आरएस अग्रवाल परीक्षण: त्रिकोण - CTET & State TET MCQ

त्रिभुज DEF का परिमाण निकालने के लिए, पहले हमें त्रिभुज ABC का परिमाण ज्ञात करना होगा। त्रिभुज ABC का परिमाण = AB + BC + CA = 3 + 2 + 2.5 = 7.5 सेमी।
चूंकि त्रिभुज DEF, त्रिभुज ABC के समान है, और EF = 4 सेमी है, हम समानुपात का उपयोग करके DEF के परिमाण की गणना कर सकते हैं।
समामिति के लिए, हम यह जानते हैं कि EF / BC = DEF का परिमाण / ABC का परिमाण।
यहां EF = 4 सेमी है और BC = 2 सेमी है।
इसलिए, DEF का परिमाण = (4 / 2) * 7.5 = 15 सेमी।
इस प्रकार, त्रिभुज DEF का परिमाण 15 सेमी है।

कोण विभाजक प्रमेय के अनुसार, एक कोण विभाजक त्रिकोण की विपरीत भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है जो त्रिकोण की अन्य दो भुजाओं के अनुपात के समान होते हैं। दूसरे शब्दों में,
AB/BD = AC/CD.
अब,
AB/AC=BD/DC
जो आवश्यक अनुपात है।
इस प्रकार BD/DC=3/4 है।

Δ ABC एक समकोण त्रिभुज है।

त्रिभुज ABD में पायथागोरस के प्रमेय के अनुसार

AB² = AD² + BD²

लेकिन BD = 1/2 BC (∵ एक त्रिभुज में, शीर्ष से आधार पर खींची गई लंबवत रेखा आधार को दो बराबर भागों में बांटती है)

इसलिए AB² = AD² + {1/2 BC}²

AB² = AD² + 1/4 BC²

4 AB² = 4AD² + BC²

4 AB² - BC² = 4 AD²

(चूंकि AB = BC है, हम इन्हें घटा सकते हैं)

इसलिए 3AB² = 4AD²

AE का मान 1.8 सेमी होगा।

दी गई: △ABC, D, E और F क्रमशः AB, BC, CA के मध्य बिन्दु हैं।
मध्य बिन्दु प्रमेय का उपयोग करके हम यह सिद्ध करते हैं कि □ADEF, □DBEF और □DECF समांतर चतुर्भुज हैं। समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो समकक्ष त्रिकोणों में विभाजित करता है। इसलिए सभी त्रिकोण एक-दूसरे के समकक्ष हैं। और प्रत्येक छोटा त्रिकोण मूल त्रिकोण के समान है।

ΔABC के कोण:

• ∠A = 50°
• ∠B = 70°
• ∠C = 60°

ΔDEF के कोण:

• ∠D = 60°
• ∠E = 70°
• ∠F = 50°

हम निम्नलिखित देख सकते हैं:

• ∠A = 50° का संबंध ∠F = 50° से है
• ∠B = 70° का संबंध ∠E = 70° से है
• ∠C = 60° का संबंध ∠D = 60° से है

इसलिए, ΔABC और ΔDEF के संबंधित कोण समान हैं, जिसका अर्थ है कि ये दोनों त्रिकोण समान हैं।

सही उत्तर है:

d) ΔFED.

सही विकल्प विकल्प D है।

दिया गया: D, E और F क्रमशः Δ ABC के पक्ष BC, CA और AB के मध्य बिंदु हैं।

सिद्ध करना है: Δ DEF त्रिकोण के समकोण है।

सिद्धांत:

चूंकि E और F AC और AB के मध्य बिंदु हैं।

BC || FE और FE = ½ BC = BD (मध्य बिंदु प्रमेय द्वारा)

BD || FE और BD = FE

इसी प्रकार, BF || DE और BF = DE

इसलिए, BDEF एक समांतर चतुर्भुज है (विपरीत पक्षों का एक जोड़ा समान और समानांतर है)

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि FDCE और AFDE भी समांतर चतुर्भुज हैं।

अब, BDEF एक समांतर चतुर्भुज है इसलिए इसका विकर्ण FD इसे दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिकोणों में विभाजित करता है।

इसलिए, ar(Δ BDF) = ar(Δ DEF).......... (i)

समांतर चतुर्भुज AFDE में,

ar(Δ AFE) = ar(Δ DEF) (EF एक विकर्ण है)......... (ii)

समांतर चतुर्भुज FDCE में,

ar(Δ CDE) = ar(Δ DEF) (DE एक विकर्ण है)...........(iii)

(i), (ii) और (iii) से

ar(Δ BDF) = ar(Δ AFE) = ar(Δ CDE) = ar(Δ DEF)..........(iv)

यदि त्रिकोणों का क्षेत्रफल समान है, तो वे समकोण हैं।

इसलिए, Δ DEF त्रिकोण Δ BDF = Δ AFE = Δ CDE के समकोण है।

इस प्रश्न के अनुसार, त्रिकोण ABC और DEF में कुछ कोण और अनुपात दिए गए हैं। यदि कोण A और E दोनों 40° हैं और कोण F 65° है, तो हमें कोण B का मान ज्ञात करना है। इसे निकालने के लिए, हम ज्ञात करते हैं कि त्रिकोण के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, हम यह पा सकते हैं कि कोण B को निकालने के लिए, 180° - (40° + 65°) का उपयोग करेंगे। इसका परिणाम 75° होगा। इस प्रकार, कोण B का मान 75° है।

