परीक्षा: चतुर्भुज - 2 - CTET & State TET MCQ

पहले पैरालेलोग्राम का क्षेत्रफल P1 और दूसरे पैरालेलोग्राम का क्षेत्रफल P2 मान लेते हैं।

हमें पता है कि

पैरालेलोग्राम का क्षेत्रफल = b × h

P1 = b1 × h1

P2 = b2 × h2

प्रश्न से, b1 = b2

चूंकि दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान है

h1 = h2

P1 = b × h …. (1)

P2 = b × h …. (2)

समीकरण (1) और (2) से

P1 = P2

इसलिए हमें मिलता है

P1 : P2 = 1 : 1

इसलिए, उनके क्षेत्रफल का अनुपात 1 : 1 है।

चतुर्भुज ABCD में दिया गया है:

• ∠A = 60°
• अनुपात ∠B : ∠C : ∠D = 2:3:7

हम मान लेते हैं:

• ∠B = 2x
• ∠C = 3x
• ∠D = 7x

चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है, इसलिए:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
60° + 2x + 3x + 7x = 360°
12x + 60° = 360°
12x = 300°
x = 25°

अब ∠D ज्ञात करने के लिए:

∠D = 7x = 7 × 25° = 175°

इसलिए, ∠D है 175°.

D और E क्रमशः ∆ABC के पक्ष AB और AC के मध्य बिंदु हैं। DE को F तक बढ़ाया गया है। यह साबित करने के लिए कि CF DA के समान और समानांतर है, हमें एक अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता है, जो कि DE = EF है।

मान लेते हैं कि, DE = EF

AE = CE  ......[∵ E AC का मध्य बिंदु है]

DE = EF  .....[मान लिया गया]

∠AED = ∠FEC  ......[वर्टिकली विपरीत कोण]

∴ SAS द्वारा, ∆AED ≅ ∆FEC

∴ CPCT द्वारा, AD = CF और ∠ADE = ∠CFE

∵ वैकल्पिक आंतरिक कोण समान हैं

∴ AD ∥ CF

यह साबित करता है कि हमारा अनुमान सही था।

दिया गया: P, Q और R क्रमशः त्रिभुज ABC के किनारों AB, BC और AC के मध्य बिंदु हैं।

हमें पता है कि:

• AB = 10 सेमी
• BC = 8 सेमी
• AC = 12 सेमी

चरण-दर-चरण समाधान

1. ΔABC का परिमाप ज्ञात करें:

   
   

   ΔABC का परिमाप उसके किनारों के योग से ज्ञात होता है:

   
   

   AB + BC + AC = 10 सेमी + 8 सेमी + 12 सेमी = 30 सेमी

2. ΔPQR का परिमाप ज्ञात करें:

   
   

   चूंकि P, Q और R मध्य बिंदु हैं, ΔPQR, ΔABC के समान है जिसमें अनुपात 1:2 है।

   
   

   इसलिए, ΔPQR का परिमाप ΔABC के परिमाप का आधा है:

   
   

   ΔPQR का परिमाप = (1/2) × 30 = 15 सेमी

ΔPQR का परिमाप 15 सेमी है।

सही विकल्प: c) 15 सेमी

सही ΔABC में, ∠B = 90°

पाइथागोरस के प्रमेय का उपयोग करते हुए

में ΔABC

D  और E  AB और AC के मध्य बिंदु हैं

दिए गए 2 कथन।
I. एक समांतर चतुर्भुज में, दो आसन्न कोणों के कोण बिसेक्टर एक समकोण बनाते हैं।
II. समांतर चतुर्भुज के कोण बिसेक्टर एक आयत बनाते हैं।
III. एक समद्विबाहु त्रिकोण के भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने से बना त्रिकोण आवश्यक रूप से समद्विबाहु त्रिकोण नहीं होता।
चूंकि, एक समांतर चतुर्भुज में कोण बिसेक्टर एक-दूसरे को काटते हैं और एक समकोण बनाते हैं।
इसलिए, कथन I सत्य है।
कोण बिसेक्टर एक आयत बनाते हैं क्योंकि यह भी समकोण पर काटते हैं।
कथन II भी सही है।
इसलिए, विकल्प 2 सही है।

