MCQ: ज्यामितीय प्रगति - 2 - Bank Exams MCQ

उपयोग किया गया सिद्धांत:
यदि a पहले पद और r गुणन अनुपात है तो nth पद, tn = arⁿ-1

गणना:
मान लें कि a और r आवश्यक G.P. के पहले पद और गुणन अनुपात हैं।
दिया गया, 4वां पद = 2, 5वां पद = 8
⇒ ar³ = 2      ----(1)
⇒ ar⁴ = 8      ----(2)
समीकरण 2 को 1 से विभाजित करें
⇒ r = 4
खोजने के लिए: 8 पद का गुणनफल = a⋅ar⋅ar²⋅ar³⋅ . . . ar⁷
⇒ a⁸r^{(1+2+3+. . . +7)} =  = a⁸r²⁸
⇒(ar³)⁴(ar⁴)⁴
⇒ 2⁴ × 8⁴
⇒ 16 × 64 × 64
⇒ 4⁸
∴ पहले 8 पदों का गुणनफल 4⁸ है।

दी गई:
आवश्यक श्रृंखला: 
फॉर्मूला उपयोग किया गया:
जी.पी. के लिए योग का फॉर्मूला: (r < 1="" और="" श्रृंखला="" अनंत="">

जहां, 
S, जी.पी. का योग है
a, पहला पद है
r, सामान्य अनुपात है

गणना:
मान लें कि S दी गई श्रृंखला का योग है।
आवश्यक श्रृंखला को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अब, उपरोक्त समीकरण को 20 से विभाजित करें।

अब, समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाएं।

अब, उपरोक्त श्रृंखला एक ज्यामितीय श्रृंखला बन जाती है जिसमें सामान्य अनुपात 10/20 है।
सामान्य अनुपात के लिए मान, r = 10/20 = 1/2
श्रृंखला में पहले पद का मान = 1/20
अब, 

∴ आवश्यक श्रृंखला का मान 2/19 है।

दिया गया:
तीसरा पद पहले से 9 अधिक है।
दूसरा पद चौथे से 18 अधिक है।

संकल्पना:
जी.पी. का n^वां पद जिसका पहला पद a और सामान्य अनुपात r है, दिया गया है T_n = ar^n-1

गणना:
मान लें कि a पहला पद है और r जी.पी. का सामान्य अनुपात है।
a₁ = a, a₂ = ar, a₃ = ar², a₄ = ar³
प्रश्न के अनुसार
a₃ = a₁ + 9
⇒ ar² = a + 9 ....(1)
अब, a₂ = a₄ + 18
⇒ ar = ar³ + 18 ....(2)
समीकरण (1) और (2) से,
⇒ a(r² - 1) = 9 ....(3)
⇒ ar(1 - r²) = 18 ...(4)
(4) और (3) को विभाजित करने पर हमें मिलता है

⇒ -r = 2
⇒ r = -2
समीकरण (1) में r का मान प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है
⇒ 4a = a + 9
⇒ 3a = 9
⇒ a = 3
इसलिए, जी.पी. का पहला पद a₁ = a = 3 है।
∴ आवश्यक मान 3 है।

धारणा:
यदि a, ar, ar², ar³,.....,ar^n-1 ज्यामितीय प्रगति (GP) में हैं, तो GP का nवां पद इस प्रकार दिया गया है:
T_n = ar^n-1

दी गई जानकारी:
पहला पद a = 125
सामान्य अनुपात r = 2/5
पद n = 4वां

गणना:
⇒ T_n = ar^n-1
⇒ T₄ = 125 × (2/5)^4-1
⇒ T₄ = 125 × (2/5)³
⇒ T₄ = 125 × (8/125)
⇒ T₄ = 8
इसलिए, GP का 4वां पद "8" है।

दी गई:
(1/2¹) + (1/2²) + (1/2³) + ……… + (1/2¹⁰) = 1/k

उपयोग किया गया सूत्र:
जी.पी. का योग = a(1 – rⁿ)/(1 – r)

