Test: घातांक - 2 - CTET & State TET MCQ

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

दी गई:

• Z एक सकारात्मक पूर्णांक है
• Z = 81(Y⁴ - 7)³ . . . (1)

हमें Y का मान ज्ञात करना है।

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• दोनों पक्षों का वर्ग करते हुए:
  • Z⁵ = 3⁵⁰
• दोनों पक्षों पर 5^वें वर्गमूल लेते हुए:
  • Z = 3¹⁰ . . . (2)
• (2) को (1) में डालें:
  • 3¹⁰ = 3⁴(Y⁴ - 7)³
  • 3⁶ = (Y⁴ - 7)³
• दोनों पक्षों पर घनमूल लेते हुए:
  • 3² = Y⁴ - 7
  • Y⁴ = 9 + 7 = 16
  • Y⁴ = 2⁴ = (-2)⁴
  • Y = 2 या -2

Y के एक अद्वितीय मान को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(2) |Y-1| <>

• संख्यात्मक रेखा पर Y की 1 से दूरी 4 इकाइयों से कम है

• -3 < y=""><>

Y के लिए कई मान संभव हैं। पर्याप्त नहीं है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

• कथन 1 से, Y = 2 या -2
• कथन 2 से, -3 < y="">< 5="">
  • यह असमानता 2 और -2 दोनों द्वारा संतुष्ट की जाती है

तो, दोनों कथनों को मिलाने के बाद भी, हमारे पास Y के 2 संभावित मान हैं।

चूंकि हम Y का एक अद्वितीय मान नहीं खोज पाए, सही उत्तर है विकल्प E.

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

दिया गया:

• Z एक सकारात्मक पूर्णांक है
• Z = 81(Y⁴ - 7)³ . . . (1)

हमें Y का मान ज्ञात करना है।

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• दोनों पक्षों का वर्ग करते हुए:
  • Z⁵ = 3⁵⁰
• दोनों पक्षों का 5^वां मूल लेते हुए:
  • Z = 3¹⁰ . . . (2)
• (2) को (1) में रखें:
  • 3¹⁰ = 3⁴(Y⁴ - 7)³
  • 3⁶ = (Y⁴ - 7)³
• दोनों पक्षों का घनमूल लेते हुए:
  • 3² = Y⁴ - 7
  • Y⁴ = 9 + 7 = 16
  • Y⁴ = 2⁴ = (-2)⁴
  • Y = 2 या -2

Y का एक विशिष्ट मान निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(2) |Y-1| <>

• संख्या रेखा पर Y की 1 से दूरी 4 इकाइयों से कम है

• -3 < y=""><>

Y के लिए कई संभावित मान हैं। पर्याप्त नहीं है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

• कथन 1 से, Y = 2 या -2
• कथन 2 से, -3 < y="">< 5="">
  • यह असमानता 2 और -2 दोनों द्वारा संतुष्ट की जाती है

इसलिए, दोनों कथनों को मिलाने के बाद भी, हमारे पास Y के 2 संभावित मान हैं।

चूंकि हम Y का एक विशिष्ट मान नहीं खोज सके, सही उत्तर है विकल्प E.

सही उत्तर: विकल्प बी

काम करना:

• चूंकि इस समीकरण में x विभिन्न आधारों की शक्तियों में है, x के लिए समीकरण प्राप्त करने के लिए, हमें समीकरण के दोनों पक्षों पर आधारों को समान करना होगा।
• प्रत्येक आधार को उसके प्राथमिक कारकों के रूप में व्यक्त करना:

दोनों पक्षों पर आधार 2 की शक्तियों को समान करना:

दोनों पक्षों पर आधार 3 की शक्तियों को समान करना:

x का मान जो (1) और (2) दोनों को संतुष्ट करता है वह है:

x = 3

सही उत्तर: विकल्प D

दिया गया:

खोजना: x का मान

कार्यप्रणाली:

उत्तर विकल्पों को देखते हुए, हम देखते हैं कि सही उत्तर विकल्प A है।

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

दी गई जानकारी: x ≠ 0, y ≠ 0

खोजें: y = ?

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

दोनों पक्षों पर 2 की शक्तियों को समान करते हुए:

2x = 6 – 4y

x + 2y = 3

2 अज्ञातों के साथ 1 रैखिक समीकरण। y का अद्वितीय मान खोजने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

y का अद्वितीय मान खोजने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

• कथन 1 से: x + 2y = 3 . . . (1)

• कथन 2 से: xy = -2

(1) में (2) को प्रतिस्थापित करते हुए:

• यह द्विघात समीकरण y के 2 मान प्रदान करता है
  • y पर एकमात्र प्रतिबंध: y ≠ 0
  • चूंकि 0 उपरोक्त द्विघात समीकरण का मूल नहीं है, यह प्रतिबंध y के दो मूल में से एक को समाप्त करने में मदद नहीं करता है

• इसलिए, दोनों कथनों के संयोजन से y के 2 मान प्राप्त होते हैं

y का अद्वितीय मान प्राप्त करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

उत्तर: विकल्प E

दी गई

पद्धति

1. हम देख सकते हैं कि समीकरण के बाईं ओर के पद 2 की शक्तियाँ हैं।
   1. इसलिए, हम 2 की शक्तियों में अभिव्यक्ति को सरल करेंगे।
2. इसलिए, हमें 2^{अभिव्यक्ति में x} = 1 प्राप्त होगा। यह तभी संभव है जब अभिव्यक्ति में x = 0 (क्योंकि 2^∘ = 1)
3. हम अभिव्यक्ति में x = 0 को समान करेंगे और x > 0 की बाधा का उपयोग करके x का मान निकालेंगे।

काम करना

चूंकि x > 0 है, x का एकमात्र संभव मान 2 है।

उत्तर: D

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

• दिया गया: x, y पूर्णांक हैं > 0
• y = ax + r , जहाँ a एक सकारात्मक पूर्णांक है और r एक पूर्णांक है ऐसा कि 0 ≤ r <>

खोजें: r का मान जिसके लिए हमें x और y का मान खोजना है।

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्रता से विश्लेषण करें

• चूँकि 149 को एक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया गया है जो किसी शक्ति में है, हमें उस पूर्णांक को खोजना है। चूँकि यह पूर्णांक 149 का एक गुणांक होगा, हमें यह देखना है कि क्या 149 को किसी शक्ति के गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसलिए, चलिए इसे अभाज्य संख्याओं द्वारा इसकी विभाज्यता की जाँच करते हैं।
  • 2 द्वारा विभाज्यता: चूँकि 149 विषम है, यह 2 द्वारा विभाज्य नहीं है।
  • 3 द्वारा विभाज्यता: चूँकि 149 के अंकों का योग (यानी 14) 3 द्वारा विभाज्य नहीं है, 149 3 द्वारा विभाज्य नहीं होगा।
  • 5 द्वारा विभाज्यता: चूँकि 149 का इकाई अंक 0 या 5 नहीं है, यह 5 द्वारा विभाज्य नहीं है।
  • 7 द्वारा विभाज्यता: हम देख सकते हैं कि 149 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 2 आता है। इसलिए, यह 7 द्वारा विभाज्य नहीं है।
  • 11 द्वारा विभाज्यता: 149 को 11 से विभाजित करने पर शेषफल 4 आता है। इसलिए, यह 11 द्वारा विभाज्य नहीं है।
  • 13 द्वारा विभाज्यता: हम देखते हैं कि 149 को 13 से विभाजित करने पर शेषफल 6 आता है। इसलिए, यह 13 द्वारा विभाज्य नहीं है।
• चूँकि 12² < 149=""><>² और 149 13 तक किसी भी अभाज्य संख्या द्वारा विभाज्य नहीं है, हम कह सकते हैं कि 149 एक अभाज्य संख्या है।
• चूँकि 149 एक अभाज्य संख्या है, 149 के अलावा कोई भी पूर्णांक जो किसी भी शक्ति में हो, 149 का परिणाम नहीं देगा।
  • एकमात्र संभव विकल्प है x + y = 149 और y – x = 1
• 2 समीकरण, 2 चर, हम x और y के अद्वितीय मान ज्ञात कर सकते हैं और इस प्रकार शेषफल जान सकते हैं।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्रता से विश्लेषण करें

• तो, हमें 149 को 2 पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता है। 149 को 2 पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए, हमें 149 के गुणांक खोजना होगा।
• जैसा कि हमने ऊपर पाया कि 149 एक अभाज्य संख्या है, 149 को 2 पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने का एकमात्र संभावित मामला 149 * 1 है।
• y + x = 149 और y – x = 1
• 2 समीकरण, 2 चर, हम x और y के अद्वितीय मान ज्ञात कर सकते हैं और इस प्रकार शेषफल जान सकते हैं।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