रेखा APB CQD के समांतर है

जब हम PQ को जोड़ते हैं तो यह एक पारगमन रेखा बनेगी

तब कोण BPQ = कोण CQP    (वैकल्पिक कोण)

कोण APQ = कोण PQD   

जब हम बिसेक्टर खींचेंगे 

तो आकृति में विपरीत कोण समान होंगे

जिसका अर्थ है कि यह एक समांतर चतुर्भुज है

दिखाने के लिए: ∠PSR + ∠PQR = 180°
∠SPQ + ∠SRQ = 180°

चतुष्कोण △DSA में,

∠DAS + ∠ADS + ∠DSA = 180°  (कोण योग गुण)

+ ∠ SA = 180°  (क्योंकि RD और AP कोण D और A की बाइसेक्टर हैं)

∠DSA = 180°
∠PSR = 180°−

(∵ ∠DSA = ∠PSR वर्टिकली विपरीत कोण हैं)

समान रूप से,

∠PQR = 180°− 

(i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं, ∠PSR + ∠PQR = 180°
=360° − 1/2 ​× (∠A + ∠B + ∠C + ∠D)
 

=360°− 1/2​ × 360° = 180° ∴ ∠PSR + ∠PQR = 180°

चतुष्कोण PQRS में,

∠SPQ + ∠SRQ + ∠PSR + ∠PQR = 360°
=> ∠SPQ + ∠SRQ + 180° = 360°
=> ∠SPQ + ∠SRQ = 180°

इसलिए, यह दिखाया गया है कि PQRS के विपरीत कोण पूरक हैं।

∠ OAD = ​∠ OCB = 30^∘
(वैकल्पिक आंतरिक कोण)
∠ AOB + ∠ BOC = 180^∘
(रेखीय जोड़ी के कोण)
∴ ∠ BOC = 180^∘ − 70^∘ = 110^∘
(∠ AOB = 70^∘)
∆ BOC में, हमें प्राप्त होता है:
∠ OBC = 180^∘ − (110^∘ + 30^∘) = 40^∘
∴ ∠ DBC = 40^∘

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, कोण A और B के बाइसेक्टर्स बिंदु O पर मिलते हैं। नीचे दी गई व्याख्या में ∠AOB के माप की गणना का विवरण दिया गया है।

समांतर चतुर्भुज के गुण

समांतर चतुर्भुज ABCD में, कोण A और B पूरक हैं, जिसका अर्थ है:

∠A + ∠B = 180°

कोण बाइसेक्टर्स

कोण A और B के बाइसेक्टर्स O पर मिलते हैं, जिससे कोण बनते हैं:

∠OAB = ½∠A और ∠OBA = ½∠B

∠AOB का निर्माण

कोण ∠AOB को इस प्रकार गणना किया जा सकता है:

∠AOB = 360° - (∠OAB + ∠OBA + ∠AOB'), जहाँ ∠AOB' त्रिभुज AOB में ∠AOB के विपरीत कोण है।

त्रिभुज AOB में योग

त्रिभुज AOB में, कोणों का योग है:

∠OAB + ∠OBA + ∠AOB' = 180°

पूरक कोणों का उपयोग

यह दिए जाने पर कि ∠A और ∠B पूरक हैं:

∠AOB' = 180° - (½∠A + ½∠B) = 180° - ½ × 180° = 90°

∠AOB की गणना

चूंकि ∠AOB और ∠AOB' बिंदु O पर एक सीधी रेखा बनाते हैं:

∠AOB = 360° - 180° - 90° = 90°

इसलिए, ∠AOB का माप 90° है।

स्पष्ट है कि कथन II और III सत्य हैं। कथन I गलत है, क्योंकि आयत का तिर्यक कोण A और कोण C को आधा नहीं करता है (इसलिए पड़ोसी भुजाएँ समान नहीं हैं)।

