MCQ: अनुक्रमण और संयोजन - 1 - Bank Exams MCQ

लड़कियों की संख्या = 5
लड़कों की संख्या = 3 
5 लड़कियों को बैठाने के कुल तरीके
⇒ ⁵P₅ = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! तरीके
5 लड़कियों को नीचे दिखाए अनुसार रखा गया है,

यहाँ, लड़कों के लिए 6 स्थान संभव हैं ताकि कोई लड़का एक साथ न बैठे।
तो, लड़के बैठने के तरीके।
⇒ 6P3
तो, कुल संभावित बैठने के व्यवस्थाएँ,
⇒ ⁵P₅ x ⁶P₃ = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 6 x 5 x 4 
⇒ ⁵P₅ x ⁶P₃ = 14400 तरीके
इस प्रकार, कुल आवश्यक तरीके 14400 हैं।
इसलिए, सही विकल्प 2 है।

गणना
हम वॉलीबॉल टीम से 6 लोगों का चयन कर सकते हैं।
12 खिलाड़ियों में से 6 खिलाड़ियों का चयन करने के तरीके की संख्या है = ¹²C₆   

इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।

दिया गया:
8 पुरुषों में से 5 पुरुषों का चयन
10 महिलाओं में से 6 महिलाओं का चयन

उपयोग किया गया सूत्र:
ⁿC_r = n!/[r!(n - r)!]
जहाँ n = संभावित परिणाम
r = आवश्यक परिणाम

गणना:
5 पुरुषों का चयन करने के तरीके
⁸C₅ = 8!/[5!(8 - 5)!]
⇒ (6 × 7 × 8)/(3 × 2) = 56
6 महिलाओं का चयन करने के तरीके
¹⁰C₆ = 10!/[6!(10 - 6)!]
⇒ (7 × 8 × 9 × 10)/(4 × 3 × 2) = 210
5 पुरुषों और 6 महिलाओं का चयन करने के तरीके
56 × 210 = 11760
∴ 5 पुरुषों और 6 महिलाओं का चयन 11760 तरिकों में किया जा सकता है।

दिया गया:
दिया गया संख्या 'भूगोल' है।

गणना:
शब्द 'भूगोल' में 9 अक्षर हैं। इसमें स्वर E, O, A हैं, और इन 3 स्वरों को हमेशा एक साथ आना चाहिए। इसलिए इन 3 स्वरों को एक समूह में रखा जा सकता है और एकल अक्षर के रूप में माना जा सकता है। अर्थात, GGRPHY(EOA)।

इस शब्द में 7 अक्षर हैं लेकिन इन 7 अक्षरों में, 'G' 2 बार आता है, लेकिन बाकी के अक्षर भिन्न हैं।

अब,
इन अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके की संख्या = 7!/2!
⇒ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520
3 स्वरों (EOA) में, सभी स्वर भिन्न हैं।
इन स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीके की संख्या = 3!
⇒ 3 × 2 × 1 = 6

अब,
आवश्यक तरीकों की संख्या = 2520 × 6 
⇒ 15120
अतः आवश्यक तरीकों की संख्या 15120 है।

दी गई जानकारी: 
(7 पुरुष + 6 महिलाएं) 5 व्यक्तियों का चयन समिति के लिए करना है।

उपयोग किया गया सूत्र:
ⁿC_r = n!/(n - r)! r!

गणना:
कम से कम 3 पुरुषों का चयन करने के तरीके;
⇒ 3 पुरुष + 2 महिलाएं
⇒ 4 पुरुष + 1 महिला 
⇒ 5 पुरुष + 0 महिला 

तरीकों की संख्या = ⁷C₃ × ⁶C₂ + ⁷C₄ × ⁶C₁ + ⁷C₅ × ⁶C₀
⇒ 7!/(3! × 4!) × 6!/(2! × 4!) + 7!/(4! × 3!) × 6!/(1! × 5!) + 7!/(5! × 2!) × 6!/(6!× 0!)
⇒ 35 × 15 + 35 × 6 + 21 
⇒ 735 + 21 = 756
∴ आवश्यक तरीकों की संख्या = 756.

दिया गया:
क्रिस्मस से विभिन्न शब्द बनाए जाने हैं।

सूत्र:
जिन शब्दों में C और M कभी साथ नहीं होते = सभी मामले - C और M के साथ होने वाले शब्द।

गणना:
⇒ कुल शब्दों की संख्या = 9!/2! (S के दोहराने के कारण 2! द्वारा विभाजन)
मान लेते हैं कि C और M एक इकाई हैं। फिर, अक्षरों को 8! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। C और M को 2! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। चूंकि अक्षर S दोहराए जाते हैं, इसलिए कुल संख्या को 2! द्वारा विभाजित किया जाएगा।
⇒ C और M के साथ होने वाले शब्दों की संख्या = 8!/2! × 2! = 8!
जिन शब्दों में C और M कभी साथ नहीं होते = 9!/2! - 8! = 8! × (9/2 - 1) = 8! × (7/2)

