सीटीईटी अभ्यास परीक्षा: गणित - 5 - CTET & State TET MCQ

प्रत्येक बार की लंबाई आवश्यक जानकारी प्रदान करती है।

दी गई आकृति में समान्तर रेखाओं की संख्या 2 है।

36 का प्राथमिक गुणनखंड है: 2 x 2 x 3 x 3

72 का प्राथमिक गुणनखंड है: 2 x 2 x 2 x 3 x 3

दो सूचियों के दोहराए गए गुणकों को समाप्त करें, फिर एल.सी.एम. प्राप्त करने के लिए शेष गुणकों के साथ उन्हें एक बार गुणा करें: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72 

चरण 1: प्रश्न का विवरण और निष्कर्ष

दिया गया है कि x एक सकारात्मक पूर्णांक नहीं है और हमें दिए गए समीकरण से x का मान निकालना है।

चरण 2 और 3: आवश्यक मान निकालना और अंतिम उत्तर की गणना करना

दिया गया समीकरण है

दोनों पक्षों का वर्ग करते हुए

दोनों पक्षों का वर्ग करते हुए

• 8x = x²
• x² -8x=0
• x(x -8)=0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखते हुए, हमें मिलता है:

x = 0 या x = 8

हालांकि, चूंकि यह पहले से ही दिया गया है कि x एक सकारात्मक पूर्णांक नहीं है, इसलिए x ≠ 8।

इसलिए x = 0।

उत्तर: विकल्प (A)

रोमन अंक XXX हिन्दू-अरबी अंक 30 के बराबर है।

व्याख्या:

• X रोमन अंकों में 10 का प्रतिनिधित्व करता है।
• XXX का अर्थ है 10 + 10 + 10 = 30।

चूंकि OP PQ पर लंबवत है, इसलिए ∠OPQ = 90°
अब, समकोण त्रिभुज OPQ में,

संख्यात्मक समस्या को हल करने के लिए, हमें यह देखना होगा कि कौन सी संख्या उसके अंकों के योग के तीन गुना है और जब उसमें 45 जोड़ा जाता है, तो अंकों का स्थान उलट जाता है।

संख्या 428721 है।
2 का स्थान दसवां और दस हजार में है।
ये दोनों संख्या 20 और 20,000 हैं।
तो,
इन दोनों संख्याओं का गुणनफल है :
=> 20 × 20,000
=> 4,00,000

गुणनखंड ABCD में ∠A, ∠C और ∠D के मान हैं: 140^∘, 95^∘, 35^∘।

चरण 1: प्रश्न का कथन और निष्कर्ष

यह दिया गया है कि

x+y=−10 ....(i)

xy=16  ....(ii)

हमें यह पता करना है कि दिए गए में से कौन-सी बातें सच होनी चाहिए।

चरण 2 और 3: आवश्यक मूल्यों का पता लगाना और अंतिम उत्तर की गणना करना

(i) का वर्ग लेने पर, हमें मिलता है:

(x+y)²=100

x²+y²+2xy=100

....(iii)

हमें पता है कि

(x−y)²=x²+y²−2xy

(x−y)²=x²+y²+2xy−4xy

(x−y)²=(x+y)²−4xy

(ii) और (iii) का उपयोग करते हुए हमें मिलता है:

(x−y)²=100−64

(x−y)²=36

⇒(x−y)=±6

इसलिए (I) एक सत्य होना चाहिए ऐसा कथन नहीं है।

अब हम (II) पर ध्यान दें।

(iii) – 2*(ii) हमें देता है:

(x²+y²+2xy)−2xy=100−32

⇒x²+y²=68

इसलिए कथन II सच है।

हमने पहले देखा था कि

(x−y)²=36

हमें पता है कि

36=35+136=7∗5+1

इसलिए

(x−y)²

 7 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है।

उत्तर: विकल्प (E)

समान त्रिकोणों के क्षेत्रफल का अनुपात उनके भुजाओं के लम्बाई के वर्ग के अनुपात के समान होता है। इसलिए, 144 / 81 = (36^2 / x^2)। इसे हल करने पर, छोटे त्रिकोण DEF की सबसे लंबी भुजा 27 cm निकलेगी।

d₁ और d₂ रम्बस के दो विकर्णों का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए हम 1/2*d₁*d₂ का उपयोग करते हैं।

