परीक्षा: रैखिक समीकरण - 1 - Bank Exams MCQ

मान लेते हैं कि पहली संख्या a है और सामान्य अंतर d है।
प्रश्न के अनुसार,
A.P की चौथी संख्या = 37
a + (n - 1) x d = 37
a + (4 - 1) x d = 37
a + 3d = 37..................(1)
छठी संख्या चौथी संख्या से 12 अधिक है,
छठी संख्या = 12 + चौथी संख्या
a + (n - 1) x d = 12 + 37
a + (6 - 1) x d = 49
a + 5d = 49................(2)
समीकरण (1) से (2) को घटाते हैं
a + 5d - a - 3d = 49 - 37
5d - 3d = 12
2d = 12
d = 6
d का मान समीकरण (1) में रखकर, हमें मिलेगा
a + 3 x 6 = 37
a = 37 - 18
a = 19
दूसरी संख्या = a + (n - 1) x d = 19 + (2 - 1) x 6 = 19 + 6 = 25
आठवीं संख्या = a + (n - 1) x d = 19 + (8 - 1) x 6 = 19 + 42 = 61
दूसरी और आठवीं संख्या का योग = 25 + 61 = 86
दूसरी और आठवीं संख्या का योग = 86
उत्तर 86 है।

प्रश्न के अनुसार,
हर दिन पिछले दिन से 1 रुपये अधिक जोड़ते हैं।
मान लेते हैं कि n दिन बाद, कुल बचत एक पूर्ण वर्ग बन जाएगी।
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +.......................+ tn.
समीकरण ए.पी. का उपयोग करें,
n दिनों के बाद कुल रुपये का योग = n(n+1)/2
हिट और ट्रेल विधि का प्रयोग करें, n = 2 , 3 , 4, 5 .... आदि के मान डालकर पूर्ण वर्ग प्राप्त करें।
यदि n = 2
n(n+1)/2 = 2 x 3 / 2 = 3 जो पूर्ण वर्ग नहीं है।
यदि n = 3
n(n+1)/2 = 3 x 4 / 2 = 6 जो पूर्ण वर्ग नहीं है।
यदि n = 4
n(n+1)/2 = 4 x 5 / 2 = 10 जो पूर्ण वर्ग नहीं है।
यदि n = 5
n(n+1)/2 = 5 x 6 / 2 = 15 जो पूर्ण वर्ग नहीं है।
यदि n = 6
n(n+1)/2 = 6 x 7 / 2 = 21 जो पूर्ण वर्ग नहीं है।
यदि n = 7
n(n+1)/2 = 7 x 8 / 2 = 28 जो पूर्ण वर्ग नहीं है।
यदि n = 8
n(n+1)/2 = 8 x 9 / 2 = 36 जो पूर्ण वर्ग है।

n(n+1)/2 को एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। जब ऐसा होता है तो n का पहला मान n = 8 होगा। इसलिए, 8 मार्च को आवश्यक शर्त पूरी होगी।

मान लेते हैं कि दूसरा संख्या a है और लगातार संख्याओं के बीच का अंतर d है।
अंकगणितीय प्रगति के अनुसार,
पहला संख्या = a - d
दूसरा संख्या = a
तीसरा संख्या = a + d
प्रश्न के अनुसार,
तीनों संख्याओं का योग = 15
a - d + a + a + d = 15
3a = 15
a = 5
फिर से दिए गए प्रश्न के अनुसार,
तीन संख्याओं के वर्ग का योग = 83
(a - d) ² + a ² + (a + d) ² = 83
बीजगणितीय सूत्र लागू करें
a ² + d ² - 2ad + a ² + a ² + d ² + 2ad = 83
3a ² + 2d ² = 83
उपरोक्त समीकरण में a का मान डालें।
3 x 5 ² + 2d² = 83
3 x 25 + 2d² = 83
75 + 2d² = 83
2d ² = 83 - 75
2d ² = 8
d ² = 8/2
d ² = 4
d = 2
नीचे दिए गए समीकरण में a और d का मान डालें।
पहला संख्या = a - d = 5 - 2 = 3
दूसरा संख्या = a = 5
तीसरा संख्या = a + d = 5 + 2 = 7
सबसे छोटी संख्या 3 है। 