चूँकि हमें चरण 3 और 4 से एक अद्वितीय उत्तर मिला है, यह चरण आवश्यक नहीं है।

उत्तर: D

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

• दिया गया: x, y पूर्णांक > 0
• y = ax + r, जहाँ a एक सकारात्मक पूर्णांक है और r एक पूर्णांक है जिसे 0 ≤ r <>

खोजना है: r का मान जिसके लिए हमें x और y का मान खोजना है।

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• चूंकि 149 को एक पूर्णांक के रूप में व्यक्त किया गया है जो कि किसी घात में है, हमें उस पूर्णांक को खोजना है। चूंकि यह पूर्णांक 149 का गुणांक होगा, हमें यह देखना है कि क्या 149 को किसी गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसलिए, चलिए इसे अभाज्य संख्याओं द्वारा इसकी विभाज्यता के लिए जांचते हैं।
  • 2 द्वारा विभाज्यता: चूंकि 149 विषम है, यह 2 द्वारा विभाज्य नहीं है।
  • 3 द्वारा विभाज्यता: चूंकि 149 के अंकों का योग (यानी 14) 3 द्वारा विभाज्य नहीं है, 149 भी 3 द्वारा विभाज्य नहीं होगा।
  • 5 द्वारा विभाज्यता: चूंकि 149 का इकाई अंक न तो 0 है और न ही 5, यह 5 द्वारा विभाज्य नहीं है।
  • 7 द्वारा विभाज्यता: हम देख सकते हैं कि 149 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 2 आता है। इसलिए, यह 7 द्वारा विभाज्य नहीं है।
  • 11 द्वारा विभाज्यता: 149 को 11 से विभाजित करने पर शेषफल 4 आता है। इसलिए, यह 11 द्वारा विभाज्य नहीं है।
  • 13 द्वारा विभाज्यता: हम देखते हैं कि 149 को 13 से विभाजित करने पर शेषफल 6 आता है। इसलिए, यह 13 द्वारा विभाज्य नहीं है।
• चूंकि 12² < 149=""><>² और 149 13 तक किसी भी अभाज्य संख्या द्वारा विभाज्य नहीं है, हम कह सकते हैं कि 149 एक अभाज्य संख्या है।
• चूंकि 149 एक अभाज्य संख्या है, 149 के अलावा कोई भी पूर्णांक यदि किसी भी घात में लिया जाए तो 149 नहीं बनेगा।
  • एकमात्र संभावित विकल्प है x + y = 149 और y - x = 1।
• 2 समीकरण, 2 चर हैं, हम x और y के अद्वितीय मान खोज सकते हैं और इसलिए शेषफल ज्ञात कर सकते हैं।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• तो, हमें 149 को 2 पूर्णांकों के गुणन के रूप में व्यक्त करना है। 149 को 2 पूर्णांकों के गुणन के रूप में व्यक्त करने के लिए, हमें 149 के गुणांक खोजने होंगे।
• जैसा कि हमने ऊपर पाया कि 149 एक अभाज्य संख्या है, 149 को 2 पूर्णांकों के गुणन के रूप में व्यक्त करने का एकमात्र संभावित मामला 149 * 1 है।
• y + x = 149 और y - x = 1
• 2 समीकरण, 2 चर हैं, हम x और y के अद्वितीय मान खोज सकते हैं और इसलिए शेषफल ज्ञात कर सकते हैं।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

चूंकि हमारे पास चरण 3 और 4 से एक अद्वितीय उत्तर है, यह चरण आवश्यक नहीं है।

उत्तर: D

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

• चूंकि a⁶ हमेशा सकारात्मक होता है, इसलिए a⁶ = 1, अर्थात् a = 1 या -1
• इसलिए, हम के मान को खारिज कर सकते हैं।
• यदि a = 1 और b = 1, तो a - b = 0
• यदि a = -1 और b = 1, तो a - b = -2

• इसलिए, हमें a का अद्वितीय मान खोजने की आवश्यकता है ताकि हम a - b का मान पा सकें।

  चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

  (1) a³b⁷ > 0

• a³b⁷ को ab(a²b⁶) के रूप में फिर से लिखना
• इसलिए, ab(a²b⁶) > 0
• हमें पता है कि a²b⁶ हमेशा > 0 है (किसी भी संख्या की सम शक्ति हमेशा सकारात्मक होती है)
• इसलिए, ab(a²b⁶) > 0
• इससे ab > 0 निकलता है।
• यह हमें बताता है कि a और b के पास समान संकेत हैं।
• चूंकि b > 0 है, इसलिए a भी 0 से अधिक होगा, इसलिए a = 1 का मान है।
• a - b = 1 - 1 = 0

• उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

  चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

  (2) a + b > 0

• यदि a = 1 और b = 1, तो a + b = 2 > 0
• यदि a = -1 और b = 1, तो a + b = 0, जो कि शून्य से बड़ा नहीं है।

• इसलिए, हमारे पास एक अद्वितीय उत्तर है, जहाँ a = 1 और b = 1

  इस प्रकार a - b = 1 - 1 = 0.

  उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

  चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

  चूंकि हमें चरण 3 और 4 से एक अद्वितीय उत्तर मिला है, इसलिए इस चरण की आवश्यकता नहीं है।

  उत्तर: D

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

• चूंकि a⁶ हमेशा सकारात्मक होता है, इसलिए a⁶ = 1, यानी a = 1 या -1
• इसलिए, हम के मान को अस्वीकार कर सकते हैं।

  संभावित मान a – b – - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

• यदि a = 1 और b = 1, तो a – b = 0
• यदि a = -1 और b = 1, तो a - b = -2
   

• इसलिए, हमें a का अद्वितीय मान खोजने की आवश्यकता है ताकि हम a – b का मान निकाल सकें।

   

  चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

  (1) a³ b⁷ > 0

• a³b⁷ को ab(a²b⁶) के रूप में फिर से लिखना
• इसलिए, ab(a²b⁶) > 0
• हमें पता है कि a²b⁶ हमेशा > 0 है (किसी भी संख्या की सम शक्ति हमेशा सकारात्मक होती है)
• इसलिए, ab(a²b⁶) > 0
•   ab > 0
  • यह हमें बताता है कि a और b के समान संकेत हैं।
  • चूंकि b > 0 है, इसलिए a भी 0 से बड़ा होगा, इसलिए a का मान = 1।
  • a – b = 1 - 1 = 0

• उत्तर देने के लिए पर्याप्त

   

  चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

  (2) a + b > 0

• यदि a = 1 और b = 1, तो a + b = 2 > 0
• यदि a = -1 और b = 1, तो a + b = 0, 0 से बड़ा नहीं है

• इसलिए, हमारे पास एक अद्वितीय उत्तर है, जहां a = 1 और b = 1

  इस प्रकार a – b = 1 – 1 = 0।

  उत्तर देने के लिए पर्याप्त।

   

  चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

  चूंकि हमें चरण 3 और 4 से एक अद्वितीय उत्तर मिला है, यह चरण आवश्यक नहीं है।

   

  उत्तर: D

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

• चूंकि a एक सकारात्मक पूर्णांक है, असमानता के दोनों पक्षों को गुणा करने से असमानता के संकेत पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

• इसलिए, प्रश्न सरल हो जाता है: क्या b > a?

