ओलंपियाड परीक्षा: मापन (Mensuration) - CTET & State TET MCQ

आकृति का क्षेत्रफल = 1/2 * d * (a + b) वर्ग इकाइयाँ।

जहाँ d = समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी है, जो कि क्रमशः a और b हैं, 25 और 13 सेंटीमीटर।

25 – 13 = 12, 12/2 = 6 सेंटीमीटर RT के आधार का मान है।

गैर-समांतर भुजाएँ = 10 सेंटीमीटर, यह इस Δ का कर्ण है।

'd' ज्ञात करने के लिए हल करें।

d = √{10² – 6²} = 8 सेंटीमीटर।

आकृति का क्षेत्रफल = 1/2 * 8 * (25 + 13) = 152 सेंटीमीटर²

चतुर्भुज ABCD दो त्रिभुज ADC और ABC से बना है।

इसलिए, क्षेत्रफल(ABCD) = क्षेत्रफल(ABC) + क्षेत्रफल(ADC)

= 4 x 12/2 + 3.5 x12/2

= 24 + 21

= 45 सेमी²

समस्या:
एक समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करें, जिसके आधारों की लंबाई का योग 6.5 सेमी है और जिसका क्षेत्रफल 26 सेमी² है।

समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र उपयोग कर सकते हैं:
क्षेत्रफल = (1/2) * (आधारों का योग) * (ऊँचाई)
यह दिया गया है कि आधारों की लंबाई का योग 6.5 सेमी है और क्षेत्रफल 26 सेमी² है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:
26 = (1/2) * 6.5 * ऊँचाई
समीकरण को सरल बनाते हुए:
52 = 6.5 * ऊँचाई
दोनों पक्षों को 6.5 से विभाजित करते हुए:
ऊँचाई = 52 / 6.5
ऊँचाई = 8 सेमी
समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई 8 सेमी है।
उत्तर: B. 8 सेमी

आयतन = (पक्ष)^3

दी गई जानकारी:
- टैंक की क्षमता = 5632 m³
- आधार का व्यास = 16 मीटर
हमें टैंक की गहराई ज्ञात करनी है।
गहराई ज्ञात करने के लिए, हम बेलन का आयतन निकालने का सूत्र उपयोग कर सकते हैं:
आयतन = π * r² * h
जहां:
- π एक स्थिरांक है जो लगभग 3.14 के बराबर है
- r आधार का त्रिज्या है
- h बेलन की ऊंचाई (या गहराई) है
चरण 1: आधार का त्रिज्या ज्ञात करें:
आधार का व्यास 16 मीटर दिया गया है। हम त्रिज्या ज्ञात करने के लिए वृत्त का सूत्र उपयोग कर सकते हैं:
त्रिज्या = व्यास / 2 = 16 / 2 = 8 मीटर
चरण 2: आयतन के सूत्र में मान डालें:
5632 = 3.14 * 8² * h
समीकरण को सरल बनाते हुए:
5632 = 3.14 * 64 * h
5632 = 200.96 * h
चरण 3: h के लिए हल करें:
h = 5632 / 200.96
h लगभग 28 मीटर है।
इसलिए, बेलनाकार टैंक की गहराई लगभग 28 मीटर है।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × d1 × d2
एक विकर्ण की लंबाई = 20 सेमी
दूसरे विकर्ण की लंबाई = 16 सेमी
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × 20 × 16
= 1 × 10 × 16
= 160
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 160 सेमी² है।