त्रिभुज ABC में, D और E क्रमशः पक्ष AB और AC के मध्य बिंदु हैं।

मध्य बिंदु प्रमेय द्वारा,

DE || BC  .....(i)

⇒ DE = PO + OQ

⇒ DE = PQ

अब, त्रिभुज AOC में, Q और E क्रमशः OC और AC के मध्य बिंदु हैं।

समीकरण (iii) और (iv) से,

EQ || PD और EQ = PD

समीकरण (i) और (ii) से,

 DE || BC (या DE || PQ) और DE = PQ

इसलिए, DEQP एक समांतर चतुर्भुज है।

हम यहां मध्य बिंदु प्रमेय का उपयोग करेंगे। यह कहता है कि किसी त्रिकोण के किसी दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखा खंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और इसकी लंबाई उसका आधा होता है।

आइए हम AC और BD को जोड़ते हैं। त्रिकोण ABC में,

P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य बिंदु हैं।

∴ PQ || AC और PQ = 1/2 AC (मध्य बिंदु प्रमेय) ... (1)

इसी तरह, त्रिकोण ADC में,

SR || AC और SR = 1/2 AC (मध्य बिंदु प्रमेय) ... (2)

स्पष्ट रूप से, PQ || SR और PQ = SR [समीकरण (1) और (2) से]

चूंकि चतुर्भुज PQRS में, एक जोड़ी विपरीत भुजाएं समान और एक-दूसरे के समानांतर हैं, यह एक समांतर चतुर्भुज है।

∴ PS || QR और PS = QR (समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएं) ... (3)

त्रिकोण BCD में, Q और R क्रमशः BC और CD की भुजा के मध्य बिंदु हैं।

∴ QR || BD और QR = 1/2 BD (मध्य बिंदु प्रमेय) ... (4)

हालांकि, आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

∴ AC = BD ... (5)

इसलिए, QR = 1/2 AC

इसके अलावा, त्रिकोण BAD में

PS || BD और PS = 1/2 BD

इसलिए, QR = PS .... (6)

समीकरण (1), (2), (3), (4), और (5) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

PQ = QR = SR = PS

अतः, PQRS एक रोमबस है।

दी गई: एक समचतुर्भुज ABCD
प्रमाणित करना है: 4AB² = AC² + BD²
प्रमाण: एक समचतुर्भुज की विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर आधा करते हैं।

समस्या में, बिंदु D और E क्रमशः त्रिकोण ABC में पक्ष AB और AC के मध्य बिंदु हैं, और आपको यह ज्ञात करना है कि DE खंड की लंबाई क्या है, यह मानते हुए कि BC = 5.6 cm है।

चूंकि D और E मध्य बिंदु हैं, खंड DE त्रिकोण का मध्य खंड है। त्रिकोण का मध्य खंड त्रिकोण के दो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है और तीसरे पक्ष के समानांतर होता है। महत्वपूर्ण बात यह है कि मध्य खंड की लंबाई उस पक्ष की लंबाई का आधा होता है जिसके समानांतर यह होता है।

इस मामले में, DE पक्ष BC के समानांतर है, और इसलिए इसकी लंबाई BC की लंबाई का आधा है। इसलिए:

DE = 1/2 * BC = 1/2 * 5.6 cm = 2.8 cm

यह दिए गए उत्तर D: 2.8 cm के साथ मेल खाता है।

P, Q, R क्रमशः BC, CA और AB के मध्य बिंदु हैं।
AC = 21 सेमी, BC = 29 सेमी और AB = 30°
PQ || AB और PQ = ½AB

PQ = ½ × 30° = 15 सेमी
इसी तरह, QR || BC और
QR = ½ × BC = ½ × 29 = 14.5 सेमी
और RP || AC और RP = ½AC
= ½ × 21 = 10.5 सेमी
अब चतुर्भुज ARPQ का परिमाण,
= AR+RP+PQ+AQ
= ½AB + ½AC + ½AB + ½AC
= AB + AC = 30 + 21 = 51 सेमी