इस प्रश्न में, दो संख्याएँ a और b हैं, जिन्हें एक ही भाजक d से विभाजित किया जाता है। यदि a का शेषफल 3 है, तो a = kd + 3 (जहाँ k एक पूर्णांक है) और b का शेषफल 4 है, तो b = md + 4 (जहाँ m भी एक पूर्णांक है)। जब a + b को d से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 2 होता है। इसलिए, (kd + 3) + (md + 4) = (k + m)d + 7। जब इसे d से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 7 है। इसलिए, यदि 7 को d से विभाजित करने पर शेषफल 2 है, तो d 5 है।

चूंकि एक बाहरी बिंदु से वृत्त तक की टेन्जेंट्स समान होती हैं।
इसलिए, PA = PB = 4 सेमी।
BR = CR = 5 सेमी, CQ = AQ = 6 सेमी ⇒ त्रिकोण ΔPQR का परिमाप = PQ + QR + RP
⇒ त्रिकोण ΔPQR का परिमाप = PA + AQ + QC + CR + BR + PB ⇒ त्रिकोण ΔPQR का परिमाप = 4 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4
⇒ त्रिकोण ΔPQR का परिमाप = 30 सेमी 

इस समस्या का समाधान करने के लिए, हमें एक ऐसा संख्या खोजने की आवश्यकता है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करती हो:

1. जब इसे 2, 3, 4, 5, या 6 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल 1 हो।
2. संख्या 7 से विभाज्य हो।
3. संख्या 250 और 350 के बीच हो।

आइए 2, 3, 4, 5 और 6 का न्यूनतम समापवर्तक (LCM) खोजने से शुरू करते हैं, जो इन सभी संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटा संख्या है।

LCM(2, 3, 4, 5, 6) = 60

हमें 7k के रूप में एक संख्या खोजने की आवश्यकता है, जहाँ k एक पूर्णांक है, जो 60 से विभाजित करने पर शेषफल 1 छोड़ता है। इस अनुक्रम में संख्याएँ 60n + 1 के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं, जहाँ n एक पूर्णांक है।

अब, चलिए 250 और 350 के बीच 7 से विभाज्य 60n + 1 के रूप की कुछ पहली संख्याएँ खोजते हैं:

• n = 4 के लिए: 60(4) + 1 = 241 (7 से विभाज्य नहीं)
• n = 5 के लिए: 60(5) + 1 = 301 (7 से विभाज्य)

तो, वह संख्या जिसे हम खोज रहे हैं, वह 301 है।

अब, चलिए इसके अंकों का योग खोजते हैं: 3 + 0 + 1 = 4

इसलिए, उस संख्या के अंकों का योग 4 है।

उपरोक्त चित्र से हम देख सकते हैं कि गोल चेहरे के केंद्र को जोड़ने वाले रेखा खंड आधार के लंबवत हैं।

दिया गया समीकरण है

और, हमें x का मान ज्ञात करना है, यह मानते हुए कि x एक पूर्णांक है।

चरण 2 और 3: आवश्यक मानों का पता लगाना और अंतिम उत्तर की गणना करना

आइए हम (I) के अंतिम पद को फिर से लिखते हैं ताकि x-1 भाजक में आ सके:

अब हम समान भाजक वाले पदों को एकत्र करते हैं:

• (x + 1)² = {2(x – 1)}²
• [(x+1)²-{2(x-1)}² ]=0 ……… (II)

• नोट करें कि यह a² – b² = (a+b)(a-b) के रूप में है

   

  तो मान लेते हैं:

  a = x + 1              

  b = 2(x – 1) = 2x - 2

   

  इसलिए:

  a + b = x + 1 + 2x – 2 = 3x -1

  a – b = x + 1 - 2x + 2 = -x + 3

   

  इसलिए हम (II) को पुनः लिख सकते हैं:

  (3x-1)(3-x)=0

• प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर रखते हैं:

चूंकि यह दिया गया है कि x एक पूर्णांक है,

इसलिए, x = 3 आवश्यक उत्तर है।

उत्तर: विकल्प (E)

नियमित षट्कोण में समरूपता की 6 रेखाएँ होती हैं, जो उसके केंद्र से गुजरती हैं और इसे समरूप बनाती हैं।