क्यूबॉयड का कुल सतही क्षेत्रफल: 2(lb + bh + hl)
L = लंबाई
B = चौड़ाई
H = ऊँचाई

क्यूबॉइड की लंबाई = 8 सेमी

क्यूबॉइड की चौड़ाई = 6 सेमी

क्यूबॉइड की ऊँचाई = 3.5 सेमी

क्यूबॉइड का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

= 8 x 6 x 3.5 = 168 सेमी³

अतः, क्यूबॉइड का आयतन = 168 सेमी³

दी गई जानकारी:
गोडाउन का माप: 60 मीटर × 40 मीटर × 30 मीटर
एक बॉक्स का वॉल्यूम: 0.8 मीटर³
क्या पता करना है:
गोडाउन में कितने आयताकार बॉक्स रखे जा सकते हैं
सूत्र:
आयताकार का वॉल्यूम = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई
समाधान की प्रक्रिया:
1. दिए गए मापों का उपयोग करके गोडाउन का वॉल्यूम ज्ञात करें:
गोडाउन का वॉल्यूम = 60 मीटर × 40 मीटर × 30 मीटर = 72000 मीटर³
2. गोडाउन के वॉल्यूम को एक बॉक्स के वॉल्यूम से विभाजित करें ताकि यह पता चले कि कितने बॉक्स रखे जा सकते हैं:
बॉक्स की संख्या = गोडाउन का वॉल्यूम / एक बॉक्स का वॉल्यूम
बॉक्स की संख्या = 72000 मीटर³ / 0.8 मीटर³ = 90000
उत्तर:
गोडाउन में रखे जा सकने वाले आयताकार बॉक्सों की संख्या 90000 है।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प D है।

ट्रेपेज़ियम का परिमाप=सभी पक्षों का योग
52= समानांतर पक्षों का योग +20
समानांतर पक्षों का योग = 32
ट्रेपेज़ियम का क्षेत्रफल=
1/2(समानांतर पक्षों का योग) x h
                              =1/2(32)*8 = 128सेमी²

कमरे की लंबाई = l = 12 मीटर

कमरे की चौड़ाई = b मीटर

कमरे की ऊँचाई = h मीटर

फर्श को मैटिंग करने की लागत @ ₹0.85 प्रति मी² = ₹91.80

फर्श का क्षेत्रफल = 91.80 / 0.85 = 108 मी²

⇒ l * b = 108

⇒ 12 * b = 108

⇒ b = 108/12

⇒ b = 9 मीटर

दीवार को पेपरिंग करने की लागत @ ₹1.35 प्रति मी² = ₹340.20

दीवार का क्षेत्रफल पार्श्व सतह क्षेत्र है।

दीवार का क्षेत्रफल = पार्श्व सतह क्षेत्र = 340.20 / 1.35 = 252 मी²

⇒ 2h(l+b) = 252

⇒ 2h(12+9) = 252

⇒ 2h*21 = 252

⇒ h = 252/(2*21) 

⇒ h = 6 मीटर

कमरे की ऊँचाई 6 मीटर है।

दिया गया:
- ट्रैपेजियम का क्षेत्रफल = 384 सेमी²
- समानांतर भुजाओं का अनुपात = 3:5
- समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी = 12 सेमी
मान लीजिए कि समानांतर भुजाओं की लंबाई 3x और 5x है, जहाँ x एक स्थिरांक है।
चरण 1: ट्रैपेजियम के क्षेत्र का सूत्र लिखें:
क्षेत्र = (समानांतर भुजाओं का योग) * (उनके बीच की दूरी) / 2
चरण 2: दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
384 = (3x + 5x) * 12 / 2
चरण 3: समीकरण को सरल करें:
384 = 8x * 12 / 2
384 = 96x
चरण 4: x के लिए हल करें:
x = 384 / 96
x = 4
चरण 5: समानांतर भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
3x = 3 * 4 = 12 सेमी
5x = 5 * 4 = 20 सेमी
इसलिए, समानांतर भुजाओं की लंबाई 12 सेमी और 20 सेमी है।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प C है: 12 सेमी और 20 सेमी।

आयत ABCD का क्षेत्रफल = 110*150 = 16500 सेमी²
आयत EFGH का क्षेत्रफल = (150-10)(110-10) = 14000 सेमी²
पथ का क्षेत्रफल = 16500-14000 = 2500 सेमी²

