MCQ: ज्यामितीय प्रगति - 3 - Bank Exams MCQ

सिद्धांत:
संक्रामक प्रगति (Geometric Progression)
संक्रामक प्रगति का सामान्य रूप है:
a, ar, ar², ar³, ar⁴,…, ar^n-1
जहां, a = पहला पद, r = सामान्य अनुपात, ar^n-1 = n^th पद।

गणना:
मान लें कि A संक्रामक प्रगति का पहला पद है और सामान्य अनुपात r है।
n^th पद, A_n = Ar^n-1
दी गई 4^th पद = a
Ar³ = a …(i)
दी गई 7^th पद = b
Ar⁶ = b …(ii)
दी गई 10^th पद = c
Ar⁹ = c …(iii)
(i) और (iii) का गुणा करें
⇒ ac = Ar³(Ar⁹)
⇒ ac = A²r¹²
⇒ ac = (Ar⁶)²
⇒ ac = b²
∴ b² = ac

संकल्पना:
यदि तीन पद p, q, r ज्यामितीय प्रगति (GP) में हैं, तो pr = q²।
यदि तीन पद a, b, c संख्यात्मक प्रगति (AP) में हैं, तो 2b = a + c

गणना:

⇒ a, b, c संख्यात्मक प्रगति में हैं
∴ सही विकल्प (1) है।

संकलन :

चलन a₁, a₂, a₃ …. an एक ज्यामितीय प्रगति (G.P) है।

• सामान्य अनुपात,  
• G.P का n^वां पद  है  a_n = ar^n-1 
• n पदों का योग =
• n पदों का योग =  
• अनंत का योग

गणना: 
यहाँ G.P का 5^वां पद 96 है 
यानी  a₅ = ar^5-1 
⇒ a₅ = ar⁴ 
⇒ 96 = ar⁴        ____( i ) 
दी गई जानकारी: 8^वां पद 768 है
⇒ a₈ = ar⁷ 
768 = ar⁷       ____(ii) 
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से विभाजित करें, हमें मिलता है 
8 = r³ 
⇒ r = 2.
इसको समीकरण (i) में रखकर, हमें मिलता है 
a = 6.
हमें पता है कि,  n^वां पद G.P का, a_n = ar^n-1 
इसलिए, a₃ = 6× 2^3-1 
⇒ a₃ = 24 .
सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:
हम अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. a_n को एक जी.पी. (गुणात्मक अनुक्रम) मानते हैं।

• सामान्य अनुपात =
• जी.पी. का nth पद a_n = arⁿ⁻¹
• जी.पी. के n पदों का योग =
• जी.पी. के n पदों का योग =
• अनंत जी.पी. का योग = 

गणना:
दी गई श्रृंखला है 5, 10, 20, ...
यहाँ, a = 5, r = 2
n संख्याओं का योग = s_n = 1275
खोजें: n जैसा कि हम जानते हैं, जी.पी. के n पदों का योग जहाँ r >1

1275 = 5 × (2ⁿ - 1)
⇒ 255 = (2ⁿ - 1)
⇒ 2ⁿ = 256
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

धारणा:
हम अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. an को एक G.P. मानते हैं।

• सामान्य अनुपात =
• G.P. का n^वां पद a_n = ar^n-1

Sin18^o  

गणना:
हमें पता है कि यदि G.P. का पहला पद 'a' है और सामान्य अनुपात 'r' है, तो इस मामले में G.P = a, ar, ar²............ 
चूंकि हमें दिया गया है a = ar + ar²
अब, 1= r + r² 
⇒ r² + r - 1 = 0 
हल करने पर हमें मिलता है।

संकल्पना:
ज्यामितीय प्रगति (GP):

• संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किसी भी दो अनुक्रमिक पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।
• n पदों की एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद a और सामान्य अनुपात r है, को इस प्रकार दर्शाया जाता है:
  a, ar, ar², ar³, ..., ar^n-2, ar^n-1।
• एक GP के पहले n पदों का योग है: 
• जब |r| < 1 हो, तब GP का योग ∞ तक है: 

गणना:

आइए हम अनंत श्रृंखला पर विचार करें 

संकल्पना:

चलिये अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. an को एक जी.पी. (गुणात्मक अनुक्रम) मानते हैं।
सामान्य अनुपात 

गणना:
मान लीजिए,
(a = 3) जी.पी. श्रृंखला का 3रा पद है,
इसलिए, हम पाँच पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं,

इसलिए, पाँच पदों का गुणनफल (P) होगा,

चूंकि,
a = 3,
इसलिए पहले पाँच पदों का गुणनफल (P) = 3⁵ = 243

सिद्धांत:
यदि a₁, a₂, …., a_n एक GP है तो सामान्य पद निम्नलिखित है: a_n = a × r^{n - 1} जहां a पहला पद है और r सामान्य अनुपात है।