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

इस फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं:

तो कथन 1 के अनुसार:

चूंकि a एक सकारात्मक पूर्णांक है, a^a > 0। इसलिए, हम असमानता के दोनों पक्षों को a^a से विभाजित कर सकते हैं बिना असमानता के संकेत को बदले।

इसलिए, b > a या b = a।

इसलिए, हम निश्चित रूप से नहीं कह सकते कि b > a। उत्तर के लिए अपर्याप्त।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

इस फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं:

तो, कथन 2 के अनुसार,

• चूंकि a > 0, -a < 0।="" इसलिए="" b="">< -a="" संभव="" नहीं="" है="" क्योंकि="" इसका="" मतलब="" होगा="" कि="" b="" नकारात्मक="">
• इसलिए, एकमात्र संभव मामला है b > a।

उत्तर के लिए पर्याप्त।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

चूंकि हमें चरण - 4 से एक अद्वितीय उत्तर मिला है, यह चरण आवश्यक नहीं है।

उत्तर: B

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

खोजना: यदि x^y + y^x > 0

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(1) xy > 0

• यह बताता है कि x और y का संकेत समान है। दो मामले उत्पन्न होते हैं:
  • x, y > 0
    • इस मामले में x^y, y^x > 0। इसलिए, x^y + y^x > 0
  • x, y < 0="">
    • इस मामले में, x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं, यह x और y के मानों पर निर्भर करता है। निम्नलिखित मामले उत्पन्न हो सकते हैं:
    • दोनों x, y सम हैं → इस मामले में x^y, y^x > 0। इसलिए, x^y + y^x > 0
    • दोनों x और y विषम हैं → इस मामले में x^y, y^x < 0।="" इसलिए,="">^y + y^x <>
    • x सम है और y विषम है → इस मामले में x^y < 0,="">^x > 0। x^y + y^x के मान पर टिप्पणी नहीं की जा सकती।
    • x विषम है और y सम है → इस मामले में x^y < 0,="">^x > 0। x^y + y^x के मान पर टिप्पणी नहीं की जा सकती।

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(2) x + y > 0

• x + y > 0 की शर्त को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित मामले संभव हैं:
  • x, y > 0। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में, x^y, y^x > 0। इसलिए, x^y + y^x > 0
  • x < 0,="" y=""> 0 और |y| > |x|। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं।
    • यदि y विषम है, तो x^y < 0,="">^x > 0 क्योंकि y सकारात्मक है। इस मामले में, हम x^y + y^x के मान पर टिप्पणी नहीं कर सकते।
    • यदि y सम है, तो x^y > 0, y^x > 0 क्योंकि y सकारात्मक है। इस मामले में, x^y + y^x > 0
  • x > 0, y < 0="" और="" |x|=""> |y|। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं।

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

1. कथन 1 से, xy > 0
2. कथन 2 से, x + y > 0

कथन-1 हमें बताता है कि x और y के संकेत समान हैं। निम्नलिखित मामले संभव हैं:

• यदि x और y > 0, तो xy > 0 और x + y > 0। इस मामले में x^y + y^x > 0
• यदि x और y < 0,="" तो="" x="" +="" y="">< 0।="" संभव="" नहीं।="" (यदि="" x="" और="" y="" दोनों="" नकारात्मक="" हैं,="" तो="" x="" +="" y=""> 0 नहीं हो सकता)

एकमात्र संभव मामला है जब x, y > 0 और इसलिए x^y + y^x > 0

उत्तर देने के लिए पर्याप्त।

उत्तर: C

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

यह जानने के लिए: क्या x^y + y^x > 0 है

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(1) xy > 0

• यह बताता है कि x और y एक ही संकेतन के हैं। दो मामले उत्पन्न होते हैं:
  • x, y > 0
    • इस मामले में x^y, y^x  > 0। इसलिए, x^y + y^x > 0
  • x, y < 0
    • इस मामले में, x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं भी हो सकता, यह x और y के मानों पर निर्भर करता है। निम्नलिखित मामले उत्पन्न हो सकते हैं:
    • दोनों x, y सम हैं → इस मामले में x^y, y^x  > 0। इसलिए, x^y + y^x > 0
    • दोनों x और y विषम हैं → इस मामले में x^y, y^x < 0। इसलिए, x^y + y^x < 0
    • x सम है और y विषम है → इस मामले में x^y < 0, y^x > 0। x^y + y^x के मान पर टिप्पणी नहीं कर सकते।
    • x विषम है और y सम है → इस मामले में x^y < 0, y^x > 0। x^y + y^x के मान पर टिप्पणी नहीं कर सकते।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(2) x + y > 0

• x + y > 0 की शर्त को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित मामले संभव हैं:
  • x, y > 0। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में, x^y, y^x > 0। इसलिए, x^y + y^x > 0
  • x < 0, y > 0 और |y| > |x|। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं भी हो सकता।
    • अगर y विषम है, तो x^y < 0 , y^x > 0 क्योंकि y सकारात्मक है। इस मामले में, हम x^y + y^x के मान पर टिप्पणी नहीं कर सकते।
    • अगर y सम है, तो x^y > 0 , y^x > 0 क्योंकि y सकारात्मक है। इस मामले में, x^y + y^x > 0
  • x > 0, y < 0 और |x| > |y|। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं भी हो सकता।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

1. कथन 1 से, xy > 0
2. कथन 2 से, x + y > 0

कथन-1 हमें बताता है कि x और y एक ही संकेतन के हैं। निम्नलिखित मामले संभव हैं:

• अगर x & y > 0, xy > 0 और x + y > 0। इस मामले में x^y + y^x > 0
• अगर x & y < 0, x + y < 0। संभव नहीं है। (अगर x & y दोनों नकारात्मक हैं, तो x + y > 0 नहीं हो सकता)

एकमात्र संभावित मामला है जब x, y > 0 और इसलिए x^y + y^x > 0

उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

उत्तर: C

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

पता लगाना: क्या x^y + y^x > 0 है

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(1) xy > 0

• यह बताता है कि x और y का संकेत समान है। दो मामले उत्पन्न होते हैं:
  • x, y > 0
    • इस मामले में x^y, y^x > 0 है। इसलिए, x^y + y^x > 0 है।
  • x, y < 0
    • इस मामले में, x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं, यह x और y के मानों पर निर्भर करता है। निम्नलिखित मामले उत्पन्न हो सकते हैं:
    • दोनों x, y सम हैं → इस मामले में x^y, y^x > 0 है। इसलिए, x^y + y^x > 0 है।
    • दोनों x और y विषम हैं → इस मामले में x^y, y^x < 0 है। इसलिए, x^y + y^x < 0 है।
    • x सम है और y विषम है → इस मामले में x^y < 0 है, y^x > 0 है। x^y + y^x का मान नहीं बताया जा सकता।
    • x विषम है और y सम है → इस मामले में x^y < 0 है, y^x > 0 है। x^y + y^x का मान नहीं बताया जा सकता।

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त है।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(2) x + y > 0

• x + y > 0 की शर्त को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित मामले संभव हैं:
  • x, y > 0। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में, x^y, y^x > 0 है। इसलिए, x^y + y^x > 0 है।
  • x < 0, y > 0 और |y| > |x|। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं।
    • यदि y विषम है, तो x^y < 0 है, y^x > 0 है क्योंकि y सकारात्मक है। इस मामले में, हम x^y + y^x का मान नहीं बता सकते।
    • यदि y सम है, तो x^y > 0 है, y^x > 0 है क्योंकि y सकारात्मक है। इस मामले में, x^y + y^x > 0 है।
  • x > 0, y < 0 और |x| > |y|। इसलिए, x + y > 0। इस मामले में x^y + y^x सकारात्मक हो सकता है या नहीं।

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

1. कथन 1 से, xy > 0
2. कथन 2 से, x + y > 0

कथन-1 हमें बताता है कि x और y के संकेत समान हैं। निम्नलिखित मामले संभव हैं:

• यदि x और y > 0 हैं, तो xy > 0 और x + y > 0 है। इस मामले में x^y + y^x > 0 है।
• यदि x और y < 0 हैं, तो x + y < 0 है। यह संभव नहीं है। (यदि x और y दोनों नकारात्मक हैं, तो x + y > 0 नहीं हो सकता)

संभव केवल एक मामला है जब x, y > 0 हैं और इसलिए x^y + y^x > 0 है।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

उत्तर: C

दी गई:

• लागू नहीं

खोजना: 10¹⁰ + 10⁵ - 24 का शेष जब 36 से विभाजित किया जाता है

पद्धति:

1. मान लें कि आवश्यक शेष r है। इसका अर्थ है, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
   10¹⁰ + 10⁵ - 24 = 36k + r, जहाँ भाजक k एक पूर्णांक है और 0 ≤ r <>
   उपर्युक्त अभिव्यक्ति हमारा लक्ष्य अभिव्यक्ति है। हम यह सुनिश्चित करने के लिए 10¹⁰ + 10⁵ - 24 को सरल बनाएंगे कि यह हमारे लक्ष्य अभिव्यक्ति के साथ तुलना योग्य हो, और फिर तुलना द्वारा, हम r का मान ज्ञात कर सकेंगे।

कार्यवाही:

• 10¹⁰ + 10⁵ - 24 = 100⁵ + 100^2*10 - (36 - 12)
• =(36*3 - 8)⁵ + (36*3 - 8)²*10 - 36 + 12
  • अब, बायनॉमियल थ्योरम से, हम जानते हैं कि (36*3 - 8)⁵ के विस्तार में हर पद 36 से विभाज्य होगा, अंतिम पद को छोड़कर, और अंतिम पद होगा (-8)⁵
    • तो, हम लिख सकते हैं: (36*3 - 8)⁵ का रूप 36a + (-8)⁵ है, जहाँ 36a एक ऐसा पद है जो बताता है कि इस विस्तार में सभी अन्य पद 36 से विभाज्य हैं।
  • इसी तरह, (36*3 - 8)² के विस्तार में हर पद 36 से विभाज्य होगा, अंतिम पद को छोड़कर, और अंतिम पद होगा (-8)²
    • तो, हम लिख सकते हैं: (36*3 - 8)² = 36b + (-8)²
• तो, दी गई अभिव्यक्ति सरल हो जाती है:
  • {36a + (-8)⁵} + {36b + (-8)²}*10 - 36 + 12
  • = (36a + 360b - 36) + (-8⁵ + 640 + 12)
  • = (36a + 360b - 36) + (-8⁵ + 652)
  • = (36a + 360b - 36 + 648) + (-8⁵ + 4)
  • = (36a + 360b - 36 + 36*18) + (-8⁵ + 4)
• उपर्युक्त अभिव्यक्ति हमारे लक्ष्य अभिव्यक्ति से तुलना योग्य नहीं है क्योंकि इसमें -8⁵ का पद अभी भी अनसुलझा है। क्या हमें इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए -8⁵ का मान गणना करना आवश्यक है? नहीं। हमें केवल इसे 36 के संदर्भ में व्यक्त करना है। एक बार फिर, हम बायनॉमियल थ्योरम का उपयोग करेंगे:
  • -8⁵ = -8(8²)² = -8(64)² = -8(36*2 - 8)²
    • (36*2 - 8)² के विस्तार में हर पद 36 से विभाज्य होगा, अंतिम पद को छोड़कर। अंतिम पद होगा (-8)² = 64
    • तो, अभिव्यक्ति (36*2 - 8)² को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 36c + 64
  • तो, -8(36*2 - 8)² = -8(36c + 64)
  • = -8(36c + 36*2 - 8)
  • = (-8*36c - 8*36*2) + 64
• तो, दी गई अभिव्यक्ति सरल हो जाती है: (36a + 360b - 36 + 72) + {(-8*36c - 8*36*2) + 64} + 4
  • = (36a + 360b - 36 + 72 - 8*36c - 8*36*2) + 68
  • =(36a + 360b - 36 + 72 - 8*36c - 8*36*2 + 36) + 32
• अब, उपर्युक्त अभिव्यक्ति हमारे लक्ष्य अभिव्यक्ति से बिल्कुल तुलना योग्य है: 36k + r
• तो, तुलना द्वारा, हम कह सकते हैं कि शेष r = 32 है

उत्तर विकल्पों को देखते हुए, हम देखते हैं कि सही उत्तर है विकल्प E

दी गई जानकारी:

• 1 प्रकाश वर्ष = 1 वर्ष में प्रकाश द्वारा यात्रा की गई दूरी = 9.46 x 10¹⁷ सेमी
• सूर्य से पृथ्वी तक प्रकाश द्वारा यात्रा करने में लिया गया समय = 499 सेकंड

खोजने के लिए: सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी, जो कि लाख किलोमीटर में है, के सबसे निकटतम विकल्प को

पहुंचने की विधि:

1. सवाल का उत्तर देने के लिए, हमें सूर्य और पृथ्वी के बीच की लगभग दूरी ज्ञात करनी होगी
   • ध्यान दें कि 5 उत्तर विकल्प मात्रा में काफी दूर हैं। इसलिए, हम अनुमान और राउंडिंग का उपयोग कर सकते हैं। यहां हमें बस सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी के क्रम का विचार करने की आवश्यकता है (क्या यह दूरी सौ मिलियन, हजार मिलियन या दस हजार मिलियन किलोमीटर में है)।
2. प्रकाश वर्ष की परिभाषा से, हमें 1 वर्ष में प्रकाश द्वारा यात्रा की गई दूरी मिलती है। इसलिए, यूनिटरी मेथड का उपयोग करके, हम 499 सेकंड में प्रकाश द्वारा यात्रा की गई दूरी (और इस प्रकार, सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी) ज्ञात कर सकेंगे।
   • इस समाधान को हल करते समय हमें एक बात का ध्यान रखना चाहिए - हमें अपने समाधान में एक समय की इकाई (या तो वर्ष या सेकंड) और एक दूरी की इकाई (या तो सेंटीमीटर या किलोमीटर) का उपयोग करना चाहिए।

   • हल करना:

   • दिए गए जानकारी को एक ही दूरी की इकाई और एक ही समय की इकाई में व्यक्त करना
     • चूंकि उत्तर विकल्प (लाखों में) किलोमीटर की इकाइयों में हैं, इसलिए यह हमारे लिए उचित होगा कि हम दिए गए दूरी को सेंटीमीटर से किलोमीटर में परिवर्तित करें। (यदि आप इसके विपरीत करना चाहते हैं, अर्थात यदि आप किलोमीटर को सेंटीमीटर में परिवर्तित करना चाहते हैं, तो आपको बाद में प्रत्येक उत्तर विकल्प के लिए 5 ऐसे परिवर्तनों को करना होगा - और इसलिए, यह अधिक समय लेने वाला होगा)

• समय के लिए, चलिए 1 वर्ष को सेकंड में परिवर्तित करते हैं:
  • 1 वर्ष = 365*24*60*60 सेकंड
    • = 36*24*36*10³ सेकंड लगभग।
    • (ध्यान दें: हम यहां इस अभिव्यक्ति को बहुत सरल नहीं कर रहे हैं क्योंकि हम सभी सरलताएं एक साथ करेंगे बाद में जब हमने पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी के लिए एक अभिव्यक्ति निकाली होगी)

• पृथ्वी और सूर्य के बीच की अनुमानित दूरी ज्ञात करना
  • प्रकाश वर्ष की परिभाषा से, हमें पता है कि:

• इसलिए, पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी =
• अब हम ऊपर दी गई दूरी के अभिव्यक्ति को अनुमान और राउंडिंग का उपयोग करके सरल करेंगे:
• चूंकि प्रश्न लाख किलोमीटर की इकाइयों में दूरी पूछता है, चलिए अब ऊपर दी गई दूरी को लाख किलोमीटर में व्यक्त करते हैं:

इसलिए, 1.25*10⁸ किलोमीटर = 

• = 1.25*10² लाख किलोमीटर
• = लगभग 125 लाख किलोमीटर
  • इसलिए, हम देखते हैं कि सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी का क्रम सौ लाख किलोमीटर है।

उत्तर विकल्पों को देखते हुए, हमें सही उत्तर विकल्प A मिलता है।

दी गई जानकारी:

• 1 प्रकाश वर्ष = 1 वर्ष में प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी = 9.46 x 10¹⁷ सेंटीमीटर
• सूर्य से पृथ्वी तक प्रकाश को यात्रा करने में समय = 499 सेकंड

खोजने के लिए: सूर्य और पृथ्वी के बीच, मिलियन किलोमीटर में, दूरी के सबसे करीबी विकल्प को खोजें।

पद्धति:

1. प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें सूर्य और पृथ्वी के बीच की अनुमानित दूरी ज्ञात करनी होगी
   • ध्यान दें कि 5 उत्तर विकल्पों के बीच का आकार काफी भिन्न है। इसलिए, हम अनुमान और गोलाई का प्रयोग कर सकेंगे। हमें यहां केवल सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी के आकार के बारे में विचार करने की आवश्यकता है (क्या यह दूरी सौ मिलियन, हजार मिलियन या दस हजार मिलियन किलोमीटर में है)।
2. प्रकाश वर्ष की परिभाषा से, हमें 1 वर्ष में प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी मिलती है। इसलिए, एकक विधि का उपयोग करके, हम 499 सेकंड में प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कर सकेंगे (और इस प्रकार, सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी)
   • इस समाधान को निकालते समय हमें एक बात का ध्यान रखना होगा - हमें अपने समाधान में समय की एक इकाई (या तो वर्ष या सेकंड) और दूरी की एक इकाई (या तो सेंटीमीटर या किलोमीटर) का उपयोग करना चाहिए।

   • समाधान निकालना:

   • दी गई जानकारी को एकल दूरी की इकाई और एकल समय की इकाई में व्यक्त करना
     • चूंकि उत्तर विकल्प (मिलियन) किलोमीटर की इकाइयों में हैं, यह हमारे लिए समझदारी होगी कि सेंटीमीटर में दी गई दूरी को किलोमीटर में परिवर्तित करें। (यदि आप इसके विपरीत करना चाहते हैं, यानी यदि आप किलोमीटर को सेंटीमीटर में परिवर्तित करना चाहते हैं, तो आपको बाद में 5 ऐसे परिवर्तनों करने होंगे - प्रत्येक उत्तर विकल्प के लिए एक, और इसलिए, यह अधिक समय लेने वाला होगा)