दिया गया:
5 संख्या दी गई हैं: 2, 5, 6, 7 और 8
चार अंकों की संख्या बिना पुनरावृत्ति के
उपयोग किया गया सूत्र:
पुनरावृत्ति के बिना व्यवस्था 
जहाँ n = कुल संभावित संख्याएँ
r = आवश्यक संख्या

गणना:
यहाँ कुल संभावित संख्या n = 5
और आवश्यक संख्या r = 4
सूत्र लागू करते हुए

⇒ 5!
⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
∴ वहाँ 120 संभावित चार अंकों की संख्या होगी।

दिए गए अंक हैं 4, 5, 2, 1, 8, 9
इसलिए आवश्यक तरीकों की संख्या 

इसलिए, सही उत्तर है 720.

दी गई जानकारी:
यदि ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 12 : 1

उपयोग किया गया सूत्र:
ⁿC_r = n!/r!(n - r)!

गणना:
यदि ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 12 : 1    ----(1)
सूत्र का उपयोग करते हुए
²ⁿC₃ = {2n!/3!(2n - 3)!}
⇒ 2n(2n - 1)(2n - 2)(2n - 3)!/(2n - 3)! × 3 × 2
⇒ n(2n - 1)2(n - 1)/3      ----(2)
ⁿC₂ = {n!/2!(n - 2)!}
⇒ n(n - 1)(n - 2)!/(n - 2)! × 2
⇒ n(n - 1)/2      ----(3)
समीकरण 2 और 3 को समीकरण 1 में डालते हुए
⇒ {n(2n - 1)2(n - 1)/3}/{n(n - 1)/2} = 12/1
⇒ 2n - 1 = 9
⇒ 2n = 10 
⇒ n = 5
∴ n का मान 5 है।

⇒ 3, 5 और 7 अंकों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले संभावित दो-अंकीय नंबरों की संख्या = 3 × 3.
∴ 9 संभावित दो-अंकीय नंबर बनाए जा सकते हैं।
9 संभावित दो-अंकीय नंबर हैं:
33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77 

दी गई:
5, 6, 7, 8, 9 अंकों से 3 अंकों की संख्या बनानी है

गणना:
हम 3 अंकों की संख्या को H T U (सौ, दस, इकाई अंक) के रूप में लेते हैं।
3 अंकों की संख्या को विषम बनाने के लिए
5, 7, 9 केवल इकाई अंक के स्थान पर उपयोग किए जा सकते हैं।
सौ और दस के स्थान पर सभी 5 अंक संभव हैं।
इकाई अंक के लिए संभव तरीकों की संख्या = 3
दस के अंक के लिए संभव तरीकों की संख्या = 5
सौ के अंक के लिए संभव तरीकों की संख्या = 5
3 अंकों की विषम संख्या की संख्या =  3 × 5 × 5 = 75 
∴ 75 तीन-अंकों की विषम संख्याएँ 5, 6, 7, 8, 9 अंकों से बनाई जा सकती हैं यदि अंकों को दोहराया जा सकता है

प्रदान किया गया 
शब्द 'FIGHT' में कुल अक्षर = 5 

उपयोग किया गया सिद्धांत 
व्यवस्था के कुल तरीकों की संख्या = n! 

गणना 
n विभिन्न शब्दों की व्यवस्था के विभिन्न तरीकों की संख्या (दोहराव के बिना) = 5! 
⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 
∴ आवश्यक उत्तर 120 है।

दी गई जानकारी:
शब्द = MANAGEMENT

गणना:
स्वर के लिए 4 स्थान हैं, फिर !4
A और E दो बार आते हैं, फिर !4/(!2 × !2)
व्यंजन के लिए 6 स्थान हैं, फिर !6
M और N दो बार आते हैं, फिर !6/(!2 × !2)
= 6 × 180 = 1080

दी गई:
10 व्यक्तियों के चार कुर्सियों में व्यवस्था करने के तरीकों की संख्या

उपयोग किया गया सूत्र:
ⁿP_r = n!/(n – r)!
जहाँ, n = व्यक्तियों की संख्या
r = कुर्सियों की संख्या

गणना:
प्रश्न के अनुसार
ⁿP_r = n!/(n – r)!
⇒ 10!/(10 – 4)!
⇒ 10!/6!
⇒ (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
⇒ (10 × 9 × 8 × 7)
⇒ 5040
∴ आवश्यक मान 5040 है

अगर हम समान राष्ट्रीयता के सभी व्यक्तियों को एक व्यक्ति मानते हैं, तो हमारे पास केवल तीन व्यक्ति होंगे।
ये तीन व्यक्ति अपने आप को 3! तरीकों में व्यवस्थित कर सकते हैं।
8 भारतीय अपने आप को 8! तरीकों में व्यवस्थित कर सकते हैं।
4 अमेरिकियों को 4! तरीकों में व्यवस्थित किया जा सकता है।
4 अंग्रेजों को 4! तरीकों में व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या = 3! 8! 4! 4! तरीके।