गणना:
दिया गया: 25, -125, 625, -3125, …….
यहां, पहले पद a = 25 और सामान्य अनुपात r = -5 है।
जैसा कि हम जानते हैं, यदि a₁, a₂, …., a_n एक GP है तो सामान्य पद निम्नलिखित है: a_n = a × r^{n - 1} जहां a पहला पद है और r सामान्य अनुपात है।
⇒ सामान्य पद है : a_n = 25 × (-5)^{n – 1} = (-1)^{n – 1} × 5^{n + 1}

संकल्पना:
ज्यामितीय प्रगति का सामान्य रूप है:
a, ar, ar², ar³, ar⁴,…, ar^n-1
जहाँ,
a = पहला पद
r = सामान्य अनुपात
ar^n-1 = nवाँ पद

गणना:
यह दिया गया है कि प्रत्येक पद उसके बाद आने वाले दो पदों के योग के बराबर है।
T_n = T_n+1 + T_n+2
⇒ ar^n-1 = arⁿ + arⁿ⁺¹
⇒ r^n-1 = rⁿ + rⁿ⁺¹
⇒ r^-1 = r + 1
⇒ r² + r - 1 = 0

चूँकि जी.पी. का प्रत्येक पद सकारात्मक है,

∴ सामान्य अनुपात है 

संविधान:
जी.पी. के n पदों का योग,

दिया गया है कि a_n = 2ⁿ
तब, a₁ = 2
a₂ = 4
a₃ = 8
i.e. जी.पी. श्रृंखला है 2, 4, 8, 16, 32, . . .
जहाँ पहला पद, a = 2;
सामान्य अनुपात, r = 4/2 = 8/4 = ... = 2,
पदों की संख्या, n = 6 (प्रश्न में दिया गया)

⇒ 2(64 - 1)
⇒ 2(63)
⇒ 126

संकल्पना:
गणितीय प्रगति में पांच पद:
यदि गणितीय प्रगति का पहला पद a है और सामान्य अनुपात r है, तो GP में पांच लगातार पद इस रूप में होते हैं।

गणना:
आइए हम सामान्य गणितीय प्रगति पर विचार करें जिसमें सामान्य अनुपात r है।
मान लें कि GP में पांच पद हैं  

यह दिया गया है कि तीसरा पद 9 है।
इसलिए, a = 9।
अब पांच पदों का गुणनफल निम्नलिखित रूप से दिया गया है:

लेकिन हमें पता है कि a = 9।
इसलिए, उत्पाद 9⁵ = 3¹⁰ है।

संकल्पना:
यदि a, b और c एक GP (ज्यामितीय प्रगति) में हैं, तो b² = ac

गणना:
दी गई: संख्याएँ - 2/7, x, - 7/2 एक GP में हैं
जैसा कि हम जानते हैं, यदि a, b और c एक GP में हैं, तो b² = ac
यहाँ, a = - 2/7, b = x और c = - 7/2
⇒ x² = (-2/7) × (-7/2) = 1
⇒ x = ± 1
इसलिए, सही विकल्प 3 है।

संकल्पना: 

हम अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. an को एक जी.पी. मानते हैं।

• n पदों का योग =
• n पदों का योग = 

गणना:  
आवश्यक पूर्वजों की संख्या 
= 2 + 4 + 8 +... 8 पदों तक 
जैसा कि हम जानते हैं कि जी.पी का योग, 

जहाँ, a = 2, r = 2 और n = 8
⇒ आवश्यक पूर्वजों की संख्या 
∴ आवश्यक पूर्वजों की संख्या  510 है। 
सही विकल्प 4 है।

संकल्पना:
ज्यामितीय प्रगति (GP): संख्याओं की एक श्रृंखला जिसमें किसी दो लगातार पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।

• n पदों की एक ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला पद a और सामान्य अनुपात r होता है, को इस प्रकार दर्शाया जाता है:
• a, ar, ar², ar³, ..., ar^n-2, ar^n-1.
• एक GP के पहले n पदों का योग है
  

गणना:
दी गई ज्यामितीय श्रृंखला 1 + 3 + 3² + ... के लिए, हमारे पास a = 1 और r = 3 है।
मान लें कि पहले n पदों का योग 3280 के बराबर है।

⇒ 3ⁿ - 1 = 3280 × 2
⇒ 3ⁿ - 1 = 6560
⇒ 3ⁿ = 6561 = 3⁸
⇒ n = 8.

धारणा:

मान लीजिए अनुक्रम a₁, a₂, a₃ …. an एक ज्यामितीय प्रगति (G.P.) है।

• सामान्य अनुपात =
• G.P. का n^वाँ पद a_n = arⁿ⁻¹
• G.P. के n पदों का योग =
• G.P. के n पदों का योग =
• अनंत G.P. का योग = 

गणना:
दी गई श्रृंखला है 4, 8, 16, ...
यहाँ, a = 4, r = 2
n संख्याओं का योग = s_n = 2044
खोजना है: n
जैसा कि हम जानते हैं, G.P. के n पदों का योग 

2044 = 4 × (2ⁿ - 1)
⇒ 511 = (2ⁿ - 1)
⇒ 2ⁿ = 512
⇒ 2ⁿ = 2⁹
∴ n = 9