• समय के लिए, चलिए 1 वर्ष को सेकंड में परिवर्तित करते हैं:
  • 1 वर्ष = 365*24*60*60 सेकंड
    • = 36*24*36*10³ सेकंड लगभग।
    • (नोट: हम इस अभिव्यक्ति को यहां बहुत अधिक सरल नहीं कर रहे हैं क्योंकि हम सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी के लिए एक अभिव्यक्ति निकालने के बाद सभी सरलिकरण एक साथ करेंगे)

• पृथ्वी और सूर्य के बीच की अनुमानित दूरी ज्ञात करना
  • प्रकाश वर्ष की परिभाषा से, हम जानते हैं कि:

• इस प्रकार, पृथ्वी और सूर्य के बीच की दूरी =
• अब हम ऊपर दी गई दूरी के अभिव्यक्ति को अनुमान और गोलाई का उपयोग करके सरल करेंगे:
• चूंकि प्रश्न मिलियन किलोमीटर में दूरी पूछता है, चलिए अब ऊपर दी गई दूरी को मिलियन किलोमीटर में व्यक्त करते हैं:

इसलिए, 1.25*10⁸ किलोमीटर = 

• = 1.25*10² मिलियन किलोमीटर
• = लगभग 125 मिलियन किलोमीटर
  • इस प्रकार, हम देखते हैं कि सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी का क्रम सौ मिलियन किलोमीटर है।

उत्तर विकल्पों को देखते हुए, हम देखते हैं कि सही उत्तर विकल्प A है।

दिया गया

• योजना X हर 7 वर्षों में निवेशित राशि को दोगुना करती है
  • जेम्स ने योजना X में $1000 जमा किए
  • जेम्स हर 7 वर्षों के अंत में योजना X से $500 निकालता है
     
• योजना Y हर 14 वर्षों में निवेशित राशि को दोगुना करती है
  • जेम्स ने योजना Y में $1,000 जमा किए

पता लगाने के लिए: योजनाओं X और Y में कुल जमा राशि को > $40,000 तक बढ़ने में कितने वर्ष लगेंगे?

अभिगम

1. योजनाओं X और Y में जमा राशि को $40,000 से अधिक बढ़ने में लगने वाले वर्षों की संख्या जानने के लिए, हमें हर 7 वर्षों के बाद दोनों योजनाओं X और Y में राशि का पता लगाना होगा। (चूंकि योजना X हर 7 वर्षों में राशि को दोगुना करती है, इसलिए हमें हर 7 वर्षों के अंत में राशि की गणना करनी होगी, न कि 14 वर्षों के अंत में)।
2. योजना X
   1. चूंकि योजना X में निवेशित राशि हर 7 वर्षों में दोगुना होती है, हमें हर 7 वर्षों के अंतराल के बाद योजना X में राशि की गणना करनी होगी।
   2. हालांकि, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि हर 7 वर्षों के अंत में अंतिम राशि से $500 घटाएं।
3. योजना Y
   1. चूंकि योजना Y में निवेशित राशि हर 14 वर्षों में दोगुना होती है, हमें हर 14 वर्षों के अंतराल के बाद योजना Y में राशि की गणना करनी होगी।
4. हर अंतराल पर, हम योजना X और Y में राशि का योग करेंगे ताकि यह जांच सके कि यह $40,000 से अधिक है या नहीं।

कार्य करना

1. योजना X में वर्ष 7 के अंत में राशि = $1000 * 2 = $2000
   1. हालांकि जेम्स ने 7^वें वर्ष के अंत में $500 निकाला, तो शेष राशि होगी $2000 – $500 = $1500
   2. हर 7 वर्षों के अंत में राशि की गणना करते समय वही तर्क लागू किया गया है
       
2. योजना Y में वर्ष 14 के अंत में राशि = $1000 * 2 = $2000
   1. हर 14 वर्षों के अंत में राशि की गणना करते समय वही तर्क लागू किया गया है।
       
3. हम देख सकते हैं कि योजनाओं X और Y में कुल राशि वर्ष 42 के अंत तक $40,000 से अधिक हो जाती है।

उत्तर: C

दिया गया

• योजना X हर 7 वर्षों में निवेश की गई राशि को दोगुना कर देती है
  • जेम्स ने योजना X में $1000 जमा किए
  • जेम्स हर 7 वर्षों के अंत में योजना X से $500 निकालता है
     
• योजना Y हर 14 वर्षों में निवेश की गई राशि को दोगुना कर देती है
  • जेम्स ने योजना Y में $1000 जमा किए

खोजने के लिए: योजनाओं X और Y में कुल जमा राशि को बढ़कर > $40,000 होने में कितने वर्ष लगेंगे?

पद्धति

1. यह जानने के लिए कि योजनाओं X और Y में जमा राशि को $40,000 से अधिक होने में कितने वर्ष लगेंगे, हमें हर 7 वर्षों के अंत में योजनाओं X और Y में राशि ज्ञात करनी होगी। (चूंकि योजना X में राशि हर 7 वर्षों में दोगुनी होती है, इसलिए हमें 14 वर्षों के अंत में राशि की गणना नहीं करनी है।)
2. योजना X
   1. चूंकि योजना X में निवेश की गई राशि हर 7 वर्षों में दोगुनी होती है, हमें हर 7 वर्षों के अंतराल के बाद योजना X में राशि की गणना करनी होगी।
   2. हालांकि, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि हर 7 वर्षों के अंतराल में अंतिम राशि से $500 घटाए जाएं।
3. योजना Y
   1. चूंकि योजना Y में निवेश की गई राशि हर 14 वर्षों में दोगुनी होती है, हमें हर 14 वर्षों के अंतराल के बाद योजना Y में राशि की गणना करनी होगी।
4. हर अंतराल पर, हम योजना X और Y में राशियों का योग करेंगे ताकि यह देखा जा सके कि क्या यह $40,000 से अधिक है।

कार्यवाही

1. योजना X में वर्ष 7 के अंत में राशि = $1000 * 2 = $2000
   1. हालांकि जेम्स ने 7^वे वर्ष के अंत में $500 निकाला, इसलिए शेष राशि $2000 – $500 = $1500 होगी।
   2. हर 7 वर्ष के अंत में राशि की गणना करते समय यही लॉजिक लागू किया गया है
       
2. योजना Y में वर्ष 14 के अंत में राशि = $1000 * 2 = $2000
   1. हर 14 वर्षों के अंत में राशि की गणना करते समय यही लॉजिक लागू किया गया है।
       
3. हम देख सकते हैं कि योजनाओं X और Y में कुल राशि वर्ष 42 के अंत तक $40,000 से अधिक हो जाती है।

उत्तर: C

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

• x एक पूर्णांक है ऐसा कि 0 < x=""><>
• x, 2^y से विभाज्य है, जहाँ y एक सकारात्मक पूर्णांक है
• चूँकि y > 0 है, इसका मतलब है कि 2 निश्चित रूप से एक प्रमुख गुणांक है
• चूँकि x एक सकारात्मक पूर्णांक है, हम x का प्रधान-गुणांकित रूप इस प्रकार लिख सकते हैं: 
• ये पूर्णांक हैं > 0, z ≥ y और   2 के अलावा अन्य प्रमुख संख्या हैं।
  • चूँकि x < 100="" है,="">^z <>
  • इसलिए, z = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} क्योंकि 2⁷ = 128 > 100
  • चूँकि x पूरी तरह से 2^y से विभाज्य है, z ≥ y। इसलिए, y z के किसी भी मान को ले सकता है, अर्थात् 1 ≤ y ≤ 6

• खोजना: y का अनोखा मान

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• चूँकि x एक सकारात्मक पूर्णांक है, x < -60="" संभव="" नहीं="">
• इसलिए, x > 60, अर्थात् 60 < x="">< 100="">

हालांकि, हमें नहीं पता कि 2 x का एकमात्र प्रमुख गुणांक है या नहीं। इसलिए, हम y का एक अनोखा मान नहीं ढूंढ सकते।

• उदाहरण के लिए, यदि 2 x का एकमात्र प्रमुख गुणांक है, तो y केवल 1 मान ले सकता है: 6
• लेकिन यदि x के अन्य प्रमुख गुणांक हैं, तो y के कई मान संभव हैं। उदाहरण के लिए, x 2²*3^*7 (y = 2) या 2³*11 (y = 3) आदि हो सकता है।

