒ 5n = 65

⇒ n = 13

इसलिए, दिए गए श्रृंखलाओं के लिए, 13^th टर्म समान होगा।

सिद्धांत:

गणना:

(1) से,

इसलिए, a, b और c H.P. में हैं।

सिद्धांत:

यदि a, b, c हर्मोनिक प्रोग्रेशन में हैं, तो

यदि a, b, c एरिथमैटिक प्रोग्रेशन में हैं, तो 2b = a + c

संख्याओं का एक अनुक्रम हर्मोनिक प्रोग्रेशन कहलाता है यदि इसके प्रतिलोम एरिथमैटिक प्रोग्रेशन में हों।

गणना:

दिया गया: 1/2, 1/x, 1/8 हर्मोनिक प्रोग्रेशन में हैं

अनुक्रम 1/2, 1/x, 1/8 हर्मोनिक प्रोग्रेशन में हैं, इसलिए इसके प्रतिलोम 2, x, 8 एरिथमैटिक प्रोग्रेशन में हैं।

जैसा कि हम जानते हैं, यदि a, b, c एरिथमैटिक प्रोग्रेशन में हैं, तो 2b = a + c

⇒ 2x = 2 + 8

⇒ 2x = 10

∴ x = 5

संकल्पना:

मान लीजिए कि अनुक्रम a₁, a₂, a₃ … an  एक जी.पी. है।

 

गणना:

दिया गया: अनुक्रम 2, 6, 18, 54, ..... एक जी.पी. है।

यहाँ, हमें यह पता करना है कि दिए गए अनुक्रम का कौन सा पद 4374 है।

जैसा कि हम जानते हैं, जी.पी. का सामान्य पद इस प्रकार दिया जाता है: a_n = arⁿ⁻¹

यहाँ, a = 2, r = 3 और मान लीजिए an = 4374

⇒ 4374 = (2) ⋅ (3)^{n - 1}

⇒ 3^n-1 = 2187

⇒ 3^n-1 = 3⁷

∴ n - 1= 7

तो, n = 8

इसलिए, 4374 दिए गए अनुक्रम का 8वां पद है।

संकल्पना:

किसी भी द्विघात समीकरण के लिए, ax² + bx + c = 0। हमारे पास विवर्तनांक, D = b² - 4ac है, तब दिया गया द्विघात समीकरण के पास:

I. यदि D > 0 हो तो अद्वितीय और वास्तविक मूल होते हैं।

II. यदि D = 0 हो तो वास्तविक और पुनरावृत्त मूल होते हैं।

III. यदि D < 0="" हो="" तो="" जटिल="" मूल="" होते="" हैं="" और="" एक-दूसरे="" के="" समन्वय="" होते="">

यदि a, b और c HP में हैं, तो हार्मोनिक माध्य,

गणना:

दिया गया: a (b - c) x² + b (c - a) x + c (a - b) = 0 के समान मूल हैं ⇒ विवर्तनांक, D = 0।

दिए गए समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण, ax² + bx + c = 0 से कीजिए। हमें मिलता है, a’ = a (b - c), b’ = b (c - a) और c’ = c (a - b)

चूंकि, विवर्तनांक, D = 0।

⇒ D = b² - 4ac = b² × (c - a)² - 4 × a (b - c) × c (a - b) = 0

⇒ D = (bc + ab - 2ac)² = 0

⇒ bc + ab - 2ac = 0

⇒ b × (a + c) = 2ac

अतः a, b और c HP में हैं।

दी गई जानकारी:

गणितीय माध्य = 14

ज्यामितीय माध्य = 12

उपयोग की गई सूत्र:

गणना:

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए,

HM = 12²/14

⇒ 144/14 = 72/7

∴ सही उत्तर 72/7 है।

दिया गया है कि a₁, a₂, a₃,....an एच.

मान लें d ए.पी. का सामान्य अंतर है, तो

उपरोक्त सभी को जोड़ने पर हमें मिलता है।

दी गई:

यदि एक एच.पी. के पहले दो पद 2/5 और 12/13 क्रमशः हैं।

संकल्पना:

किसी भी मौजूदा अंकगणितीय प्रगति के लिए हार्मोनिक प्रगति इस प्रकार है:

a, a+d, a+2d, a+3d, ...... a+(n-1)d इस प्रकार है,

समाधान:

प्रश्न के अनुसार,

दी गई पहली पद "a" और "d" के लिए सामान्य रूप से a_n इस प्रकार है,

स्पष्ट है, 5^वां पद सबसे बड़ा है।

संकल्पना:

किसी संख्या a और b का हार्मोनिक औसत है

H = 2ab/a+b

गणना:

मान लेते हैं a = 1, b = 3,

H = 2ab/(a+b)

H = (2 × 1 × 3)/(1 + 3)

H = 6/4 = 3/2

इसलिए,

गणना:

x₁, x₂, x₃, ......x_n का हार्मोनिक माध्य दिया गया है

ऊपर दिया गया सामान्य अनुपात 1/2 और पहले पद 1 का ज्यामितीय माध्य है। ऊपर दिए गए जी.पी. का योग होगा