गणना:
(1/2¹) + (1/2²) + (1/2³) + ……… + (1/2¹⁰) = 1/k
उपरोक्त श्रृंखला का बायाँ पक्ष जी.पी. में है और सामान्य अनुपात = ½
∴ दी गई श्रृंखला का योग = [1(1 – rⁿ)/(1- r)]
⇒ ½ × [(1 – (½)¹⁰]/ (1-1/2)
⇒ ½ × [1 – 1/1024]/ (1/2)
⇒ 1023/1024 = 1/k
⇒ k = 1024/1023
∴ सही उत्तर 1024/1023 है।

दिया गया:
(2⁰ + 2² + 2⁴ +........+ 2⁸) × 3

उपयोग किए गए सूत्र:
यह एक ज्यामितीय प्रगति है।
a = पहला पद, r = सामान अनुपात
ज्यामितीय प्रगति का योग = [a(rⁿ - 1)/(r - 1)]

गणना:
a = 1
r = (2²/2⁰) = 4/1 = 4
⇒ श्रृंखला का योग = [1 × (4⁵ - 1)/(4 - 1)] × 3
⇒ श्रृंखला का योग = [1 × (2¹⁰ - 1)/(3)] × 3
⇒ श्रृंखला का योग = [1 × (1024 - 1)]
⇒ श्रृंखला का योग = [1 × (1023)]
⇒ श्रृंखला का योग = 1023
∴ श्रृंखला का योग 1023 है।

दी गई:
एक गेंद 120 मीटर की ऊँचाई से गिराई गई

सूत्र:

गणना:
120 मीटर की ऊँचाई से गिरने के बाद गेंद की उछाल = 120 × 4/5 = 96 मीटर
⇒ पहला पद (a) = 120 + 96 = 216 मीटर
⇒ सामान्य अनुपात (r) = 4/5
∴ विश्राम करने से पहले वह कुल दूरी = 216/(1 – 4/5) = 216/(1/5) = 216 × 5 = 1080 मीटर

दी गई जानकारी:
7, 7², 7³, _________ 7ⁿ

उपयोग किए गए सिद्धांत:
दो संख्याओं a & b का ज्यामितीय औसत = √ab

गणना:
GM = ⁿ√(a¹.aⁿ)
​⇒ GM of ⁿ√(7, 7² , .....7ⁿ)
​⇒ ⁿ√7^{n(n + 1)/2}
⇒ (7^{n(n + 1)/2})^1/n
​⇒ 
∴ आवश्यक उत्तर है ​​​​​​​

दिया गया:
एक गणितीय प्रगति (G.P.) के 10वें पद और 7वें पद का अनुपात = 1 ∶ 8।

गणना:
मान लें कि G.P. का सामान्य अनुपात r है।
अब, प्रश्न के अनुसार
⇒ 10^वां पद/7^वां पद = 1/8
⇒ 8 × 10^वां पद = 7^वां पद
⇒ 8 × (7^वां पद × r³) = 7^वां पद
⇒ r³ = 18
⇒ r = 1/2
अतः सामान्य अनुपात 1/2 है।

दी गई जानकारी:
गणितीय अनुक्रम का तीसरा पद 16 है।

उपयोग की गई अवधारणा:
गणितीय अनुक्रम का सामान्य रूप है:
a, ar, ar², ar³, ar⁴,.....ar^n-1
जहां, a = पहला पद, r = सामान्य अनुपात, ar^n-1 = n^वाँ पद

गणना:
गणितीय अनुक्रम का तीसरा पद, ar² = 16
पहले पाँच पदों का गुणनफल, P = a(ar)(ar²)(ar³)(ar⁴)
⇒ P = a⁵r¹⁰
⇒ P = (ar²)⁵
⇒ P = 16⁵ = (2⁴)⁵ = 2²⁰
⇒ पहले पाँच पदों का गुणनफल 2²⁰ है।

दी गई जानकारी:
यह एक ज्यामितीय अनुक्रम है जिसका पहला पद 'a' = 16 और सामान्य अनुपात 'r' = 2 है।

उपयोग की गई अवधारणा:
इस प्रकार के प्रश्न में, जहाँ 'r' > 1 होता है, वहाँ n पदों का योग G.P = S_n 

उपयोग किया गया सूत्र:

n = 10

गणना:
दी गई श्रंखला पर विचार करते हुए
16, 32, 64, 128, ......