हमारे पास ABCD, एक समांतर चतुर्भुज नीचे दिया गया है:

इसलिए, हमारे पास AB || BC है।

अब, AD || BC और ट्रांसवर्सल AB उन्हें A और B पर क्रमशः काटता है। इसलिए,

समानांतर आंतरिक कोणों का योग पूरक होता है। अर्थात;
∠A + ∠B = 180°

हमारे पास AR और BR हैं, जो क्रमशः ∠A और ∠B के बाईसेक्टर्स हैं।

 ∠RAB + ∠RBA = 90° …… (i)

अब, ΔABR में, त्रिकोण के कोण योग गुण के अनुसार, हमें मिलता है:

∠RAB + ∠RBA + ∠ARB = 180° 

समीकरण (i) से, हमें मिलता है:

90° + ∠ARB = 180°

∠ARB = 90° 

इसी प्रकार, हम यह साबित कर सकते हैं कि ∠DPC = 90° है।

अब, AB || DC और ट्रांसवर्सल AD उन्हें A और D पर क्रमशः काटता है। इसलिए,

समानांतर आंतरिक कोणों का योग पूरक होता है। अर्थात;

∠A + ∠D = 180°

हमारे पास AR और DP हैं, जो क्रमशः ∠A और ∠D के बाईसेक्टर्स हैं।

 ∠DAR + ∠ADP = 90° …… (ii)

अब, ΔADR में, त्रिकोण के कोण योग गुण के अनुसार, हमें मिलता है:

∠DAR + ∠ADP + ∠AQD = 180° 

समीकरण (i) से, हमें मिलता है:

 90° + ∠AQD = 180°

∠AQD = 90° 

हमें पता है कि ∠AQD और ∠PQR एक दूसरे के विपरीत कोण हैं, इसलिए,

∠PQR = 90°

इसी प्रकार, हम यह साबित कर सकते हैं कि ∠PSR = 90° है।

इसलिए, PQRS एक आयत है।

अतः, सही विकल्प (d) है।

ABCD को एक चतुर्भुज मानें।

यह दिया गया है कि विपरीत कोण समान हैं, इसलिए दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

यहाँ AB के विपरीत पक्ष CD है।

यदि AB = 4 सेमी है, तो CD = 4 सेमी है।

इसलिए, CD = 4 सेमी है।

D और C से AB पर लंब रेखाएँ खींचें जो AB को क्रमशः E और F पर मिलती हैं।
इससे, DEFC एक समांतर चतुर्भुज है और EF = CD।
Δ ABC में, ∠B तीव्र है।
इसलिए, AC² = BC² + AB² - 2AB.AE।
Δ ABD में, ∠A तीव्र है।
इसलिए, BD² = AD² + AB² - 2AB.AF।

इसलिए, AC² + BD² = (BC² + AD²) + (AB² + AB²) - 2AB(AE + BF)
= (BC² + AD²) + 2AB(AB - AE - BF)
[∴ AB = AE + EF + FB और AB - AE = BE]
= (BC² + AD²) + 2AB(BE - BF)
= (BC² + AD²) + 2AB.EF
इसलिए, AC² + BD² = (BC² + AD²) + 2AB.CD।

∠B = 90°
∠C - ∠D = 60°
∠A - ∠C - ∠D = 10°.......(1)
∠A + ∠C + ∠D = 360° - 90° = 270° (चतुर्भुज के कोण योग गुण के अनुसार)

जोड़ने पर,
∠A + ∠C + ∠D = 270°
∠A - ∠C - ∠D = 10°

2∠A = 280°
∠A = 140°

=> (1) से
∠A = 140°, ∠A - (∠C + ∠D) = 10°
140° - (∠C + ∠D) = 10°
∠C + ∠D = 130° ...........(2)