6 से विभाज्य पहला 3-अंकों का संख्या 102 है और 6 से विभाज्य अंतिम 3-अंकों का संख्या 996 है।
6 से विभाज्य दो लगातार संख्याओं के बीच का अंतर 6 है।
इसलिए 6 से विभाज्य 3-अंकों की संख्याएँ 102, 108, 114, ......., 996 हैं।
यह एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें a = 102, d = 6 और l = 996 हैं।
जहाँ a = पहला संख्या, l = अंतिम संख्या और d = दो लगातार संख्याओं का अंतर है।
मान लेते हैं कि पदों की संख्या n है। तो अंतिम पद = t_n
तब t_n = 996
अंकगणितीय प्रगति के n पदों के लिए सूत्र का उपयोग करें।
∴ a + ( n - 1) x d = 996
⇒ 102 + (n - 1) x 6 = 996
⇒ 6(n - 1) = 894
⇒ (n - 1) = 149
⇒ n = 150
∴ पदों की संख्या = 150 

मान लेते हैं कि पहली किस्त a है और दो लगातार किस्तों के बीच का अंतर d है।
प्रश्न के अनुसार,
40 किस्तों का योग = 3600
सूत्र का उपयोग करें: पहली n शर्तों का योग अंकगणितीय श्रंखला में = S_n = n/2[ 2a + (n-1)d ]
जहाँ a = पहली शर्त, d = सामान्य अंतर, n = शर्तों की संख्या।
n/2[ 2a + (n-1)d ] = 3600
प्रश्न से a, n और d के मान डालें,
40/2[ 2a + (40 -1)d ] = 3600
20[ 2a + 39d ] = 3600
[ 2a + 39d ] = 3600/20 = 180
2a + 39d = 180...........................(1)
फिर प्रश्न के अनुसार,
30 किस्तों का भुगतान करने के बाद बकाया राशि = 1/3(कुल बकाया राशि) = 3600 x 1/3
30 किस्तों का भुगतान करने के बाद बकाया राशि = 1200
तो 30 किस्तों का भुगतान करने के बाद भुगतान की गई राशि = 3600 - 1200 = 2400
30 किस्तों का योग = 2400
30/2[ 2a + (30 -1)d ] = 2400
[ 2a + (30 -1)d ] = 2400 x 2/30
2a + 29d = 80 x 2 = 160
2a + 29d = 160..........................(2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर हमें प्राप्त होगा
2a + 39d - 2a - 29d = 180 - 160
10d = 20
d = 2
समीकरण (1) में d का मान डालें, हमें प्राप्त होगा
2a + 39 x 2 = 180
2a = 180 - 78
a = 102/2
a = 51
पहली किस्त का मान = a = 51

दी गई प्रश्न के अनुसार,
पहले दिन 1 रुपये, दूसरे दिन 2 रुपये, तीसरे दिन 4 रुपये.....
1 , 2 , 4............ और इसी तरह
यह दी गई श्रृंखला एक भौगोलिक प्रगति (GP) में है।
1, 2¹, 2²,.............
भौगोलिक प्रगति (GP) में पहले n पदों का योग
S_n = a (rⁿ ? 1) /(r ?1)
यदि r > 1 है और जहाँ a= पहला पद, r = सामान्य अनुपात, n = पदों की संख्या
दी गई प्रश्न के अनुसार a = 1 , r = 2 और n = 20;
S_n = 1(2²⁰ ? 1) /(2 ?1)
S_n = (2²⁰ ? 1) /1
S_n = (2²⁰ ? 1)
S_n = 2²⁰ ? 1 

मान लेते हैं कि a पहला पद है और d सामान्य अंतर है।
सवाल के अनुसार,
m^थ पद एक अंकगणितीय प्रगति (AP) का है जो 1/n है।
m^थ पद के लिए अंकगणितीय प्रगति का सूत्र उपयोग करें,
⇒ a + ( m - 1 ) x d = t_m
⇒ a + ( m - 1 ) x d = 1/n
⇒ a + md - d = 1/n .......................(1)
n^थ पद के लिए अंकगणितीय प्रगति का सूत्र उपयोग करें,
⇒ a + ( n - 1 ) x d = t_n
⇒ a + ( n - 1 ) x d = 1/m
⇒ a + nd - d = 1/m.........................(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर हमें मिलेगा
⇒ a + nd - d - (a + md - d) = 1/m - 1/n
⇒ a + nd - d - (a + md - d) = 1/m - 1/n
⇒ a + nd - d - a - md + d = 1/m - 1/n
⇒ nd - md = 1/m - 1/n
⇒ d(n - m) = 1/m - 1/n
⇒ d(n - m) = (n - m)/mn
⇒ d = 1/mn.......................................(3)
d का मान समीकरण (1) में डालें, हमें मिलेगा,
⇒ a + md - d = 1/n
⇒ a + ( m x 1/mn ) - 1/mn = 1/n
⇒ a + 1/n - 1/mn = 1/n
⇒ a = 1/n - 1/n + 1/mn
⇒ a = 1/mn.....................................(4)
अब सवाल के अनुसार,
mn पदों का योग = mn/2(2a + ( mn - 1) x d)
S_mn = mn/2(2a + ( mn - 1) x d)
a और d का मान उपरोक्त समीकरण में डालें, हमें मिलेगा,
S_mn = mn/2 [ 2 x 1/mn + ( mn - 1) x 1/mn ]
S_mn = mn/2 [2/mn + 1 - 1/mn ]
S_mn = mn/2 [ 1 + 1/mn ]
S_mn = mn/2 [ ( mn + 1 )/mn ]
S_mn = mn/2 (1 + mn)/mn
S_mn = 1/2 (1 + mn)
S_mn = (1 + mn)/2 = (mn + 1)/2 