त्रिकोण  ∠BOC में

⇒ x + y = 80°

⇒ 2x + 2y = 160°

इसके अलावा, 2x + 2y + 2z = 180°

⇒ 160° + 2z = 180°

⇒ ∠BAC = 2z = 20°

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

A = 11 और
B = 17
17 - 11 = 6

दिया गया है, BC = 6 सेमी और ∠B= 45°
हम जानते हैं कि, एक त्रिकोण का निर्माण संभव नहीं है, यदि दो भुजाओं का योग त्रिकोण की तीसरी भुजा के बराबर या उससे कम है।
i.e., AB + BC < AC
⇒ BC < AC – AB
⇒  6 < AC-AB
तो, यदि AC – AB= 6.9 सेमी, तो दिए गए शर्तों के साथ ΔABC का निर्माण संभव नहीं है।

आइए चित्र को समझते हैं -
इसके 6 सतहें हैं।
तल सतह का क्षेत्रफल = L * B
ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = L * B
दाईं ओर की सतह का क्षेत्रफल = B * H
बाईं ओर की सतह का क्षेत्रफल = B * H
आगे की सतह का क्षेत्रफल = H * L
पीछे की सतह का क्षेत्रफल = H * L 
आयताकार घन का कुल सतही क्षेत्रफल = सभी सतहों का योग।
=> (तल सतह का क्षेत्रफल + ऊपरी सतह का क्षेत्रफल + दाईं ओर की सतह का क्षेत्रफल + बाईं ओर की सतह का क्षेत्रफल + आगे की सतह का क्षेत्रफल
पीछे की सतह का क्षेत्रफल)
=> (LB + LB + BH + BH + HL + HL)
=> (2LB + 2BH + 2HL)
=> 2(LB + BH + HL)
अतः विकल्प B सही है।

दी गई जानकारी:

X और Y की आय का अनुपात 4:3 है।

X और Y के मासिक व्यय का अनुपात 3:2 है। 

X और Y प्रत्येक महीने 6000 रुपये बचाते हैं।

उपयोग किया गया सिद्धांत:

बचत = आय - व्यय

गणनाएँ:

मान लें कि X और Y की मासिक आय का अनुपात क्रमशः 4a और 3a है। 

मान लें कि X और Y के मासिक व्यय का अनुपात क्रमशः 3b और 2b है। 

X की बचत = 4a - 3b

4a - 3b = 6000      ....(1) 

Y की बचत = 3a - 2b 

3a - 2b = 6000      ....(2) 

समीकरण 1 और 2 को हल करने पर 

हमें a = 6000 और b = 6000 मिलता है

X और Y की कुल मासिक आय = 4a + 3a = 7a 

⇒ 7 × 6000 

⇒ 42000 रुपये 

∴ विकल्प 2 सही उत्तर है।

व्याख्या:
चरण 1: प्रत्येक संख्या के प्राइम फैक्टर खोजें

• 17 = 17 (प्राइम नंबर)
• 5 = 5 (प्राइम नंबर)

• सामान्य प्राइम फैक्टर: कोई नहीं
• असामान्य प्राइम फैक्टर: 17, 5

• एल.सी.एम. = 17 x 5 = 85

अक्षर 'D' की परावर्तन समरूपता एक ऊर्ध्वाधर दर्पण के संबंध में होती है।

जब संख्या को 143 से विभाजित किया जाता है और शेषफल 31 है, तो इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: n = 143k + 31, जहाँ k कोई पूर्णांक है। अब, हम इस संख्या को 13 से विभाजित करते हैं। सबसे पहले, हमें 143 और 31 को 13 के संदर्भ में देखना होगा। 143 को 13 से विभाजित करने पर हमें 0 शेषफल मिलता है। 31 को 13 से विभाजित करने पर, शेषफल 5 मिलेगा। इसलिए, जब उसी संख्या को 13 से विभाजित किया जाएगा, तो शेषफल 5 होगा।

घन का आयतन = (घन की भुजा)³
V = 4 * 4 * 4 सेमी³ 
V = 64 सेमी³ 
इसलिए विकल्प B सही है।

सामान्यतः, रंबस के लिए, AC²+ BD²=4AB² होता है।

एक डेटा संख्याओं का संग्रह है जिसे कुछ जानकारी देने के लिए इकट्ठा किया गया है।

अक्षर 'B' में क्षैतिज प्रतिबिंबीय समरूपता होती है क्योंकि आकृति का आधा भाग दूसरे आधे भाग का दर्पण छवि होता है।