⇒ S₁₀ = 16 × 1023 = 16368
∴ दिए गए श्रंखला के पहले 10 अंशों का योग 16368 है।

संकल्पना:
ज्यामितीय माध्य: वह मान जो संख्याओं के एक सेट के मूल्यों के उत्पाद का उपयोग करके केंद्रीय प्रवृत्ति को दर्शाता है।
सूत्र: GM = (सभी संख्याओं का उत्पाद)^1/n
जहाँ, n = सेट में कुल संख्याएँ
उदाहरण: 2, 3, 4, 5
GM = (2 × 3 × 4 × 5)^1/4 = (120)^1/4

गणना:
G = G₁ × G₂ × G₃ ……………….. × G_r

दिया गया∶
तीन उम्र ज्यामितीय प्रगति में हैं, जिसका योग 57 है और गुणनफल 5832 है।

सूत्र उपयोग किया गया∶
ज्यामितीय प्रगति के 3 पद = a/r, a, ar।

गणना∶
मान लीजिए कि अल्फा, बीटा और गामा की उम्र a/r, a, ar हैं।
साथ ही, उनकी उम्र का गुणनफल = 5832
(a/r) × a × ar = 5832
⇒ a³ = 5832
⇒ a = 18
और योग = 57
⇒ a/r + a + ar = 57
⇒ a( 1/r + 1 + r) = 57
⇒ 18(1 + r + r²) = 57
⇒ 6 + 6r + 6r² = 19r
⇒ 6r² - 13r + 6 = 0
⇒ 6r² - 9r - 4r + 6 = 0
⇒ (3r - 2) (2r - 3) = 0
⇒ r = 2/3 या r = 3/2
a/r, a, ar में a और r के मान डालने पर, हमें आवश्यक उम्र 12, 18, 27 या 27, 18, 12 मिलती है।
∴ आवश्यक उम्र 12, 18, 27 या 27, 18, 12 हैं।

संकल्पना:
चलन a₁, a₂, a₃ …. an एक जी.पी. है।

• सामान्य अनुपात =
• जी.पी. का nth पद a_n = arⁿ⁻¹
• जी.पी. के n पदों का योग =
• जी.पी. के n पदों का योग =
• अनंत जी.पी. का योग = 

गणना:
दी गई श्रृंखला है 5, 10, 20, ...
यहां, a = 5, r = 2
n संख्याओं का योग = s_n = 1275
जैसा कि हम जानते हैं, जी.पी. के n पदों का योग 

1275 = 5 × (2ⁿ - 1)
⇒ 255 = (2ⁿ - 1)
⇒ 2ⁿ = 256
⇒ 2ⁿ = 28
⇒ n = 8
इसलिए सही उत्तर 8 है।

दी गई जानकारी:

उपयोग किया गया सूत्र:
अनंत जी.पी. का योग = a/(1 – r)

गणना:

अब, दोनों पक्षों को 1/13 से गुणा करते हैं, हमें मिलता है
⇒ 1/13s = 5/13² + 55/13³ ....(2)
(1) से (2) को घटाते हैं
⇒ s – 1/13s = [5/13 + 55/13² + 555/13³ + ....] – [5/13² + 55/13³ +....]
⇒ 12s/13 = 5/13 + [55/13² – 5/13²] + (555/13³ – 55/13³) + .....
⇒ 12s/13 = 5/13 + 50/13² + 500/13³ + ....
अब,
यहाँ R.H.S एक अनंत जी.पी. है जिसका पहला पद a = 5/13 और सामान्य अनुपात (r) = 10/13 है
तो,
⇒ 12s/13 = 5/13/(1 – 10/13)
⇒ 12s/13 = 5/13/(13 – 10)/13
⇒ 12s/13 = (5/13)/(3/13)
⇒ 12s/13 = (5/13 × 13/3)
⇒ 12s/13 = 5/3
⇒ s = (13 × 5)/(12 × 3)
⇒ s = 65/36
∴ आवश्यक मान 65/36 है