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• x के प्रधान गुणांकित अभिव्यक्ति का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं: 
• चूँकि इस विभाजन से प्राप्त पूर्णांक विषम है, इसलिए अंश और हर में 2 की शक्तियाँ एक-दूसरे को समाप्त कर देनी चाहिए।
• इसलिए 2^2z = 2^y+2
• z=y/2+1 ….(1)। इसलिए, y का मान सम होना चाहिए क्योंकि z एक पूर्णांक है
• इसके अलावा, चरण 1 और 2 में हमारे चर्चा से, हम जानते हैं कि z ≥ y
• (1) को ऊपर के असमानता में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है:

(2) का उपयोग करते हुए, साथ ही यह निष्कर्ष कि y सम होना चाहिए, हमारे पास y = 2 एकमात्र संभव विकल्प है।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

चूँकि हमारे पास चरण 4 से एक अद्वितीय उत्तर है, यह चरण आवश्यक नहीं है।

उत्तर: B  

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

• x एक पूर्णांक है ऐसा कि 0 < x=""><>
• x 2^y द्वारा विभाजित है, जहाँ y एक सकारात्मक पूर्णांक है
• चूँकि y > 0 है, इसका मतलब है कि 2 निश्चित रूप से एक प्रमुख गुणांक है
• चूँकि x एक सकारात्मक पूर्णांक है, हम x का प्रमुख-गुणांकित रूप इस प्रकार लिख सकते हैं:
• z और y पूर्णांक हैं ऐसे कि z ≥ y और ये 2 के अलावा अन्य प्रमुख संख्याएँ हैं।
  • चूँकि x < 100,="">^z <>
  • तो, z = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } है क्योंकि 2⁷ = 128 > 100
  • चूँकि x पूरी तरह से 2^y द्वारा विभाजित है, z ≥ y। तो, y z का कोई भी मान ले सकता है, यानी 1 ≤ y ≤ 6

• खोजें: y का अद्वितीय मान

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• चूँकि x एक सकारात्मक पूर्णांक है, x < -60="" संभव="" नहीं="">
• तो, x > 60, यानी 60 < x=""><>

हालांकि, हमें नहीं पता कि 2 x का एकमात्र प्रमुख गुणांक है या नहीं। इसलिए, हम y का अद्वितीय मान नहीं निकाल सकते।

• उदाहरण के लिए, यदि 2 x का एकमात्र प्रमुख गुणांक है, तो y का केवल 1 मान हो सकता है: 6
• लेकिन अगर x के अन्य प्रमुख गुणांक हैं, तो y के कई मान संभव हैं। उदाहरण के लिए, x 2²*3^*7 (y = 2) या 2³*11 (y = 3) आदि हो सकता है।

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• x के प्रमुख गुणांकित व्यंजक का उपयोग करते हुए, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
• चूँकि इस विभाजन से प्राप्त पूर्णांक विषम है, इसलिए अंश और हर की 2 की शक्तियाँ एक-दूसरे को समाप्त कर देनी चाहिए।
• इसलिए 2^2z = 2^y+2
• z=y/2+1 ….(1)। इसलिए, y को युग्म होना चाहिए क्योंकि z एक पूर्णांक है
• इसके अलावा, चरण 1 और 2 में हमारी चर्चा से, हम जानते हैं कि z ≥ y
• (1) को ऊपर दिए गए असमानता में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है:

(2) का उपयोग करते हुए, साथ ही इस निष्कर्ष के साथ कि y को युग्म होना चाहिए, हमारे पास y = 2 एकमात्र संभव विकल्प है।

उत्तर देने के लिए पर्याप्त।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

चूँकि हमें चरण 4 से एक अद्वितीय उत्तर प्राप्त हुआ है, यह चरण आवश्यक नहीं है।

उत्तर: B  

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष Draw करें

दी गई: दो संख्याएँ a और b

किसे खोजना है: क्या 0 <>^b <>

संभावित मामले निम्नलिखित हैं:       

1. a ≥ 1 → 

• यदि b≥  0 है, तो a^b ≥ 1। इसलिए, प्रश्न का उत्तर NO है।
• यदि b < 0="" है,="" तो="" 0=""><>^b < 1।="" इसलिए,="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">

2. 0 < a="">< 1="" →="" b="" के="" मान="" की="" परवाह="" किए="" बिना,="" 0=""><>^b < 1।="" इसलिए,="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">

3. यदि a = 0 → b के मान की परवाह किए बिना, a^b = 0। इसलिए, प्रश्न का उत्तर NO है।

4. -1 < a="">< 0="">

• यदि b सम है, तो 0 <>^b < 1।="" इसलिए,="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">
• यदि b विषम है, तो -1 <>^b < 0।="" इसलिए,="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" no="">

5. a ≤ -1 →

• यदि b सम है, तो ab≥1। इसलिए, प्रश्न का उत्तर NO है।
• यदि b विषम है, तो ab≤1। इसलिए, प्रश्न का उत्तर NO है।

तो, प्रश्न का उत्तर YES होगा, यदि:

• a ≥  1 और b < 0="">

• 0 < a="">< 1="">
• -1 < a="">< 0="" और="" b="" सम="">

और प्रश्न का उत्तर NO होगा, यदि:

• a ≥  1 और b ≥ 0 या
• a = 0 या
• -1 < a="">< 0="" और="" b="" विषम="" है="">
• a ≤ -1

इसलिए, हम दिए गए प्रश्न का उत्तर उपरोक्त मामलों के लिए एक अद्वितीय उत्तर के साथ दे सकते हैं। 

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(1) |a| <>

• इसका अर्थ है, -1 < a="">< 1।="" तो,="" निम्नलिखित="" मामले="" हो="" सकते="">
• -1 < a="">< 0="" →="" जैसा="" कि="" हमने="" ऊपर="" अपने="" विश्लेषण="" से="" देखा="" है="" कि="" इस="" मामले="" में="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="" या="" no="" हो="" सकता="">
• अब, हमें अन्य मामलों का विश्लेषण करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि हम इस मामले से अद्वितीय नहीं हैं, लेकिन हम विश्लेषण को पूरा करने के लिए ऐसा करेंगे।
• a = 0 → इस मामले में प्रश्न का उत्तर NO है।
• 0 < a="">< 1="" →="" इस="" मामले="" में="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">
• चूंकि हमारे पास अद्वितीय उत्तर नहीं है, हम निश्चित रूप से नहीं कह सकते कि 0 <>^b <>

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(2) b एक सकारात्मक विषम पूर्णांक है

• हमने चरण 1 और 2 में अपने विश्लेषण से देखा है कि हमें इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए a के मानों की सीमा खोजने की आवश्यकता है।
• चूंकि हमें a का मान नहीं पता है, यह कथन 0 <>^b < 1="" बताने="" के="" लिए="" अपर्याप्त="">

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

(1) कथन 1 से, -1 < a=""><>

(2) कथन 2 से, b > 0

संभावित मामले निम्नलिखित हैं:

• -1 < a="">< 0="" →="" हमने="" चरण="" 1="" और="" 2="" में="" अपने="" विश्लेषण="" से="" देखा="" है="" कि="" यदि="" b="" विषम="" है,="" तो="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" no="">
• a = 0 → हमने चरण 1 और 2 में अपने विश्लेषण से देखा है कि इस मामले में प्रश्न का उत्तर NO है।
• 0 < a="">< 1="" →="" हमने="" चरण="" 1="" और="" 2="" में="" अपने="" विश्लेषण="" से="" देखा="" है="" कि="" इस="" मामले="" में="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">

चूंकि हमारे पास अद्वितीय उत्तर नहीं है, कथनों का संयोजन उत्तर देने के लिए अपर्याप्त है।

उत्तर: E

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

दी गई: दो संख्याएँ a और b

खोजना: क्या 0 <>^b <>

संभावित मामले हैं:

1. a ≥ 1 →

• यदि b ≥ 0 है, तो a^b ≥ 1. इसलिए, प्रश्न का उत्तर NO है।
• यदि b < 0="" है,="" तो="" 0=""><>^b < 1.="" इसलिए,="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">

2. 0 < a="">< 1="" →="" b="" के="" मान="" की="" परवाह="" किए="" बिना,="" 0=""><>^b < 1।="" इसलिए,="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">

3. यदि a = 0 → b के मान की परवाह किए बिना, a^b = 0। इसलिए, प्रश्न का उत्तर NO है।

4. -1 < a="">< 0="">

• यदि b सम है, तो 0 <>^b < 1।="" इसलिए,="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">
• यदि b विषम है, तो -1 <>^b < 0।="" इसलिए,="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" no="">