मान लेते हैं कि संख्या n है।
प्रश्न के अनुसार,
यदि 24 घटाया जाए, तो यह संख्या का 4/7 हो जाती है।
n - 24 = n x 4/7
⇒ n - 4n/7 = 24
⇒ (7n - 4n)/7 = 24
⇒ 3n/7 = 24
⇒ 3n = 24 x 7
⇒ n = 24 x 7/3
⇒ n = 8 x 7
⇒ n = 56
संख्या के अंकों का योग = 5 + 6 = 11

पहला दो अंकों का संख्या, जो 7 से विभाजित किया जाता है और शेष 3 देता है, वह होगा 10।
अंतिम दो अंकों का संख्या, जो 7 से विभाजित किया जाता है और शेष 3 देता है, वह होगा 94।
दो लगातार संख्याओं के बीच का सामान्य अंतर 7 होगा।
यह श्रृंखला इस प्रकार होगी → 10, 17, 21 ,............................ 94।
यहाँ पहले संख्या a = 10, अंतिम संख्या t_n = 94, सामान्य अंतर d = 7 ;
अंतिम संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए t_n = a + (n - 1) x d;
⇒ a + (n - 1) x d = t_n
a, d और t_n के मान को ऊपर की समीकरण में डालें।
⇒ 10 + (n - 1) x 7 = 94
⇒ 10 + 7n - 7 = 94
⇒ 7n + 3 = 94
⇒ 7n = 94 - 3 = 91
⇒ n = 91/7
⇒ n = 13
गणितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए।
S_n = n/2 [ पहले संख्या + अंतिम संख्या ] ;
n, पहले संख्या और अंतिम संख्या के मान डालें, हमें मिलेगा,
S_n = 13/2 [ 10 + 94 ]
S_n = 104 x 13/2
S_n = 52 x 13
S_n = 676 

मान लेते हैं कि पहले अंश को a और समान अंतर को d कहा जाए।
गणितीय प्रगति के n^वें अंश का सूत्र = a + ( n - 1 ) x d
इसलिए पहले अंश t₁ = a + ( 1 - 1 ) x d = a
पाँचवाँ अंश t₅ = a + ( 5 - 1 ) x d = a + 4d
प्रश्न के अनुसार,
पहले और पाँचवें अंश का योग = 10
t₁ + t₅ = 10
⇒ a + a + 4d = 10
⇒ 2a + 4d = 10
⇒ a + 2d = 5.............................(1)
गणितीय प्रगति के लिए n अंशों का योग का सूत्र,
S_n = n/2[ 2a + ( n - 1 ) x d ]
n = 10 डालें, चूँकि कुल अंशों की संख्या 10 है।
⇒ S₁₀ = 10/2[ 2a + ( 10 - 1 ) x d ]
⇒ S₁₀ = 5[ 2a + 9 x d ] = 10a + 45d
फिर प्रश्न के अनुसार,
गणितीय प्रगति के सभी अंशों का योग, पहले अंश को छोड़कर = 99
S₁₀ - पहले अंश = 99
⇒ 10a + 45d - a = 99
⇒ 9a + 45d = 99
⇒ a + 5d = 11.................................(2)
समिकरण (1) को समिकरण (2) से घटाएं, हमें मिलेगा,
⇒ a + 5d - a - 2d = 11 - 5
⇒ 3d = 6
⇒ d = 2
समिकरण (1) में d का मान डालें, हमें मिलेगा
⇒ a + 2 x 2 = 5
⇒ a + 4 = 5
⇒ a = 5 - 4
⇒ a = 1
चूँकि t_n = a + ( n - 1) x d
तीसरे अंश को a, n और d का मान डालकर खोजें। हमें मिलेगा,
t₃ = 1 + ( 3 - 1) x 2 = 1 + 2 x 2 = 1 + 4 = 5
इसलिए गणितीय प्रगति का तीसरा अंश 5 है। 