दिया गया है:
- रूबाब का क्षेत्रफल 28 सेमी² है।
- इसकी एक विकर्ण 4 सेमी है।
ज्ञात करना है:
- रूबाब का परिमाप।
चरण 1: दूसरी विकर्ण की लंबाई ज्ञात करें।
- हमें पता है कि रूबाब का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: क्षेत्रफल = (d1 * d2) / 2, जहाँ d1 और d2 विकर्णों की लंबाई हैं।
- चूँकि क्षेत्रफल 28 सेमी² दिया गया है और एक विकर्ण 4 सेमी है, हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि दूसरी विकर्ण की लंबाई ज्ञात हो सके।
- 28 = (4 * d2) / 2
- 56 = 4 * d2
- d2 = 56 / 4
- d2 = 14 सेमी
चरण 2: रूबाब की भुजा की लंबाई ज्ञात करें।
- रूबाब की भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जा सकता है: s = √(क्षेत्रफल / sinθ), जहाँ θ विकर्णों के बीच का कोण है।
- चूँकि रूबाब के विकर्ण एक-दूसरे के लम्बवत बिसेक्टर होते हैं, उनके बीच का कोण 90 डिग्री है।
- sin90 = 1, इसलिए सूत्र सरल हो जाता है s = √क्षेत्रफल।
- इसलिए, रूबाब की भुजा की लंबाई √28 सेमी है।
चरण 3: रूबाब का परिमाप ज्ञात करें।
- रूबाब का परिमाप बस उसकी भुजाओं की लंबाई के 4 गुना होता है।
- इसलिए, रूबाब का परिमाप 4 * √28 सेमी है।
चरण 4: परिमाप की गणना करें।
- √28 का मान रखते हुए, हमें परिमाप मिलता है 4 * √28 सेमी।
- और सरल करने पर, परिमाप 4 * 2√7 सेमी के बराबर होता है।
- यह हमें अंतिम उत्तर 8√7 सेमी देता है।
इसलिए, सही उत्तर है A: 8√7 सेमी।

एक घन के पक्ष को ज्ञात करने के लिए, हमें सूत्र का उपयोग करना होगा:
Sutrah Kshetra = 6 * (paks)^2
यह दिया गया है कि सतह क्षेत्रफल 2400 cm² है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:
2400 = 6 * (paks)^2
अब, हम पक्ष के लिए हल करते हैं:
1. समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से भाग दें:
2400/6 = (paks)^2
400 = (paks)^2

2. दोनों पक्षों का वर्गमूल लें:
√400 = √(paks)^2
20 = paks

इसलिए, घन का पक्ष 20 cm है।
तो, सही उत्तर विकल्प B है: 20 cm।

आधार का क्षेत्र = लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल

क्यूबॉइड का आयतन = लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= इसके आधार का क्षेत्र x ऊँचाई
275 = 25 x ऊँचाई
ऊँचाई = 275 / 25 सेमी
= 11 सेमी

क्यूबॉइड का आयतन = आधार क्षेत्र × ऊँचाई
490 = 35 × ऊँचाई
ऊँचाई = 14cm।

क्यूब का सतही क्षेत्रफल खोजने के लिए, हमें प्रत्येक चेहरे का क्षेत्रफल निकालना होगा और फिर उन्हें जोड़ना होगा।
चरण 1: क्यूब के सतही क्षेत्रफल के लिए सूत्र पहचानें:
क्यूब के सतही क्षेत्रफल का सूत्र 6 गुना एक पक्ष की लंबाई (s) के वर्ग द्वारा दिया जाता है:
सतही क्षेत्रफल = 6s²
चरण 2: सूत्र को तोड़ें और गणना करें:
- क्यूब के प्रत्येक चेहरे की लंबाई समान होती है, इसलिए हम सूत्र में s के लिए l का स्थानापन्न कर सकते हैं।
- लंबाई का वर्ग निकालें:
l²
- लंबाई के वर्ग को 6 से गुणा करें:
6 * l²
चरण 3: अंतिम उत्तर लिखें:
क्यूब का सतही क्षेत्रफल 6l² है।
उत्तर: A: 6 l²
नोट: क्यूब का सतही क्षेत्रफल हमेशा एक पक्ष की लंबाई के वर्ग का 6 गुना होता है।

अर्धवृत्त की परिधि =
परिधि = दो भुजाओं का योग + परिधि = 4 + 5.5 = 9.5 सेमी।