5. a ≤ -1 →

• यदि b सम है, तो ab ≥ 1। इसलिए, प्रश्न का उत्तर NO है।
• यदि b विषम है, तो ab ≤ 1। इसलिए, प्रश्न का उत्तर NO है।

तो, प्रश्न का उत्तर YES होगा, यदि:

• a ≥ 1 और b < 0="">

• 0 < a="">< 1="">
• -1 < a="">< 0="" और="" b="" सम="">

और प्रश्न का उत्तर NO होगा, यदि:

• a ≥ 1 और b ≥ 0 या
• a = 0 या
• -1 < a="">< 0="" और="" b="" विषम="" है="">
• a ≤ -1

तो, हम दिए गए प्रश्न का उत्तर उपर्युक्त मामलों के लिए एक अद्वितीय उत्तर के साथ दे सकते हैं।

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(1) |a| <>

• इसका अर्थ है, -1 < a="">< 1।="" तो,="" निम्नलिखित="" मामले="" हो="" सकते="">
• -1 < a="">< 0="" →="" जैसा="" कि="" हमने="" अपने="" विश्लेषण="" में="" देखा="" है="" कि="" इस="" मामले="" में="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="" या="" no="" हो="" सकता="">
• अब, हमें अन्य मामलों का विश्लेषण करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि हम इस मामले से अद्वितीय उत्तर प्राप्त नहीं करते हैं, लेकिन हम विश्लेषण को पूरा करने के लिए ऐसा करेंगे।
• a = 0 → इस मामले में प्रश्न का उत्तर NO है।
• 0 < a="">< 1="" →="" इस="" मामले="" में="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">
• चूंकि हमारे पास अद्वितीय उत्तर नहीं है, हम निश्चित रूप से नहीं कह सकते कि 0 <>^b <>

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(2) b एक सकारात्मक विषम पूर्णांक है

• हमने चरण 1 और 2 में अपने विश्लेषण से देखा है कि हमें इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए a के मानों की सीमा खोजने की आवश्यकता है।
• चूंकि हमें a का मान ज्ञात नहीं है, यह कथन 0 <>^b < 1="" बताने="" के="" लिए="" अपर्याप्त="">

उत्तर देने के लिए अपर्याप्त

चरण 5: दोनों बयान एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

(1) कथन 1 से, -1 < a=""><>

(2) कथन 2 से, b > 0

संभावित मामले हैं:

• -1 < a="">< 0="" →="" हमने="" चरण="" 1="" और="" 2="" में="" अपने="" विश्लेषण="" से="" देखा="" है="" कि="" यदि="" b="" विषम="" है,="" तो="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" no="">
• a = 0 → हमने चरण 1 और 2 में अपने विश्लेषण से देखा है कि इस मामले में प्रश्न का उत्तर NO है।
• 0 < a="">< 1="" →="" हमने="" चरण="" 1="" और="" 2="" में="" अपने="" विश्लेषण="" से="" देखा="" है="" कि="" इस="" मामले="" में="" प्रश्न="" का="" उत्तर="" yes="">

चूंकि हमारे पास अद्वितीय उत्तर नहीं है, कथनों का संयोजन उत्तर देने के लिए अपर्याप्त है।

उत्तर: E

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

दी गई जानकारी:

चरण 3: कथन 1 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

(1) Z, 40 से विभाज्य है लेकिन 50 से नहीं है।

• 40 = 2³*5
• 50 = 2*5²

• Z में 2 की शक्ति कम से कम 3 है।
  • a ≥ 3
• Z में 5 की शक्ति 1 है।
  • b = 1

• इसलिए, a – b ≥ 3 – 1

a – b ≥ 2

तो, पूछे गए प्रश्न का उत्तर है: नहीं

कथन 1 प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

चरण 4: कथन 2 का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करें

• समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही आधार की शक्तियों को बराबर करें:
  • a(a - b) = 6. . . (1)
  • b(a - b) = 2. . . (2)
• (1) को (2) से विभाजित करें।

• b का न्यूनतम मान 1 है (b एक सकारात्मक पूर्णांक है)।
  • इसलिए, a – b का न्यूनतम मान = 2

इस प्रकार, पूछे गए प्रश्न का उत्तर है: नहीं

कथन 2 प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

चूंकि हम पहले ही चरण 3 और 4 में अद्वितीय उत्तर पर पहुँच चुके हैं, इसलिए इस चरण की आवश्यकता नहीं है।

उत्तर: विकल्प D

दिया गया

• पहले 15 सकारात्मक पूर्णांकों का गुणनफल = 1*2*3…….* 15 = 15!
   
• पहले 20 सकारात्मक पूर्णांकों का गुणनफल = 1*2*3*…….* 20 = 20!
  • तो, हम लिख सकते हैं 20! = 15! * 16 * 17 * 18 * 19 * 20

खोजें: 4 की अधिकतम शक्ति जो (20! – 15!) को विभाजित करती है

विधि

1. हमें पहले 20! – 15! के अभिव्यक्ति को सरल करना होगा।

1. हमें पता है कि 20! = 15! * 16 * 17 * 18 * 19 * 20
2. इसलिए, 20! – 15! = 15! (20*19*18….*16 – 1) = 15! * विषम पूर्णांक
   1. चूंकि 20 *19*…..16 सम है, और 1 विषम है, 20*19*……16 -1 विषम होगा
3. इसलिए, हमें केवल 15! में 4 की अधिकतम शक्ति खोजने की आवश्यकता है।

2. 15! में 4 की अधिकतम शक्ति खोजने के लिए, हमें पहले 15! में 2 की अधिकतम शक्ति खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि 4 = 2²

1. आइए एक सरल उदाहरण लेते हैं ताकि हम समझ सकें कि हम इसे कैसे खोज सकते हैं। एक संख्या p = 1*2*3*4 को मान लें। हमें p में 2 की शक्ति खोजने की आवश्यकता है।
2. अब, 2 की शक्तियाँ 2 के गुणांक में आएंगी। इसलिए, हमें पहले p में 2 के गुणांक खोजना चाहिए। वे 2 और 4 हैं। हालाँकि, सभी 2 के गुणांक केवल 2¹ में नहीं होंगे। उनमें से कुछ में उच्च शक्तियाँ हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यहाँ 4 में 2² है।
3. इसलिए, जब हम 2 के गुणांक खोज रहे हैं, तो हमें p में उच्च शक्तियों के गुणांक भी खोजना चाहिए।
4.   इसलिए, 2 p में 2 + 1 = 3 बार आएगा।

3. हम 15! में 2 की शक्ति खोजने के लिए वही तर्क का उपयोग करेंगे।

1. एक बार जब हम 15! में 2 की शक्ति जान लेते हैं, तो हम 15! में 4 की शक्ति खोज सकते हैं।

काम करना

दिया गया

• पहले 15 सकारात्मक पूर्णांकों का गुणनफल = 1*2*3...*15 = 15!
  
• पहले 20 सकारात्मक पूर्णांकों का गुणनफल = 1*2*3...*20 = 20!
  • इसलिए, हम लिख सकते हैं 20! = 15! * 16 * 17 * 18 * 19 * 20

खोजें: 4 की अधिकतम शक्ति जो (20! - 15!) को विभाजित करती है

पद्धति

1. हम पहले 20! - 15! के समीकरण को सरल करेंगे।

1. हमें पता है कि 20! = 15! * 16 * 17 * 18 * 19 * 20
2. तो, 20! - 15! = 15! (20*19*18...*16 - 1) = 15! * विषम पूर्णांक
   1. चूंकि 20 * 19 * ... * 16 सम है, और 1 विषम है, 20 * 19 * ... * 16 - 1 विषम होगा
3. इसलिए, हमें केवल 15! में 4 की अधिकतम शक्ति खोजने की आवश्यकता है।

2. 15! में 4 की अधिकतम शक्ति खोजने के लिए, हमें पहले 15! में 2 की अधिकतम शक्ति खोजनी होगी, क्योंकि 4 = 2²

1. चलो, एक सरल उदाहरण लेते हैं ताकि हम समझ सकें कि हम इसे कैसे खोज सकते हैं। मान लीजिए p = 1*2*3*4। हमें p में 2 की शक्ति खोजनी है।
2. अब, 2 की शक्तियाँ 2 के गुणकों में होंगी। इसलिए, हमें पहले p में 2 के गुणकों को खोजना चाहिए। वे 2 और 4 हैं। हालाँकि सभी 2 के गुणक केवल 2¹ में नहीं होंगे। उनमें से कुछ में 2 की उच्च शक्तियाँ हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यहाँ 4 में 2² है।
3. इसलिए, जब हम 2 के गुणकों को खोज रहे हैं, तो हमें p में उच्च शक्तियों के गुणकों को भी खोजना चाहिए।
4. इसलिए, 2 p में 2 + 1 = 3 बार होगा।

3. हम 15! में 2 की शक्ति खोजने के लिए वही तर्क का उपयोग करेंगे।

1. जब हमें 15! में 2 की शक्ति पता हो जाएगी, तो हम 15! में 4 की शक्ति खोज सकते हैं।

कार्यवाही

दिया गया:

खोजें: PODD(-15) किस दिए गए 3 विकल्पों में से विभाज्य नहीं होगा?

