आरडी शर्मा टेस्ट: त्रिकोण - CTET & State TET MCQ

त्रिकोण PQR में QR भुजा की लंबाई PQ भुजा की लंबाई से 2 सेमी कम है और PR भुजा की लंबाई PQ से 10 सेमी अधिक है। यदि हम PQ की लंबाई को x मानते हैं, तो QR की लंबाई (2x - 2) और PR की लंबाई (x + 10) होगी। इन तीनों भुजाओं का योग 40 सेमी है। समीकरण बनाकर, हमें PQ, QR और PR की भुजाओं की लंबाई का पता चलेगा। सबसे छोटी भुजा की लंबाई 6 सेमी है।

समाधान के लिए, दी गई समानता ΔABO और ΔDCO का उपयोग करते हुए हम OA और OB की लंबाई की गणना कर सकते हैं।

यहां, AB और DE समानांतर रेखाएँ हैं, और BD और EF भी समानांतर हैं। इससे हमें विभिन्न त्रिकोणों के बीच संबंध स्थापित करने में मदद मिलती है।

मान लीजिए दो समद्विबाहु त्रिकोण हैं ΔABC और ΔDEF और उनके अनुरूप ऊँचाइयाँ AM और DN हैं।
चूँकि दोनों त्रिकोणों के अनुरूप कोण समान हैं।

क्योंकि, एक त्रिकोण में किसी भी दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के आधे का वर्ग का दो गुना और उस भुजा को बिसेक्ट करने वाली मध्य रेखा के वर्ग का दो गुना के बराबर होता है।
 ΔPQM में,

यदि दो त्रिकोण ABC और DEF में,

ΔFDE और ΔCAB समान हैं क्योंकि समानता के लिए, सभी भुजाएँ अनुपात में होनी चाहिए।

BO का मान निकालने के लिए, हम त्रिकोणों की समानुपात का उपयोग कर सकते हैं। चूंकि AB और DC समांतर हैं, हम BD को समानुपात के आधार पर विभाजित कर सकते हैं। यहाँ, BO = (AB/DC) × BD = (9/6) × 12 = 18 सेमी। इसलिए BO = 7.2 सेमी।

चूंकि किसी त्रिकोण के कोण का आंतरिक बाइसेक्टर विपरीत भुजा को उन भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है जो कोण को धारण करती हैं।

समान त्रिकोणों के गुणों के अनुसार, अनुपात को AB और PQ के अनुपात से प्राप्त किया जा सकता है।

AB = 13 मीटर, इसलिए उनके शीर्षों के बीच की दूरी 13 मीटर है।

यदि ΔABC ∼ ΔEDF है और ΔABC, ΔDEF के समान नहीं है, तो BC. DE = AB .EF 
यहाँ दिए गए शर्त के अनुसार, BC. DE  ≠ AB .EF है।

दिया गया: AC || BD और AC = 6 सेमी, AE = 3 सेमी, EB = 4 सेमी, ED = 8 सेमी,
त्रिकोण ACE और DEB में, ∠AEC = ∠DEB [वर्टिकली विपरीत कोण] ∠ECA = ∠EDB [वैकल्पिक कोण जैसे कि

यदि ΔABC और ΔDEF समान हैं, तो अनुपात ar(ΔABC):(ΔDEF) 1:3 होगा।

वृत्त का व्यास AC है। यहाँ ∠ABC सेमीसर्कल का कोण है।
AB के लिए ∴ ∠ ABC = 90° ∴ Δ ABC एक समकोण त्रिकोण है।
10 सेमी

मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है।
एक विकर्ण BC = 8 सेमी और भुजा BC = 5 सेमी
चूंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को 90^∘ पर काटते हैं।

चूंकि, ΔABC और ΔPQR के भुजाएं समानुपाती हैं, इसलिए, .
∴ ∠A = ∠Q, ∠B = ∠R और ∠C = ∠P
⇒ ∠P
= 20° और ∠R
​= 30° 

त्रिकोण APB और CPD में,
∠APB = ∠CPD [वर्टिकली विपरीत कोण]
∠BAP = ∠ACD [वैकल्पिक कोण क्योंकि AB||CD]

ΔPOQ और ΔCOB में, ∠PQO = ∠QBO
[वैकल्पिक कोण] ∠POO = ∠COB [वर्टिकली विपरीत]
.[AA समानता] 

मान लीजिए कि ABCD आवश्यक समांतर चतुर्भुज है, जिसके विकर्ण AC = 10 सेमी और BD = 24 सेमी हैं। मान लीजिए कि AC और BD एक-दूसरे को O पर काटते हैं।
तब AB = BC = CD = DA
इसके अलावा, AO = CO = 10/2 = 5 सेमी
और BO = DO = 24/2 = 12 सेमी

मान लें कि दो समान त्रिकोण हैं ΔABC और ΔDEF जिनका क्षेत्रफल है ar(ΔABC) = 100 cm² और ar(ΔDEF) = 49 cm²।
मान लें कि AM और DN क्रमशः ΔABC और ΔDEF के ऊँचाइयाँ हैं।
चूंकि दो समान त्रिकोणों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संबंधित ऊँचाइयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

पाइथागोरस के प्रमेय का उपयोग करते हुए,
AC² = AB² + BC² = 64 + 225 = 289, 8 मीटर ⇒ AC 17 मीटर है।