ΔCAB और ΔADB में
कोण B सामान्य है और कोण A = कोण D
इसलिए त्रिकोण समान हैं

a = cb/p
अब पाइथागोरस सिद्धांत को Δ ABC में लागू करते हैं
H² = P² + B²
BC² = AC² + AB²

इस प्रश्न का उत्तर ज्ञात करने के लिए, हमें यह देखना होगा कि XY त्रिकोण को कैसे विभाजित करता है। यदि XY त्रिकोण को समान भागों में विभाजित कर रहा है, तो AX/AB का मान 1/2 होगा।

दो समान त्रिकोणों के समकक्ष भुजाओं का अनुपात और उनकी ऊँचाइयों का अनुपात समान होता है। इसलिए, उनके समकक्ष ऊँचाइयों का अनुपात भी 1 : 3 होगा।

यदि दो त्रिकोण समान हैं, तो दोनों त्रिकोणों का क्षेत्रफल का अनुपात उनके संबंधित भुजाओं के अनुपात के वर्ग के समानुपाती होता है।

दी गई जानकारी,

दो समान त्रिकोणों का क्षेत्रफल = 12 cm² , 48 cm² ।

बड़े त्रिकोण का क्षेत्रफल = 48 cm²

छोटे त्रिकोण का क्षेत्रफल = 12 cm²

हमें पता है कि, दो समान त्रिकोणों के क्षेत्रफल का अनुपात उनके संबंधित ऊँचाइयों या ऊर्ध्वाधराओं के अनुपात का वर्ग के बराबर होता है।

दी गई जानकारी, छोटे त्रिकोण की ऊँचाई = 2.1 cm।

4 = (त्रिकोण की ऊँचाई)² / 4.41

√(4 * 4.41) = बड़े त्रिकोण की ऊँचाई

बड़े त्रिकोण की ऊँचाई = 2 * 2.1 = 4.2 cm।

इस त्रिकोण की भुजाएँ 12 सेमी, 8 सेमी और 6 सेमी हैं। इसे तीक्ष्ण त्रिकोण कहा जाएगा क्योंकि सभी कोण 90 डिग्री से कम हैं।

सेंट्रोइड तीन मध्य रेखाओं का प्रतिच्छेदन है जबकि इनसेंटर तीन (आंतरिक) कोण बाइसेक्टर्स का प्रतिच्छेदन है। एक समभुज त्रिकोण में, प्रत्येक मध्य रेखा एक कोण बाइसेक्टर भी होती है (और इसके विपरीत), सेंट्रोइड इनसेंटर के साथ मेल खाता है। वास्तव में, समभुज त्रिकोण का सेंट्रोइड, इनसेंटर, सर्कमसेंटर और ऑर्थोसेंटर एक ही बिंदु पर मेल खाते हैं।

चूंकि त्रिकोण ΔDEF त्रिकोण ABC के समान है, इसलिए समानुपात का उपयोग करते हुए, हम DE की लंबाई की गणना कर सकते हैं। EF और AB के बीच समानुपात निम्नलिखित है: EF/AB = 12/9 = 4/3। इसलिए, DE = 4/3 * AC = 4/3 * 7.5 = 10 सेमी।

त्रिकोण ABC में, AD कोण A का कोण बाइसेक्टर है, इसलिए BD : CD का अनुपात 5 : 7 होगा।

DG को BF के समानांतर बनाएं।
त्रिकोण ADG में,
AE = ED (दिया गया)
EF || DG (निर्माण द्वारा)
किसी भी त्रिकोण की किसी एक भुजा के मध्य बिंदु से गुजरने वाली और दूसरी भुजा के समानांतर एक रेखा, तीसरी भुजा को आधा कर देती है।
इसलिए AF = FG    ...(1)
अब त्रिकोण CBF में,
BD = DC (दिया गया)
DG||BF (निर्माण द्वारा)
किसी भी त्रिकोण की किसी एक भुजा के मध्य बिंदु से गुजरने वाली और दूसरी भुजा के समानांतर एक रेखा, तीसरी भुजा को आधा कर देती है।
इसलिए, FG = GC …(2)
अब, (1) और (2) द्वारा
AF = FG = GC
 AF : FC = 1:2

चूंकि PQ = PR

इसलिए ∠Q = ∠R = 40^o

इसलिए ∠P 100^o निकलता है

और चूंकि PS एक मध्य रेखा है, इसलिए यह ∠P को दो समान भागों में विभाजित करेगा

तो, ∠QPS = 50^o

त्रिभुज की भुजाओं के लिए त्रिभुज असमानता सिद्धांत के अनुसार, किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से हमेशा बड़ा होना चाहिए। इसलिए, उपरोक्त विकल्पों में से कोई भी ट्रायंगल के लिए सही नहीं है।

दी गई: △ABC, F, D और E क्रमशः AB, BC, CA के मध्य बिंदु हैं।
मध्य बिंदु प्रमेय का उपयोग करके हम प्रमाणित करते हैं कि □AEFD, □DBFF और □DCEF समांतर चतुर्भुज हैं। एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो समकक्ष त्रिकोणों में विभाजित करता है। इसलिए सभी त्रिकोण एक-दूसरे के समकक्ष हैं। इसलिए ΔDEF △AFE, △BFD और △CDE के समकक्ष है।

हमारे पास कोसाइन का सूत्र है, Cos A = 
तो, Cos 60 = 

b²+c²-a²=bc
a²=b²+c² - bc