पद्धति:

1. दिए गए 3 विकल्प 3, 5 और 7 की शक्तियों से संबंधित हैं। इसलिए, प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम PODD(-15) के प्राथमिक-गुणांकित अभिव्यक्ति में 3, 5 और 7 की शक्तियाँ खोजेंगे।
2. यदि उस विकल्प में प्राथमिक तत्व की शक्ति PODD(-15) के प्राथमिक-गुणांकित अभिव्यक्ति में उस प्राथमिक तत्व की शक्ति से अधिक है, तो विकल्प का उत्तर YES (जिसका अर्थ है कि वह विकल्प PODD(-15) को पूर्ण रूप से विभाजित नहीं करेगा) होगा।
   (उदाहरण के लिए, 2⁵ 2⁴*3 के रूप में किसी संख्या को विभाजित नहीं करेगा।)

कार्यवाही:

• PODD(-15) में 3 की शक्ति ज्ञात करना और विकल्प I का मूल्यांकन करना

​

• PODD(-15) के लिए अभिव्यक्ति पर फिर से देखें:
  
  • PODD(-15) = (-1)⁸(1*3*5*7*9*11*13*15)²
  • ध्यान दें कि उपरोक्त 3 के प्रत्येक गुणांक PODD(-15) में दो बार होता है।
• तो, PODD(-15) में 3 की शक्ति = (1+2+1)*2= 4*2 = 8
• चूंकि विकल्प I में 3 की शक्ति PODD(-15) में 3 की शक्ति के बराबर है, 3⁸ पूर्ण रूप से PODD(-15) को विभाजित करेगा।

PODD(-15) में 5 की शक्ति ज्ञात करना और विकल्प II का मूल्यांकन करना

• • चूंकि 5 और 15 के गुणांक PODD(-15) में दो बार होते हैं, PODD(-15) में 5 की शक्ति = (1+1)*2 = 4
  • चूंकि विकल्प II में 5 की शक्ति PODD(-15) में 5 की शक्ति से अधिक है, 5⁵ पूर्ण रूप से PODD(-15) को विभाजित नहीं करेगा।
• PODD(-15) में 7 की शक्ति ज्ञात करना और विकल्प III का मूल्यांकन करना
  • PODD(-15) में 7 का एकमात्र गुणांक 7 स्वयं है।
  • चूंकि 7 PODD(-15) में दो बार होता है, PODD(-15) में 7 की शक्ति = 1*2 = 2
  • चूंकि विकल्प III में 7 की शक्ति PODD(-15) में 5 की शक्ति से अधिक है, 7³ पूर्ण रूप से PODD(-15) को विभाजित नहीं करेगा।
• इस प्रकार हम देखते हैं कि केवल विकल्प II और III पूर्ण रूप से PODD(-15) को विभाजित नहीं करेंगे।

उत्तर विकल्पों को देखते हुए, हम देखते हैं कि सही उत्तर है विकल्प E

दी गई

पद्धति

1. हमें का मान खोजने की आवश्यकता है और हमें का मान दिया गया है।
   1. ऊपर दिए गए 2 अभिव्यक्तियों से हम देख सकते हैं कि का रूप a + b है और का रूप a² + b² है।
   2. हमें यह भी पता है कि (a+b)² = a² + b² + 2ab।
   3. हम ऊपर दिए गए संबंध का उपयोग करेंगे और यह शर्त मानते हुए कि x > 0 है, का मान निकालेंगे।

​कार्यवाही

चूंकि x > 0 है, -7 के बराबर नहीं हो सकता। इसलिए, = 7।

उत्तर: D

दी गई जानकारी:

• x और y भिन्न सकारात्मक पूर्णांक हैं। इसका मतलब है कि x≥1, y≥1 और x≠y।
• x और y में दो समीकरण भी दिए गए हैं।

खोजने के लिए:

• (x)^(y+1) का मान।
• इसलिए हमें (x)^(y+1) के मान को खोजने के लिए x और y के मान ज्ञात करने की आवश्यकता है।

विधि:

• पहली समीकरण से, जो x में एक समीकरण है, हम x के मान ज्ञात करेंगे।
• हम पहले समीकरण से निकाले गए x के मान को दूसरे समीकरण में रखेंगे, ताकि y के मान ज्ञात कर सकें।
• x और y के मानों को जानकर और x और y के मान पर प्रतिबंधों के सेट को ध्यान में रखते हुए, हम (x)^(y+1) का मान निकालेंगे ताकि अंतिम उत्तर प्राप्त किया जा सके।

काम करने की प्रक्रिया:

उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करने पर, चूंकि दोनों का आधार 2 है, हमें मिलता है:

⇒x²=5x−4

दोनों पक्षों से 5x - 4 घटाने पर हमें मिलता है:

इससे हमें x=1 या x=4 मिलता है।

• मामला 1: x=1 (समीकरण 1 से प्राप्त मान)
• x=1 को समीकरण 2 में रखने पर हमें मिलता है:

• उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करने पर, चूंकि दोनों का आधार 3 है, हमें मिलता है:

⇒ y+1=2

⇒ y=1

मामला 2: x=4 (समीकरण 1 से प्राप्त मान)

• x=4 को समीकरण 2 में रखने पर हमें मिलता है:

• उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करने पर, चूंकि दोनों का आधार 3 है, हमें मिलता है:

⇒ y + 4 = 5

⇒ y = 1

• इसलिए, हमारे पास x और y के दो मानों के जोड़े हैं।

जोड़ा 1: (x,y)=(1,1) (मामला 1 से)

जोड़ा 2: (x,y)=(4,1) (मामला 2 से)

• हमें मान को अस्वीकृत करना होगा, जब (x,y) = (1,1), क्योंकि हमने पहले ही स्थापित किया है कि x≠y।

दी गई जानकारी:

• x और y भिन्न सकारात्मक पूर्णांक हैं। इसका मतलब है कि x ≥ 1, y ≥ 1 और x ≠ y
• इसके अलावा x और y के लिए दो समीकरण दिए गए हैं

क्या खोजना है:

• (x)^(y+1) का मान
• इसलिए हमें (x)^(y+1) के मान को खोजने के लिए x और y के मानों को खोजना होगा।

पद्धति:

• पहले समीकरण से, जो x में एक समीकरण है, हम x के मान निकालेंगे।
• हम पहले समीकरण से प्राप्त x के मानों को दूसरे समीकरण में रखेंगे, ताकि y के मानों को खोजा जा सके।
• x और y के मानों को जानने के बाद और x और y के मान पर जो प्रतिबंध हैं, हम (x)^(y+1) का मान निकालेंगे ताकि अंतिम उत्तर मिल सके।

कार्य करने का तरीका:

उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करते समय, चूंकि दोनों का आधार 2 है, हमें मिलता है

⇒x²=5x−4

5x - 4 को दोनों पक्षों से घटाने पर हमें मिलता है

तो हमें मिलता है x=1 या x=4

• केस 1: x=1 (समीकरण 1 से निकाला गया मान)
• समीकरण 2 में x=1 रखने पर, हमें मिलता है

• उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करते समय, चूंकि दोनों का आधार 3 है, हमें मिलता है

⇒ y+1=2

⇒ y=1

केस 2: x=4 (समीकरण 1 से निकाला गया मान)

• समीकरण 2 में x=4 रखने पर, हमें मिलता है

• उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करते समय, चूंकि दोनों का आधार 3 है, हमें मिलता है

⇒ y + 4 = 5

⇒ y = 1

• तो, हमारे पास x और y के दो मानों के जोड़े हैं

जोड़ा 1: (x,y)=(1,1) (केस 1 से)

जोड़ा 2: (x,y)=(4,1) (केस 2 से)

• हमें मान को अस्वीकृत करना होगा, जब (x,y) = (1,1), क्योंकि हमने पहले ही स्थापित किया है कि x ≠ y।