MCQ: त्रिकोण - 3 - Bank Exams MCQ

मान लेते हैं कि त्रिकोण की भुजाएँ 3x, 4x और 6x इकाई हैं।
स्पष्ट रूप से, (3x)² + (4x)² < (6x)²
अत: त्रिकोण उबड़-खाबड़ कोण वाला होगा।
इसलिए, विकल्प C सही है।

अन्य दो भुजाओं को x और y मान लेते हैं।
दिया गया है, x + y = 49 सेमी
और, 41² = x² + y² [पाइथागोरस के प्रमेय के अनुसार]
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ 49² = 41² + 2xy
⇒ 2401 = 1681 + 2xy
⇒ 2xy = 2401 – 1681 = 720
(x – y)² = x² + y² – 2xy
⇒ (x – y)² = 412 – 720 = 1681 – 720 = 961
⇒ x – y = 31 सेमी

चूँकि, DE || BC

⇒ x (x – 1) = (x + 2)(x – 2)
⇒ x² – x = x² – 4
⇒ x = 4
इसलिए, विकल्प B सही है।

एक त्रिकोण के भुजाओं के दाहिनी मध्यरेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। इस बिंदु को परिकेंद्र कहा जाता है। एक अधकोण वाले त्रिकोण के लिए, परिकेंद्र त्रिकोण के बाहर होता है।
इसलिए, विकल्प D सही है।

त्रिकोण ΔABC में,
AB² = AC² + BC² [पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
⇒ AC² = AB² – BC² ...(i)
त्रिकोण ΔACD में,
AD² = AC² + CD² [पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
⇒ AD² = AB² – BC² + CD² [समीकरण (i) से]
⇒ AB² + CD² = BC² + AD²
इसलिए, विकल्प A सही है।

यहाँ, समबाहु त्रिकोण की विशेषताओं का उपयोग करते हुए, हमें यह ज्ञात होता है कि यदि AD BC पर लम्ब है, तो गणनाओं के परिणामस्वरूप सही समीकरण 4 AB² = 3 AD² होगा।

हम जानते हैं कि “एक त्रिकोण के दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।”
इसका पालन करते हुए, हम केवल दो संभावित संयोजन प्राप्त कर सकते हैं, जो नीचे दिए गए विवरण के अनुसार हैं।
(3, 5, 6) और (2, 5, 6)
इसलिए, विकल्प B सही है।

प्रश्न के अनुसार,

⇒ AC² = 2 x AB x BC
⇒ AB² + BC² = 2 x AB × BC [पाइथागोरस के प्रमेय के अनुसार, AC² = AB² + BC²]
⇒ AB² + BC² – 2 x AB × BC = 0
⇒ (AB – BC)2 = 0
⇒ AB = BC
∴ ∠C = ∠A
त्रिकोण ΔABC में,
हमें पता है कि त्रिकोण के कोणों का योग 180° होता है।
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 90° + ∠A = 180° [∵ ΔABC एक समकोण त्रिकोण है]
⇒ 2∠A = 180° – 90° = 90°
⇒ ∠A = 45° और ∠C = 45° [∵ ∠A = ∠C]
इसलिए, विकल्प C सही है।

मान लें कि PS ΔPQR का ऊँचाई है।

जैसा कि हम जानते हैं, PQ = 10 सेमी और PS = 8 सेमी है।
अब, पायथागोरस के प्रमेय के अनुसार, हमें मिलता है:
∴ ΔPSQ में, QS = 6 सेमी है।
∴ SR = QR – PS = (20 – 6) = 14 सेमी है।
ΔPSR में,
PR² = PS² + SR² = 82 + 142 = 260।
∴ PR = √260 सेमी है।
इसलिए, विकल्प A सही है।

मान लें, AB = 4x सेमी, BC = 5x सेमी, CA = 6x सेमी
अब, ΔOBA + ΔBOC + ΔAOC = ΔABC

⇒ 12 + 15 + 18 = 6h
⇒ 45 = 6h
⇒ h = 7.5 सेमी
इसलिए, विकल्प A सही है।

AD, BC के आधार पर मध्यरेखा है।
∴ ∠ADB = 90°
दी गई जानकारी के अनुसार, ∠ABC = 35°
∴ ∠ABD = 35°
ΔABD में,
हम जानते हैं कि एक त्रिकोण के कोणों का योग 180° होता है।
∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180°
35° + 90° + ∠BAD = 180°
∠BAD = 180° – 35° – 90° = 55°
इसलिए, विकल्प B सही है।

∠CBD = ∠A + ∠C , ∠BCE = ∠B + ∠A.
[∵ एक त्रिकोण का बाहरी कोण विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है.]
इसलिए ∠CBD + ∠BCE = (∠A + ∠B + ∠C) + ∠A = 180° + A

इसलिए, विकल्प B सही है।

हमें पता है कि, बाहरी कोण विपरीत आंतरिक कोणों का योग होता है।

इसी प्रकार,
∠DCE = ∠DBC + ∠BDC
⇒ y = x + 50°
समीकरण (i) से,
∠A = 2(x + 50°) – 2x = 2x + 100° – 2x = 100°
इस प्रकार, विकल्प A सही है।

दी गई जानकारी के अनुसार, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिकोण है और ∠B समकोण है।
इसलिए ∠A = ∠C
और ∠B = 90°
हमें ज्ञात है कि एक त्रिकोण के कोणों का योग 180° होता है।
इसलिए ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 90° + ∠A = 180° [∵ ∠B = 90° और ∠A = ∠C]
⇒ 2∠A = 180° – 90° = 90°
⇒ ∠A = 45° और ∠C = 45° [∵ ∠A = ∠C]
ΔADP से,
∠APD + ∠PAD + ∠ADP = 180° [
∠BAD = 15° (दी गई)
]
इसलिए ∠PAD = 15°
⇒ 90° + 15° + ∠ADP = 180° [PD ⊥ AB इस प्रकार ∠APD = 90°]
⇒ ∠ADP = 180° – 90° – 15° = 75°
अब, ∠A = ∠BAD + ∠DAC
⇒ 45° = 15° + ∠DAC
⇒ ∠DAC = 45° – 15° = 30°
इसलिए ∠DAQ = 30°
ΔADQ से,
∠AQD + ∠DAQ + ∠ADQ = 180°
⇒ 90° + 30° + ∠ADQ = 180° [DQ ⊥ AC इस प्रकार ∠AQD = 90°]
⇒ ∠ADQ = 180° – 90° – 30° = 60°
फिर ΔADQ से,

इसलिए, विकल्प C सही है।

∠B = ∠ACB = 70°
∠BAC = 180° – (70° + 70°) = 40°
∠ADE = ∠CAD + ∠ACD = 40° + 110° = 150°
इसलिए, विकल्प A सही है।