यदि ∠C - ∠D = 60° एवं ∠C + ∠D = 130°
2∠C = 190°, ∠C = 95°

∠D = 130° - 95° - (2) से
∠D = 35°

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (a) है।

चरण 1: दिया गया है कि कोण A = 90 डिग्री है, हम जानते हैं कि ABCD में एक समकोण है।

चरण 2: चूंकि AB = BC = CD = DA है, इसलिए चतुर्भुज ABCD के सभी भुजाएँ समान लंबाई की हैं। हम प्रत्येक भुजा की लंबाई को 's' के रूप में दर्शाते हैं।

चरण 3: अब, हमारे पास एक चतुर्भुज है जिसमें एक समकोण है और सभी भुजाएँ समान हैं। इसका मतलब है कि ABCD एक समभुज चतुर्भुज है।

चरण 4: एक समभुज चतुर्भुज में जहाँ एक समकोण है, अन्य कोण भी समकोण होने चाहिए। इसलिए, कोण B = कोण C = कोण D = 90 डिग्री है।

चरण 5: चूंकि सभी कोण 90 डिग्री हैं और सभी भुजाएँ समान हैं, इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

यह इसलिये है क्योंकि एक समांतरभुज में, विकर्ण हमेशा एक-दूसरे को 90 डिग्री के कोण पर बिसेक्ट करते हैं। जबकि विकर्ण एक-दूसरे को बिसेक्ट करते हैं (विकल्प C) और विपरीत कोणों को भी बिसेक्ट करते हैं (विकल्प D), समांतरभुज के विकर्ण गुणों के संदर्भ में परिभाषित विशेषता यह है कि वे लम्बवत होते हैं।

इसलिए, अगर प्रश्न विशेष रूप से विकर्णों के इंटरसेक्शन की प्रकृति के बारे में पूछता है, तो विकल्प A सबसे सही है। विकल्प D, "जिसमें विकर्ण विपरीत कोणों को बिसेक्ट करते हैं," भी सत्य है लेकिन यह विशेष रूप से उस कोण के बारे में नहीं है जिस पर वे एक-दूसरे को बिसेक्ट करते हैं।

त्रिकोण △ABC में, यदि EF AB और AC की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है, तो EF त्रिकोण का एक मध्यखंड है। त्रिकोण के मध्यखंड प्रमेय के अनुसार, एक मध्यखंड त्रिकोण में तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई उस भुजा की लंबाई का आधा होती है।

चूंकि BC = 7.2 सेमी, इसलिए EF की लंबाई, जो एक मध्यखंड है, BC का आधा होगा। इसलिए:

EF = 1/2 * BC = 1/2 * 7.2 सेमी = 3.6 सेमी

इसलिए, सही उत्तर है A: 3.6 सेमी.

चूंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर बिसेक्ट करते हैं।

अतः ▵AOB में, हमारे पास है

∠OAB + ∠x + 90° = 180°

∠x = 180° - 90° - 35° [∠OAB = 35°]

= 55°

इसके अलावा, ∠DAO = ∠BAO = 35°

अतः ∠y + ∠DAO + ∠BAO + ∠x = 180°

⇒ ∠y + 35° + 35° + 55° = 180°

⇒ ∠y = 180° - 125° = 55°

इसलिए, x और y के मान हैं x = 55°, y = 55°।

दिया गया है,
पैराललोग्राम ABCD है
AC और BD विकर्ण हैं
AD || BC
∠DAC = ∠ACB [वैकल्पिक कोण]
∠ACB = 32º
हमें पता है कि
∠AOB + ∠BOC = 180º [सीधी रेखा]
मानों को प्रतिस्थापित करते हुए
70º + ∠BOC = 180º
∠BOC = 110º
Δ BOC में,
∠OBC + ∠BOC + ∠OCB = 180º
मानों को प्रतिस्थापित करते हुए
∠OBC + 110º + 32º = 180º
∠OBC = 38º
∠DBC = 38º
इसलिए, ∠DBC के बराबर 38º है।