मान लीजिए कि संख्या है a।
दिया गया है कि 7 ¹/3 = 22/3
प्रश्न के अनुसार,
a x 1/2 + a x 1/5 = a x 1/3 + 22/3
⇒ a/2 + a/5 = a/3 + 22/3
⇒ a/2 + a/5 - a/3 = 22/3
⇒ (15a + 6a - 10a)/30 = 22/3
⇒ (15a + 6a - 10a) = 30 x 22/3
⇒ 11a = 10 x 22
⇒ a = 10 x 2
⇒ a = 20 

चावल के कटोरे की संख्या को a मान लें, जूस के कटोरे की संख्या को b मान लें, और मांस के कटोरे की संख्या को c मान लें।
प्रश्न के अनुसार,
a + b + c = 65........................(1)
कुल मेहमानों की संख्या = 2a
कुल मेहमानों की संख्या = 3b
कुल मेहमानों की संख्या = 4c
इसलिए पार्टी में कुल मेहमानों की संख्या समान होगी।
2a = 3b = 4c..........................(2)
समीकरण (2) के अनुसार
b = 2a/3................................(3)
c = 2a/4 = a/2......................(4)
अब समीकरण (1) में समीकरण (3) और (4) से b और c का मान डालें,
a + 2a/3 + a/2 = 65
(6a + 4a + 3a)/6 = 65
13a = 65 x 6
a = 5 x 6 = 30
अब समीकरण (3) और (4) में a का मान डालें ताकि b और c का मान प्राप्त किया जा सके,
b = 2 x 30/3 = 2 x 10 = 20
c = 30/2 = 15
कुल मेहमानों की संख्या = 2a = 3b = 4c = 60 

मान लेते हैं कि संख्याएँ a और b हैं।
प्रश्न के अनुसार,
दो संख्याओं का योग = 25
a + b = 25......................(1)
दो संख्याओं का अंतर = 13
a - b = 13........................(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ें:
a + b + a - b = 25 + 13
⇒ 2a = 38
⇒ a = 19
समीकरण (1) में a का मान डालें:
19 + b = 25
⇒ b = 25 - 19
⇒ b = 6
संख्याओं का गुणनफल = a x b
a और b का मान डालें,
⇒ संख्याओं का गुणनफल = 19 x 6
⇒ संख्याओं का गुणनफल = 114

मान लेते हैं कि चालक का वेतन ₹ R है।
उस सप्ताह की टिप्स = R x 5/4
प्रश्न के अनुसार,
उसकी आय एक सप्ताह में = वेतन + टिप्स
⇒ एक सप्ताह में कुल आय = R + (5R/4)
⇒ एक सप्ताह में कुल आय = (4R + 5R)/4 = 9R/4
आवश्यक भिन्न = टिप्स एक सप्ताह में / कुल आय एक सप्ताह में
⇒ आवश्यक भिन्न = 5R/4 / 9R/4
⇒ आवश्यक भिन्न = 5R/4 x 4/9R
⇒ आवश्यक भिन्न = 5/9

मान लेते हैं कि राम के पास R रुपये हैं और मोहन के पास M रुपये हैं।
प्रश्न के अनुसार,
यदि राम मोहन को 30 रुपये देता है, तो
राम के पास बचे पैसे = R - 30 और मोहन के पास पैसे = M + 30
तो मोहन के पास राम के पास बचे हुए पैसे की दो गुना राशि होगी,
M + 30 = 2(R - 30)
M + 30 = 2R - 60
2R - M = 90................................(1)
फिर प्रश्न के अनुसार,
यदि मोहन राम को 10 रुपये देता है, तो
मोहन के पास बचे पैसे = M - 10 और राम के पास पैसे = R + 10
तो प्रश्न के अनुसार,
राम के पास मोहन के पास बचे हुए पैसे की तीन गुना राशि होगी,
R + 10 = 3 (M - 10 )
⇒ R + 10 = 3M - 30
⇒ 3M - R = 10 + 30
⇒ 3M - R = 40..................................(2)
2 के साथ समीकरण (2) को गुणा करने के बाद, समीकरण (1) के साथ जोड़ें,
6M - 2R + 2R - M = 80 + 90
⇒ 6M - M = 170
⇒ 5M = 170
⇒ M = 170/5
⇒ M = 34
M का मान समीकरण (1) में डालने पर, हम पाएंगे
⇒ 2R - 34 = 90
⇒ 2R = 90 + 34
⇒ 2R = 124
⇒ R = 124/2
⇒ R = 62